第11講 函數(shù)的奇偶性 2024-2025年新高一暑假自學(xué)課（學(xué)生版）

第11講函數(shù)的奇偶性1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象的對稱性；2.會用定義判斷函數(shù)的奇偶性；3.會依據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行簡單的應(yīng)用.1函數(shù)奇偶性的概念(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).(2)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=?f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).2性質(zhì)①偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱；②奇函數(shù)關(guān)于原點對稱；③若奇函數(shù)f(x)定義域內(nèi)含有0，則f(0)=0；④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．3判斷函數(shù)奇偶性的方法①定義法先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再求f(?x),看下與f(x)的關(guān)系：若f?x=f(x)，則y=fx是偶函數(shù)；若f②數(shù)形結(jié)合若函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).③取特殊值排除法(選擇題)比如：若根據(jù)函數(shù)得到f(1)≠f(?1)，則排除f(x)是偶函數(shù).④性質(zhì)法偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差(分母不為0)仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).對于復(fù)合函數(shù)Fxg(x)f(x)F偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

【題型一】定義法判斷函數(shù)的奇偶性相關(guān)知識點講解1函數(shù)奇偶性的概念(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).(2)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=?f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域I是關(guān)于原點對稱的.注①從定義可知，若x是函數(shù)定義域中的一個數(shù)值，則?x也必然在該定義域中．故判斷函數(shù)的奇偶性的前提是：定義域關(guān)于原點對稱．如fx②函數(shù)按奇偶性可以分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．從定義可知，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即f(x)=0，x2定義法判斷函數(shù)的奇偶性先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再求f(?x),看下與f(x)的關(guān)系：若f?x=f(x)，則y=fx是偶函數(shù)；若f【典題1】(2024·重慶·三模)設(shè)函數(shù)fx=2?x2+x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(A．fx?2+1 C．fx+2+2 變式練習(xí)1.下列函數(shù)是奇函數(shù)的是(

)A．fx=xC．fx=x2.(多選)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增的是(

)A．y=x2?1 B．y=x?2 C．y=【題型二】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)相關(guān)知識點講解①偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱；②奇函數(shù)關(guān)于原點對稱；③若奇函數(shù)f(x)定義域內(nèi)含有0，則f(0)=0；證明∵f(x)為奇函數(shù)，∴f?x令x=0，則f?0=?f(0)，即f0④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．【典題1】函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．【典題2】若函數(shù)fx=x2x?1x+aA．12 B．23 C．3變式練習(xí)1.函數(shù)fx=xA．y軸對稱 B．直線y=?x對稱 C．坐標(biāo)原點對稱 D．直線y=x對稱2.fx是定義在R上的奇函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是(

A．f?x+fxC．f?x?fx3.函數(shù)f(x)=3xx2A．

B．

C．

D．

4.已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b為奇函數(shù)，則b=A．?1 B．0 C．1 D．25.(2024·山東·二模)已知函數(shù)fx是偶函數(shù)，且該函數(shù)的圖像經(jīng)過點M2,?5，則下列等式恒成立的是(A．f?5=2 C．f?2=5 6.設(shè)函數(shù)fx=ax3?x?3+a，若函數(shù)A．?1 B．0 C．1 D．2【題型三】利用奇偶性求解析式【典題1】已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時，fx=3x2?2x+m，則A．1 B．8 C．?5 D．?16變式練習(xí)1.已知偶函數(shù)fx，當(dāng)x>0時，fx=x2+x，則當(dāng)A．?x2+xB．?x2?x2.已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx=ax+1，若f?3=8A．?∞，?5C．?∞，?53.已知fx,gx分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且fx?gA．1 B．3 C．?3 D．?14.已知函數(shù)y=fx在R上是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx=2xA．?1,1 B．?1,0C．?∞,?1∪5.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=x3?a+1x+a，則關(guān)于x6.設(shè)函數(shù)fx=x+12+x2021【題型四】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合【典題1】若定義在?∞,0∪0,+∞上的奇函數(shù)fx，對任意x1>xA．?2,0∪0,2 C．?∞,?2∪【典題2】(2024·山東濟(jì)南·二模)已知函數(shù)fx的定義域為R，若f?x=?fx,fA．0 B．1 C．2 D．3【典題3】已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(1)求函數(shù)fx(2)若f2a?1+f4a?3變式練習(xí)1.如果奇函數(shù)fx在2,5上是減函數(shù)且最小值是4，那么fx在?5,?2上是(A．減函數(shù)且最小值是－4 B．減函數(shù)且最大值是－4C．增函數(shù)且最小值是－4 D．增函數(shù)且最大值是－42.奇函數(shù)fx在3,7上是增函數(shù)，在3,6上的最大值是8，最小值為?1，則2f?6+fA．?5 B．?10 C．?15 D．53.已知函數(shù)fx=x3+x?1A．a(chǎn)+b<0 B．a(chǎn)+b>0 C．a(chǎn)?b+1>0 D．a(chǎn)+b+2<04.(多選)已知fx是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈0,+∞時，fA．fB．fx的遞增區(qū)間為C．fx的遞減區(qū)間為D．若fx在區(qū)間0,m上的值域為?1,0，則實數(shù)m的取值范圍為5.(多選)已知函數(shù)fx的定義域為R，fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，且對任意的x1,x2A．fx是奇函數(shù) B．C．fx的圖象關(guān)于1,0對稱 D．6.已知偶函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞減，若fx?2>f3，則7.(2024·廣東佛山·二模)已知定義在R上的偶函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞減，且f1=2，則滿足fx8.已知函數(shù)fx=x(1)判斷并證明函數(shù)fx在0,+(2)令函數(shù)?x=x2+1x9.已知函數(shù)fx=x(1)判斷函數(shù)fx(2)用定義法證明：函數(shù)fx在?2,2(3)求不等式ft【A組基礎(chǔ)題】1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間0,+∞上是減函數(shù)的是(

A．y=x B．y=x3 C．y=2.已知函數(shù)fx=a?12xA．12 B．?12 3.已知函數(shù)fx的定義域為R，且fx?f2?x=0，fA．?1 B．0 C．1 D．24.在R上定義的函數(shù)fx是偶函數(shù)，且fx=f2?x，若fx在區(qū)間1,2A．在區(qū)間0,1上是增函數(shù)﹐在區(qū)間3,4上是增函數(shù)B．在區(qū)間0,1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)C．在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)D．在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)5.(多選)已知函數(shù)y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，則下列說法正確的是(

A．fB．fC．若fx在?∞,0上有最小值?2，則fD．若fx在?∞,0上單調(diào)遞增，則f6.已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=?x57.奇函數(shù)fx滿足f4?x=fx8.已知函數(shù)fx=x+a(1)求實數(shù)a和b；(2)判斷并證明函數(shù)fx在(1,+9.已知fx為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(1)求f?1的值；(2)求fx的解析式．(3)寫出解不等式【B組提高題