高考理科數(shù)學第一輪復習教案

第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理兩個原理分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理(1)理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．(2)會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．知識點兩個原理1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．易誤提醒(1)分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的．(2)分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步與步之間是相關(guān)聯(lián)的．[自測練習]1．從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有()A．30 B．20C．10 D．6解析：從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6種．答案：D2．用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279解析：0,1,2…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個)，∴有重復數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個)．答案：B考點一分類加法計數(shù)原理|1．a(chǎn)，b，c，d，e共5個人，從中選1名組長1名副組長，但a不能當副組長，不同選法的種數(shù)是()A．20 B．16C．10 D．6解析：當a當組長時，則共有1×4＝4種選法；當a不當組長時，又因為a也不能當副組長，則共有4×3＝12種選法．因此共有4＋12＝16種選法．答案：B2．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有()A．8種 B．9種C．10種 D．11種解析：法一：設四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數(shù)原理共有3＋3＋3＝9(種)．法二：班級按a，b，c，d的順序依次排列，為避免重復或遺漏現(xiàn)象，教師的監(jiān)考順序可用“樹形圖”表示如下：∴共有9種不同的監(jiān)考方法．答案：B3．在某校舉行的羽毛球兩人決賽中，采用5局3勝制的比賽規(guī)則，先贏3局者獲勝，直到?jīng)Q出勝負為止．若甲、乙兩名同學參加比賽，則所有可能出現(xiàn)的情形(個人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．6種 B．12種C．18種 D．20種解析：分三種情況：恰好打3局(一人贏3局)，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2Ceq\o\al(2,3)＝6(種)情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2Ceq\o\al(2,4)＝12(種)情形．所有可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20(種)．答案：D利用加法原理解決問題時的注意點(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏；(2)分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復．考點二分步乘法原理|有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這項任務，不同的選法有()A．1260種 B．2025種C．2520種 D．5040種[解析]第一步，從10人中選派2人承擔任務甲，有Ceq\o\al(2,10)種選派方法；第二步，從余下的8人中選派1人承擔任務乙，有Ceq\o\al(1,8)種選派方法；第三步，再從余下的7人中選派1人承擔任務丙，有Ceq\o\al(1,7)種選派方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知選法為Ceq\o\al(2,10)·Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,7)＝2520種．[答案]C利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時應注意(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事．從－1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(用數(shù)字作答)．解析：一個二次函數(shù)對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3×3×2＝18個二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6個偶函數(shù)．答案：186考點三兩個原理的應用|兩個原理的應用類型主要有：1．涂色問題．2．幾何問題．3．集合問題．探究一涂色問題1.(2015·湖南十二校聯(lián)考)用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1,2，…，9的9個小正方形(如圖)，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同，且標號為1,5，9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有________種．123456789解析：第一步，從紅、黃、藍三種顏色中任選一種去涂標號為“1、5、9”的小正方形，涂法有3種；第二步，涂標號為“2、3、6”的小正方形，若“2、6”同色，涂法有2×2種，若“2、6”不同色，涂法有2×1種；第三步：涂標號為“4、7、8”的小正方形，涂法同涂標號為“2、3、6”的小正方形的方法一樣．因此符合條件的所有涂法共有3×(2×2＋2×1)×(2×2＋2×1)＝108(種)．答案：108探究二幾何問題2．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24解析：長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”有6×6＝36個，6個對角面構(gòu)成的“平行線面組”有6×2＝12個，共有36＋12＝48個，故選B.答案：B探究三集合問題3．(2015·保定市高三調(diào)研考試)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集．若對?x∈A，y∈B，x<y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有______個．解析：當A＝{1}時，B有23－1種情況，當A＝{2}時，B有22－1種情況，當A＝{3}時，B有1種情況，當A＝{1,2}時，B有22－1種情況，當A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}時，B均有1種情況，所以滿足題意的“子集對”共有7＋3＋1＋3＋3＝17個．答案：17用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成了任務，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．(3)對于復雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析．21.分類不當致誤【典例】(2016·沈陽模擬)一生產(chǎn)過程有四道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有________種．[解析]按甲先分類，再分步①若甲在第一道工序，則第四道工序只能是丙，其余兩道工序的安排方法有4×3＝12種，②若乙在第一道工序，則第四道工序從甲、丙兩人中選一人．有2種方法，其余兩道工序有4×3＝12種方法，所以共有12×2＝24種方法．綜上可知，共有的安排方法有12＋24＝36種．[答案]36[易錯點評]本題解題時分類不當易致誤，分類時可按甲在第一道工序與乙在第一道工序分類．[防范措施]利用兩個原理解題時，關(guān)鍵是根據(jù)要完成的事件恰當?shù)剡x擇唯一標準進行分類，切勿標準不統(tǒng)一，導致多解或少解，從而失誤．[跟蹤練習]如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個．解析：分兩類：①有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個)；②有兩條公共邊的三角形共有8個．故共有32＋8＝40(個)．答案：40A組考點能力演練1．如果把個位數(shù)是1，且恰好有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有()A．9個 B．3個C．12個 D．6個解析：當重復數(shù)字是1時，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)；當重復數(shù)字不是1時，有Ceq\o\al(1,3)種．由分類加法計數(shù)原理，得滿足條件的“好數(shù)”有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝12個．答案：C2．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()A．18個 B．15個C．12個 D．9個解析：依題意，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個數(shù)分別為400,040,004；由3,1,0組成6個數(shù)分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個數(shù)分別為220,202,022；由2,1,1組成3個數(shù)分別為211,121,112.共計：3＋6＋3＋3＝15個．答案：B3．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為()A．56 B．54C．53 D．52解析：在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)共有8×7＝56個對數(shù)值；但在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52(個)．答案：D4．(2015·遼寧五校聯(lián)考)甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方案共有()A．20種 B．30種C．40種 D．60種解析：可將安排方案分為三類：①甲排在周一，共有Aeq\o\al(2,4)種排法；②甲排在周二，共有Aeq\o\al(2,3)種排法；③甲排在周三，共有Aeq\o\al(2,2)種排法，故不同的安排方案共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝20種．故選A.答案：A5．從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A．32個 B．34個C．36個 D．38個解析：先把數(shù)字分成5組：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于選出的5個數(shù)中，任意兩個數(shù)的和都不等于11，所以從每組中任選一個數(shù)字即可，故共可組成2×2×2×2×2＝32(個)．答案：A6．從0,1,2,3,4這5個數(shù)字中任取3個組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)是________．解析：從1,3中取一個排個位，故排個位有2種方法；排百位不能是0，可以從另外3個數(shù)中取一個，有3種方法；排十位有3種方法，故所求奇數(shù)的個數(shù)為3×3×2＝18.答案：187.如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)解析：從A開始涂色，A有6種涂色方法，B有5種涂色方法，C有4種涂色方法，D有4種涂色方法．由分步乘法計數(shù)原理可知，共有6×5×4×4＝480(種)涂色方法．答案：4808．形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1,2,3,4,5可構(gòu)成不重復的五位“波浪數(shù)”的個數(shù)為________．解析：由題意可得，十位和千位只能是4、5或者3、5.若十位和千位排4、5，則其他位置任意排1、2、3，則這樣的數(shù)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(個)；若十位和千位排5、3，這時4只能排在5的一邊且不能和其他數(shù)字相鄰，1、2在其余位置上任意排列，則這樣的數(shù)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4(個)，綜上，共有16個．答案：169．標號為A，B，C的三個口袋，A袋中有1個紅色小球，B袋中有2個不同的白色小球，C袋中有3個不同的黃色小球，現(xiàn)從中取出2個小球．(1)若取出的兩個球顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個球顏色相同，有多少種取法？解析：(1)若兩個球顏色不同，則應在A，B袋中各取一個或A，C袋中各取一個或B，C袋中各取一個．∴應有1×2＋1×3＋2×3＝11(種)．(2)若兩個球顏色相同，則應在B或C袋中取出2個．∴應有1＋3＝4(種)．10．現(xiàn)有4種不同顏色對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有多少種？解：先給最上面的一塊著色，有4種方法，再給中間左邊一塊著色，有3種方法，再給中間右邊一塊著色，有2種方法，最后再給下面一塊著色，有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2×2＝48種方法．B組高考題型專練1．(2014·高考大綱全國卷)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A．60種 B．70種C．75種 D．150種解析：從中選出2名男醫(yī)生的選法有Ceq\o\al(2,6)＝15種，從中選出1名女醫(yī)生的選法有Ceq\o\al(1,5)＝5種，所以不同的選法共有15×5＝75種，故選C.答案：C2．(2014·高考廣東卷)設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個數(shù)為()A．60 B．90C．120 D．130解析：設t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，t＝1說明x1，x2，x3，x4，x5中有一個為－1或1，其他為0，所以有2·Ceq\o\al(1,5)＝10個元素滿足t＝1；t＝2說明x1，x2，x3，x4，x5中有兩個為