湖南省益陽市桃江縣2022-2023學(xué)年高二年級下冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022—2023學(xué)年度高二第二學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

（時量：120分鐘，滿分：150分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,設(shè)全集U=R,集合A={止2c<4},8={2,3,4,5},則色A），8（）

A.{2}B,{2,3}C.{4,5}D.{5}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用集合的交并補運算即可求出結(jié)果.

【詳解】因為A={x|—2<x<4},所以MA={x|x?-2,或xi4},

又3={2,3,4,5},所以（6°A）6={4,5}.

故選：C

2

2.復(fù)數(shù)工不一行（。€1<）對應(yīng)的點位于直線y=2x+l上，則。的值為（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及幾何意義，得到對應(yīng)點為（1，-1-幻，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.

【詳解】因為二-一ai=@二D-ai=l—（l+a）i,對應(yīng)點為（1,-1-a）,

1+i2

由題知，一1—a=2+l,解得a=T.

故選：B.

3.設(shè)xeR,貝I」“x>l”是“工<1”的（）

x

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得到x>l或x<0,根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.

II-V1

【詳解】一<1,即一-<0,故X>1或x<0,故“X>1”是“一<1”的充分不必要條件.

XXX

故選：A

4.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)1,3,3,5,5,5,7,9,1180百分位數(shù)為7

B.樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)「越大，成對數(shù)據(jù)的相關(guān)程度也越強

C.隨機變量乂則方差￡>（2X+1）=7

D.隨機變量X~N（2,『），則當(dāng)。變化時，P（1<X<2）+P（X>3）為定值

【答案】D

【解析】

【分析】計算出百分位數(shù)判斷A,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷B,由二項分布的方差公式及隨機變量方差的

性質(zhì)計算后判斷C,由正態(tài)分布的對稱性判斷D.

QH

【詳解】選項A,由于9x/歷=7.2,已知數(shù)據(jù)是從小到大順序排列的，第8個數(shù)是9,因此80百分位

數(shù)為9,A錯：

選項B,樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，成對數(shù)據(jù)的相關(guān)程度也越強，例如r=-0.8的數(shù)據(jù)比

r=0.2的數(shù)據(jù)的相關(guān)程度強，B錯；

選項C,X-8,-|,則。（X）=8X3X,=3,O（2X+1）=4O（X）=6,C錯；

【4）442

選項D,X~N（2,（T2）,則

P（l<X<2）+P（X>3）=P（2<X<3）+P（X>3）=P（X>2）=0.5,為定值，D正確.

故選：D.

5.已知向量a,。滿足同=1,忖=2,卜+0=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a-b=-2B.a//（a+2h^

C.a與人的夾角為與D.|a-^|=V6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件，逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】因為W+力|=2,所以同2+2夕/?+好=4,又同=[,忖=2,

所以一'

a/=1±=-2=_1,故選項A和C錯誤;

2|州24

選項C,假設(shè)+2"）,則Q+2/7=4〃，即2b=（%-1）。，因為。出不共線且不為零向量，故選項

C錯誤;

又由卜_02=|d『_24.。+1『=1_2、（_3）+4=6,所以=76,故選項D正確.

故選：D.

6.氣候變暖、干旱給蝗災(zāi)的發(fā)生創(chuàng)造了機會.已知蝗蟲的產(chǎn)卵量y與溫度工的關(guān)系可以用函數(shù)y=qe'/來

擬合（其中q,q為常數(shù)），設(shè)z=lny,得到一組數(shù)據(jù)如下表:

X2023252730

Z22.4334.6

由上表可得線性回歸方程：z=0,2x+a＞則0=（）

A.-2B.e-2C.3D.e3

【答案】B

【解析】

【分析】由線性回歸直線的中心點求得。，再結(jié)合已知函數(shù)可得.

?-20+23+25+27+302-2+24+3+3+4.6、

【詳解】由己知x=--------------------------=25,z—------------------------3,

55

所以3=0.2x25+a,a——2,

_?

由y=<:當(dāng)時得lny=C2X+lnq,所以Inq=-2,Cj=e

故選：B.

7.若橢圓上存在點尸，使得P到橢圓兩個焦點的距離之比為2:1,則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢

圓''的離心率e的取值范圍是（）

*

與B.C.D.

741

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件設(shè)出P到橢圓兩個焦點的距離，再利用橢圓的定義及橢圓上的點到焦點距離的最值即

可求出結(jié)果.

【詳解】由題可設(shè)點尸到橢圓兩個焦點的距離之分別2加,加,

2

所以26+/篦=勿，得到”=—。，

3

211

又mNa—c,所以一aNa-c,得到故一We<l.

333

故選：C.

1

31

8a=CQS—,b-二一,c==2-eK則()

432

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】通過構(gòu)造函數(shù)/(尤)=1-5—cosx，由函數(shù)的單調(diào)性比較。力的大小，再構(gòu)造函數(shù)

g(x)=e，-x-1,判斷其單調(diào)性后比較b,c,的大小，從而可得結(jié)果.

【詳解】構(gòu)造/(x)=1—5-cosx,則/'(x)=-x+sinx,

令h(x)=f\x)=-x+sinx,則"(x)=-1+cosx<0,

所以〃(x)在(0,上遞減，

所以/i(x)<〃(0)=0,所以/'(x)<0,

所以/5)在(0,3上遞減，

所以y(x)</(o)=o,所以

1

31<O311,

所以----cos4-R即n—<cos—，r斯ri,以4>人,

32324

令g(x)=e*-(XG(0,+OO)),則g'(x)=e"-l>0,

所以g(x)=e"-X-1在(0,+8)上遞增,

所以g(x)>g(O)=O,所以e*>x+l，

所以2-e*<l-x.

-L-L131

所以2—e3i<2—e32即b>c

3232

故a>b>c.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查比較大小，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，通過判斷函數(shù)的

單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在三棱錐A-38中，已知A3人平面BCD，8=1，根據(jù)下列各組中測得的數(shù)據(jù)，能計算出AB

長度的是（）

A.NACB,/BCD,NCBDB.NACB,ZACD,NADC

C.ZACB,ZBCD,/ACDD.NADB,ZACB,NCBD

【答案】ABD

【解析】

【分析】結(jié)合所給條件，利用正弦定理、余弦定理及銳角三角函數(shù)判斷即可.

【詳解】對于A：在△88中由8=1,/BCD,NCBD,利用正弦定理即可求出,

再在Rtz^ABC中由NACB,BC,利用銳角三角函數(shù)求出A3,故A正確；

對于B：在ACD中由CO=1,ZACD,ZADC,利用正弦定理即可求出AC,

再在中由NACB,AC,利用銳角三角函數(shù)求出AB,故B正確；

對于C：在qACD,△BCD都只有一邊一角，不能求出其它角或邊，無法求解的高度，故C錯誤,

AB

對于D：在RtZXAfiD,中由NADB,NACB的值，可以得到6。=----------,

tanNADB

再在△88中由NCB。、8=1,利用余弦定理得到方程，解得AB,故D正確.

故選：ABD

10.已知等差數(shù)列｛為｝的首項為《,公差為"，前〃項和為s.，若S20<SI8<E9,則（）

A.4〉0B.+?]9|>|tz20+a21|

C.S38<0D.當(dāng)〃=19時，s.取到最大值

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用條件S20<S|8<S|9,得到％9>0，。20<0,從而得出q>0，d<0,可判斷出選項A正

確；再逐一對選項BCD分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】因為S20<S|8<&9，所以49+。20<0<%9，得到>0，40=。19+1<0，所以

4〉0,d<0,故選項A正確；

選項B,又4]8+岡9>°，4。+。21<0，4（>+。21+《8+49=2（生。+。19）<0，所以

%+%|<|。20+%|，故選項B錯誤；

選項C,538=38（4；。38）=38（4]々0）<0,故選項c正確；

選項D,因為q>0,d<0,。|9>°，。20<°，所以當(dāng)〃=19時，s“取到最大值，故選項D正確.

故選：ACD.

11.如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳

解九章算法》中就有論述.在如圖所示的“楊輝三角''中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是“肩

上”兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中的兩個3的和.下列命題中正確的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第〃行

A.C；+C；+C；++C；o=164

B.第2022行中，第1011個數(shù)最大

”+1

C.記“楊輝三角”第n行第i個數(shù)為%,則Z2'-1%=3"

Z=1

D.第34行中，第15個數(shù)與第16個數(shù)的比為3:4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，組合數(shù)的定義與性質(zhì)判斷.

【詳解】選項A,

C；+C"C；++C；o=C；+C；+C；+C；++C；o-l=C：+C；+C；+..+C：o-l

==C,I-1=164,A正確；

選項B,第2022行的數(shù)是C%是=0,1,2,,2022）,最大的C黑是第1012個數(shù)，B錯；

,+!

選項C,q=c/，21c丁=（1+2）"=3",C正確；

1=1/=1

A魯

C】4---1弓③

選項D,第34行中，第15個數(shù)與第16個數(shù)分別是C；：和C［，奈=筆=?，＜，=；，D正確,

C34A：34-15+14

151

故選：ACD.

12.已知拋物線C：y=4/焦點為尸，動直線x+ay-a=0與曲線。交于A3兩點，下列說法正

4

確的是（）

A,拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=

B.若點M為(3,5),則..AA中周長的最小值為11

C.若點M為(0,4),則|AM|的最小值為2G

D.設(shè)。為坐標(biāo)原點，作OHLAB于點“，則“點到C的準(zhǔn)線的距離的最大值為2

【答案】BC

【解析】

【分析】對于選項A,將拋物線方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷出結(jié)果的正誤；對于選項B,利用拋物線的

定義，將周長轉(zhuǎn)化成L=同+|4圖+|47閆從而判斷出結(jié)果的正誤；對于選項C,直

接求出|AM|=J(y—2)2+12,進而可求出的最小值，從而判斷出結(jié)果正確；對于選項D,直接

求出”的坐標(biāo)，從而求出“點到C的準(zhǔn)線的距離4=2-一二，從而判斷出結(jié)果的正誤.

\+a~

1,,

【詳解】選項A,因為拋物線=，即f=4y,

所以準(zhǔn)線方程為y=-l,故選項A錯誤；

選項B,如圖，過A作準(zhǔn)線y=-l的垂線，交準(zhǔn)線于點G,

易知，當(dāng)A在A處時取到等號，又畫|=J9+16=5,|MGj=6,

所以周長的最小值為11,故選項B正確；

選項C,設(shè)A(x,y),則|AM|=Jx2+(y_4)2=Jy2_4y+16=J(y-2)?+1222石,

當(dāng)A(±20,2)時取等號，故選項C正確；

選項D,易知設(shè)過。且與動直線x+ay-a=0垂直的直線方程為了=如

2

y=axaa

由，…)“?！獾闷?戶育

a21

所以H點到C的準(zhǔn)線的距離d=+1=2——二＜2，故選項D錯誤.

i+a21+/

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知tana=3,則cos（2a+/）=.

3

【答案】-1

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式以及正弦的倍角公式，將目標(biāo)式化為含正切的代數(shù)式，代值即可求得結(jié)果.

【詳解】由tana=3,得

仆兀、.c2sinacosa2tana63

cos2a+—=-sin2a=------------------~■=---------；—=------=——.

<2）sin-a+cos-a1+tan-a1+95

_3

故答案為：—

【點睛】本題考查用誘導(dǎo)公式以及倍角公式化簡求值，屬綜合基礎(chǔ)題.

14.將3名男同學(xué)和2名女同學(xué)全部分配到A,8,C,。，4個崗位參加志愿者工作，每個崗位至少有一人

參加工作，則男同學(xué)甲與女同學(xué)乙不去同一個崗位的分配方法數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】216

【解析】

【分析】分二步：先將5人分成4組，再分配到4民。,。4個崗位，利用分步計數(shù)原理即可求出結(jié)果.

【詳解】因為男同學(xué)甲與女同學(xué)乙不去同一個崗位，故將5人分成2組，共有C；-l=10—l=9種；

所以男同學(xué)甲與女同學(xué)乙不去同一個崗位的分配方法數(shù)為9A：=9x24=216種.

故答案為：216.

15.設(shè)等比數(shù)列｛"“｝滿足4|+。3=10,〃2+〃4=5,則4Q…%的最大值為.

【答案】64

【解析】

6Z1=8

a1+4=10{4(l+d)=io

【詳解】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由｛‘f〃得,解得I1.所以

。2+%=54式1+夕2)=5'a=一

1I-z--i-(-n----l)L__1ff~2+—7M

2

aya2/=。0+2++5T)=8"X(32=22,于是當(dāng)〃=3或4時，《外。”取得最大值26=64.

考點：等比數(shù)列及其應(yīng)用

16.8支步槍中有5支己校準(zhǔn)過，3支未校準(zhǔn).一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時，中靶的概率為0.8；用未

校準(zhǔn)的槍射擊時，中靶的概率為0.3.現(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶，則所用的槍是校準(zhǔn)

過的概率為

40

【答案】石

【解析】

【分析】根據(jù)貝葉斯公式進行求解即可.

【詳解】［設(shè)於=｛使用的槍校準(zhǔn)過｝,比=｛使用的槍未校準(zhǔn)｝,A=｛射擊時中靶｝,則尸（外）=』，尸（無）

O

_3

-9

8

P（A|Bi）=0.8,尸（A|&）=0.3?

由貝葉斯公式，得

尸（硼）P（q）__X；_40

"P（A|4）P（A）+P（A?）P（B2）08X9+03X349.

,8,8

所以，所用的槍是校準(zhǔn)過的概率為,40，

49

40

故答案為：—

49

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知二ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且滿足4asinB=38cosA.

(1)求cosA的值;

22

（2）若的面積S=求f的值.

2b

4

【答案】（1）cosA=-

c5

(2)-

bTT

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，再由同角關(guān)系式計算.

(2)由面積公式得邊的關(guān)系，再由余弦定理把〃用6,c表示，然后可得結(jié)論.

【小問1詳解】

因為4asinB=38cosA,由正弦定理得4sinAsinB-3sinBcosA.

3

因為sin8>0,所以4sinA=3cosA,tanA=-,則A為銳角,

4

9cos2A=16sin2A=16(1-cos2A)cosA=—.

5

【小問2詳解】

S=—OcsinA=—be=

2102

由余弦定理得〃=〃+c2—2bcxd,所以3八b~5bc

5——be--------

102

c5

化簡得：5b1=1Ibe?5b=lie,所以：=一.

b11

18.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為已知4=1,2〃/-2S“一〃，〃EN*.

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列;

⑵令瓦=-I*'求數(shù)列出｝前〃項和小

【答案】(1)證明見解析

(2)T?=—

"2"

【解析】

【分析】(D利用*,S”的關(guān)系即可證明；

(2)利用錯位相減法求和.

【小問1詳解】

因為2〃%-2S“=n2-n,

所以2(〃—1)a,-—25?_,=(n-l)2-(/i-l),n>2,

兩式相減可得2”一2(〃-1)?！癬1-2?！?2〃-2,

即-n-\,

所以?！耙籰,n>2,

所以數(shù)列｛凡｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列,

所以=n.

【小問2詳解】

2—cin2一〃

?...102—nX-K

7；=4+&++〃=下+合+，①

IT102-/ic

27；=F+2T+萬丁’②

②減①可得,一;7；=-1+/+*++^r+^r>

乙乙乙乙乙乙

所以-7；,=-l+-^+-V++<+2-〃2—7?

"21222'i

(1Y'-'2-〃

uJ+亍

n

所以

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，尸。1_底面48。。，CD//AB,AD^DC=CB=\,AB=2,

直線與平面ABC。所成的角為45°.

(1)證明：BD1.PA-

(2)求二面角。一尸3-。的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵孚

阿斤】

【分析】(1)作于點M，CN上AB于點、N,通過余弦定理角解得BO=，再通過勾股

數(shù)得BD_L4)，再利用線面垂直的性質(zhì)得到3D，PD，從而得到8。上平面尸4),再利用線面垂直

的性質(zhì)即可證明結(jié)果；

(2)建立空間直角坐標(biāo)，利用向量法即可求出二面角的大小.

【小問I詳解】

作。于點M,CNLAB干點、N,

因為AD=OC=C3=1,AB=2，則M/V=CD=1,AM=BN=-,

2

所以COS/D48=L,又NA48G(0,7I),所以NDW=60°,

2

由余弦定理可知忸球=\ADf+\ABf-2\AD\-\AB\cosZDAB=\+4-2xlx2x-=3,得到

BD=也，所以4￡>2+3。2=AB2,

所以BDJ_AZ>，又PZ)J_底面A8CD，BDu面ABCQ,

所以BD上PD，又AOIPD=D,AZ),/V)u面PAO，所以BDJ,平面？AD，

以。點為原點，D4為x軸，為y軸，DP為z軸，建立如圖坐標(biāo)系

因為PD_L平面ABCO,所以P8與平面ABCO所成的角就是NPBD

所以NPBD=45°,△尸為等腰直角三角形，所以尸。=6

p(o,o,G),B(O,V3,O),c—；，乎，0，^=(0,73,-73),PC=

I22)I22>

島-&=0

,、nPB=0

設(shè)平面BBC的法向量”=(x,y,z),則則由《，得至叼——x+-^-y—^f3z—0

-n-PC=0

22-

取x=6,y=z=-l,得〃=(6,-L一1),

又易知，平面OP8的一個法向量機=(1,0,0),

]_7

412

1711

期望EC）=lX1+Ox丘+（_l）xq=仃.

【小問2詳解】

設(shè)事件A：至少有一局為乙贏，事件B：甲的得分之和為正，

I12591

由（1）知，一局為乙贏的概率.=一，則尸（4）=1一（1一〃）3=1----=——，一局為甲贏的概率為

216216

4

甲的得分之和為正的事件有4種情況：甲三局都贏；甲贏兩局平一局；甲贏兩局輸一局；甲贏一局平兩

局，

事件A,8同時發(fā)生，即甲贏兩局輸一局的事件發(fā)生，因此P（A8）=C；X（L）2X'=-!-,

27

所以P（例A）=P(A8)32

P(A)91364

216

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)過點（0,2）的直線/與曲線C交于兩點，問在y軸上是否存在定點尸，使得PM-PN為常

數(shù)？若存在，求出點P的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由.

2

【答案】（1）》2-21=1；

（2）答案見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知可求出6=2,。=1,即可求出雙曲線的方程；

（2）設(shè)以和必），P（0,〃?）.設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立得到

92-4）/+4米+8=0,根據(jù)韋達定理求出，,用點的坐標(biāo)表示出PM.PN，整理

吧螃8+16/72

得到PM-PN=K——+m2+4,因為該式為常數(shù)，所以有8+16/72=0,求出〃?=-[,代入即可求

出常數(shù).

【小問1詳解】

由已知可得，雙曲線的漸近線方程為y=±'x,雙曲線焦點6（-c,0）,E（c,O）.

則月（c,0）到漸近線了=—x,即加-磔=0的距離為普—二人，所以。=2,

ayja2+b2

h

又漸近線斜率為2,即一二2,所以々=1,

a

2

所以雙曲線。的方程為2L=i.

4

【小問2詳解】

由已知可得，直線/的斜率存在，設(shè)斜率為左,則/：y=丘+2.

2

2—匕=]

聯(lián)立直線/的方程與雙曲線的方程{4~可得，（公—4）/+46+8=0,

y=kx+2

設(shè)M（5，X）,N（x2,y2）,P（O,/n）.

當(dāng)公一4=0,即左=±2時，此時直線/與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，所以女2一4b0，

攵?！?.

△=（4Z『一4x（左2_4）x8=-16（攵2—8）＞0,解得一20〈左＜20，且左W±2.

（4k

—記工

由韋達定理可得，\°"，且x=%+2,%=如+2.

O

X,X=----

I127k2-4

UUL1UUU1

又PM2）,PN=（x2,y2-m），

則PM./w=（%,y—加）?（乙，%一W=玉&+yiy2一皿y+%）+＞，

2

因為X+%=依+2+依2+2=%（玉+%2）+4，y]y2=（%+2）（Ax2+2）=kx}x2+2k+9）+4,

2

所以PM-PN=A）X2+左句%2+2%（玉+x2）+4-mZ:（xl+x2）-4m4-m

=（42+1）%]%2+（2左一相&）（x4-）4-m2-4m+4

=（〃2+l）p^+（2”一機”）（—+加2一4加+4=8^16^+ffl2+4.

QI]6相

要使PM-PN為常數(shù)，則與2-,+，/+4應(yīng)與k無關(guān)，

k--4

117

即應(yīng)有8+16帆=0,解得加=-；,此時PM-PN=一是個常數(shù)，這樣的點尸存在.

24

所以，在y軸上存在定點P的坐標(biāo)為（0,一；）,使得PM.PN為常數(shù).

22.已知函數(shù)/