2022-2023學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷【答案版】

202212023學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷口

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求?！?/p>

1.復(fù)數(shù)1-2,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）口

A.第一象限口B.第二象限口C.第三象限口D.第四象限口

2.已知向量^=（1,m）,b=（2,-1）,且不〃我則加=（）D

A.-ioB.-DC.2DD.-2D

22

3.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了三角形面積公式，即52a2—（空號(hào)二62,其中0,6,c是三角

形的三邊，S是三角形的面積.若某三角形三邊a,b,c,滿足6=1,ca=\,則該三角形面積S的最大

值為（）口

A.gB.gC.$D.）

4.已知表面積為271T的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為（）□

A.3DB.3，0C.61D.4卜

5.一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回的依次隨機(jī)

摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（）口

1311

A.-DB.—0C,TD."□

41032

6.拋擲一枚骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,則這些點(diǎn)數(shù)

的方差為（）口

A.3.5口B.4口C.4.5DD.5D

7.正三棱臺(tái)/3。-小當(dāng)g中，44]_L平面與5。。1，AB=2AXBV則異面直線力當(dāng)與5G所成角的余弦值

為（）口

234

A.-DB.-□C.TD.

555

8.如圖，在中，。是5。的中點(diǎn)，E是/C上的點(diǎn)，AC=2AB,CZ）=1,AE=3EC,ZADB=ZEDC

BDCD

第1頁(yè)（共19頁(yè)）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。□

9.已知一個(gè)古典概型的樣本空間Q和事件4B,滿足〃（Q）=32,n（A）=16,n（5）=8,n（NUB）

=20,則下列結(jié)論正確的是（）□

A.P（4）=JoB.P（AB）=!□□

2o

C.A與B互斥口D.A與B相互獨(dú)立口

10.已知加，〃"是空間中三條不同直線，a,0,丫是空間中三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）口

A.若加ua,加〃0,〃u0,n//a9則

B.若aG0=加，aGy=〃，0e丫=/,m//n9則加〃川□

C.若。_10,a±y,pAy=m,則加_La口□

D.若aC）B=加，a_Lp,?_Lm,則〃_L0口

11.如圖，在平行四邊形中，NB=60°,BC=248=2,點(diǎn)E是邊4。上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則

下列結(jié)論正確的是（）口

A.當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)時(shí)，BD=BE+^BCWD

B.存在點(diǎn)￡,使得廊一號(hào)品），山口

C.舒?前的最小值為—立D

4

D.若注=宜宓+丫的，X,則x+2y的取值范圍是[2,3]0

12.四面體/BCD中，AB=BC=CD=DA=BD=1,AC=m,則有（）□

TT

A.存在加，使得直線C。與平面/8C所成角為T(mén)D

3

7T

B.存在加，使得二面角力-8。-。的平面角大小為T(mén)口

3

C.若加=2,則四面體/BCD的內(nèi)切球的體積是迪口□

27

D.若加=3,則四面體/BCD的外接球的表面積是一□

3

三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分?？?/p>

第2頁(yè)（共19頁(yè)）

13.已知復(fù)數(shù)z=l-i,，為虛數(shù)單位，則團(tuán)=.□

14.已知正方體ABCD-A}BXCXDX棱長(zhǎng)為3,在正方體的頂點(diǎn)中，到平面A}DB的距離為百的頂點(diǎn)可能

是.（寫(xiě)出一個(gè)頂點(diǎn)即可）口

15.在△48C中，a,b,c分別為角4,B,C的對(duì)邊，已知3=①/?=V2,c=2,若△NBC有兩解，則

0的取值范圍是.□

16.已知平面向量b,3均為非零向量，a-b=a-c=ia2,且同+3+2向=刈邪在R,則左的最小

值為.D

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟?！?/p>

17.（10分）已知復(fù)數(shù)z=2-i,i為虛數(shù)單位.口

（1）求z2；D

（2）若z是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0（p,gCR）一個(gè)根，求p,q的值.口

18.（12分）已知第3是非零向量，①同=次|山；②位,力=親③口—川=|山.口

（I）從①②③中選取其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；（注：若選擇不同的組合分別解答，則

按第一個(gè)解答計(jì)分.）□

（II）在①②的條件下，0+3）,0—焉），求實(shí)數(shù)入.口

19.（12分）如圖，在直三棱柱NBC-431G中，N48C=90。，AAr=AC=2,。為/C的中點(diǎn).□

（1）求證：48]〃平面C[DB；D

A

20.（12分）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為了弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精

神，某學(xué)校對(duì)全體高中學(xué)生組織了一次關(guān)于亞運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)

生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿分為100分，并將這100名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)分成5組，繪制成了如

圖所示的頻率分布直方圖.口

第3頁(yè)（共19頁(yè)）

0.035

0.002

0.015

0.005

5060708090100成績(jī)（分加

(1)求頻率分布直方圖中，的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī)；□

(2)用樣本頻率估計(jì)總體，如果將頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求3名學(xué)生中至

少有2人成績(jī)不低于80分的概率.口

2L（12分）在銳角△"C中,a,b,c分別為角48,C的對(duì)邊,b^cosC-c^osA_1

（1）求證：2b=a+c-,D

(2)求sia8的取值范圍.口

22.(12分)如圖，平面平面4sCD,四邊形4DE尸為矩形，且M為線段所上的動(dòng)點(diǎn)，4B〃CD,

N4BC=90°,AD=2DE,AB=2CD=2BC=2.□

(1)當(dāng)M為線段E尸的中點(diǎn)時(shí)，□

(i)求證：//_!_平面HDM；D

(ii)求直線NM與平面MBC所成角的正弦值；D

(2)記直線NM與平面所成角為a,平面皿。與平面的夾角為。，是否存在點(diǎn)加■使得a

=B?若存在，求出尸初；若不存在，說(shuō)明理由.□

□D

第4頁(yè)(共19頁(yè))

202212023學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析口

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求?！?/p>

1.復(fù)數(shù)1-2，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）口

A.第一象限口B.第二象限口C.第三象限口D.第四象限口

解：復(fù)數(shù)1-2,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1,-2）位于第四象限.□

故選：D.□

2.已知向量遼=（1,m）,b=（2,-1）,S.a//b,則加=（）D

A.一友B.LC.2DD.-2D

22

解：向量不=（1,m）,b=（2,-1）,且□

2m-1X（-1）=0,解得〃?=—4.B

故選：A.□

3.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了三角形面積公式，即5=/卜2a2—（之號(hào)二62,其中°,6,c是三角

形的三邊，S是三角形的面積.若某三角形三邊a,b,c,滿足6=1,ca=l,則該三角形面積S的最大

值為（）口

A-￡B./C.gD.￡

解：根據(jù)題意，某三角形三邊a,b,c,滿足6=1,ca=l,0

則其面積S=；

i-（￡￡±^zl）2,□

Q2+Q2-11

又由〃2+c222ac=2,則-------->—,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，口

22

則有5號(hào)=當(dāng)且僅當(dāng)。=c=l時(shí)等號(hào)成立，□

即該三角形面積S的最大值［.口

故選：B.□

4.已知表面積為27TT的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為（）口

A.3DB.3卜C.6DD.4卜

解：設(shè)圓錐的底面半徑為廠）母線長(zhǎng)為/,□

第5頁(yè)（共19頁(yè)）

71T2+nrl=27n

由題意可得?解得?3

2TIT=X27rz6

故選：A.

5.一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回的依次隨機(jī)

摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為()口

1311

A.-□B.—□C?TD.-□

41032

解：根據(jù)題意，一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，口

假設(shè)兩個(gè)黃球?yàn)?、B,三個(gè)紅球?yàn)榉?、c,D

從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，口

取法有：C4B)、(AC).(Az)、(Ab)、(Ac),□

(Ba)、(Be)、(-6)、(a。)、(be),共10種取法；□

其中兩次都取到紅球的取法有(ab)、Qae)、(be),共3種，口

則事件“兩次都摸到紅色球”的概率.1

故選：B.□

6.拋擲一枚骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,則這些點(diǎn)數(shù)

的方差為()□

A.3.5DB.4DC.4.5DD.5D

解：不妨設(shè)這5個(gè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為xf{l,2,3,4,5,6},zG{l,2,3,4,5},且…W%,□

由題意可知：X5=6,□

因?yàn)檫@些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2,則空=i%.=2X5=10,可得絆=1X.=4,□

所以毛=1,正{1,2,3,4},即這5個(gè)數(shù)依次為1,1,1,1,6,D

可得這些點(diǎn)數(shù)的方差為S2=1[(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(6-2)2]=4.□

故選：B.D

7.正三棱臺(tái)NBC-421cl中，441，平面與2CG，AB=2AXBV則異面直線4當(dāng)與2g所成角的余弦值

為()口

234VH

A.-□B.-DC.-0D.—0

5555

解：將正三棱臺(tái)A8C-421G補(bǔ)全為正三棱錐S-/2G口

因?yàn)?4]J_平面813CG，即￡4_L平面SBC,D

根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得，S3,平面&4C,SCL平面SA4,□

第6頁(yè)(共19頁(yè))

SB,SCu平面SBC,所以“_LSB,S4_LSC,又SCt平面"C,SB±SC,□

又4B=2A1Bi，所以8］為SB的中點(diǎn)，D

同理可得4為"的中點(diǎn)，G為sc的中點(diǎn)，口

取SG的中點(diǎn)。，連接當(dāng)，AD,則當(dāng)□

所以乙4當(dāng)。即為異面直線”鳥(niǎo)與2G所成的角(或補(bǔ)角)，□

不妨令53=2,□

則AB1=79+22=V5,AD=422+(|)2=當(dāng)，B1D=V12+(1)2=序，D

在△/當(dāng)。中由余弦定理402=AB2+DB2-2aBi-DB^cosAABJ),□

即(苧)2=(亭)2+(75)2-2X礙XVScos^AB^,D

解得cos/%0=,，D

2

所以異面直線力為與5G所成角的余弦值為？口

故選：A.D

8.如圖，在△/BC中，。是的中點(diǎn)，E是4C上的點(diǎn)，AC=2AB,CZ)=1,AE=3EC,ZADB=ZEDC

=a,貝？Jcosa=()D

AZ

D."□

4

解：由。是5C的中點(diǎn)，AC=2AB,0)=1,AE=3EC,

設(shè)CE=x,則50=1,AE=3x,AB=2X9

在△45C中，可得.=,即sirbS=2sinC,

sinCsinB

第7頁(yè)(共19頁(yè))

AD

在中，可得—=——,□

sinasinB

,A「XDE

在△GET)中，可得—=——，D

sinasinC

上面兩式相除可得2=器浮吧=工坐，□

DEsinB2DE

即及□

在LABD中,4x2=1+AD2-2ZZ)cos(x=1+16DE1-8Z)Ecosa,□

在△CQE中，x2=l+DE2-2DEcosa,0

即有4+4?！?2=1+16。爐，解得AD=2,□

1

15

-7-cosa=--cosa.nD

424

在△力。E中，9x2=AD2+DE^-2AD{J)EQos(n-2a)□

=4+，+2X2x手os2a=?+2cos2a=4cos2a+D

45g

可得——9cosa=4cos2(x+RD

44

化為4cos2a+9cosa-9=0,□

解得cosa=,(-3舍去).□

故選：D.□

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分?！?/p>

9.已知一個(gè)古典概型的樣本空間。和事件4B,滿足"(。)=32,n(A)=16,n(8)=8,nC4U3)

=20,則下列結(jié)論正確的是():

A.P⑷B.P(AB)=□

Zo

C./與6互斥口D./與2相互獨(dú)立口

解：'：n(C)=32,n(A)=16,n(B)=8,nUUS)=20,D

：.nG4C8)=4,A,B不互斥,故C錯(cuò)誤；□

■-P(/)==I，故/正確；□

41

pa8-

--故5正確；口

328

81

產(chǎn)\

7---

(54：.P(AB)=P(/)P(5),45相互獨(dú)立，。正確.口

32

故選：ABD.D

10.已知加，人/是空間中三條不同直線，a,0,丫是空間中三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()口

第8頁(yè)(共19頁(yè))

A.若加ua,m//p,n//a,則a〃彈

B.若aG0=加，aC\y—n,00丫=/,m//n,則加〃加□

C.若仁_10,a±y,pAy=m,則加_La口□

D.若ar）B=加，a_L0,?_Lm,則〃_L0U

解：m,〃，/是空間中三條不同直線，a,P，Y是空間中三個(gè)不同的平面，口

對(duì)于4,若加ua,加〃0,〃u0,n//a,則。與0相交或平行，故/錯(cuò)誤；口

對(duì)于5,若aPl0=加，aC\y=n,pny=/,m//n9則由線面平行的性質(zhì)得加〃/,故5正確；口

對(duì)于C,若。_10,a±y,pny=m,則由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定得加_La,故C正確；口

對(duì)于。，若aGB=加，aXp,n.Lm,則〃與0相交，平行或〃u0,故。錯(cuò)誤.□

故選：BC.□

11.如圖，在平行四邊形45CD中，N5=60。，50=245=2,點(diǎn)￡是邊40上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則

下列結(jié)論正確的是（）口

A.當(dāng)點(diǎn)E是4D的中點(diǎn)時(shí)，月力=配+g的口口

B.存在點(diǎn)瓦使得（瓦1—；或'）_L油叩

C.麗?前的最小值為—立D

4

D.若售1=宜①+y初，x,yGR,則x+2y的取值范圍是[2,3]D

解：對(duì)于/,當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)時(shí)，□

BD=BE+ED=BE+^BC,故/正確；□

對(duì)于2,以點(diǎn)8為原點(diǎn)，3c為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，□

Z5=60°,BC=2AB=2,易得:C（2,0）,潟，孽）,D（|,挈）,D

點(diǎn)E是邊4D上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)E（t,亭），0

第9頁(yè)（共19頁(yè)）

C￡=(t-2,0,或=&，亨)，BC=(2,0),□

37t

----n

/.(S4-|BC)-CE=BA-CE-|SC-CE=1(t-2)+4--2)4-2-

15

-<t<-所以廊一，前）?無(wú)力即不存在點(diǎn)區(qū)使得廊一寺的，曲故錯(cuò)誤；

2--20,3D

3

對(duì)Zt-

-(--t

KEC(24

1）20

故當(dāng)t=i時(shí)，說(shuō)?反■取到最小值T，故c正確；□

4

對(duì)于。，若注■=宜米+曠麗，□

則根據(jù)圖形可知y=l,xe[0,1],□

：.x+2ye\2,3],故。正確.□

故選：ACD.□

12.四面體4BCD中，AB=BC=CD=DA=BD=2,AC=m,則有（）□

TT

A.存在機(jī)，使得直線CD與平面45。所成角為T(mén)□

3

7T

B.存在加，使得二面角的平面角大小為一口口

3

C.若加=2,則四面體Z5CZ）的內(nèi)切球的體積是叵口□

27

2Q^rr

D.若機(jī)=3,則四面體/8CD的外接球的表面積是^一口

3

解：對(duì)于選項(xiàng)/,取NC中點(diǎn)E,連接ED,EB,過(guò)。作。ELBE,交￡8于點(diǎn)尸，D

因?yàn)锳B=BC=CD=DA,所以ED_L4C,EB±AC,□

又EDCEB=E,EDu平面￡8u平面BED,□

所以/C_L平面班D,□

又DFu平面BED,所以NC_LDb,0

又因?yàn)?。ACCBE=E,NCu平面/BC,8￡t平面A8C,□

所以。尸，平面/5C,所以/FCD為直線CD與平面45C所成角，□

若ZFCD=E，因?yàn)镃Z）=2,則DF=/,CF=1,□

又因?yàn)镈B=DC=DA,所以尸為△48C的外心，□

故FB=CF=1,所以FS+CF=2=3C,所以FeBC,D

又因?yàn)槭瑸椤?BC的外心，且/8=8C,D

所以尸￡8C,出現(xiàn)矛盾，故選項(xiàng)N錯(cuò)誤；□

第10頁(yè)（共19頁(yè)）

對(duì)于選項(xiàng)8,取BC中點(diǎn)G,連接GF,GD,□

因?yàn)镈B=DC,所以BCLLGA,□

又因?yàn)?。幾L平面4BC,3cu平面4BC,所以。斤_L2C,D

又DGCDF=D,Z）Gu平面DG6。廠u平面。GF,□

所以BC_L平面。G*又GR=平面DG尸，□

所以8CJ_G*所以/DG尸是二面角N-8C-。的平面角，□

若NDGF=三,因?yàn)镈G=?所以DF=|,□

在Rtz\BDb中，SF=V22-（|）2=^,所以△N8C的外接圓半徑為日，□

在△N8C中，由正弦定理得，———=2x-,所以sin/ABC=衛(wèi):，□

sinZ.ABC2J7

8—m2

由余弦定理得，COS/ABC=4怒忑2

由sin2ZABC+cos2ZABC=1得m=故選項(xiàng)8正確；D

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)我=2時(shí)，四面體/BCD為棱長(zhǎng)為2的正四面體，D

底面8co上的高DG=6，0"=竽，正四面體/BCD的高八=,22—（竽）2=竽，D

正四面體/BCD的體積U=/x（亨義22）義竽=孚，D

正四面體/BCD的表面積S=4x（亨x22）=4次，D

設(shè)四面體/BCD的內(nèi)切球的半徑為r,Q

..l.3V2V2V6

.VI7=-Sc-r,..r=—=—==j□n

3S4/36

所以四面體48co的內(nèi)切球的體積為匕=*兀「3=察，故選項(xiàng)c正確；□

對(duì)于選項(xiàng)D,四面體48co中/C=3,設(shè)四面體/BCD外接球球心為O,□

取50中點(diǎn)連接4W、CM、OM,0

第11頁(yè)（共19頁(yè)）

則AM=CM=舊且AMLBD,CMLBD,D

所以/4WC為二面角/-AD-C的平面角，□

9

cosZAMC=-3-i~^=-i所以/4MC=冬，□

2XV3XV323

設(shè)。1、。2分別是平面和平面BCD的外接圓圓心，□

則O,M=」CM="，□

在Rt/XOAfQ中，^0M02=：.OO2=l,□

在RtZ\OQC中，。。=-1+（學(xué)）2=苧，即外接球的半徑7?=苧，D

二四面體48co的外接球的表面積S=4;rR2=竽，故選項(xiàng)。正確.口

故選：BCD.□

三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分?！?/p>

13.已知復(fù)數(shù)z=l-i,i為虛數(shù)單位，則團(tuán)□

解：；復(fù)數(shù)z=l-i,□

?\z=l+z.D

則團(tuán)=J12+12=&.D

故答案為：V2.□

14.已知正方體48（笫-4與。］￡）］棱長(zhǎng)為3,在正方體的頂點(diǎn)中，到平面4r的距離為舊的頂點(diǎn)可能是

/（A,C,B\,任填一個(gè)即可）.（寫(xiě)出一個(gè)頂點(diǎn)即可）D

解：顯然4,D,3在平面內(nèi)，不合題意，□

設(shè)點(diǎn)/到平面4ZM的距離為d,可知=&D=BD=3方，D

V,

因?yàn)樨?4/B=A1-ADB貝gdx；x3gx3gXy-=|x3x1x3x3,解得d=V3,D

設(shè)4CCBD=O,即NCC平面/03=0,且。為NC的中點(diǎn)，D

所以點(diǎn)C到平面的距離為d=Vl□

可證平面4。8〃平面0）1與，□

第12頁(yè)（共19頁(yè)）

則平面NQ為上任一點(diǎn)到平面小。8的距離為d=迎，□

所以C,Bv4符合題意，□

由圖易知點(diǎn)G到面的距離大于d=8，□

綜上所述：平面的距離為舊的頂點(diǎn)有且僅有4C,當(dāng)，Dx.□

故答案為：A（A,C,Bv烏任填一個(gè)即可）.口

15.在△N3C中，a,b,c分別為角4B,C的對(duì)邊，已知3=①b=或，c=2,若△/3C有兩解，則

7T

9的取值范圍是（0,一）.□

解：因?yàn)椤?BC有兩解，口

所以csin^Vb,且B為銳角，口

7T

所以2sin5<V5,且BE（0,-）,□

2

7777

解得5E（0,-）,即e的取值范圍是（0,-）.0

44

7T

故答案為：（0,-）.□

4

16.已知平面向量4，b,/均為非零向量，^-b=a-c=^a2,且口+，+2鬲=用磯，蛇R,則左的最小

4

值為~?0

解：依題意，k\a\2=\a+c+2b\\a\>\a-a+c-a+2b-a\=^|a|2,□

4

即D

4

7

所以女的最小值為一.D

4

7

故答案為：，口

4

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。口

17.（10分）已知復(fù)數(shù)z=2-。/.為虛數(shù)單位.口

（1）求z2;□

（2）若z是關(guān)于x的方程2N力zx+q=0（p,q€R）一個(gè)根，求P，q的值.口

第13頁(yè)（共19頁(yè)）

解：(1)2=(2-z)2=4-4升/=3-4%；□

(2)2(2-z)2+p(2-z)+9=0,即6+2^+9-(p+8)i=09□

IM；匕+0"=°,解得。=-8,4=10.口

1“IO—V

18.(12分)已知日，3是非零向量，①同=何可；②@b)=l；③口—由=歷|.口

(I)從①②③中選取其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；(注：若選擇不同的組合分別解答，則

按第一個(gè)解答計(jì)分.)□

(II)在①②的條件下，(a+b)l(a-Ab),求實(shí)數(shù)人.口

證明：⑴選①②=③：：同=何小，(落b)=^,□

：.a-b=\a\b\cos^=V3\b\2=^\b\2,□

：.\a-b\=^a2-2a-b+b2=心說(shuō)2-2x||b|2+\b\2=^\b\2=\b\；□

選①③n②：V|2|=V3|h|,\a-b\=\b\,□

/.a2—2H?b+b2=b2,D

/.3|h|2—2\a\\b\cos^a,=0,□

/.cos^a,3>=苧，□

\*<a,e[0,7r],□

：；

.<a,b>=7o□

選②③今①：?.?d，b)=l，\a-b\=\b\,D

.*.a2—2a-b+b2=&2,□

/.\a\2—2\a\\b\cos^=0,□

即同2一團(tuán)向=0,□

V\a\0,/.|a|=V3|61.口

解：(2)V|a|=V3|b|,(a,.建,□

：.a-b=\a\b\cos^=V3\b\2=^\b\2,□

V(a+b)1(a-Ab),D

第14頁(yè)（共19頁(yè)）

位+b),@—Ab)=0,口

即日2—Aa-b+a-b—Ab2=0,□

—>33—>—>

二3|昨一利昨+沙12Tgi2=0,D

9

；.2=|.□

19.(12分)如圖，在直三棱柱NBC-421G中，ZABC=90°,AAt=AC=2,。為4C的中點(diǎn).□

(I)求證：月當(dāng)〃平面GDB；D

(II)求三棱錐學(xué)-D8cl體積的最大值.口

(1)證明：連接當(dāng)。交8cl于E,連接。E,□

,:D、E分別為NC、81c的中點(diǎn)，：.DE//ABVD

?.,DEu平面CRB,平面C「B,□

，/當(dāng)〃平面G。。；D

(II)解：過(guò)。作。尸_LBC,□

'：AB±BC,則DF//AB,得尸為8c的中點(diǎn)，D

；CiC_L平面/2C,。尸u平面/2C,/.CXCLDF,得□

久B[BCBC=B,平面8當(dāng)gC,0

設(shè)BC=a,則DF=今2=[J4—a2,D

.T_1/_1r-._1n--------71Q2+(4——2)_1

,,vZ=v=kSc?nDF=：dv4—0,24",=Dn

B「DBC]D-B]BC]3△%BC16—623

當(dāng)且僅當(dāng)〃=，4—Q2,即〃=遮時(shí)等號(hào)成立，口

1

???三棱錐4-體積的最大值為3D

第15頁(yè)(共19頁(yè))

20.(12分)第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為了弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精

神，某學(xué)校對(duì)全體高中學(xué)生組織了一次關(guān)于亞運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)

生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿分為100分，并將這100名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)分成5組，繪制成了如

圖所示的頻率分布直方圖.D

0.035

0.002

0.015

0.005

5060708090100成績(jī)(分)口

(1)求頻率分布直方圖中f的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī)；D

(2)用樣本頻率估計(jì)總體，如果將頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求3名學(xué)生中至

少有2人成績(jī)不低于80分的概率.口

解：(1)由頻率分布直方圖可得每組的頻率依次為0.15,10f,0.2,0,35,0.05,0

n”

則0.15+10什0.2+0.35+0.05=1,解得1=瞽=0.025,□

設(shè)平均成績(jī)的估計(jì)值為匕□

則元=55X0.15+65X0.25+75X0.2+85X0.35+95X0.05=74,□

所以這100名學(xué)生的平均成績(jī)估計(jì)值為74分.□

(2)每個(gè)學(xué)生成績(jī)不低于80分的概率為0.4.□

3名學(xué)生中恰有2人成績(jī)不低于80分的概率q3x0.42x(1-0.4)=0.288；D

3名學(xué)生中恰有3人成績(jī)不低于80分的概率P3=0.43=0.064；D

3名學(xué)生中至少有2人成績(jī)不低于80分的概率2=%+?2=0.352.□

2-a^cosC—c^cosA

21.(12分)在銳角△NBC中，a,b,。分別為角B,。的對(duì)邊,7b=-=x---------------------.nD

a-c

(1)求證：2b=a+c；□

(2)求sin5的取值范圍.口

證明：⑴因?yàn)閎='><a2cosCc2cos4

a-c

22

dixa-U}-￡?-c2x后士心二a,2

由余弦定理得b="?什口

CL—C

_a(a2+^2—c2)—c(b2+c2—a2)_(a3—c3)+b2(a—c)+ac(a—c)□

5b(a—c)5b(a—c)

第16頁(yè)(共19頁(yè))

a2+ac+c2+b2+ac

=-------5b-------,0n

整理得5孩=(a+c)2+4,gp4b2=(a+c)2.□

所以26=a+c.□

(2)解：由(1)可知：2b=a+c,□

2

由余弦定理可得cosB=七蝶二=導(dǎo)2=京巴+￡)—)，□

2ac2ac8a74

dQ11

設(shè)一=力，貝IcosB=+7)—彳，D

c°t4

因?yàn)?b=a+c,且aWc,不妨設(shè)即a>b>c,可知，>1,□

且△N8C是銳角三角形，則coS>0,得62+02>02,即空空+c2>a2,□

4

則a+c>4(Q-C),解得所以1<t〈當(dāng)，□

c33

由對(duì)勾函數(shù)可知f(t)=t+"在(1,§上單調(diào)遞增，且"1)=2,/(|)=D

則/(t)=t+土e(2,得),所以cosBeg，.)，口

且Be(0,多，則sinB=V1—cos2Be(g,爭(zhēng)，D

所以sinB的取值范圍為4，學(xué)).口

22.(12分)如圖，平面NOE/U平面A8CA,四邊形ZD跖為矩形，且加■為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，/8〃CD,

ZABC=90°,AD=2DE,AB=2CD=2BC=2.□

(1)當(dāng)M為線段EF的中點(diǎn)時(shí)，□