福州市重點中學2025屆高一數學第二學期期末達標檢測試題含解析

福州市重點中學2025屆高一數學第二學期期末達標檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，是的中點，是上的一點，且，若，則實數（）A．2 B．3 C．4 D．52．實數數列為等比數列，則（）A．-2 B．2 C． D．3．已知平面向量，，且，則＝A． B． C． D．4．在空間四邊形中，分別是的中點.若，且與所成的角為，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．5．若，則三個數的大小關系是（）A． B．C． D．6．直線的傾斜角為()A． B． C． D．7．如圖，某船在A處看見燈塔P在南偏東方向，后來船沿南偏東的方向航行30km后，到達B處，看見燈塔P在船的西偏北方向，則這時船與燈塔的距離是：A．10kmB．20kmC．D．8．已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（）A． B． C． D．9．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱的中點,則異面直線AC和MN所成的角為()A． B． C． D．10．化簡=（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不共線的三個平面向量，，兩兩所成的角相等，且，，則__________．12．已知變量x，y線性相關，其一組數據如下表所示.若根據這組數據求得y關于x的線性回歸方程為，則______.x1245y5.49.610.614.413．已知等差數列的公差為，且，其前項和為，若滿足，，成等比數列，且，則______，______.14．若直線上存在點可作圓的兩條切線，切點為，且，則實數的取值范圍為．15．觀察下列式子：你可歸納出的不等式是___________16．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則角最大值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設為等差數列的前項和，已知，.（1）求數列的通項公式；（2）令，且數列的前項和為，求證：.18．已知等差數列中，與的等差中項為，.（1）求的通項公式；（2）令，求證：數列的前項和.19．近年來,鄭州經濟快速發(fā)展,躋身新一線城市行列,備受全國矚目．無論是市內的井字形快速交通網,還是輻射全國的米字形高鐵路網,鄭州的交通優(yōu)勢在同級別的城市內無能出其右．為了調查鄭州市民對出行的滿意程度,研究人員隨機抽取了1000名市民進行調查,并將滿意程度以分數的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖,其中．（I）求的值；（Ⅱ）求被調查的市民的滿意程度的平均數,眾數,中位數；（Ⅲ）若按照分層抽樣從,中隨機抽取8人,再從這8人中隨機抽取2人,求至少有1人的分數在的概率．20．設角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.21．已知函數(1)求函數的單調遞減區(qū)間；(2)若將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向右平移()個單位長度，所得函數的圖象關于軸對稱．求的最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

選擇以作為基底表示，根據變形成，即可求解.【詳解】在中，根據平行四邊形法則，有，是的中點，，由題：，即，，，所以，所以解得：故選：C【點睛】此題考查平面向量的線性運算，根據平面向量基本定理處理系數關系.2、B【解析】

由等比數列的性質計算，注意項與項之間的關系即可．【詳解】由題意，，又與同號，∴．故選B．【點睛】本題考查等比數列的性質，解題時要注意等比數列中奇數項同號，偶數項同號．3、B【解析】

根據向量平行求出x的值，結合向量模長的坐標公式進行求解即可．【詳解】且，則故故選B.【點睛】本題考查向量模長的計算，根據向量平行的坐標公式求出x的值是解決本題的關鍵．4、A【解析】

連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=BD．同理，FG∥BD，且FG=BD，所以EH∥FG，且EH=FG．所以四邊形EFGH為平行四邊形．因為AC=BD=a，AC與BD所成的角為60°所以EF=EH．所以四邊形EFGH為菱形，∠EFG=60°．∴四邊形EFGH的面積是2××()2=a2故答案為a2，故選A.考點：本題主要是考查的知識點簡單幾何體和公理四，公理四：和同一條直線平行的直線平行，證明菱形常用方法是先證明它是平行四邊形再證明鄰邊相等，以及面積公式屬于基礎題．點評：解決該試題的關鍵是先證明四邊形EFGH為菱形，然后說明∠EFG=60°，最后根據三角形的面積公式即可求出所求．5、A【解析】

根據對數函數以及指數函數的性質比較，b，c的大小即可．【詳解】＝log50.2＜0，b＝20.5＞1，0＜c＝0.52＜1，則，故選A．【點睛】本題考查了對數函數以及指數函數的性質，是一道基礎題．6、D【解析】

求出斜率，根據斜率與傾斜角關系，即可求解.【詳解】化為，直線的斜率為，傾斜角為.故選:D.【點睛】本題考查直線方程一般式化為斜截式，求直線的斜率、傾斜角，屬于基礎題.7、C【解析】

在中，利用正弦定理求出得長，即為這時船與燈塔的距離，即可得到答案．【詳解】由題意，可得，即，在中，利用正弦定理得，即這時船與燈塔的距離是，故選C．【點睛】本題主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定與性質，以及特殊角的三角函數值的應用，其中熟練掌握正弦定理是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．8、D【解析】

根據兩個球的表面積之比求出半徑之比，利用半徑之比求出球的體積比.【詳解】由題知，則.故選：D.【點睛】本題主要考查了球體的表面積公式和體積公式，屬于基礎題.9、C【解析】

將平移到一起，根據等邊三角形的性質判斷出兩條異面直線所成角的大小.【詳解】連接如下圖所示，由于分別是棱和棱的中點，故，根據正方體的性質可知，所以是異面直線所成的角，而三角形為等邊三角形，故.故選C.【點睛】本小題主要考查空間異面直線所成角的大小的求法，考查空間想象能力，屬于基礎題.10、D【解析】

根據向量的加法與減法的運算法則，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據向量的運算法則，可得=++==，故選D．【點睛】本題主要考查了向量的加法與減法的運算法則，其中解答中熟記向量的加法與減法的運算法則，準確化簡、運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】

故答案為：4【點睛】本題主要考查向量的位置關系，考查向量模的運算的處理方法.由于三個向量兩兩所成的角相等，故它們兩兩的夾角為，由于它們的模都是已知的，故它們兩兩的數量積也可以求出來，對后平方再開方，就可以計算出最后結果.12、4.3【解析】

由所給數據求出，根據回歸直線過中心點可求解．【詳解】由表格得到，，將樣本中心代入線性回歸方程得.故答案為：4.3【點睛】本題考查線性回歸直線方程，掌握回歸直線的性質是解題關鍵，即回歸直線必過中心點．13、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比數列，可建立關系式，求出，進而求出即可.【詳解】由，可知，即，又，，成等比數列，所以，則，即，解得或，因為，所以，，所以.故答案為：2；.【點睛】本題考查等比數列的性質，考查等差數列前項和的求法，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.14、【解析】試題分析：若，則，直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點，由圓心到直線的距離公式可得,解之可得.考點：點到直線的距離公式及直線與圓的位置關系的運用.【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式及直線與圓的位置關系的運用，涉及到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及學生的推理與運算能力，本題的解答中直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點是解答的關鍵．15、【解析】

觀察三個已知式子的左邊和右邊，第1個不等式左邊可改寫成；第2個不等式左邊的可改寫成，右邊的可改寫成；第3個不等式的左邊可改寫成；據此可發(fā)現第個不等式的規(guī)律.【詳解】觀察三個已知式子的左邊和右邊，第1個式子可改寫為：，第2個式子可改寫為：，第3個式子可改寫為：，所以可歸納出第個不等式是：.故答案為：.【點睛】本題考查歸納推理，考查學生分析、解決問題的能力，屬于基礎題．16、【解析】

根據余弦定理列式，再根據基本不等式求最值【詳解】因為所以角最大值為【點睛】本題考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）見解析【解析】

(1)根據等差數列的通項公式得到結果；（2）根據第一問得到，由裂項求和得到結果.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由題意得，，解得，，則，.（2）由得∴.【點睛】這個題目考查的是數列通項公式的求法及數列求和的常用方法；數列通項的求法中有常見的已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。18、（1）（2）見解析【解析】

（1）利用和表示出和，解方程求得和；根據等差數列通項公式求得結果；（2）整理出的通項公式，利用裂項相消法可求得，根據可證得結論.【詳解】（1）設數列的公差為則，解得：（2）由（1）知：，即【點睛】本題考查等差數列通項公式的求解、裂項相消法求解數列的前項和；關鍵是能夠將需求和的數列的通項裂為可前后抵消的形式，加和可求得結果，屬于?？碱}型.19、(Ⅰ)(Ⅱ)平均數74.9,眾數75.14,中位數75；(Ш)【解析】

（I）根據頻率之和為列方程，結合求出的值.（II）利用各組中點值乘以頻率然后相加，求得平均數.利用中位數是面積之和為的地方，列式求得中位數.以頻率分布直方圖最高一組的中點作為中位數.（III）先計算出從,中分別抽取人和人，再利用列舉法和古典概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】解：(I)依題意得,所以,又,所以．(Ⅱ)平均數為中位數為眾數為(Ш)依題意,知分數在的市民抽取了2人,記為,分數在的市民抽取了6人,記為1,2,3,4,5,6,所以從這8人中隨機抽取2人所有的情況為：,共28種,其中滿足條件的為,共13種,設“至少有1人的分數在”的事件為,則【點睛】本小題主要考查求解頻率分布直方圖上的未知數，考查利用頻率分布直方圖估計平均數、中位數和眾數的方法，考查利用古典概型求概率.屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）由，可得出，進而得出，結合可求出角的值，可求出的值，再利用反余弦的定義即可求出角的值；（2）由題意可得出，，可計算出，根據反三角的定義得出，，利用兩角和的正弦公式求出的值，即可得出角的值.【詳解】（1），，，，則，可得，所以，可得.因此，；（2），則，所以，，由（1）知，所以，，，，，，由同角三角函數的基本關系可得，，由兩角和的正弦公式可得，因此，.【點睛】本題考查反三角函數的定義，同時也考查了利用兩角和的正弦公式的應用，在求角時，不要忽略了求角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.21