六年級寒假奧數(shù)培優(yōu)講義-6-05-表面積與體積4-講義-教師

第5講表面積與體積【學習目標】1、復習長方體、正方體、圓柱和圓錐；2、掌握組合圖形的表面積及體積計算方法?！局R梳理】1、一切為二，表面積增加，拼成一體，表面積減少，但體積都不變；2、漏在外面的面：要從不同的面去觀察，不重不漏；3、阿基米德題型：物體被淹部分的體積等于上升的水的體積。【典例精析】【例1】從一個棱長為10cm的正方體木塊上挖去一個長10cm、寬2cm、高2cm的小長方體，剩下部分的表面積是多少？原來正方體的表面積為：102×6=600(cm2)沿一條棱挖，剩下部分的表面積為：600-22×2=592(cm2)在某個面挖，剩下部分的表面積為：600+10×2×2-22×2=632(cm2)挖通兩個對面，剩下部分的表面積為：600+10×2×4-22×2=672(cm2)【趁熱打鐵-1】從一個長10cm、寬6cm、高5cm的長方體木塊上挖去一個棱長為2cm的小正方體，剩下部分的表面積是多少？原來長方體的表面積是（10×6+10×5+6×5)×2=280(cm2)①在一個面的中間挖去小正方體：280+2×2×4=296(cm2)；②在一條棱的中間挖去小正方體：280+2×2×2=288(cm2)；③在一個頂點處挖去小正方體，表面積不變還是280cm2?！纠?】把長、寬、高分別是9cm,7cm,4cm的兩個相同長方體拼成一個大長方體。這個大長方體的表面積最小是多少平方厘米？(9×7+9×4+7×4)×2×2-9×7×2=382(cm2)【趁熱打鐵-2】如圖所示，用9個一樣的小長方體拼成一個大長方體，已知每個小長方體的體積是750cm3,則大長方體的表面積是多少平方厘米？設小長方體的高是h,則小長方體的長是3h,寬是3h×2÷3=2h。小長方體的體積：h×3h×2h=750(立方厘米）所以h=5(厘米）∴小長方體的長、寬、高分別是15厘米、10厘米、5厘米。大長方體的長：2×15=30(厘米）大長方體的寬：1×15=15(厘米）大長方體的高：10+5=15(厘米）大長方體的表面積：2×(30×15+15×15+30×15)=2250(平方厘米）【例3】把19個棱長為3cm的正方體重疊起來，如圖所示，拼成一個立體圖形。求這個立體圖形的表面積。(10+9+8)×2=54(個）3×3=9(cm2)54×9=486(cm2)【趁熱打鐵-3】一堆積木,是由16個棱長是2cm的小正方體堆成的。它的表面積是多少平方厘米？每個面的面積為2×2=4(平方厘米）共有50個面暴露在外面，∴表面積為50×4=200(平方厘米）【例4】如圖所示，將高都是1m,底面半徑分別為1.5m,1m和0.5m的三個圓柱組成一個物體。求這個物體的表面積。3.14×1.52×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=32.97(㎡）【趁熱打鐵-4】如圖所示是由三個正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長分別為1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方體的下底面不涂油漆，那么該模型涂刷油漆的面積是多少平方米？6×(1×1+2×2+4×4)-(1×1+2×2)×2-4×4=100(平方米）【例5】圖為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為6厘米的卷軸，已知紙的厚度為0.4毫米，問：這卷紙展開后大約有多少米？0.4毫米=0.04厘米(3.14×102-3.14×32)÷0.04=3.14×(100-9)÷0.04=3.14×91÷0.04=7143.5(厘米）=71.435（米）【趁熱打鐵-5】長10厘米，直徑2厘米的三根圓柱捆成一捆（如圖）,用一張紙將這捆圓柱側面包起來（紙要繃緊）,至少需要多大面積的紙？(2×3+3.14×2)×10=122.8(平方厘米）【例6】一個底面直徑是10cm,高為20cm圓柱形玻璃容器，現(xiàn)裝有高度為12cm的水。把一個圓柱形鐵塊放入水中，水面高度上升到14cm。這個鐵塊的體積是多少？3.14×（10÷2）2×（14-12）=157（立方厘米）【趁熱打鐵-6】一個底面半徑是10cm的圓柱形瓶中，水深8cm。要在瓶中放入長和寬是8cm、高是15cm的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面會上升幾厘米？3.14×102×8÷（3.14×102-8×8）-8=2.048（厘米）【例7】求下圖中幾何體的表面積和體積。（π取3.14)表面積：（60×40+60×5+40×5）×2+3.14×15×2×30=8626體積：60×40×5+3.14×（152-102）×30=23775【趁熱打鐵-7】求下面圖形的表面積和體積。（單位：cm,結果用π表示）表面積：（30×18+30×16+18×16）×2+2×9π×20=2616+360π（cm2）體積：30×18×16+π×92×20=8640+1620π（cm3）【過關精煉】1、在一個邊長為4cm的正方體的前、后、上、下、左、右面的中心位置各挖去一個底面半徑為1cm,高為1cm的圓柱，求挖去后物體的表面積。4×4×6+3.14×1×2×1×6=133.68（cm2）2、把一個橫截面是正方形的長方體木料切割成一個最大的圓柱體，此圓柱的表面積是32.97cm2,底面直徑與高的比是1:3,原長方體的表面積是多少平方厘米？解：設圓柱的底面半徑是rcm,3.14r2+3.14×2r×6r=32.97r2=0.752r×2r×2+2r×4×6r=42（cm2）3、一個圓柱形的容器內，放著一個長方體鐵塊，現(xiàn)在打開一個水龍頭往容器里注水，3分鐘后，水恰好沒過長方體鐵塊的頂面，又過了18分鐘，水灌滿容器，已知容器的高度是50cm,長方體鐵塊的高度為20cm，求長方體鐵塊底面面積與容器底面面積的比。解：設長方體鐵塊的底面積是xcm2，容器底面面積為ycm2.（50-20）÷18×3=5（cm）（y-x）×20=y×53y=4xx:y=4:34、如圖所示，為一個半徑為4cm,高為4cm的圓柱，在它的中間依次向下挖去半徑分別為3cm,2cm,1cm,高分別為2cm,1cm,0.5cm的圓柱，最后得到的立體圖形表面積是多少平方厘米？3.14×42×2+3.14×4×2×4+3.14×3×2×2+3.14×2×2×1+3.14×2×1×0.5=254.34（cm2）5、有一個高為8cm,容積為50ml的圓柱形容器A,里面裝滿了水，現(xiàn)在把長16cm的圓柱B垂直放入，使B的底面與A的底面接觸，這時一部分水從容器中溢出。當把B從A中拿出后，A中的水高度為6cm,求圓柱B的體積。5