湘豫聯(lián)考2024屆高三年級下冊第一次模擬考試（2月）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

湘豫名校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試(2月)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.^>^A=｛xeR|x<2｝,B=<xeR|y=-^=j,則(二人)B=()

A.(1,2)B.(2,3)C.(l,2]D.[2,3)

1一一

2.已知復(fù)數(shù)滿足zi+l=—匚,復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)為z,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量2),6=(蒼-1)1=(-4,%)若2”+"4-反向共線,則實(shí)數(shù)％的值為()

A.-7B.3C.3或-7D.-3或7

4.已知正實(shí)數(shù)蒼y滿足L+工=1,則4孫-3x的最小值為()

xy

A.8B.9C.10D.11

5.已知等比數(shù)列｛q｝的公比與等差數(shù)列也｝的公差均為2,且4=乙+2=2,設(shè)數(shù)列｛g｝

滿足與=丁；魯器’〃eN*,則數(shù)列間的前20項(xiàng)的和為()

、598-221「598+221「602+220-602+221

A.-----------B.-----------C.-----------D.-----------

3333

6.黨的二十大報(bào)告提出:“深化全民閱讀活動.”今天，我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識的

價值、強(qiáng)調(diào)閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書

館、博物館、美術(shù)館、文化館四個公共文化場館面向社會免費(fèi)開放，開放期間需要志愿

者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有A,3,C,D,E共5名志愿者,每名志愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作,

每個場館至少需要一名志愿者，每名志愿者到各個場館的可能性相同，則A乃兩名志愿者

不在同一個場館的概率為()

A4BtCt

7.已知函數(shù)/(x)=2sin(<?x+G)+l]oeN*,-7r<G<-1J的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)

工,1對稱,若函數(shù)/(x)在

0,—上單調(diào)，則f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為

8.已知角a為銳角，則一■+—\——tana的最小值為()

2sinacosa

A.2B.—-V3C.lD.---

333

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列說法中，正確的是()

A.設(shè)有一個經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=l-2x，變量x增加1個單位時,/平均增加2個單位

B.已知隨機(jī)變量1~N(0,4),若P(J>2)=0.2，則尸(—2<^<2)=0.6

X

C.兩組樣本數(shù)據(jù)X］,%,%3，4和弘，%，%，%的方差分別為S；,.若已知玉+當(dāng)=10且

司＜%[=1,2,3,4),則5；=5；

D.已知一系列樣本點(diǎn)(大，x)(i=l,2,3,)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=3尤+&,若樣本點(diǎn)(m,3)與

(2,n)的殘差相等，則3m+n=10

10.已知函數(shù)/0)=45由(。》+9)14〉0,0〉0,|9|<5］的部分圖像如圖所示、則下列結(jié)

A./(%)在［0,7i］上有兩個極值點(diǎn)

C.函數(shù)y=小-3的圖象關(guān)于y軸對稱

D.若/(%)-/(%2)|=4,則卜-引的最小值為幾

22a

11.已知雙曲線C:1r-方=1(?！?］〉0)上一點(diǎn)A到其兩條漸近線的距離之積為|，則

下列結(jié)論正確的是()

A二+二=2B.abW3C.a2+b->6D.-+-<^

a2b23ab3

12.如圖1,在直角梯形A3CD中,AB//CD,AB，Ar>,AB=3石,CD=46,AD=3,點(diǎn)

E,F分別為邊AB,CD上的點(diǎn)，且EF//AD,AE=273.將四邊形AEFD沿EF折起，如圖2,

使得平面AEED,平面E3CR點(diǎn)般是四邊形AEED內(nèi)的動點(diǎn),且直線M3與平面AE五。

所成的角和直線MC與平面AEED所成的角相等，則下列結(jié)論正確的是()

B.點(diǎn)〃的軌跡長度為，

3

C.點(diǎn)”到平面E3CR的最大距離為6

D.當(dāng)點(diǎn)M到平面EBCF的距離最大時，三棱錐M-BCF外接球的表面積為28兀

三、填空題

13.在(2x+l)5(y-1)3的展開式中,％3y2的系數(shù)為.

14.已知圓C:f+(y—4)2=4,點(diǎn)尸(2,4),若直線/:%+0+1)v一7%—1=0與圓C相交于

A,B兩點(diǎn)，且NAPfi=90。,則實(shí)數(shù)m的值為.

15.已知曲線丁=1-1與曲線y=/(x)關(guān)于直線x-y=0對稱，則與兩曲線均相切的直

線的方程為..

16.已知直線4x-4y+3=0與拋物線G：-=y交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A位于第二象限，拋

物線上有一動點(diǎn)尸位于曲線A3之間(不含端點(diǎn))，以線段A3為直徑的圓與直線AP

交于異于點(diǎn)A的另一點(diǎn)。，則|的取值范圍是.

四、解答題

17.在Z\ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c且cos2B+cos2c=2cos2A—2sin3sinC.

⑴求角A;

⑵若ABAC的平分線父3C于點(diǎn)=3,c=4,求AD的長.

18.已知數(shù)歹(]{4},若q=1,%+1-2?！?1.

⑴求證:數(shù)列{%+1}是等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列(二的前〃項(xiàng)和為S",不等式log.(1-?)>Sn對任意的正整數(shù)n恒成立，求

anan+l

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.象棋是中國棋文化之一，也是中華民族的文化瑰寶，源遠(yuǎn)流長，雅俗共賞。某地

舉辦象棋比賽，規(guī)定:每一局比賽中勝方得1分,負(fù)方得0分，沒有平局.

⑴若甲、乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽冠亞軍的激烈角逐，每局比賽甲獲勝的概率是(，乙獲

勝的概率是!■，先得3分者奪冠，比賽結(jié)束.

⑴求比賽結(jié)束時，恰好進(jìn)行了3局的概率；

(ii)若前兩局甲、乙各勝一局，記X表示到比賽結(jié)束還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望；

(2)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，本賽季參賽選手總得分Y近似地服從正態(tài)分布NQ2.16,9).若

〃一bVF<〃+2b,則參賽選手可獲得“參賽紀(jì)念證書”;若y>〃+2b,則參賽選手可獲得

“優(yōu)秀參賽選手證書”.若共有200名選手參加本次比賽，試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的選

手人數(shù).(結(jié)果保留整數(shù))

附:若X~N(〃,"),則—cr<X<〃+cr)H0.6827,—2cr<X<〃+2cr)a0.9545,

尸(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973.

20.如圖，在幾何體4G2-ABCD中，平面AG。]〃平面ABCD,四邊形A3CD為正方形,

四邊形BBRD為平行四邊形，四邊形QDCCi為菱

形,DC=2,AC1=2五,ZD.DC=120°,E為棱CR的中點(diǎn)，點(diǎn)R在棱CQ上,AEH平面

BDF.

⑴證明DE，平面ABCD；

（2）求平面ABQ與平面3。口夾角的余弦值.

21.在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上,該圓的圓心是

橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）

22

的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓石:=+當(dāng)=1（。〉6〉0）的蒙日圓的面積為

ab

13兀,該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為匕鳥,且由國=2,設(shè)過點(diǎn)的直線人與橢圓

E交于兩點(diǎn)（不與巳鳥兩點(diǎn)重合）且直線4：x+2y-6=0.

（2）證明：的交點(diǎn)P在直線y=2上；

（2）求直線Am4圍成的三角形面積的最小值.

22.已知0<a<1力〉1,不等式In（優(yōu)+^-1）>ax+bx-2恒成立.

（1）求"+方的值犯

（2）若方程優(yōu)+"=根有且僅有一個實(shí)數(shù)解，求ab的值.

參考答案

1.答案：D

解析：由題意可得\A=[2,+s),

因?yàn)?=<x|y==(-oo,3),

所以(\A)B=[2,3).

故選：D.

2.答案：C

2-i?31.

解析：因?yàn)榱?1=￡,所以”----------------1=1,

(2+i)(2-i)--------55

所以z=^_^_=—2+3i,所以工=—2―3i,

i5555

所以三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第三象限.

故選：C.

3.答案：A

解析：因?yàn)閍=(1,-2),方=(x,-1),c=(-4,X),

以2a+b=(2+x,—5),a—c—(5,—2—x),

因?yàn)??+/>,a-c共線，所以(2+x)x(-2-x)-(-5)x5=0,

解得x=3或x=—7.又2a+Z>,a-c反向共線，

代入驗(yàn)證可知x=3時為同向，舍去.％=-7滿足條件.所以1=-7.

故選：A.

4.答案：B

解析：由x>0,y〉0,且—?—=1,可得沖=x+y.

xy

所以4孫-3龍=4x+4y-3x=x+4y.

又因?yàn)閤+4y=(x+4y)—+—=5+—+—>9,

Uy)xy

當(dāng)且僅當(dāng)至=2，即x=3,y=』時取等號，所以4孫-3x29.

xy2

故選：B.

5.答案：B

解析：因?yàn)椋?々+2=2,所以4=0.根據(jù)題

以以,"為奇數(shù)，為奇數(shù)，a

息9=[,九為偶數(shù)=12〃_2,“為偶數(shù)，”，

所以

35

T2Q=(2+2+2++21，+2(1+3+5++]9)=2義心：)+2*10*(；+19)=598；2?[

故選：B.

6.答案：D

解析：5名志愿者分配到4個場館，共有C；A：種不同的方法,A,B兩名志愿者在同一個場

館共有A：種不同的方法，

A49

所以A乃兩名志愿者不在同一個場館的概率為尸=1^二N.

C5A410

故選：D.

7.答案：D

解析：因?yàn)?(0)=2sin°+l=0,

所以夕=2kji-—^(p=2hi-—,keZ,

66

又一R<(p<_5、

所以0=-費(fèi)，所以/(x)=2sin^x-^^+l.

因?yàn)?(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1〕對稱,所以空?！?E?eZ,

<36)366

所以g=---+6,keZ,因?yàn)閤￡0,—，口>0,

518

11CD5兀<兀

所以公-孚,￡?一”.又函數(shù)/(%)在0,—上單調(diào)，所以<

6618618

G>0,

解得0<口06.因?yàn)锧wN*,所以當(dāng)左=0時，①=6.因?yàn)?(%)圖象的相鄰兩條對稱軸

之間的距離為半個周期，所以工=工義竺=z.

2266

故選：D.

8.答案：A

解析：

11/.,2/11131

----——Ftancr=Ismcr+cosa)\--------F-tan6Z=—+tan2a+--------tana

2sinacosa--------\2sinacosa)22tana

3ii

令/=tana,因?yàn)閍為銳角，所以/>0.令/⑺=Q+/+m—7，則f\t)=2t-l--,

/"⑺=2+方>0.所以/⑺在/>0時是單調(diào)遞增函數(shù).又/'⑴=0,所以當(dāng)/e(0,1)

時,/'Q)<0,/⑺單調(diào)遞減；

當(dāng)fe(1,+oo)時,f⑺〉0,/⑺單調(diào)遞增，所以/(0>/⑴=2.所以當(dāng)/〉0時，/⑺的最小

值為2.

故選：A.

9.答案：BC

解析：若有一個經(jīng)驗(yàn)回歸方程$=1-2x,隨著x的增大,y會減小,A錯誤;

曲線關(guān)于％=0對稱，因?yàn)镻C>2)=0.2，所以<-2)=02,

所以「(—2<2)=1—P(J>2)—P4<—2)=0.6,B正確；

-14_14

因?yàn)橛?x=10,x=：￡%=所以

4i=i4i=i

i/44\

X=7Z尤i+Zx=10'

4Vi=li=l7

所以

S；=

222222

(%1-X)+(x2-X)+(x3-%)-+(x4-X)_-2x(x+x+-Ix^x+x++X4-2X4X+X

4―4

X；+x；+x：~(2X1+2X2+2%+2%)亍+丁2_xf+x；+xj+_2_2+_2_X；+x；+xj__

444

，同理可

2222

*2￥+￥+￥+賢2_(10-A^)+(1O-X2)+(1O-X3)+(1O-X4)2

何.”--------------y----------------------------uu—1)-

400-205+%+&+%)+玉2+宕+后+/_(]0f2=]00_20?"只+后+仁100+20h？

44

x；+x；：x；+x：_?,故s；=s；,c正確;經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=3x+匾且樣本點(diǎn)(m,3)與(2,〃)

的殘差相等，則3—(3〃7+?)=〃—(6+?)=>3m+〃=92錯誤.

故選：BC.

10.答案：AC

解析：由題圖知,4=2,37=亞—1―巴]=史所以周期丁=兀,。=@=2.

412v3J471

所以/(x)在[0,兀]上有兩個極值點(diǎn),A正確,又/|1^)=2sin(2x|^+0)=2,

所以2+0=2左兀+二，左EZ,所以夕=2%兀一二，左EZ.

623

因?yàn)閘9l<],所以令左=0,即夕=一三.所以/(x)=2sin^2x-^.

所以71一|1]=25足12*一一三]=6,：3錯誤.

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的周期為兀=/(x)圖象上的所有點(diǎn)沿x軸向右平移已個單位長度

后得到V=小-3=2sin12x-3=-2cos2x的圖象，為偶函數(shù)，所以函數(shù)

y=小-目的圖象關(guān)于y軸對稱,C正確.

若|/&)-〃％)|=4,則卜-目的最小值為錯誤.

故選：AC.

11.答案：ACD

尤2V2A

解析:雙曲線C:二-七=1的漸近線方程為丁=土軟.設(shè)點(diǎn)A(x,y)到兩條漸近線的距離

aba

分別為4，%,

則利用點(diǎn)到直線的距離公式可得4d2=1”引?萼絲J=.X)j?.

因?yàn)閃-1=1，所以3x)2-(ay)2=a%2,所以d&=上"==所以

a2b2a2+b2a2+b22

ii71177

：+3，,A正確;因?yàn)榕c稅,所以必N3,B錯誤；

a2b23a2b23ab

因?yàn)?+/=(/+用儀+*}|=]2+〉夕〉*2+2^^1|=6,當(dāng)且僅

當(dāng)a=b時等號成立,C正確;

因?yàn)镈112222+鴻斯以「上嗅當(dāng)且僅當(dāng)T時等

a2b1ab3ab3

號成立,D正確.

故選：ACD.

12.答案:BCD

解析：如圖，連接CE,EM.因?yàn)槠矫鍭EFD，平面EBCR,平面AEFD，平面EBCF=EF,

AEu平面AEFD,

又AELEF,所以平面E3CE所以CE為C4在平面E3CT內(nèi)的射影.易得△BCV

為等邊三角形，

顯然CE不垂直于3E所以AC不可能垂直于BE,A錯誤.

易知鹿，￡F,所以3E，平面AEFD,^以ZBME為直線MB與平面AEFD所成的角洞

理ZCMF為直線MC與平面AEFD所成的角.所以ZBME=ZCMF，所以

tan=tanNOWF,所以匹=匕.

EMFM

因?yàn)镃F=2BE,所以FM=2EM.在平面AEFD內(nèi)，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EE為x軸正方

向,￡A為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則F(3,0)，設(shè)/(%y)，則有

7(x-3)2+y2=2打+9，化簡得a+1)2+J=4,

即點(diǎn)M在平面AEFD內(nèi)的軌跡方程為(x+1產(chǎn)+/=火0<x<1,y>0)，所以點(diǎn)M在平面

AEFD內(nèi)的軌跡為以(-1,0)為圓心,2為半徑的圓.易得點(diǎn)/在四邊形AEFD內(nèi)的軌跡為

該圓的一段弧，弧所對的圓心角為全

所以弧長為二義2=B正確.要使三棱錐M-BCF的體積最大,只要點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的

33

絕對值最大即可.

令尤=0,則＞=±百，又加＞0,所以M(o,6)，此時M到平面EBCF的最大距離為V3,C

正確.

三棱錐V-BCE外接球的球心在過△BCF的外接圓圓心且垂直于平面3CT的直線上.

在三棱錐M-BCF中，設(shè)點(diǎn)Q為等邊ABCF外接圓的圓心，設(shè)三棱錐M-BCF外接球的

球心為。，半徑為R,

設(shè)OQ=a,則有正="+4=(6—幻2+7,解得。=君,所以爐=7,

所以三棱錐M-BCF外接球的表面積S=4成2=28兀,D正確.

故選BCD.

13.答案：-240

解析：由題意，得dy2的系數(shù)為C；23=-240.

14.答案：1

解析：由題意，易得圓C的圓心為C(0,4),半徑為2,點(diǎn)P(2,4)在圓C上.

因?yàn)?APfi=90。,所以所以線段A3為圓C的一條不過點(diǎn)P的直徑.直線

/:x+(〃z+l)y—7〃?—1=0與圓C相交于兩點(diǎn)，圓心C(0,4)在直線/上，

所以4(m+1)=7〃，+1,解得m=1.檢驗(yàn)知m=1符合題意.

15.答案：x—y=0

解析：設(shè)曲線y=/(x)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則該點(diǎn)關(guān)于直線x-y=0的對稱點(diǎn)為

(y,x),

滿足y=e*-1,則x=e＞-1,化簡可得y=ln(x+l).設(shè)曲線y=e*-1上的切點(diǎn)為Qc-1),

曲線y=ln(x+l)上的切點(diǎn)為(孫皿9+1))，又V=e'T的導(dǎo)函數(shù)為y=e*,y=ln(x+l)的

導(dǎo)函數(shù)為『商

x+1

2，兩式整理得％=-(x2+l)ln(x2+1),

e”(x2-%)=皿9+1)-(e*-1)

所以H+1產(chǎn)叫=(%+l)T,解得》2=0,所以西=。?所以曲線y=e-i與曲線

y=ln(x+l)的公切線的公切點(diǎn)為(0,0),則切線的斜率為1,故與兩曲線均相切的直線的

方程為x-y=0.

16.答案：fo,—

%=——x=—

解析：由題意，聯(lián)立方程廣：一4丁+3=0,解得2'或力

x=y,19

I4L4

又點(diǎn)A位于第二象限，所以哈.設(shè)PL，則-g<Xo<|.

設(shè)直線AP的斜率為k,

則左=―=―^=x0-L所以直線AP的斜率左的取值范圍是(-1,1).

112

xo+2X0+2

因?yàn)橐訟3為直徑的圓與直線AP交于異于點(diǎn)A的另一點(diǎn)0,所以AQLBQ.

當(dāng)左=0時，直線AP為y=L直線8。為x=3,此時P［一］,所以|”|=1,|PQ|=1,所以

42124J~

APPQ=1.

當(dāng)歸W0時斯以直線3Q的斜率為-L易得直線AP的方程為6-丁+4+工=0,直線

k24

,1,1八

93kx-y+-k+-=0,

3Q的方程為x+◎-2攵-士=0,聯(lián)立；:解得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是

42x+Zry--^-―=0,

_—左2+4左+3

，=2(院+1).

（左一）（左+）

^yll+k\k+V）,\PQ\=yJl+k2（x-x）=-112

Q0VF+1

所以|AP|?|PQ|=—(左一1)/+Ip.令于(k)=_(k-W+1)3，貝If'(k)=一(4左-2)(左+1)2,

所以當(dāng)一1〈人＜g且左WO時,/'(x)〉0;當(dāng);〈左＜1時,/'(x)＜0,所以/(左)在區(qū)間

(-1,0),(0,￡|上單調(diào)遞增，在區(qū)間&，1］上單調(diào)遞減，因此當(dāng)左=；時，1”|?|加|取得最

77

大值」，且/(幻＞0,

所以|AP|?|PQ|e0,—

17.答案:

解析：（1）因?yàn)閏os25+cos2C=2—2sin2A—2sin3sinC,

所以1—Zsi/B+l—2sin2c=2—2sin2A—2sin5sinC,

即sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC,

由正弦定理得a?=82+/-be,又由余弦定理"=匕2+c2-2Z?ccosA,可得COSA=L

2

因?yàn)锳e（0,兀），所以A=2,

3

（2）在△ABC中,由等面積法得S油。+SA。，

11A1A

即一ACABsinA=—ABADsin—+—ACADsin—,

22222

BP—x3x4x=—x4xADx—+—x3xADx—,

222222

所以AD=@I.

7

18.答案：（1）{%+l}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列

解析：(1)因?yàn)?+]=2%+1,所以。/]+1=2為+1+1=2(為+1),

又因?yàn)閝+1=2,所以也+1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)易知a.+l=2x2"T=2",q=2"—l,

所以__=_____r_______=_i______i,

+1n+1

anan+1(2"-l)(2"-l)2-12"-1

所以='(2、1A+—)='［右——卜1一■'

欲使不等式loga(l-a)>Sn對任意正整數(shù)n恒成立，只要log”

由題意可得〃且1一〃>0,解得Ovavl.只需1一QVQ,解得

2

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

19.答案：(1)(i)—(ii)—

2525

(2)164

解析：(1)(i)比賽結(jié)束時恰好進(jìn)行了3局，甲奪冠的概率為=:,

乙奪冠的概率為=—,

2(5)125

所以比賽結(jié)束時恰好進(jìn)行了3局的概率為「=々+￡=二+且=亙=工.

1212512512525

(ii)X的可能取值為2,3.

因?yàn)镻(X3朗+(|)Y，

P(X=3)=1—P(X=2)=!|,

所以X的分布列如下：

X23

P1312

2525

故E(X)=2碟+3費(fèi)=第

(2)因?yàn)楸荣惓煽儁近似地服從正態(tài)分布N(〃02),

所以比賽選手可獲得“參賽紀(jì)念證書”的概率：

P("-a<Y<//+2CT)

二g尸(〃-(7<y<//+cr)+^P(ju-2b<Y<+2a)

?-x0.6827+-X0.9545=0.8186.

22

200x0.8186=163.72?164,

所以估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的選手人數(shù)為164.

20.答案：(1)見解析

⑵巫

4

解析：(1)如圖，連接DC-因?yàn)樗倪呅蜠QCC為菱形,/DQC=120。，

所以ZDCQ=60。,所以。C=2.

因?yàn)锳D=DC=2,AG=20,所以=AC；,所以4。，。6.

又AD_LDC,DCDG=D,

所以AD,平面CDDCi，所以A￡>J_DE,ADLDC,

因?yàn)樗倪呅蜠XDCCX為菱形，且NDQC=120。,所以DA=DC,=DXCX,

因?yàn)镋為棱CQ的中點(diǎn)，所以DE，CQ.

又CQJCD，所以DE_LCD.

因?yàn)镈ELAO,ADOC=。所以DE,平面A3CD

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn),D4,DC,DE分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

易知DE=/，所以4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,匹),耳(2,1,6),￡(0,1,用

所以CG=(0,—1,百)，OC=(0,2,0),AE=(-2,0,5,DB=(2,2,0),DA=(2,0,0),

設(shè)CF=tCC^<t<1),貝！JDF=DC+CF=(0,2-1,5).

因?yàn)锳E〃平面BDF,所以存在唯一的2,〃eR,

使得AE=力。3+gF=2(2,2,0)+〃(0,2-t,a)=(22,24+2〃一.

2

所以22=—2,24+2〃—〃/=0,行m=6懈得/,

所以。尸=0,上拽,DBX=(2,1,73),

、33)

設(shè)平面BDF的法向量為〃=(XpX，zJ,

%_n[42A/3八

則['所以”+亍4=0，

DB"=。,12玉+2%=0.

取M=-3，貝UX]=3,Z]=2^/3,

所以平面瓦加的一個法向量為〃=(3,-3,2月).

設(shè)平面ABQ的法向量為m=（x2,y2,z2）,

”…所以.2X=0,

則2

2X+%+,Z2=0.

DBX?雨=0,2

取%=3廁々=0,z2=—V3,

所以平面ABQ的一個法向量為帆=（0,3,-百）.

設(shè)平面A耳。與平面8。斤的夾角為。，

則cose=3=15理

|nIIm|V30x2V34

故平面ABXD與平面BDF夾角的余弦值為叵

4

21.答案：(1)—+/=1

解析：（1）根據(jù)題意，蒙日圓的半徑為相，所以/+〃=13.

2

因?yàn)閨片間=2,所以X,所以。=26,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為m+>2=1,

因?yàn)橹本€4過點(diǎn)。［0,；］,且易知直線4的斜率存在，

1，

所以可設(shè)直線/：,=丘+-，4（%1，%）,5（%2，%）聯(lián)立方程12?

2冗21

A2+y=，

消去y并整理可得（12F+1卜2+］2質(zhì)_9=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得,%+/=——，，中2=--J，

12左+112%+1

因?yàn)椤叮?,1）,已（0,-1）,所以直線4《：丁=入匚％+1,直線5R：y=五"》-1.

國X2

所以y-1_%_x2（yi-1）_何一j_M々_何々―萬國+々）+］當(dāng)

y+1%+12+鄉(xiāng)］AXJ%2+—^kxxx2+—xx

%2I2J22

9kIf12ky1

_~12k2+1_5*nk2+l）+2X］

二9k3

12k2+121

3k1

------?-----1—M11

12^+12::

9k3-3,

~12k2+l+2Xi

所以y=2,即直線的交點(diǎn)尸在直線y=2上，

（2）設(shè)直線人與直線,期的交點(diǎn)分別為C?,%），為），

則由(1)直線APX:y=—~^x+1,直線BPX:y=—~-x+1.

%1x2

j~-x+1,y=~~~-x+1,

聯(lián)立石及赴

11

y——x+3,y——x+3,

、2、2

可得x3=—%—,x4=—生一

(2左+1)石一1(2^+1)X2-1

因?yàn)樯弦豢?加1+/一4匹=卜/6,16左2+1