2024屆湖北省八市高三年級下冊3月聯考數學試卷（學生版+解析版）

2024屆湖北省八市高三下學期（3月）聯考

數學試卷

本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘

★?？荚図樌?/p>

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合A={1,2}I={2,3},C={1,2,3,4},則（）

A.AnB=0B.ALB=CC.AC=CD.AfC=B

2.若a=（2,—3）,b=（—1,2）,則a-（a+2Z?）=（）

A.-5B.-3C.3D.5

3.設復數1+i是關于x的方程分2—2分+》=0（。161＜）的一個根，則（）

A.a+2b=0B.a—2b=0C.2a+b=0D.2a—b—Q

4.如圖，在正方體ABC?！?51cl。中,P,M,N分別為AB,BB],的中點，則與平面MNP垂直的直

線可以是（）

O

BC

A.A}BB.A]DC.AGD.AC

5.已知今天是星期三，則6,-1天后是（）

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

6.己知函數/（力為偶函數，其圖像在號處的切線方程為x—2y+l=。，記/（￡）的導函數為

廣⑴，則八-1）=（）

A.」B.1

C.-2D.2

7.設某直角三角形的三個內角的余弦值成等差數列，則最小內角的正弦值為（）

8.設直線/：x+y-1=0,一束光線從原點。出發(fā)沿射線y=區(qū)（x>0）向直線/射出，經/反射后與天軸

交于點M,再次經x軸反射后與y軸交于點N.若卜等，則上值為（）

321

A.—B.—C.-D.2

232

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某校為了解高一新生對數學是否感興趣，從400名女生和600名男生中通過分層抽樣的方式隨機抽取100

名學生進行問卷調查，將調查的結果得到如下等高堆積條形圖和列聯表，則（）

L0

S9

8

O.S7□感興趣

S6□不感興趣

S5

S4

S3

S2

1

O.S0

女生

男生

數學興趣

性別合計

感興趣不感興趣

女生aba+b

男生Cdc+d

合計a+cb+d100

參考數據：本題i（人）

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.表中a=12,。=30

B.可以估計該校高一新生中對數學不感興趣的女生人數比男生多

C.根據小概率值a=0.05的%2獨立性檢驗，可以認為性別與對數學的興趣有差異

D.根據小概率值1=0.01的力2獨立性檢驗，可以認為性別與對數學的興趣沒有差異

10.某數學興趣小組的同學經研究發(fā)現，反比例函數y=工的圖象是雙曲線，設其焦點為若p為其

X

圖象上任意一點，則（）

A.y=是它的一條對稱軸B.它的離心率為J5

C.點（2,2）是它的一個焦點D.歸閘—戶訓=2&

11.已知函數/（》）=加+陵2+0；+2存在兩個極值點石,/（王<%2），且/（%1）=-X1，f（X2）=X2■設

/（九）的零點個數為機，方程3a[〃力了+2好（x）+c=0的實根個數為〃，則（）

A.當a>0時，〃=3B.當〃<0時，m+2=n

c.相〃一定能被3整除D.m+八的取值集合為｛4,5,6,7｝

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若tan[e+：]=3,則tan6=.

13.設等比數列｛4｝前幾項和為S“，若3s2〉S6〉0,則公比9的取值范圍為.

14?記留奇"（X）｝，者吸｛”“）｝分別表示函數4X）在，，可上的最大值和最小值?則葬%]

3腌M+"-2占卜一.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在ABC中，已知AB=2點,4。=2指,。=工.

4

（1）求8的大??；

（2）若6C>AC,求函數/（%）=5皿2%-5）-5皿2》+4+。）在[一兀,兀]上的單調遞增區(qū)間.

16.如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從數軸點1的位置出發(fā)，每隔Is向左或向右移動一個單位，設每

次向右移動的概率為。（0<。<1）.

（1）當p時，求5s后質點移動到點0的位置的概率；

（2）記3s后質點的位置對應的數為X,若隨機變量X的期望E（X）>0,求2的取值范圍.

17.如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PB=5，點、M在PD上,

點N為的中點，且PB//平面MAC.

(1)證明：CM//平面PAN；

(2)若PC=3,求平面PAN與平面M4c夾角的余弦值.

22

18.已知雙曲線G：/—3=1經過橢圓C,:「+y2=i的左、右焦點耳,耳，設的離心率分別為

ba

G?,且e?=-^~-

(1)求G，G的方程;

(2)設P為C1上一點，且在第一象限內，若直線p耳與。2交于A3兩點，直線PK與G交于CD兩

點，設的中點分別為M,N,記直線肱V的斜率為左，當左取最小值時，求點P的坐標.

19.英國數學家泰勒發(fā)現泰勒公式有如下特殊形式：當/(九)在尤=0處的"(weN*)階導數都存在時，

〃司=/⑼+廣⑼》+/?/+/乎》3++/羋％〃+1.注：廣⑺表示“對的2階導

數，即為/'(X)的導數，/㈤(無)(論3)表示〃力的。階導數,該公式也稱麥克勞林公式.

(1)根據該公式估算sin』值，精確到小數點后兩位；

2

2462

(2)由該公式可得：cosx=l-—+—-—+.當無20時，試比較cosx與1—乙大小，并給出

2!4!6!2

證明；

￡11

(3)設〃wN"證明：白/人14〃+2?

J(n+k)tan------

n+k

2024屆湖北省八市高三下學期(3月)聯考

數學試卷

本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘

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注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置，

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效，

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合A={1，2},5={2,3},C={1,2,3,4},則()

A.-0B.AB=CC.A,C=CD.AC=B

【答案】C

【解析】

【分析】由并集交集的概念即可得解.

【詳解】由題意＞^3={2},4_3={1,2,3},4)。={1,2,3,4}=。,4。={1,2},對比選項可知只有C

選項符合題意.

故選：C.

2.若。=(2,—3),b=(—1,2),則a-(a+2Z?)=()

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量加法和數量積的坐標表示直接計算求解即可.

【詳解】由題意可知。+2》=(0,1),

所以a,(a+2Z?)=2x0+(―3)x1=—3,

故選：B

3.設復數1+i是關于X的方程分2—2分的一個根，則(

A.。+2匕=0B.a—2b=0C.2a+/?=0D.2a—b-0

【答案】D

【解析】

【分析】將1+i代入方程結合復數的乘法運算即可得解.

【詳解】將1+i代入方程得：a(l+i)2—2a(l+i)+》=0,得一2。+人=0,即加一〃=0.

故選：D.

4.如圖，在正方體ABC。—44cl2中，尸,M,N分別為A5JB用,JD。的中點，則與平面MNP垂直的直

線可以是()

A.AXBB.ADC.AqD.A。

【答案】D

【解析】

【分析】作出與平面肱VP平行的平面4用2,證明a。，面4與2即可.

【詳解】連接A耳,3Q,A2，AG，AC,如下圖所示:

因為P,M,N分別為45,3環(huán)。2的中點，故必＞〃4用，BR//MN,

又MP?面ABQ],A3]U面ABtDt,故MP〃面ABXDX；

又W面ABQi，用2u面Ag2,故〃面A42；

又MPcMN=M,MP,MNu而MNP,故面ACVP〃面人用2；

則垂直于平面MNP的直線一定垂直于面；

顯然CC[±面4耳。]￡>1,B[D]U面AIB1C1DI,故BR1CQ,

又3]￡>]_L4G，AGccc1]=G，AG，CGu面4G。，

故用2,面AGC,又ACU面AGC,故

同理可得AC±又AB]nBR=4,ABX,BRu面ABtDt,

故4。，面AM",也即4。，面4WP；

若其它選項的直線垂直于平面肱VP,則要與4。平行，顯然都不平行.

故選：D.

5.已知今天是星期三，則6,-1天后是（）

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

【答案】A

【解析】

【分析】結合二項式展開式，求出它除以7的余數，可得結論.

【詳解】6,—1=（7—I）,—1

=C°77+C；76x（—I?+C/5x（-l）2++C>ix（-l）6+C；7°X（-1）7-1

=C°77+C/6x（—U+C?5x（—I?++C.71x（—I1—2.

即67-1除以7的余數為5,所以67-1天后是星期一.

故選：A.

6.已知函數”X）為偶函數，其圖像在點（1,7。））處的切線方程為x—2y+l=0,記〃尤）的導函數為

廣⑴,則r（-1）=（）

11

A.----B.—C.—2D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】先推導出偶函數的導數為奇函數，再根據條件得到r（i）,再利用奇函數的的性質求/'（-1）.

【詳解】因為/(X)為偶函數，所以/(%)=/(—X),兩邊求導，可得x)]n

/'(x)=/'(—無>(—力=/'(x)=—/'(一%)-

又/(%)在(1,/⑴)處的切線方程為：x-2y+l=0,

所以/”)=g.

所以廣

故選：A

7.設某直角三角形的三個內角的余弦值成等差數列，則最小內角的正弦值為()

A1Bi0出口2小

5555

【答案】C

【解析】

【分析】設出三個角度的大小關系，結合已知條件求得最小角的正切值，再求正弦值即可.

JT

【詳解】設A<3<C=—，根據題意可得cosC=0,且cosC+cosA=2cos瓦

2

JI

即2cos5=cosA,又A+5=—，則2cos5=2sinA,2sinA=cosA,

2

解得tanA=g,又則$垣4=乎.

故選：C.

8.設直線/：x+y-1=0,一束光線從原點。出發(fā)沿射線丁=履(1\0)向直線/射出，經/反射后與x軸

交于點再次經x軸反射后與y軸交于點N.若卜羋，則上的值為()

321

A.—B.-C.-D.2

232

【答案】B

【解析】

【分析】根據光學的性質，根據對稱性可先求。關于直線/的對稱點A,后求直線好，可得/、N兩點

坐標，進而由=乎可得h

【詳解】如圖，設點。關于直線/的對稱點為4(%,%),

Ai

即"

Mx(—i)=—1

由題意知y=與直線/不平行，故左w—1,

y=kx1k

%+y—1=0上+1'k+1

故直線AP的斜率為kAP=上抖一=

直線AP的直線方程為：y-l=-（x-l）,

令y=。得尤=1一左，故M。一女,0）,

令％=0得y=l—故由對稱性可得N10,g—1],

由|MN|=平得（1—左）2+1：—1）=!|,即（左-2（左+g[=1|，

解得左+—1=上13，得左=2—或左=±3,

k632

若左=；3,則第二次反射后光線不會與v軸相交，故不符合條件.

2

故a=2,

3

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.某校為了解高一新生對數學是否感興趣，從400名女生和600名男生中通過分層抽樣的方式隨機抽取100

名學生進行問卷調查，將調查的結果得到如下等高堆積條形圖和列聯表，則（）

0

9

8

7□感興趣

6□不感興趣

5

4

3

2

1

0

女生男生

數學興趣

性別合計

感興趣不感興趣

女生aba+b

男生Cdc+d

合計a+cb+d100

2

,,2n(ad-bc)

參考數據:本題中)(c+d)(a+c)0+d)亡3.94

a0.10050.010.0050001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.表中a=12,。=30

B.可以估計該校高一新生中對數學不感興趣的女生人數比男生多

C.根據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，可以認為性別與對數學的興趣有差異

D.根據小概率值0.01的/獨立性檢驗，可以認為性別與對數學的興趣沒有差異

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據分層抽樣的定義及等高條形圖的特點即可得出2x2的列聯表中的數據，利用列聯表中的數據計

算觀測值，再跟臨界值進行比較即可求解.

【詳解】由題可知，抽取男生人數為600x?=60人，女生抽取的人數400義?=40人，

10001000

由等高條形圖知，抽取男生感興趣的人數為60x0.5=30人，抽取男生不感興趣的人數為60x0.5=30人,

抽取女生感興趣的人數為40x0.3=12人，抽取女生不感興趣的人數為40x0.7=28人，

2x2的列聯表如下

數學興趣

性別合計

感興趣不感興趣

女生122840

男生303060

合計4258100

由此表可知，a=12,c=30,故A正確；

2a30

女生不感興趣的人數約為400X—=280人，男生不感興趣的人數約為600X—=300人,

4060

所以估計該校高一新生中對數學不感興趣的女生人數比男生少，故B錯誤;

零假設為“°：性別與對數學的興趣沒有差異

100x(12x30-28x30)2

K2=-3.941>3.841

40x60x42x58

依據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，有充分證據推斷“0不成立，

因此可以認為不成立，即可以認為性別與對數學的興趣有差異；故C正確;

零假設為“°：性別與對數學的興趣沒有差異

/_100x(12x30-28x30)2

-3.941<6.635

40x60x42x58

依據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷HQ不成立，

因此可以認為成立，即可以認為性別與對數學的興趣沒有差異；故D正確.

故選：ACD.

10.某數學興趣小組的同學經研究發(fā)現，反比例函數y=」的圖象是雙曲線，設其焦點為若尸為其

X

圖象上任意一點，則（）

A.y=一%是它的一條對稱軸B.它的離心率為J5

C.點（2,2）是它的一個焦點D.||PM|-|P^||=2V2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題意可知反比例函數的圖象為等軸雙曲線，進一步分別計算出離心率以及。，c即可逐一判斷求解.

【詳解】反比例函數的圖象為等軸雙曲線，故離心率為0,

容易知道y二工是實軸，＞=一%是虛軸，坐標原點是對稱中心，

聯立實軸方程y=無與反比例函數表達式y(tǒng)得實軸頂點(1,1),(-1,-1),

所以a=0,c=2,其中一個焦點坐標應為(0,吟而不是(2,2),

由雙曲線定義可知歸閭—|PN，=2a=2直.

故選：ABD.

11.已知函數/(0=加+氏2+o:+d存在兩個極值點內＜/),且/(%)=_%],/(X2)=X2.設

"%)的零點個數為加，方程3a[/(力了+2好(x)+c=O的實根個數為“，則()

A.當a＞0時，〃=3B.當a〈0時，m+2=幾

C.機”一定能被3整除D.機+〃的取值集合為{4,5,6,7}

【答案】AB

【解析】

【分析】分。＞0和。＜0兩種情況，利用導數判斷原函數單調性和極值，結合圖象分析/(x),/(/(x))

的零點分布，進而可得結果，

【詳解】由題意可知/'(x)=3ar2+2/zx+c為二次函數，且石，%(/＜%)為了'(力的零點，

由/'(?/'(x))=3a[〃x)T+2妙(x)+c=。得/(九)=%或/("=工2,

當a〉0時，令/'(%)＞0,解得彳＜%或x＞尤2；令/'(“＜°，解得不＜%＜馬；

可知：/(%)在(—,西),(々,+8)內單調遞增，在(如X2)內單調遞減，

則X]為極大值點，巧為極小值點，

若石＞0,則一石＜0＜%，

因為/(石)＞/(%2),即一不＞々，兩者相矛盾，故國＜。,

則/(%)=%有2個根，/(%)二石有1個根，可知〃=3,

若/(%2)=工2,可知m=1,mn=3,m+n=4；

若f(W)二42二。，可知根=2,mn=6,m+n=5；

若/(%2)=%2<0，可知"2=3,m〃=9,〃z+〃=6；

故A正確；

當a＜0時，4/f（%）＞0,解得占＜尤＜%；令/'（%）＜0，解得x＜%或x＞/；

可知：/（X）在（王,龍2）內單調遞增，在內（一8,%）,（W，+00）單調遞減，

則巧為極大值點，X］為極小值點,

若<0，則一X]>0之W,

因為/（玉）＜/（兀2）,即一玉＜々，兩者相矛盾,故々〉0,

若/(毛)=一芯>0，即%<°，可知m=1,〃=3，m"=3,m+”=4；

若/(%)=—%=°，即%=°，可知加=2，〃=4，"帆=8,m+”=6；

若/(%)=—%,<°，即無]>°，可知機=3,n=5,mw=15,m+?=8；

此時帆+2=〃，故B正確；

綜上所述："加的取值集合為{3,6,8,9,15},加+〃的取值集合為{4,5,6,8},

故CD錯誤；

故選：AB.

【點睛】方法點睛：對于函數零點的個數的相關問題，利用導數和數形結合的數學思想來求解.這類問題求

解的通法是：

（1）構造函數，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；

(2)求導數，得單調區(qū)間和極值點；

(3)數形結合，挖掘隱含條件，確定函數圖象與無軸的交點情況進而求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若tan[e+：]=3,則tan6=.

【答案】—#0.5

【解析】

【分析】由兩角和的正切公式求解即可.

兀

(\tan9+tan—

【詳解】由tane+f=3可得：-----------工=3,

I4)1—tanPtan烏

4

即tan"+l=3,解得：tane='.

1-tan02

故答案為：:

13.設等比數列｛%｝的前幾項和為S“，若3s2>S6>0,則公比q的取值范圍為.

【答案】(-LO)U(O,1)

【解析】

【分析】由3s2〉S6〉0可得。1(1+/)>0,01g—1)<0,討論q〉0或q<0,即可得出答案.

[詳解]由s=。1(1—1)=q(l-/)(1+0=q(1-4)(4+d+1)(1+43)

61-q1-q1-q

=q(g+q2+1)(1+/),

因為“+/+l=[q+g]+：>o，所以由S6〉0,

可得q(l+q3)>0,

由3s2>臬可得3q+3aM>〃1(9+才+1)(1+/),

即3〃](1+q)>%(1+4乂/+Q+1)(q?—q+i),

即3q(1+q)>q(1+q)(q，++1),

即-l+-l)(q2+2)>0,即+(g—l)(g2+2)〉0,

則％(q-l)<0,因為q#0

若見〉0,貝人;十；；Q°，解得：(-l,0)o(0,1),

1+/<0C

若％<0,貝I],解得：q&0,

k-i>o

所以公比q的取值范圍為：(-i,o)u(o,i).

故答案為：(―l,O)u(O,l).

14.記喘]"(X)}，般巾(初分別表示函數/(司在[。,可上的最大值和最小值.則口里]

NMM+”一2冊|}卜一■

【答案】2

【解析】

【分析】根據題意，由9+"-2冊卜卜6-1)2+m-11設〃為變量，可通過分類討論求出

maxJ|m+?-2冊|},再求出當加目―3,3]時的最小值；或由卜6—+機—1|在〃10,9]時的最大值

只可能在〃=0或〃=1或〃=9處取得，結合圖象可得原式的最小值.

【詳解】由—2冊|=|(6—1)2+m—11設〃為變量，

max1|加+〃-=max1+m-l

ne[0,9]11\)ne[0,9][\)

令1=—+機-11當〃=0時，Z=|m|,當〃=1時，t=|m-1|,當〃=9時，t=|m+3|

最大值只可能在〃=0或〃=1或〃=9處取得，

所以/=卜6—+機—1|的最大值為max{|m—1],|加+3|},

m+3,m>-1

所以max｛加+〃_

HS[0,9](I-m+l,m<-1

當mq-3,3]時，原式的最小值為2.

或者由,+〃—=卜冊—1)2+m在〃G[0,9]時的最大值只可能在〃=0或

〃=1或〃=9處取得，令/=|(6-I)?+加一1],當〃=0時，?=|m|,當”=1時，t=|772-1|,

當〃=9時，t=\m+3\,結合圖象可得原式的最小值為2.

【點睛】關鍵點睛：讀懂題意，分析忸+“-26卜|(新—1戶+根—最大值只可能在〃=0或"=1或

=9處取得，所以/=|(M—I)?+771-11的最大值為max||m-l|,|m+3|).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在」WC中，已知A3=2j5,AC=2j§,C=嗎

4

(1)求8的大小;

(2)若BC>AC,求函數/(x)=sin(2x—3)—sin(2x+A+C)在［—兀，兀］上的單調遞增區(qū)間.

-1217T

【答案】(1)5=三或5=式1

3

7兀兀5兀n兀

(2)-71,--—，兀

12121212

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及三角函數的特殊值對應特殊角即可求解;

(2)利用大邊對大角及三角形的內角和定理，再利用誘導公式及三角函數的性質即可求解.

【小問1詳解】

中，由正弦定理可得:

ABAC宜1=亞c

—.即后一sinB，解得sin5=Y3

sinCsmB-^―2

2

又0<5<兀，故5=彳或JB=——.

33

【小問2詳解】

JT2兀

由5C>AC,可得力>B,故3=—,A+C=—.

33

/(x)=sinf2x-j-sinf2x+7T

=sin2x---sin2x+n-—

333

=2sin^2x-^,

'llJi'JIJijJi

令----b2kli<2x——<—+2左兀,keZ，解得----bEVxK—+左兀，keZ.

2321212

I7兀7i5兀11兀

[一兀，兀，取左二—1,得一兀Vx<----；取左=0,得----WxW—；取左=1,得----<%<71,

」12121212

77rjr57r11jr

故/(九)在［—兀，兀］上的單調遞增區(qū)間為一兀，-二,-—,——,71

16.如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從數軸點1的位置出發(fā)，每隔Is向左或向右移動一個單位，設每

次向右移動的概率為p(O<p<l).

仁615-°41HGi；；；；1

(1)當P=；時，求5s后質點移動到點。的位置的概率；

(2)記3s后質點的位置對應的數為X,若隨機變量X的期望E(X)>0,求。的取值范圍.

【答案】(1)三

16

(2)-<p<1

3

【解析】

【分析】(1)利用獨立重復實驗的概率求解

(2)寫出隨機變量可能值，利用期望大于0解不等式求解.

【小問1詳解】

5s后質點移動到點。的位置，則質點向左移動了3次，向右移動了2次，

所求概率為：C；xp2x(l—p)3=C；x［；］='.

【小問2詳解】

X所有可能的取值為一2,0,2,4,且

P(X=-2)=Cl(l-p)3=(l-p)3,

尸(X=0)=C；M1_,)2=3,(1_,)2,

P(X=2)=Clp2(l-p)=3p2(l-p),

p(X=4)=C；/=p3,

由￡（X）=_2（l_p）3+2x3p2（l_p）+4p3〉0,解得p〉g,

又因為故0的取值范圍為§<p<1.

17.如圖，在四棱錐P—A5CD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PB=非，點、M在PD上,

點N為的中點，且P3//平面MAC.

（1）證明：CM//平面。AN；

（2）若PC=3,求平面PAN與平面MAC夾角余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵小

63

【解析】

【分析】（1）連接3。交AC與點。，根據題意證得￡M//CN且EM=CN,得到四邊形EMCN為平行

四邊形，得出CM//EN,結合線面平行的判定定理，即可證得CM//平面。AN；

（2）取A3的中點S,證得PS,平面ABCD,以S為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面PAN

和平面M4c的法向量機=（2,T,-1）和〃=（2,—2,1）,結合向量的夾角公式，即可求解.

【小問1詳解】

證明：連接3。交AC與點。，連接ON,可得平面尸加與平面MAC的交線為ON,

因為P5//平面M4C,PBu平面PBD，所以P3//OM,

又因為。為5。的中點，所以點M為P￡）的中點，

取己4的中點E，超妾EM,EN,可得EM//AD且

2

又因為N為的中點，可得CN//AO且CN=j4。，

2

所以EM//CN且EM=CN,所以四邊形EMCN為平行四邊形，所以&0//RV,

又因為平面。AN,且ENu平面0AN,所以CM//平面PAN.

【小問2詳解】

解：取A5的中點S,連結PS,CS,

因為PA=P3=&',可得尸SJ_A5,且ps=JPB2_5s2=2，

又因為SC=1BC。+RS?=非，且PC=3,

所以尸。2=尸$2+5。2,所以PSLSC,

又因為SC=S,且A3,SCu平面ABC。，所以PS,平面ABCD,

以S為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系S-孫z,

可得A（-1,0,0）,5（1,0,0）,C（l,2,0）,D（-1,2,0）,尸（0,0,2）,

因為〃為PO的中點，N為BC的中點，可得g』」）,N（LL0）,

則AP=（l,0,2）,PN=（Ll,—2）,AM=[g,l,l）"C=[m/,-l}

（AP=x+2z—0

設帆=（%,%,zj是平面PAM的法向量，貝葉

[加?PN=玉+%—22]=0

?。?2,可得y=—4,z=-1,所以加=（2TT），

3

n-AM=-x2+y2-z2-0

設力=（%，%，22）是平面MAC的法向量，貝卜

MC=g9+%+22=0

取X=2,可得y=—2,z=l,所以〃=（2,-2,1）；

Im-nl1111J21

設平面上47V與平面跖IC的夾角為。，則COS6=H4=—==———,

|m||n|3V2163

即平面PAN與平面MAC的夾角的余弦值為丑叵.

63

22

18.已知雙曲線和：/一與=1經過橢圓。2：=+丫2=1的左、右焦點右,工，設G，C2的離心率分別為

ba

q,e2,且€^2=,

(1)求的方程；

(2)設P為C1上一點，且在第一象限內，若直線尸耳與。2交于A3兩點，直線尸心與。2交于C，。兩

點，設的中點分別為M,N,記直線肱V的斜率為左，當左取最小值時，求點尸的坐標.

22

【答案】(1)G的方程為V-、=1，G的方程為5+>2=1

(2)P(V3,2)

【解析】

【分析】(1)由題意可得f―1=1，匕生?"解方程即可求出/42,即可求出G，C,

1a~2-

的方程；

(2)設直線P￡,P心的斜率分別為3左2，由題意可得左他=2,設直線尸耳的方程為：y=《(x+l),

聯立J+V=l可得同理可得'I當'Ui］即可求出直線"N的斜

率為左，再由基本不等式即可得出答案.

【小問1詳解】

依題意可得片―1=1，得"=2，

由的2=乎，得=］解得〃=2，

22

故G方程為/—匕=1,C的方程為土+丁=1.

222

【小問2詳解】

易知大(—1,0),耳(1,0),設p(x0,%)，直線PK，PK的斜率分別為匕,&，

2

=

貝I'】=F1&=%［，柩2*2°1'尸(不，為)

x0+1x0-1%0-1

22

在C"—]_=1,即有靖―21_=1,

可得左=*7=2為定值.

v-i

設直線P耳的方程為：y=^（%+1）,聯立、+y2=l可得

2-

（26+1）%2+4好1+2（左：-1）=0,4>0恒成立,

設人（七，%），5（%2，%）>則有為+%=“211，

可求得“

設直線尸工的方程為：y=Zr2（x-l）,C（x3,y3）,D（x4,y4）,

同理可得N

k]k2

k_2婷+廣2左2?+l_,（2左22+1）+左2（2左2+1）

則一2婷?2k；-2婷（2左2?+lj+2左2?（2婷+1）

2婷+12^2+1

_（22+1）（%+%2）_________（2k+1）（勺+&）

8婷質2+2（婷+&2）8婷4+2?+&『-2她一

5（.+匕）

由…可得:-24+2（之廣

點尸在第一象限內，故自〉左〉0,

555A/3

k=----——

24+2（%+&）2日小2化而~24

k、+k?

24

當且僅當近=2化+右），即勺+&=26時取等號,

而左1+網>2J左左2=2&，故等號可以取到.

即當左取最小值時，勺+&=26，聯立左他=2,

可解得1,&=6+1，

故尸耳的方程為：y=(G—1)(x+l),P￡的方程為：y=(、行+1)(

別為配修，由題意可得左他=2,聯立直線「耳與橢圓的方程求得〃，聯立直線尸入

與橢圓的方程同理可得N，即可求出直線的斜率為七,再由基本不等式即可得出

答案.

19.英國數學家泰勒發(fā)現的泰勒公式有如下特殊形式：當/(%)在尤=0處的〃(〃wN*)階導數都存在時,

/(x)=/(O)+/,(O)x+^ix2+^^)x3++/⑺⑼，+L.注：尸(無)表示/(X)的2階導

n\

數，即為尸(力的導數,/⑺(無)(〃之3)表示的，階導數,該公式也稱麥克勞林公式.

(1)根據該公式估算sin』的值，精確到小數點后兩位；

2

2462

(2)由該公式可得：cosx=l-—+--——+.當尤NO時，試比較cosx與1—土的