2025屆福建省長汀一中高一下數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆福建省長汀一中高一下數(shù)學(xué)期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，則cosA的值是（）A． B． C． D．2．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20000m，速度為900km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過80s后又看到山頂?shù)母┙菫?5A．5000(3+1)C．5000(3-3)3．集合A={x|-2<x<2}，B={x|-1<x<3}那么A∪B=()A．{x|-2<x<-1} B．{x|-1<x<2}C．{x|-2<x<1} D．{x|-2<x<3}4．某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（）A．588 B．480 C．450 D．1205．已知數(shù)列，如果，，，……，，……，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則=A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)為和，且，則（）A．5 B． C． D．97．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，則（）A． B． C． D．8．已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A．若，，，，，則B．若，，，，則C．若，，，，，則D．若，，，則9．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（）A． B．5 C．2 D．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．對任意的θ∈0,π2，不等式112．5人排成一行合影，甲和乙不相鄰的排法有______種．（用數(shù)字回答）13．直線的傾斜角的大小是_________.14．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝(－1)nan－，n∈N，則a3＝________．15．函數(shù)f（x）＝log2（x+1）的定義域?yàn)開____．16．已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的圖象與圖象關(guān)于軸對稱；④設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且求若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上的最小值為，求的值；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上單調(diào)且值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?9．泉州與福州兩地相距約200千米，一輛貨車從泉州勻速行駛到福州，規(guī)定速度不得超過千米/時(shí)，已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度千米/時(shí)的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為64元.（1）把全程運(yùn)輸成本元表示為速度千米/時(shí)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？20．已知，.（1）計(jì)算及、；（2）設(shè)，，，若，試求此時(shí)和滿足的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值.21．已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足：對任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)=++…+，如果對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，由正弦定理可得，不妨令，由余弦定理可得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】分析：先求AB的長，在△ABC中，可求BC的長，進(jìn)而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山頂?shù)暮０胃叨龋斀猓喝鐖D，∠A=30°，∠ACB=45°，

AB=900×80×13600∴在△ABC中，BC=102∵CD⊥AD，=102sin30點(diǎn)睛：本題以實(shí)際問題為載體，考查正弦定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是理解俯角的概念，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

根據(jù)并集定義計(jì)算．【詳解】由題意A∪B={x|-2<x<3}．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】試題分析：根據(jù)頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是600×0.8=480考點(diǎn)：頻率分布直方圖5、A【解析】分析：累加法求解。詳解：，，解得點(diǎn)睛：形如的模型，求通項(xiàng)公式，用累加法。6、D【解析】

先根據(jù)已知求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)且時(shí)，，得，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2.所以所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)題目條件結(jié)合三角形的正弦定理以及三角形內(nèi)角和定理可得sinA，進(jìn)而利用二倍角余弦公式得到結(jié)果.【詳解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及二倍角余弦公式的靈活運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】A.根據(jù)條件可知，若，不能推出；B.若，就不能推出；C.條件中沒有，所以不能推出；D.因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題型，需要具有空間想象能力，以及邏輯推理能力.9、D【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】由線性約束條件作出可行域，如下圖三角形陰影部分區(qū)域（含邊界），令，直線：，平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)取得最大值，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)取得最小值，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用．本題先正確的作出不等式組表示的平面區(qū)域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行解答是解決本題的關(guān)鍵．10、B【解析】試題分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以圓心坐標(biāo)為半徑，因?yàn)橹本€始終平分圓的周長，所以直線過圓的圓心，把代入直線得；即，在直線上，是點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)榈街本€的距離，所以的最小值為，故選B.考點(diǎn)：1、圓的方程及幾何性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式及最值問題的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的方程及幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式及最值問題的應(yīng)用，屬于難題.解決解析幾何的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題就是利用幾何意義，將的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離解答的.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-4,5【解析】1sin2θ+4cos2點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.12、72【解析】

先對其中3個(gè)人進(jìn)行全排列有種，再對甲和乙進(jìn)行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為.【詳解】先對其中3個(gè)人進(jìn)行全排列有種，再對甲和乙進(jìn)行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為種，故答案為72【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查基本運(yùn)算能力.13、【解析】試題分析：由題意，即，∴．考點(diǎn)：直線的傾斜角.14、－【解析】當(dāng)n＝3時(shí)，S3＝a1＋a2＋a3＝－a3－，則a1＋a2＋2a3＝－，當(dāng)n＝4時(shí)，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，兩式相減得a3＝－.15、{x|x＞﹣1}【解析】

利用對數(shù)的真數(shù)大于，即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?解得：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域，考查學(xué)生對對數(shù)函數(shù)定義的理解，是基礎(chǔ)題.16、②③④【解析】

首先化簡函數(shù)解析式，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的周期為，，或，所以①不正確；②時(shí)，，所以是增函數(shù)，②正確；③函數(shù)還可以化簡為，所以與關(guān)于軸對稱，正確；④，當(dāng)時(shí)，，，④正確故選②③④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由時(shí)，，再驗(yàn)證適合，于是得出，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的求和公式求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）當(dāng)且時(shí)，；也適合上式，所以，，則數(shù)列為等差數(shù)列，因此，；（2），且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為，所以．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性討論即可解決．（2）分兩種情況討論，分別討論單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的情況即可解決．【詳解】（1）若，即時(shí)，，解得：，若，即時(shí)，，解得：（舍去）.（2）（?。┤粼谏蠁握{(diào)遞增，則，則，即是方程的兩個(gè)不同解，所以，即，且當(dāng)時(shí)，要有，即，可得，所以；（ⅱ）若在上單調(diào)遞減，則，則，兩式相減得：，將代入（2）式，得，即是方程的兩個(gè)不同解，所以，即，且當(dāng)時(shí)要有，即，可得，所以，（iii）若對稱軸在上，則不單調(diào)，舍棄．綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解決二次函數(shù)問題時(shí)需要關(guān)注的是單調(diào)性、對稱軸、最值、開口、等屬于中等偏上的題．19、（1）,；（2），貨車應(yīng)以千米/時(shí)速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時(shí)速度行駛【解析】

（1）先計(jì)算出從泉州勻速行駛到福州所用時(shí)間，然后乘以每小時(shí)的運(yùn)輸成本（可變部分加固定部分），由此求得全程運(yùn)輸成本，并根據(jù)速度限制求得定義域.（2）由，，對進(jìn)行分類討論.當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求得行駛速度.當(dāng)時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性求得行駛速度.【詳解】（1）依題意一輛貨車從泉州勻速行駛到福州所用時(shí)間為小時(shí)，全程運(yùn)輸成本為，所求函數(shù)定義域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，故有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，易證在上單調(diào)遞減故當(dāng)千米/時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小.綜上，為了使全程運(yùn)輸成本最小，，貨車應(yīng)以千米/時(shí)速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時(shí)速度行駛.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查基本不等式求最小值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20、（1），，；（2），.【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積和模的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算；（2）由可得出，然后由二次函數(shù)性質(zhì)求得最小值．【詳解】（1）由題意及，同理，．（2）∵，∴，∴，即，又，∴時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系．掌