2024屆浙江省嘉興市二模數(shù)學試題試題及答案

2024年高三教學測試

數(shù)學試題卷

(2024.4)

本試題卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答

題紙規(guī)定的位置.

2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙上的相應位置規(guī)范作答，在本試題

卷上的作答一律無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合/=3x<0},N={x|—2<x<4},貝1j(aM)cN=()

A.{x|x>-2}B.{%|-2<x<0}

C.{x|%<4}D.{x|0<%<4}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合的補集和交集運算可得.

【詳解】^M=[x\x?0},

所以(aM)cN={x[0Kx<4},

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x)=cos(ox+0)(<y>O)是奇函數(shù)，則。的值可以是()

7171

A.OB.—C.-D.兀

42

【答案】C

【解析】

7T

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性可得9=萬+左兀，keZ,求解得答案.

【詳解】由/(%)為奇函數(shù)，可得e=]+E,keZ,

71

當左=0時，（p=一

2

故選：C.

3.設zeC,則z+』=0是z為純虛數(shù)的（

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)共軌復數(shù)的特征，復數(shù)的概念，以及充分條件與必要條件的判斷方法，即可得出結果.

【詳解】對于復數(shù)z,若z+W=0,則z不一定純虛數(shù)，可以為0；

反之，若z為純虛數(shù)，則z+W=0，

所以z+1=0是z為純虛數(shù)的必要非充分條件.

故選：B.

4.若正數(shù)無,y滿足￡—2孫+2=0,則％+y的最小值是（）

A.瓜B.旦C.272D.2

2

【答案】A

【解析】

X1

【分析】根據(jù)題意可得丁二二十一,利用基本不等式求解.

2x

X1

【詳解】由公―2盯+2=0可得、=；；+—,

當且僅當包=工，即％=亞時，等號成立.

2x3

所以％+y的最小值為

故選：A.

5.如圖，這是一個水上漂浮式警示浮標，它的主體由上面一個圓錐和下面一個半球體組成.已知該浮標上

面圓錐的側(cè)面積是下面半球面面積的2倍，則圓錐的體積與半球體的體積的比值為（）

c.73

【答案】D

【解析】

【分析】設半球半徑為"，圓錐高為〃，再根據(jù)圓錐側(cè)面積與體積公式，結合球的表面積與體積公式求解即

可.

【詳解】設半球半徑為廠，圓錐高為〃，由題意義正更=2,解得/?=/小

2兀產(chǎn)

-nr2h,后

故圓錐的體積與半球體的體積的比值為4—===、丁.

—2nr32r2

3

故選：D

6.已知圓。：0—5）2+（丁+2）2=/&>0）,4（-6,0）,3（0,8）,若圓C上存在點P使得上4L,則「

的取值范圍為（）

A.（0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,”）

【答案】B

【解析】

【分析】由±PB得到點P的軌跡是以A5為直徑的圓，依題意，問題轉(zhuǎn)化為兩個圓有公共點的問題,

解不等式組即得.

如圖，由上4PB可知點尸的軌跡是以AB為直徑的圓，設為圓加,

因A(—6,0),5(0,8),故圓M:(x+3>+(y—4)2=25.

依題意知圓M與圓C必至少有一個公共點.

因C(5,-2),M(-3,4),貝。|CM|=7(5+3)2+(-2-4)2=10-

由上一5區(qū)|。/|W5+r,解得：5<r<15.

故選：B.

7.6位學生在游樂場游玩A5c三個項目，每個人都只游玩一個項目，每個項目都有人游玩，若A項目必

須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有()

A.180種B.210種C.240種D.360種

【答案】C

【解析】

【分析】分A有2人和4人，結合排列組合求解即可.

【詳解】若A有2人游玩，則有C：甄C；A；+笠A；=15?(86)=210#；

渤Ao

若A有4人游玩，則有C：A；=15?230種;

所以共有240種,

故選：C.

8.已知定義在(0,+。)上的函數(shù)/(%)滿足礦(x)=(l—x)〃x),1/(1)>0,則()

A./1</(1)</(2)

B./(2)</(1)</

C/1</(2)</(1)D/(2)</1</(1)

【答案】D

【解析】

X%

【分析】將題設條件轉(zhuǎn)化為從而得到7(1)=人e\(左〉0),進而得到

/2?f(xY

Y

f(x)=——，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可得出答案.

''k-e

"%)-V'(x)

【詳解】由礦(力=(1—力〃”變形得=x,

/(x)

一礦(x)X

從而有

尸(尤)/W,

X

所以=k?ex,

“X)

1丫

因為/'(l)>。，所以左=而/〉0,則/(力=獲7,

kex-kx-ex

則r")=,2

故當0<x<l時，f\x)>0,當龍〉1時，r(x)<0,

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減,

所以</(1)，/(2)</(1),

3

而e3>2.73a19.7〉16,所以泅*

所以“2)〈/

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：利用(髭4=比由到得=是解決本題的關鍵.

/(%)小)

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知一組數(shù)據(jù)1,3,5,7,9,其中位數(shù)為。，平均數(shù)為無，極差為6,方差為$2.現(xiàn)從中刪去某一個數(shù)，得

到一組新數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為優(yōu)，平均數(shù)為7,極差為〃，方差為丁2,則下列說法中正確的是()

A.若刪去3,則

B.若刪去9,則無<，

C.無論刪去哪個數(shù)，均有bNb'

2

D.若元=V,貝I]$2<s>

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義可判斷A選項，根據(jù)平均數(shù)的定義判斷B選項，分類討論去掉的數(shù)據(jù)結合極差

的定義判斷C選項，先判斷去掉的數(shù)據(jù)是什么，然后根據(jù)方差的定義判斷D.

【詳解】A選項，若去掉3,根據(jù)中位數(shù)的定義，

^=5,^=—=6,滿足。＜。'，A選項正確;

2

B選項，若刪去9,根據(jù)平均數(shù)的定義,

-1+3+5+7+91+3+5+7

x=-----------=5,x'x>x'>B選項錯誤;

4

C選項，根據(jù)極差的定義，若去掉的數(shù)是3,5,7中的一個，

顯然去掉前后極差都是9-1=8,滿足b=b',

若去掉1，//=9—3=6＜》=8,若去掉9,=7—1=6＜人=8,

綜上，b＞b',C選項正確；

D選項，原數(shù)據(jù)平均數(shù)7=5,去掉一個數(shù)后平均數(shù)保持不變，即＞=5，

則剩下的四個數(shù)之和為5x4=20,顯然去掉的數(shù)只能是5,由方差的定義，

?=1[(1-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7—5＞+(9—5)2]=8,

—5)2+(3—5)2+(7—5)2+(9—5)2]=10,

滿足s2＜s〃，D選項正確.

故選：ACD

10.已知角a的頂點與原點重合，它的始邊與左軸的非負半軸重合，終邊過點A(a,b)(a0w0,awb),定

義：7》(0="2.對于函數(shù)"無)=7?(尤)，則()

a-b

A.函數(shù)/(%)的圖象關于點對稱

B.函數(shù)/(%)區(qū)間匕,m上單調(diào)遞增

C.將函數(shù)/(%)的圖象向左平移;個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象

D.方程“X)=g在區(qū)間[0,7l]上有兩個不同的實數(shù)解

【答案】AB

【解析】

b

【分析】由三角函數(shù)定義可得tanx=—,根據(jù)題意，可得/(%)=tanx+；,利用正切函數(shù)的性質(zhì)依

a

次判斷求解各個選項.

1b7i

j,j1+—1-tan—+tanx

年…2.(\_a+b__g_l+tanx_4

【詳解】根據(jù)題意,fx=tan|x+二|,

a"bJ1-tanx「tan^tanxI4

a4

jrKTTJTKTT.

對于A,由正切函數(shù)的性質(zhì)得x+—=—,keZ,解得x=——+—,

4242

(兀左兀?

所以函數(shù)/(%)的對稱中心為0,keZ,故A正確;

對于B,+亨］，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知/(%)在g,鼻上單調(diào)遞增，故B正

確；

對于C,將/(%)的圖象向左平移;個單位可得了=tan［x+￡+：］=tan［x+|J=J嚏，為奇函數(shù)，

故C錯誤；

€兀3兀人71

對于D,[0,可,%+;，令OC—x~\—,

4'T4

兀兀1/兀

由正切函數(shù)y=tana的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且yNl,在；7,兀上單調(diào)遞增，且y<0,

［42)12」

所以方程/(%)=tan卜+：］=g在區(qū)間［0,兀］上無實數(shù)解，故D錯誤.

故選：AB.

11.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；

反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.如圖，已知拋物線

C：V=2內(nèi)5〉0)的準線為1,0為坐標原點,在X軸上方有兩束平行于X軸的入射光線4和12,分別經(jīng)

c上的點A(x，yj和點3(X2，%)反射后，再經(jīng)c上相應的點C和點。反射，最后沿直線，3和乙射出，且

乙與6之間的距離等于4與乙之間的距離?則下列說法中正確的是()

A.若直線4與準線/相交于點P,則A,o,p三點共線

B.若直線4與準線/相交于點P，則。尸平分NAPC

C.%%=/

7

D.若直線乙的方程為y=2p,則cos/AEB=—

25

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A,設直線AC:x=/>+^,與拋物線丁=2°x聯(lián)立，可得以+%=2p/,-P?，驗證

分尸=心。得解；對B,假設=尸，又由拋物線定義得NCEP=NCP廠，可得

ZAPF=ZCFP,即AP//CR,這與依和CF相交于A點矛盾，可判斷；對C,結合A選項有

%%=-/，根據(jù)%—%=%-乂，運算可得解；對D，可求得點A5歹的坐標，進而求出

FA,FB,利用向量夾角公式運算得解.

【詳解】對于選項A,因為直線AC經(jīng)過焦點，設。（七,%），。（%，％），直線AC：x=/y+T，

2

與拋物線V=22％聯(lián)立得丁2一2夕）一〃2=0,=2pt,yYy3=-p,

所以kop=kAO,

即A、。、尸三點共線，故A正確;

y.

對于選項B,假設=尸，又NCFP=NCPF,

所以NAPF=NCEP,所以AP//CF,這與"和CF相交于A點矛盾，故B錯誤;

對于選項C,/1與4距離等于4與乙距離，又結合A選項，則

M—%=%一％=—乙P+P2X—%

X%另為

所以必為=。2，故c正確；

由題意可得,A（2〃,2〃）,5抬，嗚,0,呀=K

對于選項D,

故選：ACD.

【點睛】思路點睛：A選項，判斷A、O、P三點共線，即轉(zhuǎn)化為驗證左8=頻。，設出直線AC的方程與拋

物線聯(lián)立，求出點A尸坐標，表示出ORQ4的斜率判斷；B選項，利用反證法，假設

NAPF=NCPF,結合拋物線定義可得AP//CF與條件矛盾；C選項，根據(jù)題意可得

%-%=%-丁4，結合A選項的結論可判斷；D選項，求出點A5尸的坐標，進而求出齊;4,歹3，利用

向量夾角公式運算.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量a力,。,。=卜1,、分）力=（6,-1）,。是非零向量，且乙與的夾角相等，則c的坐標

可以為.（只需寫出一個符合要求的答案）

【答案】c=(x,x),xwO均可

【解析】

【分析】設c=(x,y),x/O,y，O,利用向量夾角公式，數(shù)量積的坐標運算可求得％=V,得解.

a?cb,c

【詳解】設c=(x,y),x#O,y#O,由題意可得「[「[=7】，

網(wǎng)4\b\\c\

|^|—1^|—2,:.a-c—b-c即(。一葉。=。,

二?一++=。，解得工=丁.

1

/.c=(%,%),XHO.

故答案為：c=(x,x),XH0均可.

13.設數(shù)列｛4｝的前幾項和為S,,等比數(shù)列也｝的前幾項和為T"，若4=-1,4=死，

(1—2")S,=M“+1)7；,貝Ua“=.

【答案】2〃

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先求出等比數(shù)列｛%｝的通項公式和前〃項和北，進而求得S“，再利用項與和的關系

求得通項an.

【詳解】設等比數(shù)列｛%｝的公比為4，

由々=勖2，則/=8,解得q=2,又偽=一1,

所以么=—2〃\..Z=(T)X(12.)=]Y，代入(1—2〃)S“=”(”+1)7；,

1—2

解得邑=〃5+i),

當〃=1時，%=S[=2,

當”22,"eN*時，%=S"-Sa—〃(〃-1)=2〃，

q=2滿足上式，所以。“=2〃，〃eN*.

故答案為：2〃.

14.在四面體ABCD中，BC=2,NABC=NBCD=90，且A3與CD所成的角為60.若四面體

ABCD的體積為，則它的外接球半徑的最小值為.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將四面體ABCD補形為直三棱柱ABE—FCD,設CD=x,b=y,由

求得孫=24,在Rt.OCa中，勾股定理得R2=l+gob2,由余弦定理可得

DF2=x2+y2-xy,結合基本不等式求解.

【詳解】依題意，可將四面體ABCD補形為如圖所示的直三棱柱ABE-FCO,因為A5與CD所成的

角為60，

所以ZDCF=60°或120，設CD=x,=y,外接球半徑記為R,

外接球的球心如圖點。.

易知AE//平面BCDE,所以點A到平面BCDE的距離等于點F到平面BCDE的距離,

^A-BCD=VF-BCD=~,BC-SCDF=-x2xf—xysin60=—xy=4A/3，得移=24,

DF1,

在Rt.OCR中,R2=OC2=OOi+CO；=1+=1+-DF2,

2sinZDCF3

在二CDF中，由余弦定理得2孫cosNDCE,

所以當NDCF=60°時，外接球的半徑會更小.

所以。尸2=爐+/—孫，

所以7?2=l+g(%2+y2_孫)ni+g(2孫一孫)=1+^xy=9,

所以凡in=3.

故答案為：3.

D

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將求四面體A6CD補形為直三棱柱ABE-FCD,轉(zhuǎn)化為求直三棱柱外

接球半徑的最小值.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在ABC中，內(nèi)角A,3,C所對的邊分別是a,4c,已知2cosA—3cos2A=3.

（1）求cosA的值；

（2）若為銳角三角形，2b=3c,求sinC的值.

【答案】（1）cosA=—或cosA=0；

3

⑵逑.

9

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，利用二倍角余弦公式化簡求解；

（2）解法一，由2/?=3c,利用正弦定理邊化角得2sinB=3sinC,結合sin（A+C）=sinB和

cosA=g,化簡運算并結合平方關系求得答案；

2

解法二，根據(jù)條件利用余弦定理可得c=—。，再利用正弦定理邊化角并結合條件求得答案.

3

【小問1詳解】

由題可得2cosA-3（2COS2A-1）=3,即3cos2A—COSA=0，

解得cosA=—或cosA=0.

3

【小問2詳解】

解法一：因為2》=3c,由正弦定理得2sinB=3sinC,即2sin（A+C）=3sinC,

即2sinAcosC+2sinCcosA=3sinC,

因為cosA=』，所以sinA=Z亞；

33

42

所以----cosC+—sinC=3sinC，又sin?C+cos2C=1，

33

且「ABC為銳角三角形，解得sinC=謔.

9

T22_2]9c2_2A

解法二：由余弦定理得8定二一"因為2Z?=3c,所以4~a1,即

2責33c之二39

22

所以c=—a,所以sinC=—sinA,

33

又cosA=q,所以sinA=2y,所以$111。=251_071=￡'2.

3339

16.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。為平行四邊形，以，平面A3CD,PAQD,

BC=2AB=2PA=2,^ABC=60.

（1）證明：平面PCD,平面PAC；

（2）若PQ=20,求平面PCQ與平面DCQ夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵

31

【解析】

【分析】（1）法一，先證明CE>J_AC,再證明CD,平面上4C,利用面面垂直的判定定理得證；法

二，建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面PCD和平面7MC的法向量證明；

（2）法一，過C,P作CE,PE分別平行于AP,AC,連結QE,作尸尸，QC交QC于E點，連結斯,

證明QCLEF,說明/刊花為平面PCQ與平面DCQ的夾角，求解得答案；法二，建系求出平面

DCQ和平面PCQ的法向量，利用向量法求解.

【小問1詳解】

解法一：BC=2AB=2,ZABC=60,

在ABC中，AC2^AB2+BC2-2ABBCcosZABC>即AC?=1+2?_2xlx2x，=3,

2

:.AC=K，AB2+AC2=BC2>

:.AB±AC,又ABIICDnCDLAC,

Q4_L底面ABCZ),CDu底面ABCZ),

:.PA±CD,4。,叢匚平面q4。且相交于人,

\CDA平面？AC,又CDu平面PCD,

平面PC。，平面24c.

解法二：?「BC^2AB,ZABC^60ABLAC.

如圖建立空間直角坐標系，尸（0,0,1）,A（0,0,0）,C（O,V3,O）,D（-1,AO）,

則PA=（0,0,-1）,PC=（0,A-1）,CD=（-1,0,0）,

4-PA—02=0

設%=（尤,y,z）是平面24c的法向量，貝人若y_=o'可取”=（L°,。）'

々?PC=0

n2-CD-0二°,可取%=（0,1,6）

設々=（a,dc）是平面PCD的法向量，貝1bn

%-PC=0yl3b-c=0'）

所以勺,%二0,所以平面尸CDJ■平面PAC.

【小問2詳解】

解法一：在直角梯形ADQP中，因為PA=LAD=2,PQ=2拒，解得紗=3,

過C,P作CE,PE分別平行于AP,AC,連結QE,作

PF上QC交QC于F點,連結所，

AC±CD,AC±QD,CDcQD=。且都在面CDQE內(nèi),

.,.AC,平面CDQE,

PEHAC,PE_L平面CDQE,又QCu平面CDQE,

PELQC,又PF_LQC,PE,Pbu平面夫石戶且交于產(chǎn)，

.?.QCL平面？EF,又EFu平面？E戶，

QCLEF,

NPFE為平面PCQ與平面DCQ的夾角或其補角，

在△尸CQ中，PC=2,QC=M,PQ=2貶,cosZCPQ=---------^=—

2x2x2夜8

sinZCPQ=—，由等面積法解得"=絲，又PE=6

8M

..”「—PE_屈.1_V31

PF731V3131

所以平面PCQ與平面DCQ夾角的余弦值為叵.

31

（2）解法二：在直角梯形ADQP中，解得。。=3,

如圖建立空間直角坐標系，P（0,0,1）,C（0,A/3,0）,e（-l,V3,3）,D（-l,73,0）,

平面DCQ的法向量為勺=AC=（0,0）,又CQ=（―1,0,3）,CP=（0,-73,1）,

/2=°,即-%2+3z2—0

設平面PCQ的法向量為%=（%2，%，Z2），則,

-x/5'%+22—0

CP-n2=0

令為=1，解得％2=36*2=6，二〃2=（3人』,3'b

設平面PCQ與平面DCQ夾角0,

V3_V31

所以COS。=COS4,%

"同一31

即平面PCQ與平面DCQ夾角的余弦值為昱.

31

Q

l/A

17.春季流感對廣大民眾的健康生活帶來一定的影響，為了有效預防流感，很多民眾注射了流感疫苗.某市

防疫部門從轄區(qū)居民中隨機抽取了1000人進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另

外沒注射疫苗的200人中有80人感染流感.醫(yī)學研究表明，流感的檢測結果是有錯檢的可能，已知患有流

感的人其檢測結果有95%呈陽性（感染），而沒有患流感的人其檢測結果有99%呈陰性（未感染）.

（1）估計該市流感感染率是多少？

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認為注射流感疫苗與預防流感有關；

（3）己知某人的流感檢測結果呈陽性，求此人真的患有流感的概率.（精確到0.001）

n(ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P/>k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.635787910.828

【答案】（1）0.3；

（2）有99.9%的把握認為注射流感疫苗與流感發(fā)病人數(shù)有關

（3）97.6%.

【解析】

【分析】（1）由感染人數(shù)除以總數(shù)可得；

（2）代入公式K?

（3）由條件概率公式和全概率公式計算可得.

【小問1詳解】

估計流感的感染率P=-----------=0.3.

1000

【小問2詳解】

列聯(lián)表:

流感情況

疫苗情況合計

患有流感不患有流感

打疫苗220580800

不打疫苗80120200

合計3007001000

n（ad—be，1000（220xl20-580x80）2*4-

根據(jù)列聯(lián)表，計算K?=________________________________________11O

（a+Z?）（c+d）（〃+c）（Z?+d）800x200x300x700

因為H.9>10.828，所以有99.9%的把握認為注射流感疫苗與流感發(fā)病人數(shù)有關.

【小問3詳解】

設事件A為“一次檢測結果呈陽性”，事件8為“被檢測者確實患有流感”,

由題意得尸（3）=0.3,P伍）=0.7,P（A|B）=0.95,P（A|B）=0.01,

P（AB）=P（B）-P（A|B）=0.3x0.95=0.285,

由全概率公式得尸（A）=P（5）.P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.3x0.95+0.7x0.01=0,292,

尸(AB)Q285

P(HA)=￡T=M=97.6%,所以此人真的患有流感的概率是97.6%.

1(/11

22

18.已知雙曲線C:5-與=l(a>0,6>0)的虛軸長為4,漸近線方程為y=±2x.

ab

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過右焦點尸的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于點AB，點/是線段A3的中點，過點產(chǎn)且

與/垂直的直線/'交直線于點尸，點。滿足PQ=PA+PB,求四邊形R4Q3面積的最小值.

2

【答案】(1)x2-^=l；

4

⑵673

【解析】

【分析】(1)由雙曲線的性質(zhì)求出即可；

(2)設直線AB:x=my+6，直曲聯(lián)立，把M坐標結合韋達定理用表示出來，利用由三點

'14

共線和kpF-kAB=-1解得P然后由弦長公式和點到直線的距離表示出四邊形的面積

,令/=4加2—1,根2=/,構造函數(shù)/?)=2*,求導后分析單調(diào)性，得

到最值.

【小問1詳解】

由題意可知Z?=2,

b

又浙近線方程為'=±—=±2%，所以。=1,

a

2

易知雙曲線標準方程為Y—匕=1.

4

x=my+亞）日

設4(石,乂),3(%2，%)，加(x0,y0),AB:x=my+s/5,聯(lián)立方程，

4x2-y=4

4m2-1b2+S\[5my+16=0,A=320m2-64（4m2-1）=64（療+i）,

%+%4日乳/r75

且p％=丁=一不1'/=詠+若

由。,MP三點共線得與十=4加①,

由PF_LAB得kpF?kAB=—1,

'14叫

由①②解得尸

由PQ=PA+P5可知，四邊形PA。是平行四邊形，所以S"引=2SpM=dp_，AM

J__4mL石

dpi=J1+加2

，1+蘇

8(m2+l

4m2—1

4/--------8(m2+1)32(加2+1尸32(加？+1)

所以二??=半--——'-

非|J4m2-l|/=布4|4m2，-l乙|小W4m2-1)

4l(t+5)3

令t=癡2-l,m2=,則SpAQB忑工一廠

4

令/(，)=g，則外)=3?+?.丁小+5)：?+5)：尸0),

135

所以/(。在(0,10)上單調(diào)遞減，(10,+8)上單調(diào)遞增，所以/(0mhi=/(10)=丁，

所以(Swo'n=+*，5=66，當且僅當『=1°，即加=±半時取等號.

【點睛】方法點睛：求雙曲線等圓錐曲線內(nèi)四邊形面積時常用韋達定理結合弦長公式表示，求面積的最值

時常構造函數(shù)求導分析.

m

19.已知集合4=<￡2叫0<%</<<??；,?,-eN'>,定義：當機=/時，把集合A中所有的數(shù)從小到

、i=l>

大排列成數(shù)列步⑺”｝,數(shù)列也⑺/的前，項和為列?！?例如：1=2時,

12123

b⑵i=2°+2=3,Z?(2)2=2°+2=5,Z?(2)3=2+2=6,Z?(2)4=2°+2=9,,

SQ%=仇2)]+/2卜+b⑵3+仇2久=23.

(1)寫出仇2)5，伙2)6,并求S(2)io；

(2)判斷88是否為數(shù)列抄(3)“｝中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由;

⑶若2024是數(shù)列加⑺〃｝中的某一項M%)%，求及S?o)w的值.

【答案】(1)僅2)5=10,僅2)6=12,SQ%。5生

⑵88是數(shù)列｛仇3)“｝的第30項;

(3)/0=7,n0—329,S&)%=427838

【解析】

【分析】當機=2時，此時A={2%+2%|0Wq<a2，ai，a2eN},