河北省保定市易縣中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

河北省保定市易縣中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，若為等邊三角形（兩點在兩側），則當四邊形的面積最大時，（）A． B． C． D．2．已知，且，則實數(shù)的值為（）A．2 B． C．3 D．3．“”是“直線：與直線：垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是()A． B． C． D．5．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且=3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若=x+(1-x)，則x的取值范圍是()A． B．C． D．6．已知集合，則().A． B． C． D．7．在中，角的對邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．38．已知是的邊上的中點，若向量，，則向量等于（）A． B． C． D．9．若展開式中的系數(shù)為-20，則等于（）A．-1 B． C．-2 D．10．已知空間中兩點和的距離為6，則實數(shù)的值為（）A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1或9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程在上的解集為______．12．已知數(shù)列，其前項和為，若，則在，，…，中，滿足的的個數(shù)為______.13．已知腰長為的等腰直角△中，為斜邊的中點，點為該平面內一動點，若，則的最小值________．14．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，則________.15．已知函數(shù)在時取得最小值，則________．16．已知向量，，若，則實數(shù)__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在等差數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的前項和的最大值；（2）若，求數(shù)列前項和．18．已知向量.（1）求函數(shù)的解析式及在區(qū)間上的值域；（2）求滿足不等式的的集合.19．在平面直角坐標系中，O是坐標原點，向量若C是AB所在直線上一點，且，求C的坐標．若，當，求的值．20．無窮數(shù)列滿足：為正整數(shù)，且對任意正整數(shù)，為前項、、、中等于的項的個數(shù).（1）若，求和的值；（2）已知命題存在正整數(shù)，使得，判斷命題的真假并說明理由；（3）若對任意正整數(shù)，都有恒成立，求的值.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形.（1）求證：平面；（2）若為的中點，，求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

求出三角形的面積，求出四邊形的面積，運用三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域，求出滿足條件的角的值即可．【詳解】設，，，是正三角形，，由余弦定理得：，，時，四邊形的面積最大，此時．故選A．【點睛】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，考查兩角的和差公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡運算能力，屬于中檔題．2、D【解析】

根據(jù)二角和與差的正弦公式化簡，，再切化弦，即可求解.【詳解】由題意又解得故選：【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎題.3、A【解析】試題分析：由題意得，直線與直線垂直，則，解得或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件，故選A．考點：兩條直線的位置關系及充分不必要條件的判定．4、C【解析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內切圓半徑，然后分別計算出內切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率，故選C．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．5、D【解析】

根據(jù)所給的數(shù)量關系，寫出要求向量的表示式，注意共線的向量之間的三分之一關系，根據(jù)表示的關系式和所給的關系式進行比較，得到結果．【詳解】如圖.依題意，設=λ，其中1<λ<，則有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)，且不共線，于是有x=1-λ∈，即x的取值范圍是.故選D.【點睛】本題考查向量的基本定理，是一個基礎題，這種題目可以出現(xiàn)在解答題目中，也可以單獨出現(xiàn)，注意表示向量時，一般從向量的起點出發(fā)，繞著圖形的邊到終點．6、B【解析】

求解一元二次不等式的解集，化簡集合的表示，最后運用集合交集的定義，結合數(shù)軸求出.【詳解】因為，所以，故本題選B.【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的運算，正確求解一元二次不等式的解集、運用數(shù)軸是解題的關鍵.7、D【解析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．8、C【解析】

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，以及平行四邊形的性質可得，，解出向量．【詳解】根據(jù)平行四邊形法則以及平行四邊形的性質，有．故選．【點睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則以及平行四邊形的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、A【解析】由，可得將選項中的數(shù)值代入驗證可得，符合題意，故選A.10、C【解析】

利用空間兩點間距離公式求出值即可?！驹斀狻坑蓛牲c之間距離公式，得：，化為：，解得：或9，選C?！军c睛】空間兩點間距離公式：。代入數(shù)據(jù)即可，屬于基礎題目。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由求出的取值范圍，由可得出的值，從而可得出方程在上的解集.【詳解】，，由，得.，解得，因此，方程在上的解集為.故答案為：.【點睛】本題考查正切方程的求解，解題時要求出角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.12、1【解析】

運用周期公式，求得，運用誘導公式及三角恒等變換，化簡可得，即可得到滿足條件的的值．【詳解】解：，可得周期，，則滿足的的個數(shù)為．故答案為：1．【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性及應用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，以及運算能力，屬于中檔題．13、【解析】

如圖建立平面直角坐標系，∴，當sin時，得到最小值為，故選．14、【解析】

討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】拋物線的焦點F為，當斜率不存在時，易知，故；當斜率存在時，設，故，即，故，.綜上所述：.故答案為：.【點睛】本題考查了拋物線中線段長度問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.15、【解析】試題分析：因為，所以，當且僅當即，由題意，解得考點：基本不等式16、【解析】

根據(jù)平面向量時，列方程求出的值．【詳解】解：向量，，若，則，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算應用問題，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)9；(2)【解析】

（1）利用等差數(shù)列公式得到，當時，最大為9（2）討論和兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】(1)，又，所以令，得所以當時，最大為.(2)由（1）可知，當時，，所以當時，，所以.綜上所述：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，前N項和最大值，絕對值求和，找到通項公式的正負分界處是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、（1），值域為（2）【解析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積，得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質，即可得出結果；（2）先由題意，將不等式化為，結合正弦函數(shù)的性質，即可得出結果.【詳解】解：（1），由，得，，，在區(qū)間上的值域為（2）由，得，即所以解得，的解集為【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的值域，以及三角不等式，熟記正弦函數(shù)的性質即可，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）或1【解析】

由向量共線的坐標運算得：設，可得，又因為，，即.由題意結合向量加減法與數(shù)量積的運算化簡得，所以，運算可得解.【詳解】，因為C是AB所在直線上一點，設，可得，又因為，所以，解得，所以，故答案為且，顯然，所以，，又所以，即，所以，所以即，解得：或，故答案為或1．【點睛】本題考查了向量共線的坐標運算及平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題．20、（1），；（2）真命題，證明見解析；（3）.【解析】

（1）根據(jù)題意直接寫出、、的值，可得出結果；（2）分和兩種情況討論，找出使得等式成立的正整數(shù)，可得知命題為真命題；（3）先證明出“”是“存在，當時，恒有成立”的充要條件，由此可得出，然后利用定義得出，由此可得出的值.【詳解】（1）根據(jù)題意知，對任意正整數(shù)，為前項、、、中等于的項的個數(shù)，因此，，，；（2）真命題，證明如下：①當時，則，，，此時，當時，；②當時，設，則，，，此時，當時，.綜上所述，命題為真命題；（3）先證明：“”是“存在，當時，恒有成立”的充要條件.假設存在，使得“存在，當時，恒有成立”.則數(shù)列的前項為，，，，，，后面的項順次為，，，，故對任意的，，對任意的，取，其中表示不超過的最大整數(shù)，則，令，則，此時，有，這與矛盾，故若存在，當時，恒有成立，必有；從而得證.另外：當時，數(shù)列為，故，則.【點睛】本題考查數(shù)列知識的應用，涉及到命題真假的判斷，同時也考查了數(shù)列新定義問題，解題時要充分從題中數(shù)列的定義出發(fā)，充分利用分類討論思想，綜合性強，屬于難題.21、（1）證明見解析，（2