信號系統(tǒng)chap1教材

第一章信號與系統(tǒng)1.1緒言1.2信號1.3信號的基本運(yùn)算1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)1.5系統(tǒng)的描述1.6系統(tǒng)的特性和分析方法1.1緒言系統(tǒng)：若干相互關(guān)聯(lián)、相互作用的事物按照一定規(guī)律組合成的具有特定功能的整體。通信系統(tǒng)：傳輸信息過程控制系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)生態(tài)系統(tǒng)信號：系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)、變化的各種量轉(zhuǎn)換器發(fā)射機(jī)信道接收機(jī)轉(zhuǎn)換器待發(fā)消息輸入電信號輸出電信號接收消息信號是信息的一種表示方式，通過信號傳遞信息信號在系統(tǒng)中按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)、變化，系統(tǒng)在輸入信號的驅(qū)動(dòng)下對其進(jìn)行加工、處理并發(fā)出輸出信號信號理論：信號分析、信號傳輸、信號處理、信號綜合系統(tǒng)理論：系統(tǒng)分析、系統(tǒng)綜合信號分析：信號的表示、信號的性質(zhì)系統(tǒng)分析：對于給定的系統(tǒng)，在輸入信號作用下產(chǎn)生的輸出信號1.2信號信號：表示為時(shí)間的函數(shù)，函數(shù)的圖像稱為信號的波形確定信號(規(guī)則信號)：用確定的時(shí)間函數(shù)表示。給定某一時(shí)刻時(shí)，信號有確定的數(shù)值隨機(jī)信號：概率、統(tǒng)計(jì)的方法一、連續(xù)信號和離散信號Ttf

(t)

Fm

20連續(xù)時(shí)間信號：在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)定義的信號t-1-1113可見：信號的幅值可以是連續(xù)的，也可以不是連續(xù)的。間斷點(diǎn)：模擬信號：時(shí)間和幅值均為連續(xù)的信號連續(xù)時(shí)間信號：時(shí)間連續(xù)t

(t)01單位階躍函數(shù)012345k-2-101k210.5-1例：2離散時(shí)間信號：在離散瞬間有定義的信號數(shù)字信號離散時(shí)間信號不連續(xù)連續(xù)時(shí)間信號模擬信號連續(xù)不連續(xù)連續(xù)信號值自變量單位階躍序列…k101(b)鋸齒序列N：周期k

0N2N-1(a)半波整流信號T：周期t例：二、周期信號和非周期信號周期信號：周而復(fù)始，無始無終連續(xù)信號：離散信號：kf(k)10N…正弦序列N=?根據(jù)離散周期序列的定義當(dāng)為整數(shù)時(shí)，正弦序列為周期序列，周期為當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為周期序列，周期為當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列，但其樣值的包絡(luò)線為正弦函數(shù)。例1.2-1判別下列序列是否為周期性的，若是周期性的，確定周期解：f1(k)是周期序列，周期N1=14f2(k)是周期序列，周期N2=12解：f3(k)是非周期序列

解：三、實(shí)信號和復(fù)信號實(shí)信號：物理上可實(shí)現(xiàn)的信號，各時(shí)刻的函數(shù)值為實(shí)數(shù)。如正弦信號、單邊指數(shù)信號復(fù)信號：物理上不可實(shí)現(xiàn)的抽象的信號，各時(shí)刻的函數(shù)值為復(fù)數(shù)是分析的工具連續(xù)復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號概括了許多常用的基本信號：當(dāng)σ=0時(shí)：Re[f(t)]為等幅振蕩當(dāng)σ>0時(shí)：Re[f(t)]為增幅振蕩當(dāng)σ<0時(shí)：Re[f(t)]為減幅振蕩當(dāng)

=0時(shí)：f(t)=ket為實(shí)指數(shù)信號當(dāng)

=0，σ=0：f(t)=k為直流信號正弦信號可用虛指數(shù)信號表示TtA02正弦信號為周期信號特點(diǎn)：對時(shí)間的微分、積分仍為正弦信號特點(diǎn)：對時(shí)間的微分、積分仍為復(fù)指數(shù)信號離散復(fù)指數(shù)序列令復(fù)指數(shù)信號概括了許多常用的基本離散信號四、能量信號和功率信號歸一化能量或功率：信號(電壓或電流)在單位電阻上的能量或功率。連續(xù)信號f(t)：在區(qū)間(-

，)上

信號能量：信號功率：若0

E(此時(shí)P=0)稱f(t)為能量信號若0

P(此時(shí)E=)稱f(t)為功率信號

離散信號：在區(qū)間(-

，)上，序列f(k)能量：功率：例1.3-1求下列兩序列的和、積1.3信號的基本運(yùn)算一、加法和乘法相加相乘必須把同一時(shí)刻的值相加或相乘解：反轉(zhuǎn)0tt0二、反轉(zhuǎn)和平移幾何意義：將信號f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)0tf(t)12130tf(-t)1-2-1-3k0-1-2-3f(k)112k01123f(-k)-1-2

f(t)

f(t–t0)

f(k)

f(k–k0)f(·)右移t0(或k0)

f(t

)

f(t+t0)

f(k)

f(k+k0)f(·)左移t0(或k0)其中t0>0，k0>0將信號f(t)或f(k)的波形沿時(shí)間軸往左或往右整體移動(dòng)t0

或

k0而波形保持不變。幾何意義：平移：移位10tf(t)123–1f(t

–1)t10123–14f(t

+2)–2–110t1–3kf(k)01123f(k

–1)4k01123f(k+1)k0121–1平移+反轉(zhuǎn)平移平移反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)例：t00先平移后反轉(zhuǎn)例0先反轉(zhuǎn)后平移t0-2121t0以t=0為基準(zhǔn)三、尺度變換(橫坐標(biāo)展縮)例t02-4反轉(zhuǎn)加尺度變換例t0f(t)2-412t0f(-2t)212t0f(2t)1-212t04-812物理意義一段聲音4秒鐘放完tf(t)120-2加快速度，2秒鐘放完，聲音將變得尖銳減慢速度，8秒鐘放完，聲音將變得低沉04–4f(t/2)1t0t11–1

f(2t)可能同時(shí)含反轉(zhuǎn)、尺度變換和平移等幾種運(yùn)算例1.3-2：已知f(t)的波形如圖所示，求f(–2t+4)t012–4f(t)法一：寫出f(t)的函數(shù)式，以變量(–2t+4

)代替t后對函數(shù)式進(jìn)行整理(較麻煩)。t012–4f(t)t012–4f(t)0t1214f(–2t+4)f(t+4)0t1–2–4–8法二：直接把f(t)的波形經(jīng)平移、反折、壓縮后可得f(–2t+4)，三種運(yùn)算順序可任意安排。1)f(t)

平移

反折

壓縮t012–4f(t)0t1214f(–2t+4)壓縮左移4反折0t24f(–t+4)182)f(t)

反折

平移

壓縮t012–4f(t)0t1214f(–2t+4)0t1-24f(-t)反折

平移0t128f(-t+4)壓縮3)f(t)

壓縮

反折

平移t012–4f(t)壓縮tf(2t)11-20反折0t12-1f(-2t)0t1214f(–2t+4)平移注意：a)先壓縮后平移時(shí)移動(dòng)量為t0

/a

b)平移、反折、壓縮等各種運(yùn)算都是對獨(dú)立的、單一的變量t而言的，而不是對變量at或at+b進(jìn)行的。c)先做平移后再做其余運(yùn)算不易出錯(cuò)。01tf(3–2t)22–11–101tf(t)25101tf(3＋2t)2–11–201tf(3+t)2–11–22–4例：已知f(3–2t)波形，求f(t)平移法1)反轉(zhuǎn)擴(kuò)展01tf(3–2t)22–11法2)平移01/2t21–5/2–1/2f(-2t)–101tf(t)251擴(kuò)展01/2t215–1/2f(2t)反轉(zhuǎn)一、沖激函數(shù)的物理意義某些物理現(xiàn)象需要用一個(gè)作用時(shí)間極短，取值極大而效果有限的數(shù)學(xué)模型來表示，沖激函數(shù)就是描述這類物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。如力學(xué)中的沖擊力，作用力F很大，作用時(shí)間

t很短而沖量F

t

為有限值。又如電路中電容電壓發(fā)生躍變時(shí)電流極大，時(shí)間極短而給予電容的電荷為有限值。1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)t0n/21/n–1/nn–1/n1/nt01/21/n–1/n1–1/n1/nS=1二、階躍函數(shù)和沖激函數(shù)1.推導(dǎo)t01t0S=1t

(t)010t

(t-t0)t012.單位階躍函數(shù)

(t)1)階躍函數(shù)

(t)的定義

注意：t=0處的函數(shù)值不定義或規(guī)定為1/2或2)延遲單位階躍函數(shù)t00(1)沖激強(qiáng)度3.單位沖激函數(shù)的定義(有不同的定義方法)a.矩形脈沖取極限(也可以用其他規(guī)則函數(shù)取極限定義)矩形脈沖可看作一種作用效果(面積)一定，作用時(shí)間與作用力的大小成反比的物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。t00tt0(1)b.狄拉克定義這種定義從數(shù)學(xué)的角度并不嚴(yán)格c.延時(shí)單位沖激函數(shù)的定義沖激偶：的一階導(dǎo)數(shù)0tr(t)4.沖激函數(shù)的積分四、沖激函數(shù)的性質(zhì)1.與普通函數(shù)的乘積設(shè)f(t)為任意有界函數(shù)，且在t=0或t=t0處連續(xù)，則有設(shè)f(t)為任意有界函數(shù)，且在t=0或t=t0處連續(xù)，則有例1.4-1：分別計(jì)算下列各式解：

2.移位設(shè)f(t)為任意有界函數(shù)，且在t=0或t=t0處連續(xù)，則有設(shè)f(t)是分段連續(xù)函數(shù)，在t=ti

(i=1，2，…)有第一類間斷點(diǎn)跳躍度0tf(t)124-13-20tf'(t)3-1(2)(-6)2例1.4-2用階躍函數(shù)表示f(t)，求f'(t)，并且作圖比較0tf(t)124-13-20tf'(t)3-1(2)(-6)23.尺度變換推論：4.奇偶性當(dāng)n=2，4，6…偶函數(shù)；當(dāng)n=1，3，5…奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)uRusuLRCLuCiL1.5系統(tǒng)的描述系統(tǒng)模型是系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象，以數(shù)學(xué)表達(dá)式或具有物理特性的符號組合圖形來表征系統(tǒng)圖形。一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(連續(xù)系統(tǒng)的模型)連續(xù)系統(tǒng)——微分方程

離散系統(tǒng)——差分方程

離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)某地區(qū)在第k年的人口為y(k)人口的正常出生率和死亡率分別為a和b，而第k年從外地遷入的人口為f(k)，則該地區(qū)第k年的人口總數(shù)為af(·)y(·)af(·)y(·)∑f1(·)f2(·)f1(·)±f2(·)+±c

加法器二、系統(tǒng)的框圖表示a

積分器b

數(shù)乘器d

延時(shí)單元e

延時(shí)器用框圖表示的系統(tǒng)，各單元在系統(tǒng)中的作用一目了然系統(tǒng)的框圖

寫出數(shù)學(xué)模型f(t)f(k)y(k)=f(k-1)Df(t)y(t)=f(t-T)T例1.5-1寫出圖示的系統(tǒng)微分方程有兩個(gè)積分器，系統(tǒng)為單I/O的二階系統(tǒng)對加法器列寫方程整理為框圖所示系統(tǒng)的微分方程例1.5-2寫出圖示的系統(tǒng)微分方程對左加法器列寫方程整理為對右加法器列寫方程整理將三式相加，得得例1.5-3寫出圖示的系統(tǒng)差分方程對左加法器列寫方程整理為對右加法器列寫方程注意：框圖中加法器的輸入一定要標(biāo)符號DD根據(jù)系統(tǒng)的框圖，列寫微分方程或差分方程的步驟：(1)選中間變量x(·)。連續(xù)系統(tǒng)：設(shè)其最右端積分器的輸出為x(t)；離散系統(tǒng)：設(shè)其最左端遲延單元的輸入為x(k)(2)寫出各加法器輸出信號的方程。(3)消去中間變量x(·)。1.6系統(tǒng)的特性和分析方法一、線性性質(zhì)(含齊次性和可加性)線性性質(zhì)是分析和研究線性系統(tǒng)的重要理論基礎(chǔ)激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系簡記為算子T的含意：f(·)經(jīng)過算子T所規(guī)定的運(yùn)算，得到y(tǒng)(·)

齊次性可加性a1f1(t)+a2f2(t)LTIa1T[f1(t)]+a2T[f2(t)]f(t)LTIy(t)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：響應(yīng)不僅決定于激勵(lì)，且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)f(t)LTIy(t){x(0)}x(0)為初始狀態(tài)，f(·)為外加激勵(lì)零輸入響應(yīng)：輸入信號為零，僅由初始狀態(tài){x(0)}引起的響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)：初始狀態(tài)為零，僅由輸入信號{f(·)}引起的響應(yīng)全響應(yīng)是{f(·)}與{x(0)}單獨(dú)作用引起的響應(yīng)之和1)分解特性2)零輸入線性和零狀態(tài)線性零輸入線性：當(dāng)所有輸入信號為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對于各初始狀態(tài)呈現(xiàn)線性(包括齊次性和可加性)。零狀態(tài)線性：當(dāng)所有初始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對于各輸入信號呈現(xiàn)線性(包括齊次性和可加性)。線性系統(tǒng)：具有分解特性、又具有零輸入線性和零狀態(tài)線性t0f(t)

1t0f(t-t0)

+t01t0t0t0t0二、時(shí)不變性質(zhì)(常用此性質(zhì)分析求解系統(tǒng))f(t)LTIyzs(t)f(t-t0)LTIyzs(t-t0)若則時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)形式與激勵(lì)接入系統(tǒng)的時(shí)間無關(guān)線性時(shí)不變性的應(yīng)用——連續(xù)系統(tǒng)的微(積)分性若則f(t)LTIyzs(t)證明：時(shí)不變性f(t-Δt)LTIyzs(t-Δt))可加性f(t)-f(t-Δt)LTIyzs(t)-yzs(t-Δt)齊次性LTI滿足分解特性零輸入響應(yīng)滿足線性例1.6-1判斷下列系統(tǒng)是否為線性的、時(shí)不變的？零狀態(tài)響應(yīng)滿足線性(1)解：?時(shí)不變性的證明設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)滿足分解特性零輸入響應(yīng)滿足線性零狀態(tài)響應(yīng)不滿足線性時(shí)不變性的證明(2)解：三、因果性激勵(lì)是零狀態(tài)響應(yīng)的原因；零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)的結(jié)果。對于以時(shí)間為自變量的因果系統(tǒng)，響應(yīng)不能先于激勵(lì)以t為變量的實(shí)際物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。t0t01例：0f(t)

10

例：若t<0時(shí)，f(t)=0則t<0時(shí)，

例：若k<0時(shí)，f(k)=0則k<0時(shí)，

例：若k<0時(shí)，f(k)=0則k<0時(shí)，

若t<t0時(shí)，f(t)=0若t<t0時(shí)，f(t)=0非因果系統(tǒng)若t<0時(shí)e(t)=0，t0時(shí)

e(t)

0則稱e(t)為因果信號，因果信號常用e(t)

(t)表示。若t

0時(shí)e(t)=0，t<0時(shí)e(t)

0則稱e(t)為反因果信號，反因果信號常用e(t)

(–t)表示。非因果系統(tǒng)