北京市西城區(qū)第8中學2025屆數學高一下期末達標檢測試題含解析

北京市西城區(qū)第8中學2025屆數學高一下期末達標檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若向量，，則點B的坐標為（）A． B． C． D．2．已知是的邊上的中點，若向量，，則向量等于（）A． B． C． D．3．已知，，直線，若直線過線段的中點，則（）A．-5 B．5 C．-4 D．44．如圖：樣本A和B分別取自兩個不同的總體，他們的樣本平均數分別為和，樣本標準差分別為和，則（）A．B．C．D．5．設矩形的長為，寬為，其比滿足∶＝，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應用于工藝品設計中．下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根據上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數，與標準值0.618比較，正確結論是A．甲批次的總體平均數與標準值更接近B．乙批次的總體平均數與標準值更接近C．兩個批次總體平均數與標準值接近程度相同D．兩個批次總體平均數與標準值接近程度不能確定6．已知，其中，若函數在區(qū)間內有零點，則實數的取值可能是（）A． B． C． D．7．設，，是平面內共線的三個不同的點，點是，，所在直線外任意-點，且滿足，若點在線段的延長線上，則（）A．， B．， C． D．8．某校高一年級有男生540人，女生360人，用分層抽樣的方法從高一年級的學生中隨機抽取25名學生進行問卷調查，則應抽取的女生人數為（）A．5 B．10 C．15 D．209．如圖是某體育比賽現場上評委為某位選手打出的分數的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數據的平均數和方差分別是()A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.410．在中，，，則的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數列中，首項，公差，前項和，則使有最小值的_________.12．記為等差數列的前項和，若，則___________.13．如圖，在四面體A－BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為________.14．已知向量，，且與垂直，則的值為______.15．已知，則____________.16．在平面直角坐標系xOy中，已知直角中，直角頂點A在直線上，頂點B，C在圓上，則點A橫坐標的取值范圍是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，它的部分圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）當時，求函數的值域.18．如圖，是正方形，是該正方形的中心，是平面外一點，底面，是的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.19．在中，已知，是邊上的一點，,,.（1）求的大??；（2）求的長.20．設數列的前項和.已知.（1）求數列的通項公式；（2）是否對一切正整數，有？說明理由.21．“我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將連接，設中邊所對的角為，中邊所對的角為，經測量已知，.（1）霍爾頓發(fā)現無論多長，為一個定值，請你驗證霍爾頓的結論，并求出這個定值；（2）霍爾頓發(fā)現麥田的生長于土地面積的平方呈正相關，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據向量的坐標運算得到，得到答案.【詳解】，故.故選：.【點睛】本題考查了向量的坐標運算，意在考查學生的計算能力.2、C【解析】

根據向量加法的平行四邊形法則，以及平行四邊形的性質可得，，解出向量．【詳解】根據平行四邊形法則以及平行四邊形的性質，有．故選．【點睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則以及平行四邊形的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、B【解析】

根據題意先求出線段的中點，然后代入直線方程求出的值.【詳解】因為，，所以線段的中點為，因為直線過線段的中點，所以，解得.故選【點睛】本題考查了直線過某一點求解參量的問題，較為簡單.4、B【解析】

從圖形中可以看出樣本A的數據均不大于10，而樣本B的數據均不小于10，A中數據波動程度較大，B中數據較穩(wěn)定，由此得到結論．【詳解】∵樣本A的數據均不大于10，而樣本B的數據均不小于10，，由圖可知A中數據波動程度較大，B中數據較穩(wěn)定，.故選B.5、A【解析】甲批次的平均數為0.617，乙批次的平均數為0.6136、D【解析】

求出函數，令，，根據不等式求解，即可得到可能的取值.【詳解】由題：，其中，令，，若函數在區(qū)間內有零點，則有解，解得：當當當結合四個選項可以分析，實數的取值可能是.故選：D【點睛】此題考查根據函數零點求參數的取值范圍，需要熟練掌握三角函數的圖像性質，求出函數零點再討論其所在區(qū)間列不等式求解.7、A【解析】

由題可得：，將代入整理得：，利用點在線段的延長線上可得：，問題得解.【詳解】由題可得：，所以可化為：整理得：，即：又點在線段的延長線上，所以與反向，所以，故選A【點睛】本題主要考查了平面向量中三點共線的推論，還考查了向量的減法及數乘向量的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．8、B【解析】

利用分層抽樣的定義和方法求解即可.【詳解】設應抽取的女生人數為，則，解得．故選B【點睛】本題主要考查分層抽樣的定義及方法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9、B【解析】

去掉最低分分，最高分分，利用平均數的計算公式求得，利用方差公式求得.【詳解】去掉最低分分，最高分分，得到數據，該組數據的平均數，.【點睛】本題考查從莖葉圖中提取信息，并對數據進行加工和處理，考查基本的運算求解和讀圖的能力.10、A【解析】

利用正弦定理得出的外接圓直徑，并利用正弦定理化邊為角，利用三角形內角和關系以及兩角差正弦公式、配角公式化簡，最后利用正弦函數性質可得出答案．【詳解】中，，，則，，其中由于，所以，所以最大值為．故選A．【點睛】本題考查正弦定理以及兩角差正弦公式、配角公式，考查基本分析計算能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】

求出，然后利用，求出的取值范圍，即可得出使得有最小值的的值.【詳解】，令，解得.因此，當或時，取得最小值.故答案為：或.【點睛】本題考查等差數列前項和的最小值求解，可以利用二次函數性質求前項和的最小值，也可以轉化為數列所有非正數項相加，考查計算能力，屬于中等題.12、100【解析】

根據題意可求出首項和公差，進而求得結果.【詳解】得【點睛】本題考點為等差數列的求和，為基礎題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數列的求和公式是解題的關鍵．13、【解析】如圖，取中點，中點，連接，由題可知，邊長均為1，則，中，，則，得，所以二面角的平面角即，在中，，則，所以．點睛：本題采用幾何法去找二面角，再進行求解．利用二面角的定義：公共邊上任取一點，在兩個面內分別作公共邊的垂線，兩垂線的夾角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出對應三角形的三邊，利用余弦定理求解（本題中剛好為直角三角形）．14、【解析】

根據與垂直即可得出，進行數量積的坐標運算即可求出x的值．【詳解】；；．故答案為．【點睛】本題考查向量垂直的充要條件，以及向量數量積的坐標運算，屬于基礎題．15、【解析】

由已知結合同角三角函數基本關系式可得，然后分子分母同時除以求解．【詳解】，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數的化簡求值，考查同角三角函數基本關系式的應用，是基礎的計算題．16、【解析】

由題意畫出圖形，寫出以原點為圓心，以為半徑的圓的方程，與直線方程聯立求得值，則答案可求．【詳解】如圖所示，當點往直線兩邊運動時，不斷變小，當點為直線上的定點時，直線與圓相切時，最大，∴當為正方形，則，則以為圓心，以為半徑的圓的方程為．聯立，得．解得或．點橫坐標的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查直線與圓位置關系的應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標法的應用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】試題分析：（1）依題意，則，將點的坐標代入函數的解析式可得，故，函數解析式為.（2）由題意可得，結合三角函數的性質可得函數的值域為.試題解析：（1）依題意，，故.將點的坐標代入函數的解析式可得，則，，故，故函數解析式為.（2）當時，，則，，所以函數的值域為.點睛：求函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)在區(qū)間[a，b]上值域的一般步驟：第一步：三角函數式的化簡，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．第二步：由x的取值范圍確定ωx＋φ的取值范圍，再確定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范圍．第三步：求出所求函數的值域(或最值)．18、（1）見解析；（2）見解析．【解析】

（1）連接，證明后即得線面平行；（2）可證明平面，然后得面面垂直．【詳解】（1）如圖，連接，∵分別是中點，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵，底面，底面，∴，又正方形中，，∴平面，而平面，∴平面平面.【點睛】本題考查證明線面平行和面面垂直，掌握線面平行和面面垂直的判定定理是解題關鍵．19、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根據的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，從而代入數據進行運算即可得到的長.試題解析：（1）在中，，由余弦定理可得又因為，所以（2）在中，由正弦定理可得所以.考點：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形.20、（1）；（2）對一切正整數，有.【解析】

（1）運用數列的遞推式，結合等差數列的定義和通項公式，可得所求；（2）對一切正整數n，有，考慮當時，，再由裂項相消求和，即可得證?！驹斀狻浚?）當時，兩式做差得，，當時，上式顯然成立，。（2）證明：當時，可得由可得即有<則當時，不等式成立。檢驗時，不等式也成立，綜上對一切正整數n，有?！军c睛】本題考查數列遞推式，考查數列求和，考查裂項法的運