中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)-經(jīng)典壓軸題含詳細(xì)答案

中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)-經(jīng)典壓軸題含詳細(xì)答案一、銳角三角函數(shù)1．如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,∠AEF=90°，AE=EF，過點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC．(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：∠ACF=90°；(3)連接AF，過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作圓，如圖2.若EC=4，∠CEF=15°，求的長.圖1圖2【答案】（1）BE="FH"；理由見解析（2）證明見解析（3）=2π【解析】試題分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，F(xiàn)H=EB，從而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH為45°，而∠ACB也為45°，從而可證明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直徑，設(shè)圓心為O，連接EO，過點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，則可得△ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進(jìn)而可得AE的長，得到半徑，得到所對(duì)圓心角的度數(shù)，從而求得弧長試題解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°"且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE∴∠AEB=∠EFH又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH又∵BE+EC=EC+CH∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形對(duì)角線，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM+∠ACD=90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點(diǎn)上．設(shè)該中點(diǎn)為O．連結(jié)EO得∠AOE=90°過E作EN⊥AC于點(diǎn)NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN=又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧對(duì)等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE==EF，∴AF=8AE所在的圓O半徑為4，其所對(duì)的圓心角為∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考點(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數(shù)2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點(diǎn)D，且AD=DC，延長CB交⊙O于點(diǎn)E．（1）圖1的A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中，是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長？請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F．①若CF=CD時(shí)，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）時(shí)，試猜想sin∠CAB的值．（用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】試題分析：（1）連接AE、DE，如圖1，根據(jù)圓周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE；（2）連接AE、ED，如圖2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠AEF=90°，從而可證到△ADE∽△AEF，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得=AD?AF．①當(dāng)CF=CD時(shí)，可得，從而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中運(yùn)用三角函數(shù)可得sin∠CED=，根據(jù)圓周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②當(dāng)CF=aCD（a＞0）時(shí)，同①即可解決問題．試題解析：（1）AE=CE．理由：連接AE、DE，如圖1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）連接AE、ED，如圖2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直徑，∵EF是⊙OO的切線，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD?AF．①當(dāng)CF=CD時(shí)，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC?3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②當(dāng)CF=aCD（a＞0）時(shí)，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC?（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考點(diǎn)：1．圓的綜合題；2．探究型；3．存在型．3．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，∠EMF=135°．將∠EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使∠EMF的兩邊交直線AB于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，請(qǐng)解答下列問題：（1）當(dāng)∠EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM；（2）當(dāng)∠EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖②，圖③的位置時(shí)，請(qǐng)分別寫出線段BE，CF，BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，tan∠BEM=，AN=+1，則BM=，CF=．【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3）1，1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分線，過點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可證明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM進(jìn)而得出結(jié)論；（2）①如圖②時(shí)，同（1）可證△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，②如圖③時(shí)，同（1）可證△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中，，可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分別求出AB、AC、CN、BM、BE的長，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論對(duì)圖①②③進(jìn)行討論可得CF的長.【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠C=45°，∵AM是∠BAC的平分線，MN⊥AC，∴BM=MN，在四邊形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，∵∠ENF=135°，，∴∠BME=∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵M(jìn)N⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵CN=CF+NF，∴BE+CF=BM；（2）針對(duì)圖2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵M(jìn)N⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=NF﹣CF，∴BE﹣CF=BM；針對(duì)圖3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵M(jìn)N⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=CF﹣NF，∴CF﹣BE=BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB=AN=+1，在Rt△ABC中，AC=AB=+1，∴AC=AB=2+，∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，在Rt△CMN中，CM=CN=，∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，在Rt△BME中，tan∠BEM===，∴BE=，∴①由（1）知，如圖1，BE+CF=BM，∴CF=BM﹣BE=1﹣②由（2）知，如圖2，由tan∠BEM=，∴此種情況不成立；③由（2）知，如圖3，CF﹣BE=BM，∴CF=BM+BE=1+，故答案為1，1+或1﹣．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解.4．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點(diǎn)D在邊AC上且BD平分∠ABC，設(shè)CD=x．（1）求證：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）．【解析】試題分析：（1）由等腰三角形ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出∠DBC的度數(shù)，得到∠DBC=∠A，再由∠C為公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似；（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC，根據(jù)AD+DC表示出AC，由（1）兩三角形相似得比例求出x的值即可；（3）過B作BE垂直于AC，交AC于點(diǎn)E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36°與cos72°的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．試題解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，設(shè)CD=x，則有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴，即，整理得：x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（負(fù)值，舍去），則x=；（3）過B作BE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，∵BD=CD，∴E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，則cos36°-cos72°=-=．【考點(diǎn)】1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.黃金分割；4.解直角三角形．5．如圖，拋物線C1：y=（x+m）2（m為常數(shù)，m＞0），平移拋物線y=﹣x2，使其頂點(diǎn)D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2．拋物線C2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a．（1）如圖1，若m=．①當(dāng)OC=2時(shí)，求拋物線C2的解析式；②是否存在a，使得線段BC上有一點(diǎn)P，滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，當(dāng)OB=2﹣m（0＜m＜）時(shí)，請(qǐng)直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）．【答案】(1)①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】試題分析：（1）①首先寫出平移后拋物線C2的解析式（含有未知數(shù)a），然后利用點(diǎn)C（0，2）在C2上，求出拋物線C2的解析式；②認(rèn)真審題，題中條件“AP=BP”意味著點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，“點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大”意味著OP⊥BC．畫出圖形，如圖1所示，利用三角函數(shù)（或相似），求出a的值；（2）解題要點(diǎn)有3個(gè)：i）判定△ABD為等邊三角形；ii）理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；iii）滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)，即△ABD形內(nèi)1個(gè)（內(nèi)心），形外3個(gè)．不要漏解．試題解析：（1）當(dāng)m=時(shí)，拋物線C1：y=（x+）2．∵拋物線C2的頂點(diǎn)D在拋物線C1上，且橫坐標(biāo)為a，∴D（a，（a+）2）．∴拋物線C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵點(diǎn)C在拋物線C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得拋物線C2的解析式為：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有：，解得，∴直線BC的解析式為：y=﹣x+（a+）．假設(shè)存在滿足條件的a值．∵AP=BP，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)P在C2的對(duì)稱軸上；∵點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和≤BC，只有OP⊥BC時(shí)等號(hào)成立，∴OP⊥BC．如圖1所示，設(shè)C2對(duì)稱軸x=a（a＞0）與BC交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)E，則OP⊥BC，OE=a．∵點(diǎn)P在直線BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得線段BC上有一點(diǎn)P，滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP="BP"（3）∵拋物線C2的頂點(diǎn)D在拋物線C1上，且橫坐標(biāo)為a，∴D（a，（a+m）2）．∴拋物線C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如圖2所示，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，則DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD為等邊三角形．作∠ABD的平分線，交DE于點(diǎn)P1，則P1E=BE?tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各個(gè)外角的平分線，它們相交于點(diǎn)P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE?tan60°=?=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均為等邊三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x軸．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．綜上所述，到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)有4個(gè)，其坐標(biāo)為：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．6．我市在創(chuàng)建全國文明城市的過程中，某社區(qū)在甲樓的A處與E處之間懸掛了一副宣傳條幅，在乙樓頂部C點(diǎn)測得條幅頂端A點(diǎn)的仰角為45°，條幅底端E點(diǎn)的俯角為30°，若甲、乙兩樓之間的水平距離BD為12米，求條幅AE的長度．(結(jié)果保留根號(hào))【答案】的長為【解析】【分析】在中求AF的長,在中求EF的長,即可求解.【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)F由題知：四邊形為矩形在中，在中，求得的長為【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.7．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量校園主教學(xué)樓AB的高度，由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá)，故興趣小組在平地上選擇一點(diǎn)C，用測角器測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為30°，再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米，到達(dá)點(diǎn)E處（C，E，B三點(diǎn)在同一直線上），又測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60°，已知測角器CD的高度為1.6米，請(qǐng)計(jì)算主教學(xué)樓AB的高度．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而求解．【詳解】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，tan∠ACG=，∴CG==AG．又∵CG﹣FG=24m，即AG﹣=24m，∴AG=12m，∴AB=12+1.6≈22.4m．8．如圖①，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)．（1）試求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，試求5PA+4PC的最小值；（3）如圖②，若直線l經(jīng)過點(diǎn)T（﹣4，0），Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式．【答案】（1）；（2）5PA+4PC的最小值為18；（3）直線l的解析式為或.【解析】【分析】（1）設(shè)出交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)計(jì)算即可（2）連接AC、BC，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，易證△CDP∽△COB，得到比例式，得到PD=PC，所以5PA+4PC＝5（PA+PC）＝5（PA+PD），當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小，利用等面積法求出AE=，即最小值為18（3）取AB中點(diǎn)F，以F為圓心、FA的長為半徑畫圓,當(dāng)∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°，即∠AQB＝90°時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q，∴直線l與⊙F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足∠AQB＝90°的點(diǎn)Q只有一個(gè)；此時(shí)，連接FQ，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G，利用cos∠QFT求出QG，分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A（﹣2，0）、B（4，0）∴y＝a（x+2）（x﹣4）把點(diǎn)C（0，3）代入得：﹣8a＝3∴a＝﹣∴拋物線解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3（2）連接AC、BC，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D∴∠CDP＝∠COB＝90°∵∠DCP＝∠OCB∴△CDP∽△COB∴∵B（4，0），C（0，3）∴OB＝4，OC＝3，BC＝=5∴PD＝PC∴5PA+4PC＝5（PA+PC）＝5（PA+PD）∴當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小∵A（﹣2，0），OC⊥AB，AE⊥BC∴S△ABC＝AB?OC＝BC?AE∴AE＝∴5AE＝18∴5PA+4PC的最小值為18．（3）取AB中點(diǎn)F，以F為圓心、FA的長為半徑畫圓當(dāng)∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，∴只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°∴∠AQB＝90°時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q∵當(dāng)Q在⊙F上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），∠AQB＝90°∴直線l與⊙F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足∠AQB＝90°的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G∴∠FQT＝90°∵F為A（﹣2，0）、B（4，0）的中點(diǎn)∴F（1，0），F(xiàn)Q＝FA＝3∵T（﹣4，0）∴TF＝5，cos∠QFT＝∵Rt△FGQ中，cos∠QFT＝∴FG＝FQ＝∴xQ＝1﹣，QG＝①若點(diǎn)Q在x軸上方，則Q（）設(shè)直線l解析式為：y＝kx+b∴解得：∴直線l：②若點(diǎn)Q在x軸下方，則Q（）∴直線l：綜上所述，直線l的解析式為或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合度比較高，需要很強(qiáng)的綜合能力，第三問能夠找到滿足條件的Q點(diǎn)是關(guān)鍵，同時(shí)不要忘記需要分情況討論9．蘭州銀灘黃河大橋北起安寧營門灘，南至七里河馬灘，是黃河上游的第一座大型現(xiàn)代化斜拉式大橋如圖，小明站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是31°，拉索AB的長為152米，主塔處橋面距地面7.9米（CD的長），試求出主塔BD的高．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高約為86.9米．【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中由三角函數(shù)得出BC相應(yīng)長度，再由BD=BC+CD可得出.【詳解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，．∴．（米）答：主塔BD的高約為86.9米．【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角形與三角函數(shù)的結(jié)合，熟悉掌握是解決本題的關(guān)鍵.10．如圖，在?ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AC⊥BC于點(diǎn)C，將△ABC沿AC翻折得到△AEC，連接DE．（1）求證：四邊形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)?ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不難證明；（2）依據(jù)已知條件，在△ABD或△AOC作垂線AF或OF，求出相應(yīng)邊的長度，即可求出∠ABD的正弦值．【詳解】（1）證明：∵將△ABC沿AC翻折得到△AEC，∴BC＝CE，AC⊥CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∵AC⊥CE，∴四邊形ACED是矩形．（2）解：方法一、如圖1所示，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，∵BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4，∴在Rt△BDE中，∵S△BDE＝×DE?AD＝AF?BD，∴AF＝，∵Rt△ABC中，AB＝＝5，∴Rt△ABF中，sin∠ABF＝sin∠ABD＝．方法二、如圖2所示，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，同理可得，OB＝，∵S△AOB＝，∴OF＝，∵在Rt△BOF中，sin∠FBO＝，∴sin∠ABD＝．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形求線段的長度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計(jì)算公式求出sin∠ABD．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣6，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且cosB＝，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長度的速度向D點(diǎn)移動(dòng)（P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），移動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l與菱形的其它邊交于點(diǎn)Q．（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）求△OPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（3）在直線l移動(dòng)過程中，是否存在t值，使S＝？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10，8）．（2）S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S＝，S的最大值為．（3）3或5+.【解析】【分析】（1）在Rt△BOC中，求BC,OC,根據(jù)菱形性質(zhì)再求D的坐標(biāo)；（2）分兩種情況分析：①當(dāng)0≤t≤4時(shí)和②當(dāng)4＜t≤10時(shí)，根據(jù)面積公式列出解析式，再求函數(shù)的最值；（3）分兩種情況分析：當(dāng)0≤t≤4時(shí)，4t＝12，；當(dāng)4＜t≤10時(shí)，【詳解】解：（1）在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝6，cosB＝，∵四邊形ABCD為菱形，CD∥x軸，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10，8）．（2）∵AB＝BC＝10，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．分兩種情況考慮，如圖1所示．①當(dāng)0≤t≤4時(shí)，PQ＝OC＝8，OQ＝t，∴S＝PQ?OQ＝4t，∵4＞0，∴當(dāng)t＝4時(shí)，S取得最大值，最大值為16；②當(dāng)4＜t≤10時(shí)，設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b（k≠0），將A（4，0），D（10，8）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直線AD的解析式為．當(dāng)x＝t時(shí)，，∴當(dāng)t＝5時(shí)，S取得最大值，最大值為．綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S＝，S的最大值為．（3）S菱形ABCD＝AB?OC＝80．當(dāng)0≤t≤4時(shí)，4t＝12，解得：t＝3；當(dāng)4＜t≤10時(shí)，＝12，解得：t1＝5﹣（舍去），t2＝5+．綜上所述：在直線l移動(dòng)過程中，存在t值，使S＝，t的值為3或5+．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問題.數(shù)形結(jié)合，分類討論是關(guān)鍵.12．拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）過點(diǎn)A(1,﹣1)，B(5,﹣1)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線表達(dá)式；（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作?CBPQ，若點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且?CBPQ的面積為30，①求點(diǎn)P坐標(biāo);②過此二點(diǎn)的直線交y軸于F,此直線上一動(dòng)點(diǎn)G,當(dāng)GB+最小時(shí),求點(diǎn)G坐標(biāo).（3）如圖2，⊙O1過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），∠MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N，求線段BN長度的最大值【答案】（1）y=x2﹣6x+4（2）①P(2,-4)或P(3,-5)②G(0,-2)（3）【解析】【分析】（1）把點(diǎn)A（1，-1），B（5，-1）代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達(dá)式；（2）①如圖，連接PC，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于R，可求得直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)點(diǎn)P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因?yàn)?CBPQ的面積為30，所以S△PBC=×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，解得t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P為（2，-4）時(shí)，求得直線QP的解析式為：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因?yàn)镚B+GF=GB+GR，所以當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，即可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P為（3，-5）時(shí)，同理可求；（3）先用面積法求出sin∠ACB=，tan∠ACB=，在Rt△ABE中，求得圓的直徑，因?yàn)镸B⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因?yàn)閠anN=＝，所以BN=MB，當(dāng)MB為直徑時(shí)，BN的長度最大．【詳解】(1)解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）過點(diǎn)A（1，-1），B（5，-1），∴解得∴拋物線表達(dá)式為y=x2﹣6x+4．(2)①如圖，連接PC，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于R，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，∵B（5，-1），C（0，4），∴，解得∴直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)點(diǎn)P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），∵?CBPQ的面積為30，∴S△PBC=×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，解得t=2或t=3，當(dāng)t=2時(shí)，y=-4當(dāng)t=3時(shí)，y=-5，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，-4）或（3，-5）；②當(dāng)點(diǎn)P為（2，-4）時(shí)，∵直線BC解析式為：y=-x+4，

QP∥BC，設(shè)直線QP的解析式為：y=-x+n，將點(diǎn)P代入，得-4=-2+n，n=-2，∴直線QP的解析式為：y=-x-2，∴F（0，-2），∠GOR=45°，∴GB+GF=GB+GR當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-2），同理，當(dāng)點(diǎn)P為（3，-5）時(shí)，直線QP的解析式為：y=-x-2，同理可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-2），(3)）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），∴AC=，BC=5，∵S△ABC=AC×BCsin∠ACB＝AB×5，∴sin∠ACB=，tan∠ACB=，∵AE為直徑，AB=4，∴∠ABE=90°，∵sin∠AEB=sin∠ACB=＝，∴AE=2，∵M(jìn)B⊥NB，∠NMB=∠EAB，∴∠N=∠AEB=∠ACB，∴tanN=＝，∴BN=MB，當(dāng)MB為直徑時(shí)，BN的長度最大，為3．【點(diǎn)睛】題考查用到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形性質(zhì)．解決（3）問的關(guān)鍵是找到BN與BM之間的數(shù)量關(guān)系．13．如圖，正方形ABCD的邊長為+1，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC分別交BC、BD于E、F，（1）求證：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在線段AC上找一點(diǎn)P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠EAB＝﹣1；（3）PE+PF的最小值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判斷即可；（2）如圖1中，作EH⊥AC于H．首先證明BE=EH=HC，設(shè)BE=EH=HC=x，構(gòu)建方程求出x即可解決問題；（3）如圖2中，作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接EH交AC于點(diǎn)P，連接PF，此時(shí)PF+PE的值最小，最小值為線段EH的長；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如圖1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，設(shè)BE＝HE＝HC＝x，則EC＝x，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan∠EAB＝﹣1．（3）如圖2中，作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接EH交AC于點(diǎn)P，連接PF，此時(shí)PF+PE的值最?。鱁M⊥BD于M．BM＝EM＝，∵AC＝＝2+，∴OA＝OC＝OB＝AC＝，∴OH＝OF＝OA?tan∠OAF＝OA?tan∠EAB＝?（﹣1）＝，∴HM＝OH+OM＝，在Rt△EHM中，EH＝＝．．∴PE+PF的最小值為．．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，勾股定理，最短問題等知識(shí)，解題的