2024高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題（解析版）

2024高考數(shù)學(xué)專項解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題

（解析版）

解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題

、知識點梳理，

一、“結(jié)構(gòu)不良問題”的解題策略

（1）題目所給的三個可選擇的條件是平行的,無論選擇哪個條件，都可解答題目；

（2）在選擇的三個條件中,并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會得滿分，

但計算要細(xì)心、準(zhǔn)確，避免出現(xiàn)低級錯誤導(dǎo)致失分.

二'"正弦定理"與"余弦定理’的選用策略

在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適,或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用

某個定理的信息.

（1）如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；

（2）如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理；

（3）以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

三'“邊化角”或“角化邊”的變換策略

⑴若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；

（2）若式子中含有a、b、c的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

、題型精講精練，O

血］1在△ABC中，角。所對的邊分別為a,b,c,且滿足26cosc=2a—c

（1）求角B；

（2）在①△ABC的外接圓的面積為華，②AABC的周長為12,③6=4,這三個條件中任選一個，求

△ABC的面積的最大值.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

【題型訓(xùn)練1-刷真題】）

一、解答題

■〔1〕（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)/㈤=sineo/cosp+cos0Nsinp（0>0,\（p\<專）.

⑴若/（0）=一手，求0的值.

（2）己知/（力）在區(qū)間［—等，爭］上單調(diào)遞增，/（專）=1,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇

一個作為已知，使函數(shù)/（，）存在，求3,0的值.

條件①:嗚）=上;

條件②：/（—母）=—1;

條件③：加）在區(qū)間［―爭―卻上單調(diào)遞減.

注:如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答

計分.

題目1（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，c=2bcosB,。=奪.

O

⑴求3

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△AB。存在且唯一確定，求BC邊上

中線的長.

條件①：c—V2b；

條件②：△ABC的周長為4+2V3；

條件③：△ABC的面積為早；

?2?

o【題型訓(xùn)練2-刷模擬】)O

一、解答題

趣130(2023?四川?校聯(lián)考模擬演測)已知銳角△4BC的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,fe,c.在下列三個

條件①由二卜也人,一n=(2cos2A,2cosA)，且昂〃元;②asirrB=V^bcosA；③cos2B+cos2Cu

COS2A+1—sinBsinC中任選一'個，回答下列問題.

⑴求4

(2)若a=2,求△48。面積的最大值.

^^^330(2023?北京東城?穌才模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(2)-2V3sin&)2；cosa)2：—2sin2<z)a;+1(0<&)<2).在下

面兩個條件中選擇其中一個，完成下面兩個問題：

條件①:在/(，)圖象上相鄰的兩個對稱中心的距離為,；

條件②：/(x)的一條對稱軸為①=?.

O

⑴求S;

(2)將/㈤的圖象向右平移-1個單位(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(c)的圖象，求函數(shù)g⑺在卜。引上

的值域.

?3?

題目回（2023?全國?模擬預(yù)測）在①bsinC+V3ccosB=,②sin（B+專）=是普，③asin（C+專）=

csinA這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中,并解答問題.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且.

（1）求角C；

（2）若△ABC外接圓的面積為4n，求△AB。面積的最大值.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

〔題目I6〕（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄颍y）△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,sinB=:,

且.

（1）求△ABC的面積；

（2）若sinAsinC=，求b.

O

222

在①a-6+c=2,@AB-BC=-1這兩個條件中任選一個,補充在橫線中，并解答.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

?4?

題目1（2023?云南靈明?品明一中?？寄M預(yù)A43。的內(nèi)角所對邊分別為a,b,c,點。為

△ABC的內(nèi)心，記△OB。，△OAC,Z\OAB的面積分別為Si，S2,S3,已知S；+S?SiS3=S；,AB=2.

（1）若△ABC為銳角三角形，求AC的取值范圍；

（2）在①4sinBsinA+cos2A=1；②——2c,s、+1—2c二s_B=0；③（27+sA=1中選一個作為條

sinAsmBacosCCO

件,判斷是否存在，若存在，求出△ABC的面積，若不存在，說明理由.（注:如果選擇多個條件分

別解答，按第一個解答計分.）

趣瓦區(qū)）（2023舊川成都西川看成都列五中學(xué)校才模擬我測）在△ABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為a,

b,c,且a—ccosB=^-bsinC.

o

（1）求角。的大??；

（2）若c=2遍，且，求△ABC的周長.請在下列三個條件中，選擇其中的一個條件補充到上面的橫

線中,并完成作答.①sinAsinB=白;②4ABC的面積為乎;③豆？?取=-率

■LZOO

注：如果選擇多個條件分別解答,那么按第一解答計分.

?5?

【題目§（2023?河北總寺模楸預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A,。對應(yīng)的邊為a,b,c,△ABC的面積為S,若

acosB+bcosA=2a.

⑴當(dāng)B=合時，求A；

o

（2）若角B為AABC的最大內(nèi)角.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立，

①a2+c2+ac=/；②b=V7；③S=

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.

〔題目〔10］（2023?云南曲靖?穌考模擬H）在①asin（A+C）=6cos（A—卷）;②1+2cosceosB=

cos（C-B）-cos（C+B）；③,2產(chǎn)呼=b_這三個條件中選擇一個補充在下面問題中的橫線上，然

tanA+tanBc

后求解.

問題:在△ABC中，內(nèi)角的對邊分別為a,6,c,且b+c=2遍,a=逐,.（說明：只需選擇一個

條件填入求解，如果三個都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評分）

（1）求角A的大??；

（2）求4ABC內(nèi)切圓的半徑.

,6,

[題目|11[(2023?寧夏中工?岐號二M)在①tanA+tanB+V3=V3tanAtanB；②(c+a—b)(sin?！猻inA

+sinB)=asinB；

③V3csinB=b(cosC+1)；這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中，并進行解答.問題:在&ABC

中，內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,6,c,且.

(1)求角C；

(2)若△ABC的內(nèi)切圓半徑為乎,6=4,求a—c.

[題目|12](2023?堂慶?統(tǒng)考模根預(yù)測)如圖所示，已知圓。是4ABC的外接圓，圓O的直徑BD=2.設(shè)BC

=a,AC=b,4B=c,在下面給出條件中選一個條件解答后面的問題，

①tan。，(b—V3csinA)+V3c-cosA=0；

②2cosC+cosA=(2sinC—sinA)?tanA；

③△AB。的面積為乎(a?+c2—/).選擇條件______.

⑴求b的值；

(2)求△ACD的周長的取值范圍.

題目13(2023?湖南墓陽?統(tǒng)考模擬登A43C中，角4旦。的對邊分別為a,b,c,從下列三個條件中任選

一個作為已知條件，并解答問題.①csin宜乎=asinC;②嚴(yán)由。=哼。；③△ABC的面積為

21—cosA

-&+3a)

(1)求角A的大??；

(2)求sinBsin。的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

畫園亙(2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)校考模板預(yù)測)在①由=(2a—c,6),代=(cosCcosB),力〃九②

bsinA=acos(B—/)；③(a+6)(a—6)=(a—c)c三個條件中任選一個，補充在下面的問題中,并解決

該問題.在△ABC中，內(nèi)角ABC的對邊分別是a,b,c,且滿足.注:如果選擇多個條件分別解

答,按第一個解答計分.

(1)求角B;

(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.

?8?

1蜃亙］310（置儂?山西呂果必寺三模）在①3absinC=4AB?AC；②a（3sinB+4cos_B）=4c,這兩個條件中

任選一個,補充在下面問題中，并加以解答.

已知△48。的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,.

（1）求sinA的值；

⑵若△ABC的面積為2,a=4,求△ABC的周長.

注:如選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

題目（2023?全國?模擬預(yù)測）從①2sinB=2sinAcosC（+sin。,②4SsinA=absinCtan4s為△ABC

的面積），③bcosA+acosB+2acosC=2b這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并加以解答.

在4ABC中，內(nèi)角A、B、。的對邊分別為a、b、c,且.

（1）求角A的大??；

（2）若4sinB=bsinA，求6+c的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

?9?

題目17(2023?河北邯鄲?統(tǒng)考二＞已知條件:①2a=b+2ccosS；②2asinAcos/?+bsin2/l=

2^30008(7；③V3sinC=3—2cos2g.

從三個條件中任選一個,補充在下面的問題中，并解答.

問題:在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,滿足:.

(1)求角。的大??；

(2)若c=2遍，/ABC與ABAC的平分線交于點/，求ZVlB/周長的最大值.

注:如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分

〔題目18(2023.海南.?？谑斜∩饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)在①8COS力COS(劣+g■卜②一4sin2/—4v5sin力

?cosx+4；③8cos%—4sin(2力+專)—2這三個條件中任選一個,補充在下面問題中并解答.

問題：已知函數(shù)/(6)=.

(1)求函數(shù)/(力)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在△48。中，內(nèi)角A,。所對的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積.若/Q)在力=A處有最小

值一Q,求△48。面積的最大值.

注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

?10?

【題目|19］（2023?江蘇?校賽考模擬測）在①acos"C=bsinA,②?:由2號+上第旦=。這兩個條

21+cos2BsmB

件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答.

在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且滿足.

⑴求B;

（2）若b=7,c=3,。為AC邊上的一點，且4DBC=4DCB，求BD.

cos（A+叫1

題目叵（2023?海南?統(tǒng)考模叔fl測）在①一:二）+cosA=q；②4cos23-cos2C=3這兩個條件中

任選一個，補充在下面問題中并解答.

問題：已知△ABC中，點河在線段BC上，且/A4M=/C4M,_,AC=V2,BM=2.

⑴求黑的值；

Lyivl

⑵求AM的值.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

?11?

解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題

（知識點梳理）

一、“結(jié)構(gòu)不良問題”的解題策略

（1）題目所給的三個可選擇的條件是平行的,無論選擇哪個條件，都可解答題目；

（2）在選擇的三個條件中,并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會得滿分，

但計算要細(xì)心、準(zhǔn)確，避免出現(xiàn)低級錯誤導(dǎo)致失分.

二、“正弦定理”與“余弦定理''的選用策略

在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適,或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用

某個定理的信息.

（1）如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；

（2）如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理；

（3）以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

三、“邊化角''或"角化邊''的變換策略

⑴若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；

（2）若式子中含有a、b、c的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

血］1在△ABC中，角。所對的邊分別為a,b,c,且滿足26cosc=2a—c

（1）求角B；

（2）在①△ABC的外接圓的面積為華，②AABC的周長為12,③b=4,這三個條件中任選一個，求

△ABC的面積的最大值.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

【分析】（1）由已知，根據(jù)給的26cosc=2a—c,先使用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化全部轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，然后

再利用sinA=sin（B+C）,把sinA換掉，展開和差公式合并同類項，然后根據(jù)角B的取值范圍，即可完

成求解；

（2）由已知，根據(jù)第（1）問計算出的角B,若選①，現(xiàn)根據(jù)給的外接圓的面積計算出外接圓半徑R,然后根

據(jù)角5利用正弦定理計算出邊長6,然后使用余弦定理結(jié)合基本不等式求解ac的最值，即可完成面積最

值得求解；若選②，利用a+b+c=12,表示出三邊關(guān)系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的

最值，然后再利用基本不等式找到ac與a+c的關(guān)系，從而求解出面積的最值；若選③，可根據(jù)邊長b、角

B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面積最值得求解.

【詳解】（1）26cosc=2a—c

2sinBcosC=2sinA—sinC

?1?

2sinBcosC=2sin(B+C)—sinC

2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC—sinC,/.2cosBsinC=sinC

CE(0,7T)sinC#0cosB=-1-

VBG(0,7t),=

o

(2)若選①，設(shè)△46。的外接圓半徑為R,

則學(xué)?！狵-P?,：.R=

3V3

b=2J?sinB=2XX=4

由余弦定理，得:b2=a2-hc2—2accosB

即16=a2-bc2—ac>2ac—ac=ac,當(dāng)且僅當(dāng)Q=c時，等號成立.即△4BC的面積的最大值為4V3

若選②??,Q+b+c=12,??.b=12—(Q+c)

由余弦定理fe2=a+c?—2accosB,[12—(a+c)]2=a2+c2—ac

ac=8(a+c)-48,又ac

：.(^y^)2-8(a+c)+48>0

工a+c>24(舍)或a+c48,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立

S--^-acsinB=~^~acW,(.鼻。)=4A/3,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立

24412'

若選③，由余弦定理，得：b2=a2+c2—2accosB

即16=a-\-€?—ac>2QC—ac=ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立.

:.S4ABe=yacsinB&[x16x曰=4A/3即4ABC的面積的最大值為473

【題型訓(xùn)練1-刷真題】）

一、解答題

:題目|1〕（2023?北京?統(tǒng)考商考真題）設(shè)函數(shù)/（⑼=sin8/cosp+cos切力sinp（0>0,\（p\<.

（1）若/（。）=—彳^，求W的值.

（2）已知/（①）在區(qū)間［—等，警］上單調(diào)遞增，/（學(xué)）=1，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇

一個作為已知，使函數(shù)/（2）存在，求3,0的值.

條件①：/（母）=①

條件②：/（—等）=—1；

條件③：/（工）在區(qū)間［J,—等］上單調(diào)遞減.

注:如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答

計分.

【答案】⑴0=-*

O

（2）條件①不能使函數(shù)/（力）存在；條件②或條件③可解得8=1,（p—―7-.

6

?2?

【分析】（1）把力=0代入/（/）的解析式求出sinp,再由101VB■即可求出0的值；

（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把/（，）的解析式化簡，根據(jù)/Q）在［-1，答］上的單調(diào)性及函

數(shù)的最值可求出T,從而求出3的值;把3的值代入/㈤的解析式，由/（―年）=-1和后<］即可求出

（P的值;若選條件③：由y（z）的單調(diào)性可知/（rc）在x=—亨處取得最小值一1,則與條件②所給的條件一

樣,解法與條件②相同.

【詳解】（1）因為/（力）=sin①/cosp+coscoTsin^,co>0,\（p\<

所以/（。）=sin（co?O）cos0+cos（fo?0）sin^）=sing

因為101VM所以9=一看.

（2）因為/（力）=sin0/cosp+cos0/sinp,0>。，㈤V會，

所以/（/）=sin（COT+8）M>。，㈤V■，所以/（力）的最大值為1,最小值為一1.

若選條件①：因為/（a;）=sin（3%+cp）的最大值為1,最小值為一1,所以/（a）=V2無解，故條件①不能使

函數(shù)/（劣）存在；

若選條件②：因為于⑸在［―?答］上單調(diào)遞增，且/（警）=1,/（一等）=—1

所以午=年一（一［"）=?！?=2兀，°=方=1,

所以f（劣）—sin（a;+（p）,

又因為/（一a）=T,所以sin（_,+0）=—1,

所以—9+（p——9+2k兀,kEZ,

所以9=—*+2上兀,keZ,因為Idv一■,所以9=—9

626

所以0=1,0=一《；

6

若選條件③：因為f（6）在［一爭爭］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以/（力）在力=—1處取得最小值一1,即/（―a）=—1.

以下與條件②相同.

題目巨（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，c=2bcosB,。=等

O

⑴求48；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上

中線的長.

條件①：c=V26；

條件②：△ABC的周長為4+2??；

條件③：448。的面積為為③；

【答案】⑴《；⑵答案不唯一，具體見解析.

【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；

?3?

（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；

若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；

若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.

【詳解】（1）c=2bcosB,則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

???sin2B=sin與=乎，：C=與，BC（0,卷），2BC（0,冬），

DZDoo

.?.23=等,解得3=等；

36

墾

⑵若選擇①：由正弦定理結(jié)合⑴可得三=朝g=^-=V3,

bsmB1

2

與c=gb矛盾，故這樣的△AB。不存在：

若選擇②：由⑴可得人=簧，

0

設(shè)△ABC的外接圓半徑為A,

則由正弦定理可得a=b=22?sin4=R,

0

c=2/2sin^^=V37?,

o

則周長a+b+c=2R+A/3J?—4+2A/3,

解得A=2,則a—2,c=2V3,

由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

^（2A/3）2+12-2x2V3xlxcos-1-=V7;

2

若選擇③：由⑴可得4=尢即Q=b,則S^ABC--^-absinC=-^-ax—邛&,解得a=聰,

62224

則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

加+傳丫-2xbx/xcos等=,3+5+通x亨=等.

【題型訓(xùn)練2-刷模擬】）

一、解答題

畫目且（2023?河川?校聯(lián)考模擬11測）已知銳角△ABC的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c.在下列三個

條件①由=（sinA,—n—（2cos242cosA）,且由〃底;②asinB=A/^bcosA；③cos*+cos?。=

cos2A+1—sinBsinC中任選一個，回答下列問題.

⑴求4

（2）若a=2,求△AB。面積的最大值.

【答案】⑴4=看

O

⑵同

【分析】（1）條件①:根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)化sin2A=—v^cos24,求得4;條件②:根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)

化為sin4=sA,求得4條件③:將條件中的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，再用正弦定理與余弦定理求得4

（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式求得△ABC面積的最大值.

【詳解】（1）選擇條件①，因為rh=（sirM,—,n—（2cos2A,2cosA），且由〃五，

所以sinA?2cos>1+x2cos2A=0,

2

?4?

即sin2A=—VScos24所以tan2A=—A/3,

由△ABC為銳角三角形可知0<力<則OV2AV7U,

故2人=亨,4=等，

選擇條件②，因為asinB=，^bcos>l,由正弦定理可得sinAsinB=V3sinBcosA,

由△46。為銳角三角形可知0VB<5,所以sinBWO,

則sinA=V3cosA,即tanA=V3,

由△ABC為銳角三角形可知OVAV《■，故幺二5,

選擇條件③，因為COS2B+cos2C=cos2A+1—sinBsinC,

所以1—sin2B+1—sin?。=1—sin2A+1—sinBsinC,

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得b2+c2-a2=be,

根據(jù)余弦定理可得cosA=°丫——=!,

26c2

由△AB。為銳角三角形可知OVA■，故A=看，

⑵因為a=2,由⑴可得A=g

O

所以根據(jù)余弦定理可得4=fe2+c2-2&CCOS-Y=b2+c2—fee>2bc—be=be,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時，等號成

o

立，滿足條件.

則SMBC=-^besinAx4X=V3,

故△ABO面積的最大值為通.

［題目［4］（2023?北京東城?統(tǒng)考模擬41洪I）已知函數(shù)/（力）=2，^sin公ccos公r—2sin2（y）rc+1（0<<2）.在下

面兩個條件中選擇其中一個，完成下面兩個問題：

條件①:在/（力）圖象上相鄰的兩個對稱中心的距離為全；

條件②：f⑸的一條對稱軸為％=

O

⑴求口；

（2）將/㈤的圖象向右平移等個單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（c）的圖象，求函數(shù)g⑺在［-等奇］上

的值域.

【答案】（1）。=1

⑵［-2,1］

【分析】（1）由三角函數(shù)的恒等變換對/（力）進行化簡，再分別由條件①②求0的值.

（2）由三角函數(shù)的平移變換得g（0的解析式，再由函數(shù)的定義域求值域即可.

【詳解】（1）/（力）=2V5sin①/COS0力—2sin2ft）T+1

=，^sin20N+cos20%

=2sin（2④z;+￡）

選①：f（x）圖象上相鄰兩個對稱中心的距離為5,

則T=兀=，則⑶=1,

選②：/（力）的一條對稱軸為x=^r,

6

則2①?q+q=k7T+《，kez,

662

二0=3k+1,又0<⑷V2,則0=1,

于是/（劣）=2sin（21

⑵將/（力）=2sin（2/+的圖象向右移等個單位長度（縱坐標(biāo)不變），

得至|J函數(shù)g（x）=2sin[2（rc—會）+看]=2sin（2a:-=-2COS2T的圖象

COS2TE[—^-,1],

g（x）的值域為[—2,1].

題目回（2023?全國?模擬預(yù)測）在①bsinC+V3ccosB=,②sin（B+專）=用也，③asin（C+g）=

csinA這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中,并解答問題.

在4ABC中，內(nèi)角A,6,C的對邊分別為a,b,c,且.

（1）求角C；

（2）若△ABC外接圓的面積為4n，求△ABC面積的最大值.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

【答案】⑴。=卷

O

（2）373

【分析】（1）根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡計算，即可求出。；

（2）根據(jù)正弦定理可得c=2V3,利用余弦定理和基本不等式計算可得ab<12,結(jié)合三角形的面積公式計

算即可求解.

【詳解】（1）選條件①.

bsinC=V3a—V3ccosB,

由正弦定理得smBsinC=V3sinA—VSsinCcosB.

因為人=兀-（B+C）,所以sim4=sin（B+C）,

故sinBsinC=V3sin（B+C）—VSsinCcosB=V5sinBcosC.

因為sinBW0,所以sinC=J^cosC,得tanC=

又0<。<兀,所以。=看.

選條件②.

由sin（_B+工）=b得a+b=2csin（B+=V3csinB+ccosB.

\6/2c\6，

由正弦定理得sinA+sinB=V3sinBsinC+sinCcosB,

得sin（B+C）+sinB=A/3sinBsinC+sinCcosB,

得cosCsinB+sinB=V3sinCsinB.

而sinB#0,所以V3sinC-cosC=1,即sin（?！?~）=4，

,6,

而0<。<兀，所以。=看.

O

選條件③.

由asin(<7+=csinA及正弦定理得sinAsin(C+=sinCsinA,

即sinCeos春+cosCsin^=sin。,即-^-cosC=-ysinC,

所以tanC=V3,而OVCVTT,所以。=1■,

（2）設(shè)△ABC外接圓的半徑為_R,則n&=4兀，故R=2.

由正弦定理可得c=2RsinC=4sin春=273.

所以（2〃^）2=a2+b2-2abcos^=o^-\-b2—ab>2ab—ab=ab,

o

即ab412,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，

所以SAABC=-^-absinCX12sin^=3A/3,

/ZD

故△ABC面積的最大值為3V3.

［題目|6）（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄８鵋測）44口。的內(nèi)角AB,。的對邊分別為a,b,c,sinB=-1-,

o

且.

⑴求△ABC的面積；

（2）若sinAsinC=求b.

o

在①a2-b2+c2^2,②荏?W=—1這兩個條件中任選一個,補充在橫線中，并解答.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

【答案】（1）卓

O

【分析】（1）若選①則根據(jù)余弦定理得accosB=1,且cos_B>0,于是利用平方公式得cosB,即可得ac的

值，再根據(jù)面積公式即可得△ABC的面積；若選②根據(jù)向量數(shù)量積定義得荏?豆苕=—accosB,且cosB

>0,于是利用平方公式得cosb即可得ac的值，再根據(jù)面積公式即可得△ABC的面積；

（2）由正弦定理得即可求得b的值.

【詳解】⑴若選①a2—b2+c2=2,由余弦定理得cosB=ac一"，整理得accosB=1,則cosB>0,

2ac

又sinB=￡,貝"cosB=,ac=—,則71s0=JacsinB=警;

3V'J，3cos±>428

若選②布?豆方=—1V0,則cosB>0,又sinB=《■，則cosB=^/1-（y）2=^~,

又AB?BC=—accosB，得ac=-,貝］-^-acsinB=;

cos25428

32

（2）由正弦定理得:4

sinBsinAsinCsin2BsinAsin。sinAsinCV2

3

3,3.巨1

-,b=-smB=-

題11可（2023?云南品明明一中?？寄MHaOZVlBC的內(nèi)角A,B,。所對邊分別為a,6,c,點。為

△ABC的內(nèi)心，記△OBC,△OAC,Z\OAB的面積分別為Si，S2,S3,已知S；+S?SiS3=S；,AB=2.

⑴若△ABC為銳角三角形，求AC的取值范圍；

⑵在①4sinBsinA+cos2A=1；②——2c?s41—2c弋B=0；③acos（j+CCOsA=1中選一個作為條

smAsmB

件,判斷△A3。是否存在，若存在，求出4ABC的面積，若不存在，說明理由.（注:如果選擇多個條件分

別解答，按第一個解答計分.）

【答案】⑴（羽；27^）

（2）答案見解析

222

【分析】（1）由題意，根據(jù)△48。的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得a+c-6=ac,利用正、余弦定理可得AC=

絲嚕旦=乎7,結(jié)合角。的取值范圍即可求解；

smCsmC

⑵選擇①，根據(jù)正弦定理可得a=2b,由（1）得3b2—4b+4=0,方程無解即△ABC不存在.選擇②，根據(jù)

22

三角恒等變換可得a+b=2c=4,由（1）得a+4—fe=2Q,解得a=b=2,結(jié)合三角形的面積公式計算即

可.選擇③，由⑴，根據(jù)余弦定理可得a2+4-l=2a,方程無解即△ABC不存在.

【詳解】（1）設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為丁，因為S：+S：—SiS3=Si,

所以（1?0/）2+（,竹）2_（^_@/）.—（_1_加）［化簡得:Q2+02—1=ac,

所以cos8=。甘——=-^-,因為6e（0,兀），所以8=5，所以4+。=警，

2ac233

因為4。=4G,所以4C=?S4石二一心一,

sinBsinC'sinCsinC'

因為△ABC為銳角三角形，

所以0＜。＜等，0〈警一CV等，解得：

23262

所以［■VsinCVl,所以的取值范圍為（遍,2g）.

（2）選擇①，因為4sinBsinA+cos2A=1,所以4sinBsinA=1—cos2A=2sin2A,

因為sinAW0,所以sinA—2sinB=0,所以a=2b,

由（1）知a2+c2—b2=ac,c=2,所以4b2+4—b1—4b,

整理得3y_助+4=0,方程無實數(shù)解，所以△ABC不存在.

選擇②,由———+———2cls8=0得：sinA+sinB—2（sinAcosB+cosAsinB）=0,

sinAsmB

所以sinA+sinB=2sin（A+8）,即sinA+sinB=2sinC，所以a+b=2c=4,

由（1）知a2+c2—&2=ac,c=2,

2222

所以a+4—fe=2Q,所以a+4—（4—a）=2a,解得a=b=2,

所以AABC存在且唯一,△ABC的面積S=yacsinB=^-x4x^=V3.

選擇③,因為acosC+ccosA=1,所以a?。甘。+c?.可————b—1,

2ab2bc

由（1）知a2+c2—b2=ac,c=2,所以a2+4—1=2a,

整理得a2—2a+3=0,

方程無實數(shù)解，所以△ABC不存在.

〔題目〔8〕（2023B川成都M川看成鄢列五中學(xué)?？寄０孱A(yù)測）在△48。中，內(nèi)角ABC所對的邊分別為a,

a-ccosB=-^-6sinC.

b,c,且

o

（1）求角。的大??；

?8?

（2）若c=2g,且，求△ABC的周長.請在下列三個條件中，選擇其中的一個條件補充到上面的橫

線中,并完成作答.①sinAsinB=熹;②AABC的面積為畢;③刃?郎=—春.

注:如果選擇多個條件分別解答，那么按第一解答計分.

【答案】⑴。=看

O

（2）4+273

【分析】（1）根據(jù)條件，利用sinA=sin（B+C）和正弦的和角公式，化簡即可得出結(jié)果；

（2）選①,利用正弦定理和條件得出質(zhì)=卷,選②，利用條件和三角形面積公式得出質(zhì)=1■，選③,利用條

件和數(shù)量積的定義得出

帥=[■，再利用余弦定即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）由正弦定理：sinA—sinCcosB=^Y-sinBsinC,

因為sinA=sin（B+C）,所以sinBcosC+cosBsinC—sinCcosB=-^-sinBsinC,

所以sinBcosC=-^-sinBsinC,因為sinBW0,所以cosC=^^sinC,得到tanC=V3,又CE（0,兀），所

以。=0

（2）若選①，根據(jù)正弦定理和（1）可知，-^―=-^―=—k=2返=4,

smAsmBsmCsin專

所以a=4sinA,b=4sin_B,所以sinAsinB=尊~=-^―，得到ab=-^-9

16123

若選②，由題知-^-absinC=~^-ab=得到ab=等，

若選③，即CA-BC―—|■，由數(shù)量積定義得abcos（兀一C）=-^-ab——■!■，得至Uab=a，

故三個條件任選一個條件，都可以得到。匕二,，

O

由余弦定理，得/=a2+62-2（zbcos-^-,整理得（a+b）2—2ab—2abeos弓=12,

即（a+b）2=16,則a+b=4或Q+b=-4（舍去），

所以△ABC的周長為a+b+c=4+2，^.

短目回（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊為a,b,c,/XABC的面積為S,若

acosB+bcosA=2a.

⑴當(dāng)B=看時，求A；

o

（2）若角B為&ABC的最大內(nèi)角.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立，

①a2+c2+ac=/；②b=V7；③S=

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.

【答案】⑴A

6

（2）答案見詳解.

【分析】⑴由題意，根據(jù)正弦定理、特殊角的三角函數(shù)值和輔助角公式化簡計算可得V3sin（A—強）=0，

即可求解；

（2）分別以①②③中選取2個作為條件,根據(jù)正、余弦定理和三角形的面積公式計算，可證得第3個條件成

?9?

立.

【詳解】(l)acosB+bcosA=2a,

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinA,

當(dāng)=當(dāng)時，-1-sinA+-^-cosA=2sinA,

得-^-sinA--^-cosA=0,艮!7V3sinfA—^\=0,

22v67

又0<人<兀,所以/—夕=0,得4=受；

00

(2)若選①②為條件.

a2+c2+ac=62=>a2+c2—b2=—ac,

由余弦定理得cosB=Q里二廿=￥巨=一!，又0V6〈兀，所以B=要.

ZacZac23

由(l)sin4cos_B+sinBcosA=2sinA,得—-^-sinA+