江蘇南通中學2025屆高一下數(shù)學期末綜合測試模擬試題含解析

江蘇南通中學2025屆高一下數(shù)學期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．2．橢圓中以點M(1，2)為中點的弦所在直線斜率為（）A． B． C． D．3．若,則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．4．已知函數(shù),則在上的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．5．已知三棱錐O-ABC，側棱OA,OB,OC兩兩垂直，且OA=OB=OC=2，則以O為球心且1為半徑的球與三棱錐O-ABC重疊部分的體積是（）A．π8 B．π6 C．π6．設集合A={x|x≥–3}，B={x|–3<x<1}，則A∪B=()A．{x|x>–3} B．{x|x<1}C．{x|x≥–3} D．{x|–3≤x<1}7．函數(shù)的簡圖是（）A． B． C． D．8．如圖，兩個正方形和所在平面互相垂直，設、分別是和的中點，那么：①；②平面；③；④、異面.其中不正確的序號是（）A．① B．② C．③ D．④9．已知是的共軛復數(shù)，若復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點是（）A． B． C． D．10．已知向量，滿足，，，則（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標系中，已知圓：，圓：，動點在直線：上（），過分別作圓，的切線，切點分別為，，若滿足的點有且只有一個，則實數(shù)的值為______.12．已知在數(shù)列中，且，若，則數(shù)列的前項和為__________．13．設無窮等比數(shù)列的公比為，若，則__________________．14．若，則=_________15．已知函數(shù)f(x)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是____________.16．已知向量，且，則_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，.函數(shù)的圖象關于直線對稱，且.（1）求函數(shù)的表達式：（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18．如圖，四面體中，分別是的中點，，.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．19．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量單位：噸，將數(shù)據(jù)按照，，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)說明理由；（2）估計居民月均用水量的中位數(shù)．20．已知數(shù)列滿足,,設.(1)求,,;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列和的通項公式.21．已知圓C的圓心為(1，1)，直線與圓C相切.（1）求圓C的標準方程；（2）若直線過點(2，3)，且被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】分析：用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動的事件數(shù)，從而可求甲被選中的概率.詳解：從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，包括：甲乙；甲丙；甲??；乙丙；乙??；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選C.點睛：本題考查用列舉法求基本事件的概率，解題的關鍵是確定基本事件，屬于基礎題.2、A【解析】

先設出弦的兩端點的坐標，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率．【詳解】設弦的兩端點為，，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，即，即，∴弦所在的直線的斜率為，故選A.【點睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的關系．在解決弦長的中點問題，涉及到“中點與斜率”時常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化，達到解決問題的目的，屬于中檔題.3、D【解析】∵∴設代入可知均不正確對于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D4、C【解析】

先令,則可求得的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù),對賦值進而限定范圍即可【詳解】由題,令,則,當時,在上單調(diào)遞增,則當時,的單調(diào)增區(qū)間為,故選:C【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬于基礎題5、B【解析】

根據(jù)三棱錐三條側棱的關系，得到球與三棱錐的重疊部分為球的18【詳解】∵三棱錐O-ABC，側棱OA,OB,OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC=2，以O為球心且1為半徑的球與三棱錐O-ABC重疊部分的為球的18即對應的體積為18【點睛】本題主要考查球體體積公式的應用，解題的關鍵就是利用三棱錐與球的關系，考查空間想象能力，屬于中等題。6、C【解析】

根據(jù)并集的運算律可計算出集合A∪B.【詳解】∵A=xx≥-3，B=x故選：C.【點睛】本題考查集合的并集運算，解題的關鍵就是并集運算律的應用，考查計算能力，屬于基礎題.7、D【解析】

變形為，求出周期排除兩個選項，再由函數(shù)值正負排除一個，最后一個為正確選項．【詳解】函數(shù)的周期是，排除AB，又時，，排除C．只有D滿足．故選：D.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選圖象，可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等排除某些選項，還可求出特殊值，特殊點，函數(shù)值的正負，函數(shù)值的變化趨勢排除一些選項，從而得出正確選項．8、D【解析】

取的中點，連接，，連接，，由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷①；由三角形的中位線定理，以及線面平行的判定定理可判斷②③④．【詳解】解：取的中點，連接，，連接，，正方形和所在平面互相垂直，、分別是和的中點，可得，，平面，可得，故①正確；由為的中位線，可得，且平面，可得平面，故②③正確，④錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查空間線線和線面的位置關系，考查轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于基礎題．9、A【解析】由，得，所以在復平面內(nèi)對應的點為，故選A.10、A【解析】

由，求出，代入計算即可．【詳解】由題意，則.故答案為A.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了學生的計算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和三角形全等，得到，求得點的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解．【詳解】由題意得：，，設，如下圖所示∵PA、PB分別是圓O，O1的切線，∴∠PBO1=∠PAO=90°，又∵PB=2PA，BO1=2AO，∴△PBO1∽△PAO，∴，∴，∴，整理得，∴點P（x，y）的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓，∵動點P在直線：上（），滿足PB=2PA的點P有且只有一個，∴該直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離d滿足，即，解得或，又因為，所以．【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，以及直線與圓的位置關系的應用，其中解答中根據(jù)圓的切下的性質(zhì)和三角形全等求得點的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，列出方程求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．12、【解析】

根據(jù)遞推關系式可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得，得到，進而求得；利用裂項相消法求得結果.【詳解】由得：數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，即：設前項和為本題正確結果：【點睛】本題考查根據(jù)遞推關系式證明數(shù)列為等差數(shù)列、等差數(shù)列通項的求解、裂項相消法求數(shù)列的前項和；關鍵是能夠通過通項公式的形式確定采用的求和方法，屬于?？碱}型.13、【解析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質(zhì)計算得出即可.【詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數(shù)列求和公式,且,故.此時當時,求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為：.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列求和公式,當時.14、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．15、（2,4）【解析】

令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函數(shù)求出定點的縱坐標得解.【詳解】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函數(shù)得，所以定點P的坐標為（2,4）.故答案為：（2,4）【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定點問題，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.16、【解析】

先由向量共線，求出，再由向量模的坐標表示，即可得出結果.【詳解】因為，且，所以，解得，所以，因此.故答案為【點睛】本題主要考查求向量的模，熟記向量共線的坐標表示，以及向量模的坐標表示即可，屬于基礎題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）轉化條件得，由對稱軸可得，再結合即可得解；（2）根據(jù)自變量的范圍可得，利用整體法即可得解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的圖象關于直線對稱，.即.又，，得，由得，故.則函數(shù)的表達式為（2），.，，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為.【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、函數(shù)表達式和值域的確定，考查了整體意識，屬于基礎題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）連接，由等腰三角形三線合一，可得，，再勾股定理可得，進而根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面；（2）根據(jù)等積法可得，結合（1）中結論，可得即為棱錐的高，代入棱錐的體積公式，可得答案．【詳解】證明：（1）連接．，，．，為中點，，，為中點，，,在中，，，，，，即．又，，平面平面.（2）等邊的面積為,為中點而，.【點睛】本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積公式，熟練掌握空間直線與直線垂直、直線與平面垂直之間的轉化關系是解答的關鍵，屬于中檔題.19、（1）3.6萬；（2）2.06.【解析】

（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得，利用頻率分布直方圖求得月均用水量不低于3噸的頻率為，進而得到樣本中月均用水量不低于3噸的戶數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，利用中位數(shù)的定義，即可求解．【詳解】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，即，解得，又由頻率分布直方圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為，即樣本中月均用水量不低于3噸的戶數(shù)為萬．（2）根據(jù)頻率分布直方圖，得：，則，所以中位數(shù)應在組內(nèi)，即，所以中位數(shù)是．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及頻率分布直方圖中位數(shù)的求解及應用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)和中位數(shù)的計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．20、(1),,；(2)證明見詳解，，.【解析】

（1）根據(jù)遞推公式，賦值求解即可；（2）利用定義，求證為定值即可，由數(shù)列通項公式即可求得和.【詳解】（1）由條件可得，將代入得，，而，所以.將代入得，所以.從而，，.（2）由條件可得，即，，又，所以是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，.因為，所以.【點睛】本題考查利用遞推關系求數(shù)列某項的值，以及利用數(shù)列定義證明等比數(shù)列，及求通項公式，是數(shù)列綜合基礎題.21、（1）；（2）或．【解析】

（1）利用點到直線的距離可得：圓心到直線的距離．根據(jù)直線與圓相切，可得．即可得出圓的標準方程．（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程：