2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（學(xué)生版）

專題28三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.能畫出三角函數(shù)的圖象.

2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（?。┲?

3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì).

【考點預(yù)測】

1.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

⑴正弦函數(shù)尸sinx,xd[O,2m]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：（0,0）,仔，1）,（Ji,

0）,（2it,0）.

（2）余弦函數(shù)y=cosx,xG[0,2m]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：（0,1）,（萬，0）,（五,

—1），/-,0）,（2口，1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中AGZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

△彥

圖象I/FIF

定義域RR{x\x￡R,且xWk工+言}

值域1-1,1][-1,1]R

最小正周期2-2-JI

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

rJIJI~|(JIJIA

遞增區(qū)間2A?！?A兀+=[22兀一兀,2k工]

22J上1-12L+TJ

rJI

2kst+=,

z

遞減區(qū)間[22兀,2A兀+兀]無

的吐,3利兀1

除。）

對稱中心(k1,0)叵±、）

JI

對稱軸方程x=kx+gx=k^無

【常用結(jié)論】

1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱

中心與對稱軸之間的距離是3個周期.正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.

2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為尸/sinGX或y=4tanGX的形式，偶函數(shù)一般可化為p

=AcosGX+B的形式.

3.對于y=tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個區(qū)間（4口一~了,AK+yj

（AGZ）內(nèi)為增函數(shù).

【方法技巧】

1.三角函數(shù)定義域的求法：求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式（組），常借

助三角函數(shù)的圖象來求解.

2.三角函數(shù)值域的不同求法

①把所給的三角函數(shù)式變換成尸/sin（。）的形式求值域.

②把sinx或cosx看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

③利用sinx土cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

3.奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為尸/sin。矛或尸/tanox的形式，

而偶函數(shù)一般可化為尸/cosox的形式.

9ji

4.周期的計算方法：利用函數(shù)y=2sin（GX+0）,尸/cos（GX+。）（G>0）的周期為二丁，

3

,JI

函數(shù)y=^tan（GX+。）（G>0）的周期為一求解.

co

5.已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間

求形如y=2sin（0x+。）或y=/cos（ox+。）（其中。>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視"0x+

為一個整體，通過解不等式求解.但如果?！?,可借助誘導(dǎo)公式將?；癁檎龜?shù)，防止把單

調(diào)性弄錯.

6.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.

二、【題型歸類】

【題型一】三角函數(shù)的定義域

【典例1】函數(shù)1：的定義域為

tanx—1

【典例2】函數(shù)p=dsinx—cosx的定義域為.

【典例3】函數(shù)y=lg（sinx）+、/x—；的定義域為.

【題型二】三角函數(shù)的值域

【典例1】F（x）=sin\ycosx—sinxcos、的最大值為（）

11當(dāng)

--C

A.24D.

兀7兀。

【典例2】當(dāng)7，時，函數(shù)尸3—sinx—2cosx的值域為.

【典例3】函數(shù)y=sinx—cosx+sinxcosx的值域為.

【題型三】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性

【典例1】下列函數(shù)中，以萬為周期且在區(qū)間{了，句上單調(diào)遞增的是()

A.f{x)=|cos2x\B._f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|D._f(j^=sin|x|

［典例2］函數(shù)_f(x)=3sin(2x—。)+1,6G(0,兀)，且F(x)為偶函數(shù)，貝!J。=

,F(x)圖象的對稱中心為.

【典例3】設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2x—3+玄則下列敘述正確的是()

A.『(x)的最小正周期為2n

JI

B.F(x)的圖象關(guān)于直線丫=正對稱

C.f(x)在-工兀，n1上的最小值為一日5

D.1'(x)的圖象關(guān)于點偌0)對稱

【題型四】求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【典例1】函數(shù)y=|cosx|的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()

B.[0,Ji]

「3兀.

C.[兀D.［虧，2111

(JI\it

【典例2】設(shè)函數(shù)F(x)=sin(2x一司xG口,則以下結(jié)論正確的是()

兀

A.函數(shù)/<x)在［一5，0］上單調(diào)遞減

B.函數(shù)/(x)在［0,5JI］上單調(diào)遞增

「兀5兀,

C.函數(shù)f(x)在萬，—上單調(diào)遞減

「5兀~|

D.函數(shù)_f(x)在7-,兀上單調(diào)遞增

【典例3)函數(shù)f(x)=sin(—2x+方的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【題型五】根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

【典例1］若函數(shù)f(x)=2斕,sinGXCOS3x+2sir?GX+COS2Gx在區(qū)間

上單調(diào)遞增，則正數(shù)3的最大值為()

1111

艮C

-一--

A.864D.3

【典例2］若/"(x)=cosx—sinx在［—a,a］上是減函數(shù)，則a的最大值是()

兀JIJI

【典例3］若函數(shù)f(x)=sin。X。＞0)在區(qū)間0,y上單調(diào)遞增，在區(qū)間彳，y上單

調(diào)遞減，貝I3=.

【題型六】利用單調(diào)性比較大小及求值域

【典例1】已知函數(shù)f(x)=2sin(x+與j,設(shè)a—f［~\,6=/(豆)，c=/yj,則a,b,c

的大小關(guān)系是()

A.B.

C.欣a〈cD.Mc<a

JI

【典例2】函數(shù)/1(x)=3sin((2x一句JI\在區(qū)間0,可上的值域為()

3

5,3

,3

【典例3】下列關(guān)系式中正確的是()

A.sin11°<cos10°<sin168°

B.sin168°<sin11°<cos10°

C.sin11°<sin168°<cos10°

D.sin168°<cos10°<sin11°

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(多選)在現(xiàn)代社會中，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，我們通過每天都在使用的電

話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到.而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)！函數(shù)

41

air>F(9/—1)

-~「(zGN*)的圖象就可以近似模擬某種信號的波形,則下列說法正確的是

Z7-1

()

A.函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且最小正周期為“

B.函數(shù)『(x)為奇函數(shù)

JI

C.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=5對稱

D.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的最大值為7

【訓(xùn)練二】如圖，角。的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于

2JI

點A(xi,yi),角B=a+一“的終邊與單位圓交于點8(x2,刃)，記/<

=■一刑.若角a為銳角，則A。)的取值范圍是.

【訓(xùn)練三】己知函數(shù)f(x)

(1)求f(x)的最大值及取得最大值時x的值;

2

(2)若方程F(x)=不在(0,兀)上的解為xi,xz,求COS(XLX2)的值.

【訓(xùn)練四】已知函數(shù)_f(x)usin'+d5sinxcosx.

⑴求/<x)的最小正周期；

-兀13

(2)若/U)在區(qū)間一萬，〃上的最大值為J,求⑷的最小值.

_oJZ

1

【訓(xùn)練五】已知f{x)=sin2^+—J+^/2sin^+—J?cos^+—2-

⑴求Hx)的單調(diào)遞增區(qū)間；

5JI3兀

(2)若函數(shù)y=|f(x)]一0在區(qū)間一訂，-'一上恰有兩個零點荀,

o

①求力的取值范圍；

②求sin(矛+1天)的值.

【訓(xùn)練六】已知函數(shù)F(x)=2sin(2x+豆)+a+L

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵當(dāng)xe［0,句JI時，F(xiàn)(x)的最大值為4,求a的值；

(3)在⑵的條件下，求滿足f(x)=l,且n,n］的x的取值集合.

四、【強化測試】

【單選題】

1.下列函數(shù)中，周期為2”的奇函數(shù)為()

XX

A.y=sin2cos-

C.y=tan2xy=sin2x+cos2x

f{x}=tanx+sinx+1,若F(6)=2,則A—6)=(

C.11

3.下列關(guān)于函數(shù)y=4sinx,［―兀，兀］的單調(diào)性的敘述，正確的是()

A.在［一兀，0］上是增函數(shù)，在［0,兀］上是減函數(shù)

jiJI-|JiJI

B.在一方，萬上是增函數(shù)，在一口，一干及了，口上是減函數(shù)

C.在［0,上是增函數(shù)，在［一"，0］上是減函數(shù)

ji-irjinrJIJI

D.在豆，五及一五，一-上是增函數(shù)，在一"y上是減函數(shù)

4.已知函數(shù)/'(x)=sin(2x+。)，其中。6(0,2"),若/'(x)對于一切xdR恒成

立，則F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

JI~|JIJI

A.左兀，kTi+—(AeZ)B.A兀一方~,+—(AeZ)

JI2Ji-I「JI

C.AJI+^~>"+飛-(AeZ)D.AJI—―,kx(AeZ)

5.設(shè)函數(shù)f(x)=cos［x+^|j,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.『(x)的一個周期為一2n

8JI

B.尸/'(x)的圖象關(guān)于直線x=11對稱

JI

C.f(x+兀)的一個零點為

D./1(x)在仔，口)上單調(diào)遞減

6.已知函數(shù)/'(x)=2sin(ox+總(。>0)的最小正周期為4口，則該函數(shù)的圖象()

A.關(guān)于點仔，0)對稱B.關(guān)于點0)對稱

JI5兀

C.關(guān)于直線x=R對稱D.關(guān)于直線矛=丁對稱

OO

7.若函數(shù)_f(x)=sin5cosx在區(qū)間［劣加上是減函數(shù)，且■f(〃)=2,f=-2,則

函數(shù)g(x)=cosx—y/isinx在區(qū)間［劣6］上()

A.是增函數(shù)B.是減函數(shù)

C.可以取得最大值2D.可以取得最小值一2

..JI\

8.已知函數(shù)_f(x)=2sin(GX+O)(0V口VI,〈句的圖象經(jīng)過點(0,1),且關(guān)于直

2JI

線了=亍對稱，則下列結(jié)論正確的是()

兀2兀

A.F(x)在正，一“上是減函數(shù)

B.若x=xo是廣(x)圖象的對稱軸，則一定有/(xo)WO

JI

C./'(x)》：!的解集是24JI,2kn+y,AeZ

D.f(x)圖象的一個對稱中心是(一■p0)

【多選題】

9.下列函數(shù)中，最小正周期為“的是()

A.y=cos12x\B.y=|cosx\

cos(2x+-^jD.y=tan(2x-1

C.y=

A/3

10.已知函數(shù)/'(x)=sinxcos-Zsin'x),則有關(guān)函數(shù)f(x)的說法正確的是()

A.f(x)的圖象關(guān)于點g,0)對稱

B.f(x)的最小正周期為1t

JI

C"(x)的圖象關(guān)于直線戶不對稱

D.f(x)的最大值為十

11.已知函數(shù)/5)=5行|引+歸］!1?，下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)在區(qū)間停，口)單調(diào)遞增

C.f(x)在［一n,口］有4個零點

D.f(x)的最大值為2

12.已知函數(shù)/"(x)=2sinxcosx—/(si/x—cos'x),判斷下列給出的四個命題，其中正

確的為()

A.對任意的xGR,都有《『―x)=—f(x)

JI

B.將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移J個單位，得到偶函數(shù)g(x)

C.函數(shù)y=F(x)在區(qū)間(行上是減函數(shù)