廣東省梅州市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省梅州市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章、選擇性必修第三冊第六章占80%，之前的占20%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由，，得.故選：B2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以.故選：A3.腸粉是廣東一種非常出名的傳統(tǒng)小吃，屬于粵菜系，源于唐朝時的瀧州．已知廣東一家腸粉店制作銷售的腸粉時，先讓顧客從“放青菜”“放雞蛋”“青菜與雞蛋都不放”“青菜與雞蛋都放”中四選一，再讓顧客從牛肉、蝦仁、香菇等七種食材中選其一，則這家腸粉店的腸粉共有（）A.7種 B.11種 C.28種 D.32種〖答案〗C〖解析〗根據(jù)分步乘法原理這家腸粉店的腸粉有，故選：C．4.已知函數(shù)，則（）A.有極小值，且極小值為0 B.有極小值，且極小值為C.有極大值，且極大值為0 D.有極大值，且極大值為〖答案〗D〖解析〗由，得，令，當時，，所以在單調(diào)遞減，當時，，所以在單調(diào)遞增，所以時，函數(shù)有極大值為故選：D5.12名學(xué)生與4名老師站成一排拍照，要求4名老師兩兩不相鄰，則不同的排法數(shù)為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先將12名學(xué)生全排列有種排法，再將4名老師插入到12名學(xué)生所形成的個空（包括首、尾）中的個空中，有種排法，按照分步乘法計數(shù)原理可知一共有種排法.故選：B6.若函數(shù)不存在極值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為的定義域為，且，又函數(shù)不存在極值，則沒有變號零點，所以恒成立，則，解得，即的取值范圍是.故選：D7.展開式的常數(shù)項為（）A. B. C.42 D.43〖答案〗B〖解析〗，其中的常數(shù)項為，的常數(shù)項，所以展開式的常數(shù)項，故選：B8.設(shè)，，，則（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，所以，且，令，得或；令，得，所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，，即，，即由，所以，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列判斷正確的是（）A.B.由數(shù)字1，2，3，4可以組成24個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)C.由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成120個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)D.若有4張參觀券，要在8人中確定4人去參觀，則有70種不同的方法〖答案〗ABD〖解析〗對于A：，故A正確；對于B：由數(shù)字1，2，3，4可以組成個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，故B正確；對于C：由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，故C錯誤；對于D：有4張參觀券，要在8人中確定4人去參觀，則有種不同的方法，故D正確.故選：ABD10.在空間直角坐標系中，已知，，，，，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.從，，，，，這個點中選個點確定一條直線，則有13條不同的直線D.從，，，，，這個點中選個點確定一個平面，則有20個不同的平面〖答案〗AC〖解析〗對于A：因為，，所以，所以，即，故A正確；對于B：因為，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，故B錯誤；對于C：因為，，三點共線，所以從，，，，，這個點中選個點確定一條直線有條，故C正確；對于D：因為，，，，五點共面，，，，四點共面，從，，，，，這個點中選個點確定一個平面，則有個不同的平面，故D錯誤.故選：AC11.已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A.的極大值點為B.函數(shù)的零點個數(shù)為3C.函數(shù)的零點個數(shù)為7D.的解集為〖答案〗ABC〖解析〗由題意得，當時，，得，令，得，令，得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值點為1，又是定義在上的奇函數(shù)，所以的極大值點為，故A對；當時，則，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以分別畫出和圖象，得函數(shù)的零點個數(shù)為3，B對；令，得或或，令，得，或，如圖，分別畫出的圖象，由圖可知：函數(shù)的零點個數(shù)為7，C對；令，則，故D錯；故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.小李想去他大伯家借書，他除了對經(jīng)濟類的書不感興趣，對其他類別的書都感興趣．他大伯家的書有四種，文學(xué)類的有15本，經(jīng)濟類的有10本，歷史類的有16本，心理學(xué)與勵志類的有9本，同一類的書每本都不相同，則他按照興趣借1本書，共有___________種選擇．〖答案〗40〖解析〗由題意小李借的書可分為3類，由分類加法原理得：，故〖答案〗為：40.13.已知（）展開式中各二項式系數(shù)之和為，則___________．〖答案〗36〖解析〗因為二項式系數(shù)之和為，所以故〖答案〗為：3614.已知函數(shù)，則_______________，的最小值為___________．〖答案〗①②〖解析〗由已知得，所以，解得，，，，時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，所以的極小值也是最小值為，故〖答案〗為：；．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求；（2）求．解：（1）令得，令得，所以；（2）展開式通項公式為，因此，，所以．16.已知函數(shù)．（1）當時，求在上的值域；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當時，則，當時恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的值域為.（2）函數(shù)的定義域為，又，當，即時恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當，即時，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上可得：當時在上單調(diào)遞減；當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.17.已知函數(shù)的圖象在點處的切線經(jīng)過點．（1）當時，求的方程．（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（3）求數(shù)列的前項和．解：（1）當時，則，所以，又，所以切點為，切線的斜率為，則切線的方程為，即.（2）因為，則，，所以，則切線方程為，即，令，解得，所以，則，則，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）可得，所以，所以，則，所以，所以.18.已知雙曲線（，）的焦距為，且經(jīng)過拋物線的焦點．記為坐標原點，過點的直線與相交于不同的兩點，．（1）求的方程；（2）證明：“的面積為”是“軸”的必要不充分條件．解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，則，解得，又拋物線的焦點為，所以，則，所以的方程為.（2）當軸時，不妨設(shè)在第一象限，由，解得或，則，，所以，必要性得證；依題意直線的斜率存在，設(shè)直線：，由，消去整理得，由且，可得且，設(shè)，，所以，，所以，則，即，即，整理得，解得或（滿足且），所以當或均有面積為，故充分性不成立，所以“的面積為”是“軸”的必要不充分條件.19.已知函數(shù)．（1）若，證明：在上單調(diào)遞減．（2），，求的取值范圍．解：（1）當時，則，當時，，所以對恒成立，所以在