浙江省2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

浙江省培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={1|%>4},B=x2-5x-6>0i),則AB=()

A.{%|4<x<6}B.{x|xW-l}C.{x|-1<x<4}D.{x|x>6}

2.等差數(shù)列也｝滿足4=6,公差為2,則q+2-----H%2=()

A.96B.90C.84D.78

3.已知/,加，〃是三條不重合的直線,a,B，7是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若?！≒//Y,則a〃/B.若/=m^a,1///3,m///3,則a〃/?

C.若l〃a,l//p,則戊〃,D.若/m,m^a,貝!|/〃cr

4.己知隨機(jī)變量x且尸（X20.2）=0.02,則尸（-0.2<X<0.2）=（）

A.0.04B.0.48C.0.5D.0.96

5.在.ASC中，AC=2,3sin3=2sinA,C=60。，則()

A.75B.76C.A/7D.272

6.已知生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)有三個(gè)孩子的家庭，且該家庭有女孩,

則三個(gè)小孩都是女孩的概率為（）

A.1B.1￡1

C.D.-

8764

7.已知sin,+m]

=-3sin0,則cos20=()

3434

A.--B.——c.D.-

5555

22

8.已知雙曲線C：工-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)?,點(diǎn)。在C的右支上,

ab

QB與c的一條漸近線平行，交C的另一條漸近線于點(diǎn)P,若。?！?則C的離心率為

A.72

二、多選題

9.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

A.f(x)=T/(x)=cos2x

C./(%)=x2/(x)=ln(2-x)+ln(2+x)

10.設(shè)z=l+i,則下列命題正確的是（

A.z+彳=2B.z—5=2

11.已知直線/：履+，+2左-1=0與圓C:V+y2-6y-7=0相交于A,3兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正

確的是（）

A.若圓C關(guān)于直線/對(duì)稱，則左=1

B.〔A卻的最小值為40

C.當(dāng)左=3時(shí)，對(duì)任意XeR,曲線W:x2+：/+3；U+（；l—6）y+5；l—7=0恒過(guò)直線/與

圓C的交點(diǎn)

D.若A,B,C,0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）四點(diǎn)共圓，貝1］左=弓

三、填空題

12.已知函數(shù)f（x）=x（l-lnx）,則〃『）=.

13.已知a,b,C均為平面單位向量，且兩兩夾角為120。，貝1a-6+c卜.

14.圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,在圓錐體內(nèi)部放入一個(gè)體積最大的球，該球的表面

積為.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

四、解答題

15.某高校實(shí)行提前自主招生，老師從6個(gè)不同的試題中隨機(jī)抽取4個(gè)讓學(xué)生作答，至少答

對(duì)3個(gè)才能通過(guò)初試，已知某學(xué)生能答對(duì)這6個(gè)試題中的4個(gè).

(1)求該學(xué)生能通過(guò)自主招生初試的概率；

(2)若該學(xué)生答對(duì)的題數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

16.如圖，在四棱錐尸—中，上4,平面ABCD,AD//BC,AD.LAB,AD=PA=4,

AB=BC=2.

⑴證明：。。，平面「4?.

(2)若Q為線段PC的中點(diǎn)，求平面PAD與平面出。的夾角的余弦值.

17.設(shè)曲線〃x)=e'在點(diǎn)P(利,〃叫)處的切線/與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為S(回.

(1)當(dāng)切線/與直線x+y+i=o垂直時(shí)，求實(shí)數(shù)根的值；

(2)當(dāng)機(jī)40時(shí)，求S(m)的最大值.

22

18.已知尸(0,1)在橢圓C：1r+3=1(°>。>0)上，C的左焦點(diǎn)耳在拋物線y2=4百x的準(zhǔn)

線上，A為C的左頂點(diǎn)，直線AM,AN分別與C另交于N兩點(diǎn)，直線A",AN的

斜率之積為

12

(1)求C的方程；

(2)求AW面積的最大值.

19.已知%=1的數(shù)列｛%｝滿足%“-3,。4.-2,4,1成公差為1的等差數(shù)列，且滿足。4,1，。4.，

%用成公比為夕的等比數(shù)歹!I；4=i的數(shù)列也｝滿足公T,%一2,公一成公比為q的等比數(shù)歹u.

且滿足“3，b”%,+i成公差為1的等差數(shù)列.

(1)求為，瓦.

⑵證明：當(dāng)|4>1時(shí)，。4〃+1>84n+i.

⑶是否存在實(shí)數(shù)q,使得對(duì)任意〃eN+，a“Nb”？若存在，求出所有的q；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.D

【分析】解一元二次不等式，得集合B,根據(jù)交集的定義，即得解.

【詳解】因?yàn)榧?=[6,y），

所以AB=[6,+co）.

故選：D.

2.C

【分析】先求出%,然后利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由題知數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，則％=4+2=8,

12

所以4+。2-----1-an=I'"；"）==6x（6+8）=6x14=84.

故選：C.

3.A

【分析】由線面位置關(guān)系逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由平行的傳遞性可知A選項(xiàng)成立；

對(duì)于B選項(xiàng)，直線/,機(jī)不一定相交，根據(jù)面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立,

錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，a與夕也有可能相交，錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，直線/不一定在平面a外，也可能在面a內(nèi)，故不成立，錯(cuò).

故選：A.

4.D

【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，P（X>0.2）=P（X<-0.2）=0.02,

所以尸（-0.2VX40.2）=l-P（X>0.2）-P（X<-0.2）=1-0.02-0.02=0.96.

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)正弦定理可得3C=3,即可利用余弦定理求解.

【詳解】由正弦定理可得3AC=23C

因?yàn)锳C=2,所以BC=3,C=60。，

答案第1頁(yè)，共10頁(yè)

由余弦定理可得AB=V22+32-2X2X3XCOS60°=S-

故選：C

6.B

【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的計(jì)算公式求相應(yīng)的概率.

【詳解】用x表示女孩，y表示男孩，

則樣本空間Q={XXX,XXY,XYX,XYY,YXX,YXY,YYX,YYY}.

分別設(shè)“選擇的家庭中有女孩”和“選擇的家庭中三個(gè)小孩都是女孩”為事件A和事件8,

則4={奧次,丫￥7,加興,^1工/《,兇/,5%},B^{XXX},

故選：B

7.D

【分析】由誘導(dǎo)公式、商數(shù)關(guān)系得tan，=-;，由二倍角公式即可得解.

【詳解】因?yàn)閟in=cos9=-3sin0,所以tan0=——,

4

cos26+sin201+tan205

故選：D.

8.A

【分析】設(shè)出直線尸后的方程，與漸近線的方程聯(lián)立，求出尸的坐標(biāo)，由。為耳工的中點(diǎn),

OQ//PFX,得。為產(chǎn)后的中點(diǎn)，求出。的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程求解即可.

【詳解】令耳(G。)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線尸入的方程為y=\(x-c),

，解得X=；,y=_萼,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為be

22ala

y=一一工

由。為1用的中點(diǎn)，OQ〃PF\,得。為”的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為不-五

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

代入雙曲線的方程，有*-5==1,

16a16。b

即/=2a2，—7=2，

a

解得e=行，所以雙曲線C的離心率為

故選：A

9.BCD

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：7(尤)=2*為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：f(x)=cos2x定義域?yàn)镽,且/'(-%)=cos(-2x)=cos2x=/(x),所以/(x)=cos2x

為偶函數(shù)，故B正確；

對(duì)于C：定義域?yàn)镽,且〃T)=(_X)2=X2=〃X),所以/(耳=尤2為偶函數(shù),故

C正確；

對(duì)于D：/(了)=111(2—了)+111(2+尤)定義域?yàn)?一2,2),且一x)=ln(2+尤)+ln(2-x)=/(x),

所以/(x)=ln(2-x)+ln(2+x)為偶函數(shù)，故D正確.

故選：BCD

10.ACD

【分析】先由共輾復(fù)數(shù)的定義得到N=l-i,然后使用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解.

【詳解】由z=l+i可知5=1—i.

z+z=(l+i)+(l-i)=2,故A正確；

z-z=(l+i)-(l-i)=2i,故B錯(cuò)誤；

zz=(l+i)(l-i)=l-(-l)=2,故C正確;

z_l+i(1+i)2l-l+2i

故D正確.

i_i^I-(i-i)(i+i)-1-(-1)

故選：ACD.

11.BC

【分析】對(duì)于A,根據(jù)直線/過(guò)圓心可得；對(duì)于B,由直線/_LCD時(shí)弦k邳可解；對(duì)于C,

對(duì)曲線W方程整理，結(jié)合圓系方程可得；對(duì)于D,由OC的垂直平分線確定圓心縱坐標(biāo)，根

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

據(jù)兩圓方程求出直線A8方程，由直線A8過(guò)點(diǎn)。即可求解.

【詳解】直線/M（x+2）+y—1=0過(guò)定點(diǎn)

圓C:尤？+/-6y—7=0,即無(wú)？+（>—3）?=16,圓心為C（0,3）,半徑廠=4.

對(duì)于A選項(xiàng)，若圓C關(guān)于直線/對(duì)稱，則直線/過(guò)圓心，得左=-1,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，圓C的圓心為C（0,3）,半徑為4,

圓心到直線I的距離的最大值為|CD卜J（-2-0）2+（l-3）2=2V2,

所以|A@的最小值為2J16-8=4應(yīng)，故B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)左=3時(shí)，直線/：3x+y+5=0,

曲線W：+3Ax+（九一6）y+5X—7=0,即％~+>~—6y—7+X（3x+y+5）=0,

所以曲線W即為過(guò)直線/與圓C的交點(diǎn)的曲線方程，故C正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若A,B,C,。四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓E,圓E的圓心為E（a,b）,

OC的中點(diǎn)為（0怖），所以O(shè)C的垂直平分線方程為八y=|,所以b=|,

圓E的方程為（x-a）2+]y-1：=/+：,整理得/+/-2辦-3y=0,

直線AB是圓C和圓E的交線，所以直線A5的方程為2or-3y-7=0,

將。點(diǎn)坐標(biāo)（-2,1）代入上式得Ya-3-7=0,解得。=-1,

所以直線A3即直線/的斜率為與=-：,所以％=故D錯(cuò)誤.

333

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)直線Ax+5y+C=0與圓f+產(chǎn)+6+珍+尸一交點(diǎn)的圓系方程為

X?+y?+Dx+Ey+尸+X（Ax+By+C）=0；

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

圓了2+y2+￡)]%+￡1]，+￡=。和圓f+,2+￡)2%+E2y+K=。的公共弦所在直線方程為

-4)x+(4-4)y+石-鳥=0.

12.-e2

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式，代入求出函數(shù)值即得.

【詳解】函數(shù)〃x)=x(l—Inx),所以/(e2)=e2(l—Ine?”—e2.

故答案為：-e2

13.2

【分析】先利用向量加減法化簡(jiǎn)a-6+c，進(jìn)而求得卜-人+d的值.

【詳解】a,b，C均為平面單位向量，夾角為120。，貝lU+c：-/,

則\a-/?+c|=|-2/?|=2.

故答案為：2

一4兀

14.——

3

【分析】根據(jù)球的半徑是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑來(lái)求解.

【詳解】球的半徑是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，即半徑為=_=走,

tan603

所以球的表面積S=4TIX[￥]=..

4兀

故答案為：—.

3

15.(1)-

Q

(2)分布列見解析,E(X)=-.

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布的概率公式求解可得；

(2)根據(jù)超幾何分布的概率公式求出概率即可得分布列，再由期望公式可得期望.

【詳解】(1)該學(xué)生通過(guò)自主招生初試的概率尸=詈+妥=1，

(2)該學(xué)生答對(duì)題的數(shù)量X的可能取值為2,3,4,

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

則P（X=2）=||=1,P（X=3）=害噌,P（X=4）=||=1,

J^"*^6，J^^^6，J

所以X的概率分布列為

16.(1)證明見解析

⑵述.

【分析】(1)取AD的中點(diǎn)E,連接CE,由PAL平面ABCD,推出CDLPA,再根據(jù)所給

的邊長(zhǎng)，證明CD_LAC,根據(jù)線面垂直的判定定理證明GDL平面尸AC.

(2)以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值.

【詳解】(1)取AD的中點(diǎn)E,連接CE,易知BC〃短且BC=AE,

...四邊形ABCE為平行四邊形，

???ABLAD,.?.四邊形ABCE為矩形，

VAEA.CE,：.AC=CD=2^2,

，AD2=AC2+CD2,CDLAC,

：P4_L平面ABC。，C￡>=平面ABCD,:.CD工PA,

又ACcPA=A,，CO_L平面PAC.

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP為x軸、>軸、z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.

則4（0,0,0）,0（0,4,0）,C（2,2,0）,P（0,0,4）,Q（l,l,2）,AQ=（1,1,2）,AD=（0,4,0）.

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

設(shè)平面QAD的法向量為m=(%,%,Z。),

AD-m=0,14y=

即＜n°取加=（2,0,-I）,

AQ-m=0,［尤0+%+2z（）=0

平面PAD的一個(gè)法向量A3=（2,0,0）,

設(shè)平面PAD與平面的夾角為a,

??\m-AB4275

則cosCL—1cosm,A.B1\=\—m\\；AB=2-x-^-/-5產(chǎn)—5-------.

所以平面PAD與平面QAD的夾角的余弦值為寺.

17.（l）m=0

⑵sfXLx=|-

【分析】(i)由題意1(9)=曖=1,由此即可解出加;

(2)先求出s("。的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

【詳解】⑴/(尤)=1,r(x)=e\

因?yàn)榍芯€/與直線x+y+l=0垂直，r(/n)=em=l,

所以m=0.

(2)f'(x)=ex,當(dāng)工=加時(shí)，f'(m)=em,

所以切線方程為了-""=用(彳一加).

令x=0得y=令y=0得x=機(jī)-],

119

因?yàn)閙<0,所以3(冽)=5忸_1|伽一1歸加ew.

i1

Sr(m)=(m-l)ew9e"=^(m+l)(m-l)ew,

所以當(dāng)機(jī)<-1時(shí)，Sf(m)>0,S(m)遞增，

當(dāng)一1<相<0時(shí)，Sf(m)<0,S(m)遞減，

?

所以S(“L*=S(T)=J

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

18.（1）—+/=1

⑵述,

2

【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線可得c=7L根據(jù)P（0』）可得6=1,即可求解橢圓方程，

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，根據(jù)斜率關(guān)系31f*可得〃=1或〃=-2.即

可根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線距離公式求解面積不等式，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求

解最值.

22

【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C：二+2=1（。＞。＞0）過(guò)點(diǎn)尸（0,1）,所以》=1.

ab

因?yàn)閽佄锞€V=4gx的準(zhǔn)線方程為x=-g,所以c=G，a=2,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+V=1.

（2）由題意可知，直線MN的斜率不為0,

設(shè)"（占,乂），N（x2,y2）,直線肋V的方程為x孫+〃，

x=my+n,

聯(lián)立+2］消去x,得（根2+4）/+2%+力2-4=0,

所以A=4/”2—4（療+4兒——4）=16m2—16z?2+64>0,

—2mnn2-4

得%+%=

m2+4

則&+x2=m（yl+y2）+2n=&+〃?〃（乂+%）+/=小',?。?/p>

m+4m+4

必

因?yàn)閍血尸-1遺所以y,告y9一日1，即中2+2y（；；?4=一卷1

n2-4

用2+4=/4=〃24___1_

所以

4n2-4m216n.4n2-4m2+16n+4m2+164/+16〃+1612

——7-------+——+4

m+4m+4

即2=0,解得〃=1或九=-2.

因?yàn)楫?dāng)〃=-2時(shí)，直線腦V的方程為％=加丁-2,

則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-2,0）,不符合題意，

所以〃=1,滿足A＞0,此時(shí)直線MN的方程為

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

所以直線跖V過(guò)定點(diǎn)(1,0),記直線MN與X軸的交點(diǎn)為O,則O點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

-2m

當(dāng)〃=1時(shí)，乂+%=~27，%=~27，

m+4m+4

SAMN二"叫.|弘fl='[(必+%)2-4必必l4m212,nr+3

y+^---=62，

m2+4Im+4m2+41

令/=療+3?23),y=t+-[t>3),則y'=l-!>0,

所以丁=/+；在[3,+8)上單調(diào)遞增，

13A/3

-4T-6

所以3+(+22

/H--F2

當(dāng)且僅當(dāng)，=蘇+3=3,即m=0時(shí)，AMN的面積取得最大值正.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的

等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

2

19.(1)。5=3?2,b5-q+2

(2)證明見解析

(3)存在，q=l

【分析】(1)由等差數(shù)列、等比數(shù)列