河北省部分高中2024屆高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

河北省部分高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

第I卷（選擇題）

一、選擇題

A=（x|0<x<2）,B=[x\x2-x>0）

1,已知集合11『IlJ,則圖中的陰影部分表示的集合為（

00

A.{x|xKl或x>2}B.{小V0或1<%<2}

C.1x|l<x<2}D.1x|l<x<21

（答案XA

K解析》由題可知圖中的陰影部分表示aB（A「孫

B={x,一x>€）}={x|x>1或x<0},

則4U3=艮&1n3={2<%<2},

所以氟衣入門5）=用工41或x〉2}.

故選：A.

/x_4cosx

2.函數(shù)個(gè)—1112的部分圖象大致為（

國(guó)+寸

J

兀]兀

A.一3小3r

-5|2

人

k答案Ic

(解析］由題可知，/(X)定義域?yàn)閧xlxwo},

4cos(-x)4cosx

又因?yàn)?r)==/(x)

H+:(-4W+2%2

所以，/(%)為偶函數(shù).

當(dāng)O<尤<烏時(shí)，/(%)>0,當(dāng)工<x<或時(shí)，/(%)<0,當(dāng)里<x<2時(shí)，/(x)>0.

22222

故選：C.

3.橢圓3+￡=1(。〉?！?)的兩焦點(diǎn)為耳，工，以石工為邊作正三角形，若橢圓恰好

平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為()

A.1B.WC.4-2行D.G—1

22

［答案工D

K解析工設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點(diǎn)分別是A,B,

易得|M|=|AB|=|%|=c,4AA=90。,

\AF^=V3c,/.|A/^|+|A/^|=^A/3+ljc=la,

故選：D.

4.已知/(x)=Asin(ox+0)(A>O,a>>O，M<7i)的一段圖像如圖所示，則(

3K\

-1

/(x)=sin|2x+—

A.I4

B./(x)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為

兀3兀

C./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是—卜kn,--kkji,kGZ

_88

D./(X)的圖像向左平移597r個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象

8

K答案Uc

T兀3兀兀2

K解析』由圖可知A=l,—=——,所以7=?=」，解得口二2,

282co

所以/(x)=sin(2x+0),又函數(shù)過(guò)點(diǎn)T4

(3兀、一3兀、37171

即/----=sin2x---+(p=1,所以2x+^=—+2kjt,keZ,

I8)

87

解得夕=5今兀+2版,左eZ,因?yàn)閨同＜兀，所以夕=一3個(gè)兀，所以/(x)=sin]2x-D，故

44

A錯(cuò)誤;、

因?yàn)榱艘弧?1371(2371

=sin2x=sin。0,故B錯(cuò)誤;

V35T)I20

jr3冗71715兀

令—2+2EV2X—現(xiàn)〈2+2版，左eZ,解得'+E<xV經(jīng)+也,左eZ,

24288

兀5兀

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-+kn,—+kii，左eZ,故C正確;

OO

S

將函數(shù)/(尤)的圖象向左平移97r個(gè)單位得

8

y=sin2L+—V兀

3=sin2x+—|=cos2尤為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤;

I8)TI2j

故選：C

5.設(shè)a,b，d都是單位向量,且。與b的夾角為60。,則—的最大值為（）

AT.走BT+走C.----\/3D.—I-y/3

222222

K答案1D

r(1點(diǎn)、

K解析X設(shè)a=(1,0),b=c=(x,y)=(cos6,sin6>),則1+/=1

I22J

[xf-

所以(c-a'c—b)=(x—l,y).二」+』一旦

22-2.

j-73sin^+!^<j+^

cos^+—sin^

2J

故選：D.

a”+2,“為奇數(shù)

6.在數(shù)列｛a“｝中，q=2,a,=\,a則｛a.｝的前20項(xiàng)和邑。=

n+2‘2%,"為偶數(shù)

()

A.621B.622C.1133D.1134

K答案』C

K解析11設(shè)6“=%"-i，cn=b?",則仿=4=2,q=%=L

由已知可得,

aa

in+l-in-\=2,即bn+l-bn—2,

所以也｝為以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，々=2+2（〃—1）=2”.

。2”+2=2a2rl,即c”+i=2g，

所以｛%｝為以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，C“=1X2"T=2"T.

所以，｛?！埃那?0項(xiàng)和%=低+&++九）+（。1+。2++/）

=(2+4++20)+(l+2++29)J0x(2+20)JX0—21。)

21-2

故選：C.

7.設(shè)實(shí)數(shù)/>0,若忙?a—ln(2x)?0對(duì)x>0恒成立，貝V的取值范圍為()

A-uB-[rdc-(°4]D.嗯

K答案XB

k解析U由xe(O,y),則比>0,tertt>0,

當(dāng)時(shí)，ln2x<0,高戊>ln(2x)恒成立，

即任意f>0,得江-111(2%)20對(duì)恒成立；

當(dāng)xe]；,+co]時(shí)，fe2tt-In(2%)>0<s>2/xe2tt>2xln(2x),

即2加2戊>in(2%)eln(2x),其中2比〉0,ln(2x)>0,

構(gòu)造函數(shù)F(x)=xe\x>0,則F(2a)>F(ln2%).

F,(x)=(%+l)e\因?yàn)閤>0,所以尸'(x)>0,歹(x)單調(diào)遞增;

In2x

則有2tx>ln(2x),則，N----,2xe(1,+oo),

2x

InY

構(gòu)造函數(shù)。(無(wú))=——,XG(1,+00),

X

貝1]9(乃=匕學(xué)，令9(x)=o,解得％=e,

X

當(dāng)xe(l,e)時(shí)，(p\x)>0,e(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí),(p\x)<0,。(%)單調(diào)遞減，

1e(In2x^1

則0(X)max=O(e)=_，即當(dāng)尤=5時(shí)，〒

。I乙*/max匕

In2尤11

故要使12——,2%￡(1,+8)恒成立，則12—,即看的取值范圍為一,+8

2xee

故選：B.

8.已知耳，工是雙曲線G：[―1=1（?！怠懔Α?）的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線G

的焦點(diǎn)相同，q與。2在第一象限的交點(diǎn)為p,若尸耳的中點(diǎn)在雙曲線G的漸近線上，且

「耳則橢圓的離心率是（）

A|B.且C.立D.好

2235

K答案UC

k解析》根據(jù)題意:設(shè)加=歸耳|,〃=|P與設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4,短半軸長(zhǎng)為伉，雙曲線

m+n=2ch[m=a.

實(shí)半軸長(zhǎng)為。2,虛半軸長(zhǎng)為伉，則由橢圓及雙曲線定義可得：1.，???〈

m—n=2a2[n=ax—a2

又因?yàn)槭琍g,且分別為耳耳的中點(diǎn)，所以片

所以々（一c,0）到漸近線b2x+a2y=0的距離為閨閭=d=/2=打，

,%+為

■IIItn~~cti+

所以I尸制=根=2仇，I尸閶=〃=2〃2,結(jié)合《，可得：。1=3〃2.①

因?yàn)镻耳-LPF2,所以根2+“2=4C2,即（弓+%）2+（%—g）2=4°2,

整理得：?f+a?=2c\將①代入，—af=2c2,所以e=T

93

故選：C.

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z0=l—i,z=x+W（x,yeR）,則下列結(jié)論正確的是（)

A.方程|z-Zo|=2表示的z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓

B.方程|z-Zo|+|z-Zo|=2表示z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓

C.方程|z-z0卜|z-1卜1表示的z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支

D.方程z+-(z0+z0J=上-Zo|表示的z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是拋物線

［答案XAC

k解析》由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，

|z-z0|=2表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(1,-1)之間的距離為定值2,

則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓，故A正確；

由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，

|z—z°|+1z—,=2表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(1,-1)和(1,1)的距離之和為2,

又2=卜-,，不滿足橢圓的定義2a＞閨閶，故B不正確；

由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，

|z-z0|-|z-^|=l表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(尤,y)到點(diǎn)(1,-1)和(1,1)的距離之差為1,

又2=，—,，滿足雙曲線的定義2a＜閨5故C正確；

對(duì)于D,z+-(zo+zoj=|z_z()|可化為|z+l|=|z_Zo|,

表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(-L0)和(L-1)的距離相等，軌跡是直線，

故D不正確，

故選：AC.

10.如圖，AC為圓錐SO的底面圓。的直徑，點(diǎn)8是圓。上異于A,。的動(dòng)點(diǎn)，SO=OC=2,

則下列結(jié)論正確的是()

B

A.圓錐SO的側(cè)面積為2a兀

Q

B.三棱錐S-ABC體積的最大值為3

,,,（兀兀、

C.NS43的取值范圍是1，1

D.若46=5。，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則SE+CE的最小值為2（、回+1）

K答案XBD

K解析X在Rt/xsoc中，SC=如。2+OC?=2夜，則圓錐的母線長(zhǎng)/=20，半徑

r=OC=2,

對(duì)于A,圓錐SO的側(cè)面積為：?！?40兀，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)O3_LAC時(shí)，_ABC的面積最大，止匕時(shí)SABC=Jx4x2=4,

11Q

則三棱錐S—ABC體積的最大值為：一XSMCXSO=—x4x2=—,B正確；

333

jr

對(duì)于c,△S46是等腰三角形，S4=S5,又因?yàn)镾4?+SC2=16=4。2,則NASC=—,

2

依題意，0<NAS5<3,而NSAB=3—LNASB,因此NSABe（女,工），C錯(cuò)誤；

22242

JT

對(duì)于D,由=ZABC=-,得AB=BC=2亞,有ASAB為等邊三角

形，

將4SAB以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與，ABC共面的位置,得至U^AB,貝廠S.AB為等邊三角形,

7T

ZSBA=-,如圖,

13

于是（SE+GE"。=dC,因?yàn)镾[B=BC=20,AS.BC=ZS^A+ZABC=y,

S/2=與笈+—2“?3C.cos2=8+8+8石=4（用1）2,

所以（SE+CE）mm=S]C=2（6+1）,D正確.

故選：BD

11.如圖，曲線y=?下有一系列正三角形，設(shè)第九個(gè)正三角形只?！ǎ?。0為坐標(biāo)原點(diǎn)）

的邊長(zhǎng)為與，則（)

A.%=~

記與為｛4｝的前〃項(xiàng)和，則/^為S"+?B}

B.2""I

7

31

記為數(shù)列｛｝的前〃項(xiàng)和，則

s”4+萬(wàn)4+1

r\

D.數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為an=y

（答案』ABD

k解析X選項(xiàng)A,由題意知QoqQi為邊長(zhǎng)為對(duì)的等邊三角形，如圖。Q]=4,

則6年半），

因?yàn)辄c(diǎn)片在曲線y=、6上，可得乎解得q=1,

又由題意知△Q1EQ2為邊長(zhǎng)為的的等邊三角形，則Q?2=4，

則P2（at+j等的）可得告的=n，解得4=3,故A正確;

選項(xiàng)B,由2一匕2,為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

可得42+等岑%）,故B正確;

選項(xiàng)C,由點(diǎn)匕+1在曲線y上，貝m=Js“+苧,

31

整理得

3131

由4+1〉0,可知S.=7°；+1彳7"3+耳%+1，故C錯(cuò)誤;

3o1

選項(xiàng)D,當(dāng)幾22時(shí)，可得-

61_321,321、

所以=S〃-S〃_i=14+1-耳?！?1-(7?！ㄒ唬?)'

、3

a

可化為3(q+i+an)(%+i-5)=%+n，

2

因?yàn)橥?gt;。，則?！?1+%>0,所以〃〃+i-〃〃=耳,幾22,

▽中%_42_2_2_2

又因?yàn)椤?=§_§=耳，an+l~an=,。1=§，

22

即數(shù)列｛4｝是以］為首項(xiàng)，(為公差的等差數(shù)列，

r\G。

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=§+(〃—1)義§=/，故D正確.

故選：ABD.

12.如圖，/為拋物線。：爐=2px(p>0)的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)y軸左側(cè)一點(diǎn)尸作

拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B,PA，尸5分別交y軸于加、N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定

正確的是()

A.ZAPB+ZMFN=180°B.ZAFB+ZAPB=180°

\OM\\FA\\OM\\MA\

C-----=-----D-----=-----

10^1\FB\■|OiVI\MP\

K答案?AD

2

(解析X設(shè)拋物線C:y=2px(p>0)上一點(diǎn)M(x0,y0),則需=2px0,

過(guò)點(diǎn)加(&),為)的切線方程為丁一為=左(了一/)，

聯(lián)立方程組%=,整理的V_女y_女+y；=0,

y-2pxkk

nP

令A(yù)=0,解得左二人，即過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線的斜率為匕,

%%

對(duì)于A中，設(shè)A(*,%),%),(%/%)，則過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y=-x+^-

2P%L

令x=0,可得y=￡,即河(0,孕

又由拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為砥,0),所以3F=—"■，

7T

則所以MF，PM，即NPA加=5,

7T

同理可得NPNR=—,則尸,四點(diǎn)共圓，所以NAPfi+/MFN=ji,所以A正確;

2

對(duì)于B中，若點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，可直線A3的方程為尤丁=「(工一￡),

此時(shí)直線過(guò)焦點(diǎn)嗎,0),則NAEB=7i,所以NAFB+NAPB>TI,所以B錯(cuò)誤;

,2

P江y;+￡2

X+2

可得網(wǎng).上M12P2%+p

對(duì)于C中，由M(O,^),N(O,'可得%’閥,2

-x+Pyl.p戈+/'

----1---

222p2

若網(wǎng)=囪可得一29

,22

3二卡力’則M'+X/

右|ON|\FB\'"可二一%為一%，，

所以％必=-。2,此時(shí)直線AB過(guò)焦點(diǎn)口，

設(shè)直線丁=左5—'),代入拋物線y2=2px,可得y2—女y—/=0,

2k

設(shè)方程的兩根為％,%，可得

即當(dāng)直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為

而直線A5不一定過(guò)拋物線的交點(diǎn)，所以c錯(cuò)誤;

\OM\y|OM「_W

對(duì)于D中，由舄!:一旦，可得

ON%|。時(shí)只’

聯(lián)立方程組,2，解得x=^即「(滬，”三)，

py22p22p2

42

M?M

|M4『_4p24寸（y；+p2）；y；斫1I\MA\

所以D正確.

|MP『—業(yè)式一￡3+/）一啟IONI\MP\

4P24

故選：AD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題

13.logi3=m,logz,2=H(Z?>0,且6*1),則的值為.

［答案工54

k解析U因?yàn)閘ogQnMjogRu^。>。，且6/1),

所以有加"=31"=2,則所"+〃=分〃，出=僅，")3“=33義2=54.

故［［答案》為：54.

14.在等比數(shù)列｛4｝中，a3,%是函數(shù)/(x)=「—4x2+4x—l的極值點(diǎn)，則生=

1答案X2

k解析》/,(X)=X2-8%+4,

由題％，的是方程V-8x+4=0的兩個(gè)不等實(shí)根,

則由韋達(dá)定理。3%=4>0,。3+%=8>0,所以%>。，%>0

又名是生，%的等比中項(xiàng)且％與%，ai同號(hào)，貝1=4%>0=>%=2.

故k答案』為：2.

22

15.設(shè)雙曲線「：鼻—==1（。>°，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為《和工，以「的實(shí)軸

為直徑的圓記為c,過(guò)點(diǎn)寫作c的切線/,/與r的兩支分別交于A,8兩點(diǎn)，且

3

則「的離心率的值為.

cosZF}BF2=-,

1答案》叵

2

k解析》設(shè)直線/與圓C的切點(diǎn)為P，貝U=a,OPA.PF,,

由［0制=。，得|尸司=60片『_|0尸『=心-a?=b，

過(guò)點(diǎn)K作月Q，鉆于點(diǎn)。，則OP//KQ,

由。為耳耳的中點(diǎn)，得閨Q|=2|P周=2可。號(hào)=2|OP|=2a,

3--------------4

因?yàn)?5/6巡=M,/耳因?yàn)殇J角，所以sin/F]%=，Il一cos~N￡Bg=-,

l,I_|QE|_2a_5a

DE2'-sin-T-T,Q|=cosN^B^=￡xg=￡,

有?AFXBF2得忸此

所以閨8卜閨Q|+忸Q|=2b+，，由雙曲線的定義知，

|^|-\BF2\=2a,IP2b+—-—=2a,解得人細(xì)，

222

又。2=笳+〃，所以c=回,所以雙曲線的離心率為e=￡=史.故[答案X為：巫.

2a22

16.如圖，對(duì)于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)。，若存在以。為頂點(diǎn)的角a,使得對(duì)于曲線G上

的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A3恒有ZAOB<c成立,則稱角a為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)。的“界角”,

xex-1+1,x>0

并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)。的“確界角”.已知曲線Cy=\1.

—x~+1,xK0

116

（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)。的“確界角”為夕，

則sin/7=.

（答案』1

xe*T+1,尤>0

k解析H函數(shù)y=<

一X2+l,x<0

116

因?yàn)閤>O,y'=（x+l）exT>0,

所以該函數(shù)在（-8,0）單調(diào)遞減，在（0,+8）單調(diào)遞增.

過(guò)原點(diǎn)作y=xe'T+1的切線，設(shè)切點(diǎn)A（須，卒為-+1）,

由y'=（x+1）e'T,則切線的斜率為勺=（%+1）e*T,

直線。4:y—（玉6甬1+1）=（玉+1）6'—（龍一七）過(guò)（0,0）,

—XyQXl1—1=（―石—石）e為1,1—1=O（X［〉0）,

即==2,由函數(shù)y=ei與y=x-2的圖象在（0,+co）有且只有一個(gè)交點(diǎn),

且當(dāng)花=1時(shí)滿足方程，故方程有唯一解罰=1,則41=2；

過(guò)原點(diǎn)作y=，必+1的切線，設(shè)切點(diǎn)4,后+1

由;/=言彳，得切線。8的斜率匕=—9，

828

=1%(%-X2)過(guò)原點(diǎn)(°，°)，

則切線

O

1010

則有---冗2—］二---%2(%2V°)，:?％2二-4，

168

則k2=一g,則有kxk2=-1,

???兩切線垂直，曲線。相對(duì)于點(diǎn)。的“確界角''為￡,

四、解答題

17.已知平面內(nèi)點(diǎn)〃(羽y)與兩個(gè)定點(diǎn)A(4,0),5(1,0)的距離之比等于2.

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;

（2）記（1）中的軌跡為C,過(guò)點(diǎn)的直線/被C所截得的線段的長(zhǎng)為2后，求直線

/的方程.

解：（1）己知M（x,y）,4（4,0）,5（1,0）,

\MAJ（X—4）2+y2。r

由題意可知，r—=2,坐標(biāo)代入得一\：=2,整理得^十/二人

\MB&-1）2

故點(diǎn)M的軌跡方程為f+V=4；

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線/的方程為x=l,

由圓。:3+y2=4,則圓心為（0,0）,半徑為2,

此時(shí)弦長(zhǎng)為2/展-f=2G，滿足題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)斜率為上，

則直線/的方程為y—g=k（x—1）,即而—y—左+；=0,

_^+1

則圓心（0,0）到直線/的距離d=2.

也2+（-?

因?yàn)橹本€/被C所截得的線段的長(zhǎng)為2有，

,1

（――kH—3

所以才+（返）2=22,則2=1,所以_2,解得左=—

-I----------1A

所以直線/的方程為3x+4y—5=0.

綜上，滿足條件的直線/的方程為％=1或3x+4y—5=0.

18.如圖所示，在四棱維P—A6CD中，/%，面43。0,45,3。,43,4。，且

(1)求尸3與CD所成的角;

(2)求直線與面P4c所成的角的余弦值.

解：(1)因?yàn)镽4，面所以P4,AB,兩兩垂直，故建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系4(0,0,0),尸(0,0,2),8(2,0,0),￡)(0,4,0),C(2,2,0)

則PB=(2,0,-2),CZ>=(-2,2,0)

|cosPB,CD\=d=1,所以PB與CD所成的角為60

1\PB\\CD\2

（2）AP=（0,0,2）,AC=（2,2,0），設(shè)平面PAC的法向量為m=（羽％z）

[z=0

m1AP/n±AC,/.<,令y=-l,則根=（1,一1,0）,

y+x=0、7

設(shè)直線尸。與面P4C所成的角的為e,又尸￡>=（0,4,-2）,

八Icdm-PDJ]Q

二?sin。=\cosm,PD\=—；----r=------

1?\m\\PD\5

直線。。與面PAC所成的角的余弦值為叵

5

19.已知數(shù)列｛a〃｝滿足%+i=q+2,〃wN*，且出，。5，%4構(gòu)成等比數(shù)歹人

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)2=2"an+1,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Sn.

解：⑴由a,+i=a“+2,得%+1-卬=2,

所以數(shù)列｛4｝是以2為公差的等差數(shù)列,

又。2，。5，卬4構(gòu)成等比數(shù)歹U，

2

得a；=a2a14,即(q+8)=(q+2)(q+26),

整理解得％=1,

所以％,=1+2(〃-1)=2〃-1.

(2)4=2"%=2"?(2"+1),

2

貝I]Sn=3x2*+5x2+…+(2”+l)x2",

23+1

2Sn=3X2+5X2++(2/H-1)X2",

兩式相減得-S”=3x2+2(22+23+...+2")-(2n+l)-2,,+1,

即—S“=6+2><2(1_2)_(2a+1>2向=6+2"+2_8_(2九+1>2向=2向,

1-2

所以S,二(2九一1>2日+2.

4s

20.在ABC中，角A,5c的對(duì)邊分別為的面積為S,已知——=a2cosB

taaB

+abcosA.

(D求角2;

q

(2)若b=3,Z\ABC的周長(zhǎng)為/,求士的最大值.

4s。

解：(1)因?yàn)?----=crcosB+abcosA,

tanB

4：x—acsinBcosB

所以22o.AA

--------------------------=acosD+abcosA

sinB

即2ccosB-acosB+bcosA,

由正弦定理，得2sinCeosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),

因?yàn)锳+5=?—C,

所以2sinCcos6=sinC,

因?yàn)镃￡(0,?),所以sinCwO,所以cosB=；,

又5e(O,7i),所以3=：.

(2)由余弦定理，得廿=/+<?-2accosB，即9=a2+c2-ac，

-1I—

所以9=(a+op-3ac,即QC=(a+c)?-9

因?yàn)镾--aesmB=-^-ac，/=a+c+3,

24

所以*=6ac=6[(a+c『-9_,

I4(〃+c+3)12(a+c+3)

所以；=(a+c-3)，

又ad"。（當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)取等號(hào)）,

4

所以9=（a+c）2-3ac＞十°）（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等號(hào)），

所以a+c46（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等號(hào)），

所以S=旦（a+c—3）〈理x（6—3）=正（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等號(hào)）,

112v712v'4

即9的最大值為也.

I4

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過(guò)點(diǎn)N（0,6）的直線/交E于C,D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)。的上方），E的上、下頂點(diǎn)分別為

A,B,直線AO與直線5c交于點(diǎn)。，證明：點(diǎn)。在定直線上.

427

（1）解：因?yàn)镋過(guò)點(diǎn)M,所以7+砸匚^=1，整理得（4。2—7）（4_16）=0.

因?yàn)椤?>7,所以々2=16,

22

所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+2-=1；

169

⑵證明：設(shè)直線/的方程為丁=丘+6,。（%,乂）,￡>（x,,y2）,A（0,3）,B（0,-3）.

、—y=kx+6

聯(lián)立9x2+16y2=144整理得(9+16左2)尤2+192kx+432=0,A>0,

192k432

西+“一￡1/加2=克病

%-3

所以直線A。的方程為y==—X+o3①,

x2

直線的方程,=九9％-3②,

玉

解法一:

3_(%-3)/_(3+3)%

由①②得

%+3%(必+3)(2+9)/

432576k&-144左

kxx+3(石+%)—3Xk雙戶2二］

r229+16左29+16公>9716

尤2,4320432女工Q一3

kxxx2+9k-------彳+--------7+9%

9+16F29+16左22

所以％，3?

3

所以點(diǎn)。在定直線y=5上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)。在定直線上.

解法二（和積轉(zhuǎn)化）：

9

所以@/=~~^（X2+%2），

由①②彳日33/+3XJ-：)+3、

出山西付~-——―n—

%+3京丙+M_：&+%)+叫

3x-9x,13

忒所以獷于

3

所以點(diǎn)。在直線y='上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)。在定直線上.

解法三(點(diǎn)代平方差)：

22

因?yàn)镈在E上，所以衛(wèi)+&=1,

169

所以⑴+3)(%-3)=_a

916

%一39x

即「一記2

%+3’

由①②得2kzl=^.—=q/_2)^=_2_____^5______

yQ+3%+3x2X+3I16Jy2+316(kx{+9)(Ax2+9)

432

=_2_________hh________=_2___________9+16-2_________=」，

16公再々+9左(石+9)+8116.432?9kT92左1冒3,