云南省楚雄州姚安縣一中2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

云南省楚雄州姚安縣一中2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．2．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．5．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．6．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a7．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，則等于（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．9．已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則線段的最小值為()A． B． C． D．610．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．11．已知集合，，則集合子集的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．12．一個(gè)頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．根據(jù)記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國(guó)西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高，商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”，其中“股”，為“弦”上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足勾股定理，則______.14．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.15．在數(shù)列中，已知，則數(shù)列的的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.16．已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A，B，AB=42，球心為O，若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿足二面角C-AB-O的大小為60°三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，，證明：.18．（12分）已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.19．（12分）隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活．網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式，為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析，從而得到表（單位：人）經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)合計(jì)男性50100女性70100合計(jì)（1）完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)？（2）①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點(diǎn)，平面，，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．（1）若，（ⅰ）求證：PC∥平面；（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實(shí)數(shù)滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，是的一個(gè)極值點(diǎn)，且.（1）討論的單調(diào)性（2）求實(shí)數(shù)和a的值（3）證明22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）設(shè)的最小值為，正數(shù)，滿足，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫(xiě)出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

對(duì)分類討論，當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡(jiǎn)單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時(shí)，，令，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，，若，的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，則有，即，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考常考的熱點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.4、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得，，，，解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，由于為純虛數(shù)，則化簡(jiǎn)后的復(fù)數(shù)形式中，實(shí)部為0，得到的值，從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，得所以.故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，純虛數(shù)的概念，屬于簡(jiǎn)單題.8、B【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點(diǎn)在軸上，∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個(gè)焦點(diǎn)為，∴，∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯(cuò).9、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì)，將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，可知拋物線存在某條切線與直線平行，則，設(shè)拋物線的切點(diǎn)為，則由可得，，所以切點(diǎn)為，則切點(diǎn)到直線的距離為線段的最小值，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.10、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A，B；又∵當(dāng)時(shí)，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

首先求出，再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集，計(jì)算可得.【詳解】解：，，，子集的個(gè)數(shù)為.故選：.【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運(yùn)算，集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先由等面積法求得，利用向量幾何意義求解即可.【詳解】由等面積法可得，依題意可得，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，又?所以，即，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.15、【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，得到，再由求解．【詳解】解：由，得，，則數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題．16、4【解析】

設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，可求出OD,?O1D及OO1，然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上，在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60o＝O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等，所以，四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對(duì)值求解；（2）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，不等式可化為.當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，，得，，，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式問(wèn)題的求解，含有絕對(duì)值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程為，由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，由判別式可得；由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義，化簡(jiǎn)可得，代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得，代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn)，由換元法令，代入可得，再令及，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍，即確定的取值范圍，因而可得的取值范圍.【詳解】（1）分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，則，橢圓的離心率為則解得，所以，所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)滿足，則為中點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡(jiǎn)可得，所以則，化簡(jiǎn)可得，而由弦長(zhǎng)公式代入可得為中點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，代入化簡(jiǎn)可得，所以令，則，，令，則令，則，所以，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，所以，即所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用，由韋達(dá)定理研究參數(shù)間的關(guān)系，平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及換元法在求取值范圍問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，計(jì)算量大，屬于難題.19、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）①；②數(shù)學(xué)期望為6，方差為2.4.【解析】

（1）完成列聯(lián)表，由列聯(lián)表，得，由此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的有人，偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)的有人，由此能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率．②由列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的市民的頻率為：，由題意，由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．【詳解】解：（1）完成列聯(lián)表（單位：人）：經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)合計(jì)男性5050100女性7030100合計(jì)12080200由列聯(lián)表，得：，∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的有人，偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)的有人，∴選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率為：．②由列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的市民的頻率為：，將頻率視為概率，∴從我市市民中任意抽取一人，恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)市民的概率為0.6，由題意，∴隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差D（X）=．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查古典概型、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20、（1）（?。┳C明見(jiàn)解析（ⅱ）（2）存在，【解析】

（1）（i）連接交于點(diǎn)，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，，由此能證明PC∥平面（ii）推導(dǎo)出，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（2）設(shè)，求出平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）（?。┳C明：連接交于點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以,因?yàn)?，所以因?yàn)椤嗡运倪呅螢槠叫兴倪呅危杂忠驗(yàn)?，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．（ⅱ）解：如圖，在平行四邊形中因?yàn)?，，所以以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則，，，所以，，，平面的法向量為設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則所以銳二面角的余弦值為（2）設(shè)所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，所以解得所以存在滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題二查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系等知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1）在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，再次求導(dǎo)，可得在區(qū)間上恒成立，從而可得結(jié)論；（2）由，可得，由可得，聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（3）由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，可證明，取，可得，而