2025屆北京市156中學高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆北京市156中學高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的最小值為(

)A．6 B．7 C．8 D．92．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則通項公式等于()．A． B． C． D．3．如右圖所示，直線的斜率分別為則A． B．C． D．4．己知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0134y1469則y與x的線性回歸直線y=A．(2,5) B．(5,9) C．(0,1) D．(1,4)5．空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是（）A． B．C． D．6．為了了解運動員對志愿者服務質(zhì)量的意見，打算從1200名運動員中抽取一個容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段間隔為A．40 B．20 C．30 D．127．已知，，，則它們的大小關系是（）A． B． C． D．8．l：與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．39．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④10．設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為________．12．已知圓：，若對于圓：上任意一點，在圓上總存在點使得，則實數(shù)的取值范圍為__________．13．已知求______________.14．如圖，在正方體中，有以下結(jié)論：①平面；②平面；③；④異面直線與所成的角為.則其中正確結(jié)論的序號是____（寫出所有正確結(jié)論的序號）.15．圓和圓交于A，B兩點，則弦AB的垂直平分線的方程是________.16．若正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，則該正四棱錐的體積為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量a=(5sin（1）求cos(α+β)（2）若0<α<β<π2，且sinα=18．已知點，圓.（1）求過點且與圓相切的直線方程；（2）若直線與圓相交于，兩點，且弦的長為，求實數(shù)的值.19．在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若的面積為，求在上的投影.20．已知是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（Ⅰ）若，且，求；（Ⅱ）若，且與垂直，求實數(shù)的值.21．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點和分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，時等號成立.故答案選C【點睛】本題考查了均值不等式，屬于簡單題.2、C【解析】

代入求得；根據(jù)可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項公式求得結(jié)果.【詳解】當時，當且時，則，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列本題正確選項：【點睛】本題考查數(shù)列通項公式的求解，關鍵是能夠利用得到數(shù)列為等比數(shù)列，屬于常規(guī)題型.3、C【解析】試題分析：由圖可知，，所以，故選C．考點：直線的斜率．4、A【解析】

分別求出x,y均值即得．【詳解】x=0+1+3+44=2，故選A．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，線性回歸直線一定過點(x5、A【解析】

關于軸對稱，縱坐標不變，橫坐標、豎坐標變?yōu)橄喾磾?shù)．【詳解】關于軸對稱的兩點的縱坐標相同，橫坐標、豎坐標均互為相反數(shù)．所以點關于軸對稱的點的坐標是．故選：A．【點睛】本題考查空間平面直角坐標系，考查關于坐標軸、坐標平面對稱的問題．屬于基礎題．6、C【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，結(jié)合題意可分段的間隔等于個體總數(shù)除以樣本容量，即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，結(jié)合題意可分段的間隔，故選C.【點睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣的定義和方法，其中解答中熟記系統(tǒng)抽樣的定義和方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7、C【解析】因為，，故選C.8、D【解析】

先求出直線與坐標軸的交點，再求三角形的面積得解.【詳解】當x=0時，y=2,當y=0時，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【點睛】本題主要考查直線與坐標軸的交點的坐標的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、C【解析】

根據(jù)線線、線面和面面有關定理，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于①，兩個平面的垂線垂直，那么這兩個平面垂直.所以①正確.對于②，與可能相交，此時并且與兩個平面的交線平行.所以②錯誤.對于③，直線可能為異面直線，所以③錯誤.對于④，兩個平面垂直，那么這兩個平面的垂線垂直.所以④正確.綜上所述，正確命題的序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.10、B【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當直經(jīng)過點時，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設圓錐的底面半徑為，母線長為，由圓錐的側(cè)面積、圓面積公式列出方程組求解，代入圓錐的體積公式求解．【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，其側(cè)面積為，底面積為，則，解得，，∴高＝＝＝，∴＝＝．故答案為：．【點睛】本題考查圓錐的體積的求法，考查圓錐的側(cè)面積、底面積、體積公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．12、【解析】

由，知為圓的切線，所以兩圓外離，即圓心距大于兩半徑之和，代入方程即可?！驹斀狻坑桑獮閳A的切線，即在圓上任意一點都可以向圓作切線，當兩圓外離時，滿足條件，所以，，即，化簡，得：，解得：或.【點睛】和圓半徑所成夾角為，即是圓的切線，兩圓外離表示圓心距大于兩半徑之和。13、23【解析】

直接利用數(shù)量積的坐標表示求解.【詳解】由題得.故答案為23【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.14、①③【解析】

①：利用線面平行的判定定理可以直接判斷是正確的結(jié)論；②：舉反例可以判斷出該結(jié)論是錯誤的；③：可以利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可以判斷是正確的結(jié)論；④：可以通過，可以判斷出異面直線與所成的角為，即本結(jié)論是錯誤的，最后選出正確的結(jié)論序號.【詳解】①：平面，平面平面，故本結(jié)論是正確的；②：在正方形中，，顯然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，則必有互相垂直，顯然是不可能的，故本結(jié)論是錯誤的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本結(jié)論是正確的；④：因為，所以異面直線與所成的角為，在正方形中，，故本結(jié)論是錯誤的，因此正確結(jié)論的序號是①③.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，考查了異面直線所成的角、線面垂直的性質(zhì).15、【解析】

弦AB的垂直平分線即兩圓心連線.【詳解】弦AB的垂直平分線即兩圓心連線方程為故答案為【點睛】本題考查了弦的垂直平分線，轉(zhuǎn)化為過圓心的直線可以簡化運算.16、4.【解析】

設正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，在直角三角形POA中，求得高,利用體積公式，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，AB=，PA=設正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO=，在直角三角形POA中，，∴.【點睛】本題主要考查了正棱錐體積的計算，其中解答中熟記正棱錐的性質(zhì)，以及棱錐的體積公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）cos(α+β)=2【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)列積的坐標運算，化簡整理得到5cos（2）根據(jù)題中條件求出cosα=310再由cos(2α+β)=【詳解】解：（1）因為a=(所以a?=5因為a?b=2，所以5（2）因為0<α<π2,因為0<α<β<π2，所以因為cos(α+β)=2所以cos因為0<α<β<π2，所以0<2α+β<【點睛】本題主要考查三角恒等變換，熟記兩角和的余弦公式即可，屬于?？碱}型.18、（1）或；（2）.【解析】

（1）考慮切線的斜率是否存在，結(jié)合直線與圓相切的的條件d=r，直接求解圓的切線方程即可．（2）利用圓的圓心距、半徑及半弦長的關系，列出方程，求解a即可．【詳解】（1）由圓的方程得到圓心，半徑.當直線斜率不存在時，直線與圓顯然相切；當直線斜率存在時，設所求直線方程為，即，由題意得：，解得，∴方程為，即.故過點且與圓相切的直線方程為或.（2）∵弦長為，半徑為2.圓心到直線的距離，∴，解得.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，考查切線方程的求法，考查了垂徑定理的應用，考查計算能力．19、（1）；（2）當時，在上的投影為；當時，在上的投影為.【解析】

（1）由已知條件，結(jié)合正弦定理，求得，即可求得C的大??；（2）由已知條件，結(jié)合三角形的面積公式及余弦定理，求得的值，再由向量的數(shù)量積的運算，即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理知，即，又，所以，所以，在中，，所以，又，所以；（2）在中，由余弦定理得，由，即，因此，所以，解得或，當時，在上的投影為；當時，在上的投影為.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)根據(jù)向量平行的相關性質(zhì)以及、即可得出向量，然后根據(jù)向量的模長公式即可得出結(jié)果；(2)首先可根據(jù)、寫出與的坐標表示，然后根據(jù)向量垂直可得，最后通過計算即可得出結(jié)果．【詳解】(1)因為，，所以，，，所以．(2)因為，，所以，.因為與垂直，所以，即，．【點睛】本題考查向量平行以及向量垂直的相關性質(zhì)，考查向量的坐標表示以及向量的模長公式，若、且，則，考查計算能力，是中檔題．21、（1）證明見解析；（2）