11.6二重積分的計(jì)算-副本

高等數(shù)學(xué)主講人

宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分11.6二重積分的計(jì)算本講概要如果積分區(qū)域D為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、在直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分1.x型區(qū)域曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱體的底為X型區(qū)域：任取平面截面積為截柱體的曲頂柱體體積的計(jì)算故曲頂柱體體積為如果積分區(qū)域D為：2.y型區(qū)域在直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分：且在D上連續(xù)時(shí)

1.若D為

x型區(qū)域

2.若D為y型區(qū)域計(jì)算二重積分的步驟：1.畫(huà)出積分區(qū)域

D

2.根據(jù)D的特點(diǎn)，選擇積分次序3.4.若D為x

型區(qū)域

若D為y型區(qū)域先對(duì)y積分，后對(duì)x積分先對(duì)x積分，后對(duì)y積分計(jì)算二重積分的基本思想，將其化成兩次定積分。1.若積分區(qū)域既是x型區(qū)域又是y型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有2.若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干x型區(qū)域或y型區(qū)域,則說(shuō)明:例1計(jì)算二重積分其中

D

是由直線圍成的矩形區(qū)域。例2計(jì)算二重積分其中

D

是由直線圍成的區(qū)域。例3計(jì)算二重積分其中

D

是由拋物線圍成的區(qū)域。解

求交點(diǎn),解方程組為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,得交點(diǎn)坐標(biāo)(1,-1),(4,2)。畫(huà)出積分區(qū)域。表示成y型區(qū)域例5計(jì)算解:由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對(duì)x

積分不行,交換二次積分的積分次序的步驟：1、根據(jù)已給的二次積分的積分限用不等式表示區(qū)域D，并畫(huà)出D的圖形。2、根據(jù)D的圖形將D用另一種表達(dá)式來(lái)表示，以確定改變積分次序后的積分限。把所給的二次積分化成另一種二次積分。例6.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則例8.計(jì)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,引例：計(jì)算解：先求曲線的交點(diǎn)二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分極坐標(biāo)：若將直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)取為極點(diǎn)，軸的正半軸取為極軸。設(shè)直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)稱為極坐標(biāo)的極徑。稱為極坐標(biāo)的極角。二重積分中被積函數(shù)把由極軸出發(fā)逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。兩坐?biāo)系中變量間關(guān)系：求極坐標(biāo)下的積分元素在極坐標(biāo)系下,用射線

=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,及同心圓r=常數(shù),的表示方法。小區(qū)域的面積由圖可知：分劃區(qū)域D為即對(duì)應(yīng)有在內(nèi)取點(diǎn)嚴(yán)格的推導(dǎo)：二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖例1：將化成極坐標(biāo)下的二重積分。例1：將化成極坐標(biāo)下的二重積分。3.例1：將化成極坐標(biāo)下的二重積分。4.例1：將化成極坐標(biāo)下的二重積分。例2：計(jì)算解：求曲線的交點(diǎn)例3.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.注:利用例3可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例3的結(jié)果,得①故①式成立.例4.計(jì)算其中D

為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.例5：計(jì)算解：先畫(huà)D域解例6例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對(duì)稱性可知例8.計(jì)算二重積分其中

D為圓域解:

利用對(duì)稱性.解：積分域是圓域，關(guān)于x,y軸對(duì)稱例9.內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形

:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t極坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t極坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫(huà)出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫(xiě)出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量