浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題03平行線中的拐點(diǎn)問題壓軸題三種模型全攻略(原卷版+解析)

專題03平行線中的拐點(diǎn)問題壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】 1【考點(diǎn)二平行線中兩點(diǎn)及多點(diǎn)拐點(diǎn)問題】 3【考點(diǎn)三平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】 6【過關(guān)檢測(cè)】 9【典型例題】【考點(diǎn)一平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】例題：（2022·四川南充·九年級(jí)期中）如圖，，若，，則∠E=______．【變式訓(xùn)練】1．（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是______．2．（2022·甘肅·涼州區(qū)洪祥鎮(zhèn)九年制學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，若ABCD，則，，則______．【考點(diǎn)二平行線中兩點(diǎn)及多點(diǎn)拐點(diǎn)問題】例題：（2022·云南·彌勒市朋普中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江·蘭溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．2．（2022·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．【考點(diǎn)三平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】例題：（2022·四川瀘州·七年級(jí)期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點(diǎn)的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．2．（2022·山東·濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野中心中學(xué)期中）幸福鄉(xiāng)要修建一條灌溉水渠，如圖，水渠從A村沿北偏東60°的方向到B村，從B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠從C村沿CD方向修建可以保持與AB的方向一致，則∠DCB的度數(shù)為_____°【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2022秋·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線ABCD，∠B＝25°，∠D＝37°，則∠E＝（

）A．25° B．37° C．62° D．12°2．（2022秋·山東菏澤·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，則等于（

）A．45° B．55° C．135° D．145°3．（2022秋·甘肅蘭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（

）A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠24．（2022秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谥校┠惩瑢W(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2022秋·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，，則的度數(shù)為___．6．（2022秋·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）科技小制作的特點(diǎn)在于富含科技，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、材料好找、加工容易、能夠獨(dú)立完成，特別適合于學(xué)生．如圖所示，某科技制作小組制作的一艘航模船從A點(diǎn)出發(fā)，沿東北方向航行至B點(diǎn)，再從B點(diǎn)出發(fā)沿南偏東15°方向航行至C點(diǎn)，則等于______．7．（2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角為∠C，若MA與CN平行，則∠C的度數(shù)為_________.8．（2022秋·遼寧葫蘆島·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．三、解答題9．（2022秋·黑龍江牡丹江·七年級(jí)校考期末）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．(1)如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；(2)如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為______．10．（2022春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?）問題背景：如圖1，已知，點(diǎn)P的位置如圖所示，連結(jié)，試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，以下是小明同學(xué)的探索過程，請(qǐng)你結(jié)合圖形仔細(xì)閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：解：過點(diǎn)P作∵（已知），∴（______），∴，（______），∴______＋______（等式的性質(zhì)）．即，，之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）類比探究：如圖2，已知，線段與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)．若，，則______．（3）拓展延伸：如圖3，若與的角平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系______．11．（2022春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期末）【感知】如圖①，，，，的度數(shù)為______．【探究】如圖②，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，，，（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系．（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段C，D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)C，D，O三點(diǎn)不重合），直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系為______．12．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)F．(1)在圖1中，求證：①；②；(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)你寫出與之間的關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)，，且時(shí)，請(qǐng)你直接寫出的度數(shù)（用含m，n的式子表示）13．（2021秋·貴州黔東南·七年級(jí)?？计谀╅喿x下在材料：彤彤遇到這樣一個(gè)問題：已知：如圖甲，ABCD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED，求證：∠BED=∠B+∠D．彤彤是這樣想的：過點(diǎn)E作EFAB，則有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，即∠BED=∠B+∠D．請(qǐng)參照彤彤思考問題的方法，解決下列問題：如圖．已知：直線，點(diǎn)A，B在直線上，點(diǎn)C，D在直線上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直線交于點(diǎn)E．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC=，∠ADC=，直接寫出∠BED的度數(shù)（用含有、的式子表示）14．（2022秋·上海寶山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．(1)當(dāng)點(diǎn)M在如圖1的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；(2)當(dāng)點(diǎn)M在如圖2的位置時(shí)，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．15．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線ABCD，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C=∠BEC．請(qǐng)把下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：過點(diǎn)E作EFAB，∵ABDC（已知），EFAB（輔助線的作法），∴EFDC（__________________）．∴∠C=∠CEF．（__________________）∵EFAB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=_________（等量代換）即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究：如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，說明：∠B+∠C=360°?∠BEC．（3）解決問題如圖③，ABDC，E、F、G是AB與CD之間的點(diǎn)，找出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．專題03平行線中的拐點(diǎn)問題壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】 1【考點(diǎn)二平行線中兩點(diǎn)及多點(diǎn)拐點(diǎn)問題】 3【考點(diǎn)三平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】 6【過關(guān)檢測(cè)】 9【典型例題】【考點(diǎn)一平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】例題：（2022·四川南充·九年級(jí)期中）如圖，，若，，則∠E=______．【答案】##66度【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作，則，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等分別求出，則．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線求出是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可直接得到答案．【詳解】如下圖所示，過點(diǎn)C作，∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵，，∴，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴，∴，∴在原圖中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．（2022·甘肅·涼州區(qū)洪祥鎮(zhèn)九年制學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，若ABCD，則，，則______．【答案】##20度【分析】過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，再結(jié)合可得，進(jìn)而可得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，則，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，構(gòu)造合適的輔助線是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)二平行線中兩點(diǎn)及多點(diǎn)拐點(diǎn)問題】例題：（2022·云南·彌勒市朋普中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【分析】連接BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案為：540°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江·蘭溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．【答案】30°##30度【分析】過A點(diǎn)作AB直線l1，過C點(diǎn)作CD直線l2，由平行線的性質(zhì)可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，結(jié)合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，進(jìn)而可求解．【詳解】解：過A點(diǎn)作AB直線l1，過C點(diǎn)作CD直線l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直線l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角的計(jì)算，作適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．【答案】②③④【分析】①過點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長(zhǎng)AB到G，由平行線的性質(zhì)可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④過點(diǎn)P作PFAB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯(cuò)誤；②如圖2，過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，則②正確；③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長(zhǎng)AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的結(jié)論可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正確；④如圖4，過點(diǎn)P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確；故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】例題：（2022·四川瀘州·七年級(jí)期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________．【答案】【分析】根據(jù)方位角的概念，過點(diǎn)作輔助線，構(gòu)造兩組平行線，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，作，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角的概念，解答題目的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造平行線．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式訓(xùn)練】1．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點(diǎn)的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【答案】##60度【分析】如圖所示，過點(diǎn)O作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作，∵光線，都是水平線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東·濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野中心中學(xué)期中）幸福鄉(xiāng)要修建一條灌溉水渠，如圖，水渠從A村沿北偏東60°的方向到B村，從B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠從C村沿CD方向修建可以保持與AB的方向一致，則∠DCB的度數(shù)為_____°【答案】90度##90°【分析】根據(jù)CD與AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根據(jù)，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，則有∠DCB=90°，問題得解．【詳解】如圖，設(shè)置點(diǎn)M、N，根據(jù)題意有：，∵CD與AB的方向一致，∴，∴∠DCB=∠CBA，∵，∴∠A+∠ABN=180°，∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°，∴∠ABC=90°，∴∠DCB=90°，故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、方位角的應(yīng)用，明確題意，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2022秋·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線ABCD，∠B＝25°，∠D＝37°，則∠E＝（

）A．25° B．37° C．62° D．12°【答案】C【分析】首先過點(diǎn)E作EFAB，由ABCD，可得ABEFCD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∵∠B＝25°，∠D＝37°，∴∠1＝∠B＝25°，∠2＝∠D＝37°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝25°＋37°＝62°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．用到的性質(zhì)是：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2022秋·山東菏澤·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，則等于（

）A．45° B．55° C．135° D．145°【答案】C【分析】過點(diǎn)作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)已知求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，∴，∴,∵，∴，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理的推論，平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·甘肅蘭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（

）A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠2【答案】A【分析】先利用平行線的性質(zhì)說明∠3、∠1、∠4、∠2間關(guān)系，再利用角的和差關(guān)系求出∠BCE．【詳解】解：如圖，∵ABCD，CDEF，∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，∴∠4＝180°－∠2，∴∠BCE＝∠4+∠3＝180°﹣∠2＋∠1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谥校┠惩瑢W(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，∵，，，又，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等．二、填空題5．（2022秋·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，，則的度數(shù)為___．【答案】125°或125度【分析】過點(diǎn)C做的直線，得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角相等，即可求出的度數(shù)．【詳解】∵∴過點(diǎn)C做∴∴；又∵，∴；∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．6．（2022秋·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）科技小制作的特點(diǎn)在于富含科技，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、材料好找、加工容易、能夠獨(dú)立完成，特別適合于學(xué)生．如圖所示，某科技制作小組制作的一艘航模船從A點(diǎn)出發(fā)，沿東北方向航行至B點(diǎn)，再從B點(diǎn)出發(fā)沿南偏東15°方向航行至C點(diǎn)，則等于______．【答案】60°##60度【分析】根據(jù)題意可得，，從而利用平行線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如下圖：由題意得：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．7．（2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角為∠C，若MA與CN平行，則∠C的度數(shù)為_________.【答案】140°##140度【分析】作，如圖，利用平行線的傳遞性得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)由得到∠ABD=∠A=120°，則∠DBC=40°，然后利用求出∠C．【詳解】解：作，如圖，∵，,∴，∵,∴∠ABD=∠A=110°，∴∠DBC=150°?110°=40°，∵，∴∠C+∠DBC=180°，∴∠C=180°?40°=140°.故答案為：140°【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定及性質(zhì)，已知兩條直線平行，找截線，才會(huì)有同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果沒有截線，那就要做輔助線，構(gòu)造截線，本題的解題關(guān)鍵在于作，成功構(gòu)造出了截線AB和BC．8．（2022秋·遼寧葫蘆島·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．【答案】②③④【分析】①過點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長(zhǎng)AB到G，由平行線的性質(zhì)可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④過點(diǎn)P作PFAB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯(cuò)誤；②如圖2，過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，則②正確；③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長(zhǎng)AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的結(jié)論可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正確；④如圖4，過點(diǎn)P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確；故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2022秋·黑龍江牡丹江·七年級(jí)?？计谀┮阎本€AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．(1)如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；(2)如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】(1)∠APD=80°(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°【分析】（1）過點(diǎn)P作PQAB，利用平行線的性質(zhì)求出∠A=∠APQ=50°，∠DPQ=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度數(shù)；（2）過點(diǎn)P作PEAB，得到∠A+∠APE=180°，由ABCD，得到PECD，推出∠CDP=∠APD+180°-∠PAB，即可得到結(jié)論∠PAB+∠CDP-∠APD=180°．（1）過點(diǎn)P作PQAB，∵∠A=50°，∠D=150°，∴∠A=∠APQ=50°，∵ABCD，∴PQCD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）如圖，過點(diǎn)P作PEAB，∴∠A+∠APE=180°，∵ABCD，∴PECD，∴∠CDP=∠DPE=∠APD+∠APE=∠APD+180°-∠PAB，∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，故答案為∠PAB+∠CDP-∠APD=180°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?）問題背景：如圖1，已知，點(diǎn)P的位置如圖所示，連結(jié)，試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，以下是小明同學(xué)的探索過程，請(qǐng)你結(jié)合圖形仔細(xì)閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：解：過點(diǎn)P作∵（已知），∴（______），∴，（______），∴______＋______（等式的性質(zhì)）．即，，之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）類比探究：如圖2，已知，線段與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)．若，，則______．（3）拓展延伸：如圖3，若與的角平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系______．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；；；（2）；（3）【分析】（1）結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)填空即可；（2）如圖2，過E點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可求解；（3）由（2）知：，如圖3，過F點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義即可求解．【詳解】解：（1）過點(diǎn)P作，∵（已知），∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴（等式的性質(zhì)）．即，，之間的數(shù)量關(guān)系是．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；；；（2）如圖2，過E點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（3）由（2）知：，如圖3，過F點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴．即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，利用類比方式推理是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期末）【感知】如圖①，，，，的度數(shù)為______．【探究】如圖②，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，，，（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系．（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段C，D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)C，D，O三點(diǎn)不重合），直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】感知：；探究：（1）；（2）或．【分析】感知：過點(diǎn)P作直線，根據(jù)平行線性質(zhì)知兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可以求出，和即可；探究：（1）如圖，過點(diǎn)P作直線，而，可得，可得，，從而可得答案；（2）當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作直線，而，可得，可得，，當(dāng)在的右邊時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作直線，而，，，，再利用角的和差可得答案．【詳解】解：感知：過點(diǎn)P作直線，∵，∴．∴，，∵，，∴，，∴．∴的度數(shù)為．故答案為：105°；探究：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作直線，而，∴，∴，，∴．（2）當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作直線，而，∴，∴，，∴．當(dāng)在的右邊時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作直線，而，∴，∴，，∴．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建平行線探究角與角之間的聯(lián)系是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)F．(1)在圖1中，求證：①；②；(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)你寫出與之間的關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)，，且時(shí)，請(qǐng)你直接寫出的度數(shù)（用含m，n的式子表示）【答案】(1)證明見詳解；(2)，證明見詳解；(3)【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：，②根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：，（2）設(shè)，，則，，，根據(jù)（1）和四邊形內(nèi)角和得等式可得結(jié)論；（3）同（2）將3倍換為n倍，同理可得結(jié)論；【詳解】（1）證明：①如圖１，過點(diǎn)作，，，，證明：②如圖１，過點(diǎn)作，，即（2）解：關(guān)系式為，證明：設(shè)，，時(shí)，且平分，平分，，由（１）得，，，，即，，（3）解：設(shè)則，，由（１）可得，，，，，即的度數(shù)（用含m，n的式子表示）表示為【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線、n等分線及四邊形的內(nèi)角和的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，解題時(shí)注意類比思想的運(yùn)用．13．（2021秋·貴州黔東南·七年級(jí)?？计谀╅喿x下在材料：彤彤遇到這樣一個(gè)問題：已知：如圖甲，ABCD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED，求證：∠BED=∠B+∠D．彤彤是這樣想的：過點(diǎn)E作EFAB，則有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，即∠BED=∠B+∠D．請(qǐng)參照彤彤思考問題的方法，解決下列問題：如圖．已知：直線，點(diǎn)A，B在直線上，點(diǎn)C，D在直線上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直線交于點(diǎn)E．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC=，∠ADC=，直接寫出∠BED的度數(shù)（用含有、的式子表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)E作EFAB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，根據(jù)∠ABC=60°，∠ADC=70°，參照彤彤思考問題的方法即可求∠BED的度數(shù)；（2）過點(diǎn)E作EFAB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，∠ABC=α，∠ADC=β，參照彤彤思考問題的方法即可求∠BED的度數(shù)．（1）如圖1，過點(diǎn)作，

，

，，，，（2）過點(diǎn)E作EFAB，如圖2，則∠BEF+∠EBA=180°，∴∠BEF=180°-∠EBA，∵ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠EDC，∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-α+β．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．14．（2022秋·上海寶山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．(1)當(dāng)點(diǎn)M在如圖1的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；(2)當(dāng)點(diǎn)M在如圖2的位置時(shí)，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；見解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在題干的基礎(chǔ)上，通過平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）仿照（1）的解題思路，過點(diǎn)M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．（1）解：如圖①，過點(diǎn)M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵M(jìn)N∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如圖②，過點(diǎn)M作MN∥AB，∵M(jìn)N∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案為：∠M