人教版高中數(shù)學(xué)必修二第八章第3節(jié)《簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》解答題訓(xùn)練 (29)(有解析)

第八章第3節(jié)《簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》解答題訓(xùn)練(29)

一、解答題(本大題共20小題，共240.0分)

1.如圖，AB為圓。的直徑，點(diǎn)E,F在圓。上，矩形ABC。所在平面和圓。所在平

面互相垂直，已知48=2,EF=1,

C

AF

(1)求證：平面力DF1平面BCF

(2)若幾何體F-BCE和幾何體F-4BCD的體積分別為匕和彩，求匕:V2

2.已知在四棱錐P-4BCO中，PD1^ABCD,AD1DC,AB//DC,DC=2AB,Q為PC的中點(diǎn).

AB

(1)求證;BQ〃平面PHD;

(2)若PO=3,BC=試在線(xiàn)段PC上確定一點(diǎn)S,使得三棱錐S-BCO的體積為|

3.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-4避傳1。1中，AB=BC=痘,AAt=2.

(1)求證：直線(xiàn)〃平面AC/;

(2)已知三棱錐。［-BCD的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，求該球的體積.

4.如圖，在直三棱柱48。一4當(dāng)6中，D,E分別是8C,當(dāng)口的中點(diǎn).

C,

(1)求證：平面4EB〃平面ADC1；

(2)若BC=4C=2,AD=6CCX=3,求三棱錐4一&CC的體積.

5.如圖1,在直角梯形A8CC中，/.ADC=90°,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,WAACDiQ

AC折起，使平面ACC，平面ABC,得到三棱錐D-ABC,如圖2所示.

D

(1)求證：BCJL平面ACD;

(2)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.

6.如圖，在正方體ABCD-AiBiGA中，E,尸分別是CD的中點(diǎn).

(1)證明：AD1DjF;

(2)證明：平面4ED，平面4/5；

(3)設(shè)=2,求三棱錐E-尸的體積.

7.如圖，在圓錐中，A8、CQ為底面圓的兩條直徑,4BnC。=O,SLABLCD,

P為SB的中點(diǎn)，SO=PB=2.

(I)求證：SA〃平面PCD；

(II)求該圓錐的表面積.

8.如圖1,在矩形ABCO中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，BE=2EC.把△B4E沿AE翻

折至的位置，為史平面AEC。，連結(jié)B】D,點(diǎn)尸在線(xiàn)段DB1上，DF=2FBi，如圖2.

(1)當(dāng)平面BiAE，平面AECC時(shí)，求三棱錐4-ADE的體積；

(2)證明：CF〃平面BiAE.

9.如圖，在正四棱柱ABCO-4&6以中，點(diǎn)E是側(cè)棱44］上一點(diǎn)且8E1EC「

(1)求證：平面BCE1平面&C1E;

(2)若E是棱力兒的中點(diǎn)，且4。=2,求四棱錐E-CGDiD的體積.

10.如圖，已知點(diǎn)P為正方形A8CD所在平面外一點(diǎn)，△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E是線(xiàn)

段尸。的中點(diǎn)，平面P40，平面ABCD.

(1)證明：〃平面AEC；

(2)求三棱錐P-AEC的體積.

11.如圖，在所有棱長(zhǎng)都為4的四棱柱4BC。一48也1。1中，底面ABC。是菱形，且外在底面ABC。

上的射影是BD的中點(diǎn)。，^BAD=60°.

AEC

(I)證明：&G_LBDi；

(即若后是加久的中點(diǎn)，求三棱錐B-4CE的體積.

12.正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為3和9.

(1)若側(cè)棱所在直線(xiàn)與上、下底面正方形中心的連線(xiàn)所成的角為45。，求棱臺(tái)的側(cè)面積;

(2)若棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.

13.已知三棱柱ABC-aB1G如圖所示，其中平面平面以「直線(xiàn)力為與平面ABC所成角為

30°,NA41c=乙ACB=90°,AC=2BC,點(diǎn)何在線(xiàn)段上.

⑴求證：AA1LA1B-,

(2)若BC=2遮，三棱錐&-BCM的體積為6,求金生的值.

MB1

14.如圖為一個(gè)健身啞鈴，它是由兩個(gè)全等的大圓柱和中間一個(gè)連桿圓柱構(gòu)成的，已知大圓柱的底

面半徑為6cm,高為2cm,連桿圓柱的底面半徑為2cm,高為8cm.

(1)求該健身啞鈴的體積;

(2)求該健身啞鈴的表面積.

15.如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,BC1CD,CD=2AB=2A/3，^ADC=45°,梯形繞

著直線(xiàn)AB旋轉(zhuǎn)一周.

⑴求所形成的封閉幾何體的表面積;

(2)求所形成的封閉幾何體的體積.

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4,PD1CD,PD1AD,底面ABC。為正方形，M.N

分別為4),PD的中點(diǎn).

p

(1)證明：PA〃平面AWC；

(2)求三棱錐P-MNC的體積.

17.如圖，在長(zhǎng)方體4BCD-A/iGDi中，仞為BiQ中點(diǎn).

(1)求證：平面BDiM；

(2)若441=4D=2,AB=2近,求點(diǎn)A到平面B&M的距離.

18.已知半徑為R的球有一內(nèi)接圓柱，求該圓柱的側(cè)面積的最大值和表面積的最大值。

19.2022年北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館一一國(guó)家速滑館的設(shè)計(jì)理念來(lái)源于一個(gè)冰和速度結(jié)合的創(chuàng)意，沿

著外墻面由低到高盤(pán)旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運(yùn)動(dòng)員高速滑動(dòng)時(shí)留下的一圈圈風(fēng)馳

電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會(huì).其中“冰絲帶”呈

現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動(dòng)感，體現(xiàn)了冰上運(yùn)動(dòng)的

速度和激情.這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，其設(shè)計(jì)參數(shù)包括曲率、撓率、

面積、體積等.對(duì)幾何圖形的面積、體積計(jì)算方法的研究在中國(guó)數(shù)學(xué)史上有過(guò)輝煌的成就，如(f

九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來(lái)推導(dǎo)球的體積公式，但由于不能計(jì)

算牟合方蓋的體積并沒(méi)有得出球的體積計(jì)算公式.直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖曬父子在(T

綴術(shù)》提出祖唾原理：“事勢(shì)既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公

式.原理的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體

的體積相等.

(1)利用祖曬原理推導(dǎo)半徑為R的球的體積公式時(shí)，可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體幾何體例的

底面半徑和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面a內(nèi).設(shè)與平面a平行且距離為d的平面口截

兩個(gè)幾何體得到兩個(gè)截面，請(qǐng)?jiān)趫D②中用陰影畫(huà)出與圖①中陰影截面面積相等的圖形并給出證

明；

(2)現(xiàn)將橢圓捻+3=l(a>b>0)所圍成的橢圓面分別繞其長(zhǎng)軸、短軸旋轉(zhuǎn)一周后得到兩個(gè)不同的

橢球A,B(如圖)，類(lèi)比(1)中的方法，探究橢球4的體積公式，并寫(xiě)出橢球A,B的體積之比.

B

20.如圖1,在平行四邊形ABCM中，AB=2BC=473./ABC=60。，。為C歷的中點(diǎn)，沿將

△MAD翻折到△PAD的位置，如圖2,點(diǎn)尸在平面ABC。內(nèi)的正投影點(diǎn)F在AC上，〃在AO上，

HF〃平面PBD.

(1)證明：H為AQ的中點(diǎn).

(2)求B到平面處。的距離.

【答案與解析】

1.答案：(1)證明：由己知得，平面ABCD_L平面43EF,

在矩形ABCQ中，CBLAB,又平面4BC0n平面4BEF=

AB,CBABCD,

CB，平面ABEF.

■：AFu平面ABEF,CBLAF.

又A8為圓。的直徑，:4FJ.BF.

vCBCBF=B,CBu平面CBF,BFu平面CBF,

AF_L平面CBF.

而/Fu平面D4F,.?.平面4DF，平面BCF；

(2)解：過(guò)點(diǎn)F作FH1AB,垂足為H,

???平面ABC。_L平面ABEF,且平面4BC0n平面4BEF=AB,

FHJ_平面ABCD,

二匕=VF-BCE=VC-BEF=*XEFXEHXBC=*HXBC.

14

V2=VF-ABCD=：XABxBCxFH=^xBCxFH.

二匕：V2=l：4.

解析：本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求多

面體的體積，是中檔題.

(1)由已知利用平面與平面垂直的性質(zhì)可得CB1平面ABE凡得到CB1AF,再由48為圓。的直徑，

得AF1BF,然后利用直線(xiàn)與平面垂直的判定可得4FJ■平面CB凡進(jìn)一步得到平面ADF_L平面BCF；

（2）過(guò)點(diǎn)尸作FH1AB,可得FH1平面ABCD,分別寫(xiě)出幾何體尸-BCE和幾何體F-2BCD的體積,

則答案可求.

2.答案：證明：（1）取的中點(diǎn)為G,分別連接AG,QG,

又因?yàn)椤镻C的中點(diǎn)，所以GQ〃0C,且GQ=：DC,

又因?yàn)锳B〃DC,DC=2AB,

所以GQ//4B,GQ=AB,

所以四邊形ABQG是平行四邊形，

所以即〃4G,

又BQ/平面PAD,AGu平面PAD,

所以8Q〃平面PAD.

P

解：（2）因?yàn)樵谒倪呅蜛BC。中，AB//DC,AD1DC,DC=2AB,

所以點(diǎn)B在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)上，

又因?yàn)?BCLBD,

所以BD=BC=&，

所以△BCD的面積S=1xV2xV2=1,

設(shè)點(diǎn)S到平面ABCD的距離為h,

所以：x1x無(wú)=|,

所以八=2,

又PD1平面ABCD,

所以點(diǎn)S在線(xiàn)段PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)處.

解析：本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定，三棱錐體積公式，考查了空間想象能力與計(jì)算能力，屬于

中檔題.

(1)取尸。的中點(diǎn)為G,分別連接AG,QG,由題意，推導(dǎo)出BQ〃4G,則可得證明8Q〃平面PAQ；

(2)由題意，可得點(diǎn)8在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，從而可求出△BCD的面積S,設(shè)點(diǎn)S到平面

的距離為力，根據(jù)(Sh=|,從而可求出，進(jìn)而可得點(diǎn)S在線(xiàn)段PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)處.

3.答案：解：(1)在長(zhǎng)方體48。。一公當(dāng)口。1中，

因?yàn)锽e//［。］,BC=A1D1,

所以四邊形&BCD1是平行四邊形，

所以又為BC平面AC%,CDru平面ACQ,

所以直線(xiàn)4$〃平面ACD「

(2)因?yàn)槿忮F久-BCO的所有頂點(diǎn)所在的球面與長(zhǎng)方體4BCD-&B1GD］的八個(gè)頂點(diǎn)所在的球面

相同，

該球的直徑2R=BDLy/AB2+BC2+AA1=,3+3+4=VlO-

所以半徑/?=叵.

2

所以所求球的體積為1/=皿=皿亞.

33

解析：本題主要考查了球的體積公式，以及線(xiàn)面平行的判定定理，屬于中檔題.

(1)在長(zhǎng)方體ABCD-&B1GD1中證明四邊形AiBCDi為平行四邊形，則有&B〃CDi即可證明；

(2)由題意可得三棱錐久的外接球與長(zhǎng)方體外接球是同一個(gè)，則只需求長(zhǎng)方體外接球即可.

4.答案：證明：(1)連接OE.

???在直三棱柱48C-4B1G中，D,E分別是BC,aG的中點(diǎn)，

CD〃GE且CD=GE,.?.四邊形CDEG是平行四邊形.

DE/fCC^DE=CCr.

.又A41//CC1且=CC、，：.DE//AAX&LDE=AAX,

四邊形ADE&是平行四邊形，.?.&E〃2D.

又ADu平面力DC1，C平面4DG，&E〃平面

同理可證，BE〃平面4DC］.

乂A1ECBE=E,&Eu平面4骸，BEu平面&E8,

二平面4EB〃平面

解：(2)在A/ICO中，CD=1,AC=2,AD=小,

222

cosZ-ACDAC+CD-AD,--——1

2AC-CD2

???Z,ACDG(O,TT),sin^ACD=y.

???S^ACD=\AC-CDsin^ACD=y.

__1

"匕-CiCD=^Ct-ACD=§SAACD-CC]

解析：本題考查面面平行的判定，三棱錐的體積求法，等體積法的運(yùn)用，涉及三角形面積公式，余

弦定理，線(xiàn)面平行的判定，屬中檔題.

(1)利用中位線(xiàn)定理結(jié)合線(xiàn)面平行的判定證明線(xiàn)面平行，再利用面面平行的判定方法證明面面平行即

可.

(2)利用余弦定理和同角三角關(guān)系，三角形面積公式求出三角形AC。的面積，再利用等體積法求出

答案.

5.答案：證明：(1)由題意，^\AC=BC=2V2.AC2+BC2=AB2,

:.AC1BC,

如圖，取線(xiàn)段AC的中點(diǎn)。，連接。。，

vAD=CD,ADO1AC.

?.?平面ACD1平面ABC,平面ACD0平面ABC=AC,DOu平面ACD,

：.DO，平面ABC,DO1BC.

vACODO=0,：.BCJL平面ACD.

(2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h.

由(1),可知BCJ■平面ACD,BC1AD.

由已知，得AD1CD,ADBCD,AD1.BD.

：.S—BD=1-AD-BD=^X2X>/AB2-AD2=V16-4=273.

由(1),可知DOJ■平面ABC,DO=V2,S^ABC=1-?1C-BC=X2A/2X2A/2=4.

^C-ABD=^D-ABC'"3'hABD.八=1'^hABC'。°，

A2y/3h=4XV2>解得/l=卷

???點(diǎn)C到平面ABD的距離是壁.

3

解析：本題通過(guò)平面圖形折疊后得立體圖形，考查空間中的垂直關(guān)系，重點(diǎn)是“線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面垂

直，面面垂直”的轉(zhuǎn)化；等積法求體積，也是常用的數(shù)學(xué)方法，為中檔題.

(1)由題中數(shù)量關(guān)系和勾股定理，得出4C1BC,再證BC垂直與平面4CD中的一條直線(xiàn)即可，△ADC

是等腰心△,底邊上的中線(xiàn)0。垂直底邊，由面面垂直的性質(zhì)得_L平面ABC,所以O(shè)O_LBC,從

而證得BC_L平面ACD-,

(2)設(shè)點(diǎn)C到平面48。的距離為〃，由(1)得BC，平面ACO,從而得BCJ.力D,又4C1CD,得4。，

平面BCD,即力D1BD,從而算出SUB。，由(D得S-BC，利用％-ABD=%-ABC，即可求出九

6.答案：解：⑴?.TBCD-&B1C1D1是正方體，二力。1平面DCCiO「

又D[Fu平面。AD1DrF.

(2)如圖，取A8的中點(diǎn)G,連接GF,&G,

1

c

貝ijAAArG=△BAE,/.AGAy=Z.BEA,

???乙BAE+Z.AGAj=/-BAE+Z.BEA—90°,AE1ArG.

?DJ11A[G,DXF1AE.

又由(1)知D1F14D,?.?AEu平面AEQ,ADAED,AEC\AD=A,

0/1平面AED.

又￡\Fu平面A/D1，

.,?平面AEDJ?平面

(3"三棱曲-MF=V三棱錐F-AA、E，

???FG，平面4BB1%即FG_L平面44百

.?.三棱錐尸-4&E的高為FG=AAr=2,

SA4A[￡=-x22=2,

"V三棱錐E-AA、F=V三棱錐F-AA、E~3'FG'S^AA^E=3-

解析：本題考查證明線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直的方法，求棱錐的體積，證明aF1面是

解題的關(guān)鍵.

(1)由正方體的性質(zhì)可得4。J_平面DCC15，故ADIDrF.

（2）取AB的中點(diǎn)G,連接GF,4G,得出AE_LD】F,再得出D/lAE,證得。1尸_L面AED,從而證

得面AEDJM4iFD「

VFG

(3)先得出三棱錐F-44E的高FG=AA1=2,由匕海姬-4&F=^^-AAiE=-=5

求得結(jié)果.

7.答案：解：（I）;P、。分別為SB、AB的中點(diǎn),

APO//SA,

又”P(pán)Ou平面PCD,S4C平面PCD,

：.S4〃平面PCD.

（口）???P為SB的中點(diǎn)，S0=PB=2,

SB=4,

二底面圓的半徑r=V42-22=2V3.

S底面=nr2—12TT,S網(wǎng)施=nr-SB=nx2A/3x4=8V3TT.

;該圓錐的表面積S=12/r+8V3TT=（12+8V3）?r.

解析：（I）利用三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)可證P0〃S4根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明SA〃平面

PCD.

（H）由已知可求SB=4,進(jìn)而可求底面圓的半徑r,求得s底而=e2,sfiJjg=nr-SB,即可得解該

圓錐的表面積.

本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定，考查了圓錐的表面積的求法，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

8.答案：解：（1）取AE的中點(diǎn)0,連結(jié)當(dāng)0,依題意得B1014E,%工

???平面/4E1平面AECD,平面Bi4En平面4ECD=AE,/\

B101AE,B10u平面BiAE,:.B1。_L平面AECD,

在RtAABiE中，ABy=BrE=2,得/。=e.

EC

*e?-AED=1S“EO,B]0=-x-x3x2xV2=V2；

證明：（2）依題意得，在矩形A8CQ中，AB=2,BC=3,BE=2EC,

：.AD=3,EC=1,在線(xiàn)段上取一點(diǎn)M,滿(mǎn)足4M=2M/,公

又*DF=2FB1,筆=嚼,散FM//AD,A\Y\

又???EC//AD,???EC//FM,

???FM=^AD=1,EC=FM,則四邊形FMEC為平行四邊形，得CF//EM,

又???CFC平面&4E,EMu平面&4E,二CF〃平面&4E.

解析：(1)取AE的中點(diǎn)0,連結(jié)當(dāng)0,得B10L4E,再由已知結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)可得當(dāng)。_L

平面AECD,求解三角形求得B10,再由棱錐體積公式求三棱錐當(dāng)-4DE的體積；

(2)由已知證明尸進(jìn)一步得到EC〃FM,再證明EC=FM,得四邊形FMEC為平行四邊形，

則CF〃EM,然后利用直線(xiàn)與平面平行的判定可得CF〃平面&4E.

本題考查多面體體積的求法，考查線(xiàn)面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

9.答案：(1)證明：在正四棱柱ABCD-中，

易知BiG1側(cè)面且BEu平面44道避，

可得BiQ1BE,

又BElECi，且BiGnEG=G，BG，Et^u平面8道出，

所以得BE，平面&GE,又因?yàn)锽Eu平面BCE,

故平面BCE_L平面≥

(2)解：如圖，在正四棱柱4BC0-4iBiCiDi中，由于AB,AD,兩兩互相垂直，

又因?yàn)镋是棱A①的中點(diǎn)，且4。=2,從而知正四棱柱的上、下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，

設(shè)4E=%=t,由(1)知5E1平面々GE,

則得BElEBi，且BE=EB[=Vt?+4,而B(niǎo)B】=2t,

2

由勾股定理得BE?+EBl=BBl，即得2?2+4)=(2t),解得t=2(取正)，即AE=EAr=2,

則側(cè)棱長(zhǎng)。。1=BB、=4.

過(guò)E作EHlZWi于H,貝ijEHJ"平面且EH=4D=2,

于是力-CCMM=30C?DD^EH=[x2x4x2=g,

即四棱錐E-”也0的體積為容

解析：本題考查立體幾何中的線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直以及幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題，涉及了

數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

(1)通過(guò)證明BE1平面BiGE,得出平面8CE1平面&GE；

(2)依題意，知正四棱柱的上、下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，設(shè)4E=EAr=t,由(1)知BE_L平面當(dāng)。止,

結(jié)合勾股定理，可得出f的值，從而得出AE,Ea的長(zhǎng)，得出側(cè)棱長(zhǎng)。劣=BB]=4,過(guò)E作EH1DDr

于H,貝平面CC1AD,且EH=AD=2,再根據(jù)棱錐的體積公式，可得出結(jié)果.

10.答案：(1)證明：連接BQ,設(shè)8。n4C=。，連接。E,

因?yàn)榈酌鍭BCO是矩形,

所以。為8。的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋是尸。的中點(diǎn)，

所以0￡為4P8D的中位線(xiàn)，

所以。E〃PB,

因?yàn)镻BC平面AEC,OEu平面AEC,

所以PB〃平面4EC；

(2)解：在正方形A8CD中，CDLAD,

又因?yàn)槠矫鍼ADD平面4BC。=AD,

且平面24。1平面ABCD,所以CO1平面PAD,

因?yàn)榱Α榈冗吶切?，且E為線(xiàn)段PO的中點(diǎn)，

所以S“4E="MAD=|x：x2x2x苧=爭(zhēng)

所以%-4EC=^C-PAE=j^APAE-CD=§X,X2=f.

解析：本題考查線(xiàn)面平行的判定和棱錐的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于

中檔題.

(1)連接2D,設(shè)B。C4C=0,連接OE,由三角形的中位線(xiàn)定理和線(xiàn)面平行的判定定理，即可得證；

(2)由面面垂直的性質(zhì)定理，可得CD1平面PA。，再由等積法和棱錐的體積公式，計(jì)算可得所求值.

11.答案：解：(I)證明：如圖，連接AC.

???四邊形ABC。是菱形，AC1BD于點(diǎn)0.

■:AO_L平面ABCD,ACu平面ABCD

AC1Z）i。.

又DpCBD=0,。1。，BOu平面BOOi

AC1平面Bg,

又BDiu平面BOD1

???AC1BDr.

又在四棱柱4BCO-4/iCiDi中，AC//A^,^A^LBD1.

（口）：在四棱柱4BCD中，GA〃平面ABCD

又E是GDi的中點(diǎn)，必。1平面ABC。，

???點(diǎn)F到平面ABCD的距離為JO.

又四棱柱的所有棱長(zhǎng)為4,NBA。=60。,

BD=4,AC=4V3，-OD2=V42-22=2V3>

,1,VB-ACE=^E-ABC—扣1。,S0ABC=1X2V5X1x4V5x2=8.

解析：本題考查線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)、等體積法求體積，屬于一般題.

(I)由已知條件證得AC_L平面BDD1，即可得到&G1BD1：

(H)根據(jù)題意和等體積法將所求三棱錐的體積轉(zhuǎn)換為三棱錐E-4BC的體積，再把相應(yīng)的棱長(zhǎng)代入體

積公式求解即可.

12.答案：解：(1)如圖,設(shè)0八。分別為上、下底面的中心,

過(guò)G作GEJ.4C于E,過(guò)E作EFJ.BC于尸，

連接C/,則GF為正四棱臺(tái)的斜高,

由題意知NGC。=45。，CE=CO-EO=CO-C］?！?yx(9-3)=3癥,

EF=CE-sin45°=3A/2X—=3.

又2

二斜高GF=〃國(guó)2+EF2=J(3際2+32=3顯,

，S頗=gx(4x3+4x9)x3v5=72v5；

(2)由題意知，S上屆+S榷=32+92=90,

***—x(3+9),ft斜x4=90,

-90-x-2=—15又EF=『=3,仁J嘮-EF2.

12X44

解析：本題考查了多面體(棱柱、棱錐、棱臺(tái))及其結(jié)構(gòu)特征和棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積.屬于中

檔題.

(1)利用正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合棱臺(tái)的側(cè)面積公式計(jì)算得結(jié)論；

(2)利用正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，求得斜高，進(jìn)而得出結(jié)果.

13.答案：(1)證明：???平面4BC_L平面ACG4,

平面4CG&n平面力BC=AC,BC1AC,BCu平面ABC,

BC，平面4CC1a,

AAru平面ACCiAi，

BC1AA1；

又???=90。，AAi1ArC,而B(niǎo)Cn4iC=C,BC,&Cu平面&BC；

AAy_L平面a/c；

又???4/u平面4BC；

???AAy1AXB\

(2)由(1)可知，/Mi，平面AiBC,BB、11AA「

BB11平面48C；

易知"i在底面ABC上的射影就是AC,所以就是直線(xiàn)44i與底面ABC所成的角，且乙4/C=

30°,

AC=4-73>

???ArA=6.BB]=6,AtC—2V

則SA*C=；X2WX2W=6；

設(shè)點(diǎn)M到平面4BC的距離等于h,

則以1-BCM=^M-A^BC=孑X6X/l=6,

h=3,所以=

所以點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，

從而饋=1為所求.

解析：本題考查線(xiàn)面垂直的判定、直線(xiàn)與平面所成角以及棱錐的體積，屬于中檔題；

(1)先證441_L平面&BC,又u平面&BC；證得44114B；

(2)設(shè)點(diǎn)M到平面&BC的距離等于/?,利用以「BCM=九.ABC，即可求解；

14.答案：解：(1)設(shè)該健身啞鈴的體積為匕V=如大圓柱+丫連桿，2々?倒柱=兀?6??2?2=144兀，

V超存二71r.22x8=32兀，因此，該健身啞鈴的體積為1/=144兀+32兀=176兀皿3；

(2)設(shè)該健身啞鈴的表面積為S,S=2s大圓柱一2S連桿底面*S連桿側(cè)面積,

2s大圓柱=7T-62-4+2;r-6-2?2,2s連桿底面=2-n-22,S連桿側(cè)面積=2n-2-8,

則S=7T?62?4—2?兀?22+2兀?6?2?2+2兀?2?8=216ncm2.

解析：本題考查組合體表面積與體積的計(jì)算，解題關(guān)鍵就是要弄清組合體的構(gòu)成，考查空間想象能

力，屬于中檔題.

(1)啞鈴的體積等于兩個(gè)大圓柱和一個(gè)連桿圓柱(位于中間部分)的體積之和，即可得出結(jié)果；

(2)啞鈴的表面積等于兩個(gè)大圓柱的表面積與連桿圓柱(位于中間部分)側(cè)面積之和減去連桿圓柱兩

個(gè)底面積，即可得出結(jié)果.

15.答案：解：依題意旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體可以看作一個(gè)圓柱中挖去了一個(gè)圓錐后形成的，

(1)其表面積S=圓柱側(cè)面積+圓錐側(cè)面積+圓柱底面積

127r+3V27T+3亢=（15+3遮）〃?

(2)其體積V=圓柱體積-圓錐體積

=6V37T—V3TT=5V3TT.

解析：本題考查了圓柱、圓錐的表面積和體積，是基礎(chǔ)題.

(1)依題意旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體可以看作一個(gè)圓柱中挖去了一個(gè)圓錐后形成的，直接由表面積公式計(jì)

算即可；

(2)由體積了=圓柱體積-圓錐體積，計(jì)算可得.

16.答案：(1)證明：因?yàn)镸,N分別為AD,尸￡＞的中點(diǎn)，

所以24〃MN,

又因?yàn)镻A仁平面MNC,MNu平面MNC,

所以P4〃平面MNC;

(2)???四邊形A8CD為正方形，

AD1CD,

又PDLCD,AD.PDcipffiPAD,ADnPD=D,

CD1平面PAD,

111111

■:S〉PMN=3sNDM=￡x5xPD.DM=-x4xl=l,/.VP^MNC=VC-PMN=-S^PMN.CD=-x1x

2=-.

解析：本題考查了線(xiàn)面平行的判定、線(xiàn)面垂直的判定，考查利用空間向量求線(xiàn)面的夾角的正弦值,

屬于中檔題.

(1)根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理即可求證；

(2)根據(jù)已知及線(xiàn)面垂直的判定定理可得CD，平面PAD,再利用等體積法及棱錐的體積公式求解.

17.答案：(1)證明：連接4G交BO】于點(diǎn)。，則。為AQ中點(diǎn)，連接0例，

又“為BiG中點(diǎn)，故0M為A/lBiCi的中位線(xiàn)，故0M〃/IB1，

又OMu平面BDi”,C平面BAM,

所以〃平面BAM.

(2)解：由(1)知，4/〃平面BDiM,則4到平面BDiM的距離與&到平面BDiM的距離相等，

連接D1B［故UDI-BBIM=

又AOiMB中，=3,BM=V5>BC1=4.

DM2+BD2-BM29+16-55

由余弦定理知:cosZ-MDB=11

12O1MBO12X3X46

2

則sin/MDiB=yjl-COS/LMDXB=華,

故SAB〃M=?|D】M|?sinzMDfi=VIL

故Bi到平面的距離d=罷辭=第=等,

即點(diǎn)A到平面的距離為誓.

解析：本題考查了線(xiàn)面平行的判定和空間中的距離，是基礎(chǔ)題.

(1)連接4G交BDi于點(diǎn)O,則。為4G中點(diǎn)，連接0M,由中位線(xiàn)得〃/IB1，由線(xiàn)面平行的判定

即可得證；

（2）4當(dāng)〃平面8D1M,則4到平面BDi"的距離與當(dāng)?shù)狡矫鍿QM的距離相等.由％廣880=

利用等體積法可得點(diǎn)A到平面BAM的距離.

底面半徑為r,側(cè)面積為S,

則C）2+"=R2

即八=2JR2一產(chǎn)

vS=2nrh=4nr-yJR2-r2

—4兀〃2.（R2一/）

<4TTR+R^-R,=2n7?2,

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=/?2一產(chǎn)時(shí)取等號(hào),

此時(shí)內(nèi)接圓柱底面半徑釁R,高為血

解析：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接圓柱的知識(shí)，球的表面積，圓柱的側(cè)面積的最大值的求法，考

查計(jì)算能力，?？碱}型.

設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為r,側(cè)面積為S,則S=4zrjr2.（一一產(chǎn)）,利用基本不等式求最值即

可.

19.答案：解：（1）由圖可知，圖①幾何體的為半徑為R的半球,

圖②幾何體為底面半徑和高都為R的圓柱中挖掉了一個(gè)圓錐，

與圖①截面面積相等的圖形是圓環(huán)（如陰影部分），

證明如下：

在圖①中，設(shè)截面圓的圓心為。1，易得截面圓0