第07講 基本不等式 2024-2025年新高一暑假自學(xué)課（教師版）

第07講基本不等式1.了解基本不等式代數(shù)和幾何兩方面的背景，了解幾何平均數(shù)和代數(shù)平均數(shù)的概念；2.理解基本不等式的證明過程；3.熟練地掌握基本不等式及其變形形式，并能熟練運(yùn)用基本不等式來比較兩個實(shí)數(shù)的大小，求某些函數(shù)的最值，證明簡單的不等式；4.會應(yīng)用基本不等式模型解決一些簡單實(shí)際問題.1基本不等式若a>0,b>0，則a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b②運(yùn)用基本不等式求解最值時，牢記：一正，二定，三等.一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是個定值，三等指的是不等式中取到等號.2基本不等式及其變形2(調(diào)和均值≤幾何均值≤算術(shù)均值≤平方均值)以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們在求最值中的作用.①a+b≥2ab，

【題型一】對基本不等式的證明【典題1】代數(shù)法證明：若a>0,b>0，則a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立).【解析】a+b?2ab且當(dāng)僅當(dāng)當(dāng)a=b時，等號成立；即a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b變式練習(xí)1.幾何法證明：若a>0,b>0，則a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b【解析】如下圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上，且CD⊥AB，設(shè)AD=a，BD=b，易證?ACD~?BCD，得CD2=AD?BD=ab又因?yàn)镃D≤AB2，所以ab≤a+b2【題型二】對基本不等式的理解相關(guān)知識點(diǎn)講解若a>0,b>0，則a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b②運(yùn)用基本不等式求解最值時，牢記：一正，二定，三等.一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是個定值，三等指的是不等式中取到等號.【典題1】(多選)下列各式能用基本不等式直接求得最大(小)值的是(

)A．x+12x B．x2+1+1x【答案】BC【分析】利用基本不等式“a+b2≥ab【詳解】解：對于選項(xiàng)A，不滿足x>0的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大(小)值，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，∵x2+1>0，1x2+1>0，∴所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正確；對于選項(xiàng)C，∵x>0，1x>0，∴x+1所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)x≤0或x≥1時不滿足x和1?x是正數(shù)的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大(小)值，故D錯誤；故選：BC.【典題2】下列不等式中等號可以取到的是(

)A．x2+5+C．x2+1【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式使用條件逐一檢驗(yàn)取等條件即可得答案.【詳解】解：對于A，因?yàn)閤2+5>0，所以x2+5對于B，因?yàn)閤2+2>0，所以x2+2+1對于C，因?yàn)閤2>0，所以x2+1對于D，因?yàn)閤+3>0，所以|x|+3+1|x|+3≥2|x|+3故選：C.變式練習(xí)1.下列條件中能使ba+①ab>0；

②ab<0

③a>0，b>0

④a<0，b<0【答案】①③④【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件可得a,b同號即可判斷.【詳解】要使ba+ab≥2成立，只需ba>0,ab>0即可，此時故答案為：①③④.2.不等式a2+4A．a(chǎn)=4 B．a(chǎn)=2 C．a(chǎn)=?2 【答案】D【分析】利用基本不等式的取等條件即可求解.【詳解】由基本不等式可知a2+4即a=±2故選：D.3.下列說法正確的是(

)A．x+1x最小值為2 B．C．x2+1+1x【答案】C【分析】利用基本不等式的概念及運(yùn)算逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)x>0時，x+1x≥2x×1當(dāng)x<0時，x+1當(dāng)且僅當(dāng)?x=1?x任意x∈R，x2+1+即x2=0也即x=0時，等號成立，所以當(dāng)x趨向于無窮大時，x2+1+故D錯誤.故選：C.4.(多選)下列各式中，最小值為2的是(

)A．x+1x C．x+4x【答案】CD【分析】由正定等條件可判斷.【詳解】A項(xiàng)，首先要使式子有意義，x≠0，當(dāng)x<0時，x+1B項(xiàng)，任意x∈R，x2當(dāng)且僅當(dāng)x2+2=但方程x2=?1無解，故等號取不到，即C項(xiàng)，首先要使式子有意義，則x>0，則x+4x?2≥24故x+4xD項(xiàng)，首先要使式子有意義，則x>0，則x+1x=x+1故x+1x的最小值為2故選：CD.【題型三】基本不等式應(yīng)用的常見方法方法1直接法【典題1】當(dāng)x<0時，函數(shù)y=x+4x(A．有最大值?4 B．有最小值?4 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【分析】利用基本不等式可直接得到函數(shù)的最值.【詳解】∵x<0，∴?x>0，∴y=x+4x=?故選：A【典題2】(2024·浙江嘉興·二模)若正數(shù)x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是(A．6 B．62 C．22【答案】A【分析】根據(jù)題意可得y=x【詳解】由x2?2xy+2=0可得∴x+y=x+x當(dāng)且僅當(dāng)3x2=1x，即所以x+y的最小值為6.故選：A.變式練習(xí)1.(2024·重慶·模擬預(yù)測)若實(shí)數(shù)a，b滿足ab=2，則a2+2bA．2 B．22 C．4 D．【答案】D【分析】借助基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】a2當(dāng)且僅當(dāng)a2故選：D.2.(2024·甘肅定西·一模)x2+7A．27 B．37 C．47【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】由題意知x≠0，所以x2所以x2當(dāng)且僅當(dāng)x2=7故選：B.3.已知x>0，則x2?x+4xA．5 B．3 C．?5 D．?5或3【答案】B【分析】由已知可得x2【詳解】由x>0，得x2當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=2時等號成立，所以故選：B.4.若正數(shù)a，b滿足ab=2，則a+1b+2的最小值為(

A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】正數(shù)a，b滿足ab=2，則a+1b+2當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=2時取等號，所以當(dāng)a=1,b=2時，a+1b+2故選：C5.(2024·全國·模擬預(yù)測)若x>0,y>0,3x+2y=1，則8x+4A．2 B．22 C．32 【答案】B【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】8x當(dāng)且僅當(dāng)23x=22y且故選：B.方法2湊項(xiàng)法【典題1】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>3，且xy+2x?3y=12，則x+y的最小值為(

)A．1+26 B．8 C．62 【答案】A【分析】由題意得y=12?2xx?3=?2+【詳解】因?yàn)閤>3，且xy+2x?3y=12，所以y=12?2x從而x+y=x?2+6x?3=所以x+y的最小值為1+26故選：A.變式練習(xí)1.已知x>?1，則x+2x+1的最小值為(A．22 B．2 C．22?1【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)閤>?1，所以x+1>0，所以x+2當(dāng)且僅當(dāng)x+1=2x+1，即故選：C.2.函數(shù)y=x2+A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由x2>5可得x2當(dāng)且僅當(dāng)x2?5=1故選:D3.已知0<x<2，則3xA．?3 B．3 C．1 D．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接計(jì)算即可.【詳解】3x2?x≤3×14x+故選：B.4.已知x>0,y>0，2x+y=xy，則2x+y的最小值為()A．8 B．4 C．82 D．【答案】A【分析】首先由條件可得y=2xx?1>0【詳解】由x>0,y>0，2x+y=xy，可得y=2xx?1則2x+y=2x+=2x?1當(dāng)2x?1=2所以2x+y的最小值為8.故選：A5.已知x>1，則2x+2x?1的最小值是【答案】6【分析】直接利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?x+2當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=2所以2x+2故答案為：6.方法3巧“1”法【典題1】若x>0，y>0且x+2y=1，則1x+xA．1+22 B．32+2 【答案】A【分析】利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)閤>0，y>0且x+2y=1，所以1x當(dāng)且僅當(dāng)x=2故選：A.【典題2】若0<x<12，則1xA．3+22 B．6 C．42【答案】A【分析】由2x+(1?2x)=1，得到1x【詳解】因?yàn)?<x<12，可得1?2x>0，且則1x+1當(dāng)且僅當(dāng)1?2xx=2x所以1x+1故選：A.變式練習(xí)1.已知x,y>0且x+4y=1，則1xA．42 B．8 C．9 【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】1x當(dāng)且僅當(dāng)xy=4y故1x故選：C2.(2024·黑龍江哈爾濱·二模)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+2y=1A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】易知1x+=5+2y當(dāng)且僅當(dāng)2yx=2x故選：B3.已知a>0，b>0，2a+b?3=0，則12a+1+1A．2 B．1 C．32 D．【答案】B【分析】由題意可得2a+14【詳解】因?yàn)?a+b?3=0，可得2a+14且a>0，b>0，可知2a+1>0，則12a+1當(dāng)且僅當(dāng)b42a+1=所以12a+1故選：B.【題型四】利用基本不等式處理恒成立問題【典題1】若正實(shí)數(shù)x、y滿足(x?1)(y?4)=4，且x+y4≥a2A．a(chǎn)|?1<a<4 B．a(chǎn)|?1≤a≤4C．a(chǎn)|?4≤a≤1 D．a(chǎn)|?4<a<1【答案】B【分析】依題意可得4y+1x=1【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x、y滿足(x?1)(y?4)=4，即xy=4x+y，所以4y所以x+y當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y4x，即因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x、y滿足(x?1)(y?4)=4，且x+y所以a2?3a≤4，解得?1≤a≤4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B．【典題2】設(shè)x>0，y>0，不等式1x+1y+A．?2 B．2 C．1 D．?4【答案】D【分析】將不等式1x+1y+【詳解】∵x>0，y>0，不等式1x即m≥?1x+1y∵1x+1所以?1∴m≥?4，∴m的最小值為?4，故選：D變式練習(xí)1.當(dāng)x>1時，不等式x+1x?1≥a恒成立，則實(shí)數(shù)aA．(?∞,2] B．[2,+∞) C．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式求解最值即可求解.【詳解】當(dāng)x>1時，x?1>0，故x+1x?1=x?1+所以不等式x+1x?1≥a恒成立，故a≤故選：D2.已知正數(shù)x、y滿足x?1y?2=2，不等式3x+2y>m恒成立．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A．?∞,4+62C．?∞,7+43【答案】C【分析】由不等式3x+2y>m恒成立，故只需3x+2ymin>m，由基本不等式的乘“1”法，結(jié)合已知求出【詳解】因?yàn)閤?1y?2所以xy=2x+y，即1x所以由基本不等式可得3x+2y=3x+2y等號成立當(dāng)且僅當(dāng)2yx=6x綜上所述，3x+2y的最小值為7+43因?yàn)椴坏仁?x+2y>m恒成立，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞故選：C.3.若不等式a2+b22+3≥xa+bA．2 B．2 C．3 D．1【答案】C【分析】將不等式a2+b22+3≥xa+b【詳解】由題意不等式a2+b即x≤a又a2+b則a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3故x≤3，即實(shí)數(shù)x的最大值為3故選：C4.(2023·廣東湛江·二模)當(dāng)x，y∈0,+∞時，4x4+17A．25,+∞ B．26,+∞ C．994【答案】A【分析】將左側(cè)分式的分子因式分解成4x【詳解】當(dāng)x，y∈0,+∞時，當(dāng)且僅當(dāng)4x2+y=所以4x4+17所以m4>25故選：A.【A組基礎(chǔ)題】1.已知函數(shù)fx=3?x?2x，則當(dāng)x<0時，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3?22 D．最小值【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由題意當(dāng)x<0時，fx=3+?x故選：B.2.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3，則a+b的取值范圍是(

)A．[6,+∞) B．[9,+∞) C．【答案】A【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】由題意知a,b為正數(shù)，且ab=a+b+3，所以ab=a+b+3≤a+b22，化簡得a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號，所以a+b∈[6,+∞)，故A正確.故選：A.3.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=1，則1x+4A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=1，由基本不等式得，1x當(dāng)且僅當(dāng)yx=4x故選：C4.設(shè)0<m<12，若1m+2A．16 B．2 C．8 D．1【答案】C【分析】根據(jù)條件推出2m+(1?2m)=1，即可將1m+21?2m化為【詳解】因?yàn)?<m<12，故則1=2(1?2m)當(dāng)且僅當(dāng)2(1?2m)2m=4m由于1m+2即k的最大值為8，故選：C5.(2024·湖南·模擬預(yù)測)(多選)已知a>0,b>0,a+b=ab，則(

)A．a(chǎn)+b≤4 B．a(chǎn)b≥4C．a(chǎn)+4b≤9 D．1【答案】BD【分析】利用基本不等式逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】解析：對于A和B，因?yàn)閍+b=ab≤a+b22，所以a+b≥4a+b=ab≥2ab，則ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2對于C，若a+b=ab，則1a所以a+4b=a+4b當(dāng)且僅當(dāng)ab=4b對于D，若a+b=ab，則1a所以1a由a>0,b>0及1a+1b=1即a=32,b=3時，1故選：BD．6.已知x>1，則x?1x2?2x+4【答案】3【分析】利用基本不等式求算式的最大值.【詳解】由x>1，得x?1>0，則x?1x當(dāng)且僅當(dāng)x?1=3x?1，即x=1+3時取等號，此時x?1故答案為：37.已知x，y都是正數(shù)，且2x(1)求2x+y的最小值；(2)已知不等式λx+2y≤3x+2y【答案】(1)9(2)λ≤24．【分析】(1)應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，并確定取值條件.(2)將問題化為λ≤3x+2y【詳解】(1)2x+y=2x+y當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2yx2(2)解法一：由題意知λ≤3x+2y因?yàn)閥=xx?2，x?2>0=3當(dāng)且僅當(dāng)9x?2=4x?2，即所以λ≤24．解法二：由2x+1y=1所以λ≤3x+2y2=9x當(dāng)且僅當(dāng)x+2y=xy>0，且9xy=4yx，即x=88.中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3