2023屆廣東高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/(%)=451110%+。［0〉())的最小正周期是3萬，則其圖象向左平移6個單位長度后得到的函數(shù)的一條對

稱軸是()

n19"

A.x~1B.x——C.x——D.x—------

43612

2.設a=log23,b=log46,c=5°，貝!J()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

3.設直線/的方程為x-2y+〃z=0(meR),圓的方程為(x-l)?+(y-l)2=25,若直線/被圓所截得的弦長為2逐，則

實數(shù)a的取值為

A.-9或11B.-7或11C.-7D.-9

4.做拋擲一枚骰子的試驗，當出現(xiàn)1點或2點時，就說這次試驗成功,假設骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗

中成功次數(shù)X的期望為()

1

A.3B.2C.1D.2

5.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文

化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻”當作數(shù)字“1”，把陰爻

當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：

卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)

—

坤0000

—

震0011

—

坎0102

—

兌0113

依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“三”表示的十進制數(shù)是（）

A.18B.17C.16D.15

6.某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中

必選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科,

則一名學生的不同選科組合有（）

A.8種B.12種C.16種D.20種

7.若函數(shù)y=2sin（2x+°）的圖象過點則它的一條對稱軸方程可能是（）

6

71717c57r

A.x——B.x——C.x=—D.x——

631212

3—Y

8.在區(qū)間［—3,3］上隨機取一個數(shù)x,使得—20成立的概率為等差數(shù)列｛%｝的公差，且出+&=-4,若。〃>0,

X—1

則〃的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

y>x

9.已知x,y滿足+且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則。的值是（）

x>a

321

A.4B.一C.—D.-

4114

2

10.復數(shù)「（i為虛數(shù)單位）的共軌復數(shù)是

1-z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

11.正AABC的邊長為2,將它沿8C邊上的高AD翻折，使點3與點C間的距離為看，此時四面體A-BCD的外

接球表面積為（）

12.如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯誤的是（）

14132.73

13868.53

13604.33

13340.13

13075.93

A.2014年我國入境游客萬人次最少

B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢

C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次

D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，若S3=6,S6=-8,則Sg=.

14.在平面直角坐標系X0Y中，已知圓Cif+G—Ip=1及點A(括,0),設點P是圓C上的動點，在△ACP中，

若ZACP的角平分線與AP相交于點Q(m,n),則^/m-+n2的取值范圍是.

15.在平面直角坐標系xOy中，A,3為x軸正半軸上的兩個動點，P(異于原點。)為y軸上的一個定點.若以A8

為直徑的圓與圓一+。-2)2=1相外切，且NAP8的大小恒為定值，則線段。尸的長為.

16.已知(1+2x)=%+qx+。,尤一++。］0天‘°+。］］彳”，則4—2w+—+II"”=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-%2+ax(qeR).

(1)若/(%)W0恒成立，求。的取值范圍；

(2)設函數(shù)f(x)的極值點為方,當。變化時，點(/，/(/))構(gòu)成曲線M，證明：過原點的任意直線丫="與曲線"

有且僅有一個公共點.

12一

18.(12分)已知矩陣加=°的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應的一個特征向量.

_2a

19.(12分)已知函數(shù)/(%)=(尤+1)(靖—1).

(I)求/Xx)在點(一1"(一1))處的切線方程；

(II)已知/(x)?雙在R上恒成立，求。的值.

eh

(HD若方程/(x)=b有兩個實數(shù)根和%，且玉＜%，證明：々—%《b+l+——.

e-1

71

20.(12分)已知傾斜角為一的直線經(jīng)過拋物線。：/=20；(0〉0)的焦點產(chǎn)，與拋物線C相交于4、B兩點,且

4

|AB|=8.

(1)求拋物線。的方程；

(2)設P為拋物線C上任意一點(異于頂點)，過P做傾斜角互補的兩條直線乙、k，交拋物線。于另兩點C、D,

記拋物線C在點P的切線/的傾斜角為々，直線CD的傾斜角為￡,求證：々與￡互補.

21.(12分)如圖，/8。。=90,3。=。。=1,43，平面3。,乙4。3=60,￡,尸分別是4。,40上的動點，且

AE_AF

~AC~~AD'

(1)若平面5防與平面5C。的交線為/,求證：EFUh

(2)當平面5E產(chǎn)，平面AC。時，求平面6跖與5C。平面所成的二面角的余弦值.

22.(10分)某大學開學期間，該大學附近一家快餐店招聘外賣騎手，該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案(。)

規(guī)定每日底薪100元，外賣業(yè)務每完成一單提成2元；方案伍)規(guī)定每日底薪150元，外賣業(yè)務的前54單沒有提成，

從第55單開始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務量，現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)

據(jù)分為[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)隨機選取一天，估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的概率；

12

(2)從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案(。)的概率為選擇方案他)的概率為j?.若甲、乙、丙、丁四名

騎手分別到該快餐店應聘，四人選擇日工資方案相互獨立，求至少有兩名騎手選擇方案(a)的概率，

(3)若僅從人日均收入的角度考慮，請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值代替)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由三角函數(shù)的周期可得。=g,由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為y=4sin(gx+F],再求其

對稱軸方程即可.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=4sin[0x+g](0〉O)的最小正周期是3萬，則函數(shù)/(x)=4sin[gx+gj,經(jīng)過平移后得到函數(shù)

2尤+工71+工n=4sin%+4?,24〃7兀/[

解析式為y=4sin-,由一%+——=k7i+—(keZ),

392

3Jr197r

得九=—左》+—(左￡Z),當左=1時，%=——?

21212

故選D.

【點睛】

本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較。力,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.

【詳解】

01

a=log,3e（1,2）,b=log46=log276e（1,log23）,c=5-G（0,1）,因此a>6>c,故選：A.

【點睛】

本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

Im—1I

圓（尤-l）2+（y-l）2=25的圓心坐標為（1,1）,該圓心到直線/的距離〃=:」，結(jié)合弦長公式得

2收_（^^"=26,解得機=—9或加=11,故選A.

4.C

【解析】

21

P=~=~

每一次成功的概率為63,X服從二項分布，計算得到答案.

【詳解】

21，、/

p=~=~E\X）=-x3=/

每一次成功的概率為63,X服從二項分布，故3

故選：c

【點睛】

本題考查了二項分布求數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.

5.B

【解析】

由題意可知“屯”卦符號“三”表示二進制數(shù)字010001,將其轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)即可.

【詳解】

由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“三”表示二進制數(shù)字010001,轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為卜2。+卜24=1.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識的應用等，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

6.C

【解析】

分兩類進行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有=12種組合；

若一名學生物理和歷史都選，則有C；=4種組合；

因此共有12+4=16種組合.

故選C

【點睛】

本題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記其計數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.

7.B

【解析】

把已知點坐標代入求出9,然后驗證各選項.

【詳解】

V/']11]I')I

由題意2sin(——=sin(一■—(p=lk7i或(p=2k兀?■一,k^Z,

332f62

不妨取0=一看或

7TTT

若°=5,則函數(shù)為丁=5也(2%+,)=(：052%，四個選項都不合題意，

TTTTTTTTTCTC

若夕=—上，則函數(shù)為y=2sin(2x—上)，只有x=2時，sin(2x---)=1,即x=2是對稱軸.

663363

故選：B.

【點睛】

本題考查正弦型復合函數(shù)的對稱軸，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.D

【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的x的范圍區(qū)間長度，利用幾何概型公式可得概

率，即等差數(shù)列的公差，利用條件4+4=2(，求得為=-2,從而求得為=-弓+；,解不等式求得結(jié)果.

【詳解】

由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間［-3,3］長度為6,

a_r

使得一7>0成立的x的范圍為(1,3］,區(qū)間長度為2,

x—1

3—x21

故使得一7^0成立的概率為:=彳=4,

x-163

又出+_4=2a49??包=-2，??%——2+(〃―4)x—=——-~I--,

令?！?gt;0，則有〃>10,故九的最小值為11,

故選：D.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項公式,

屬于基礎(chǔ)題目.

9.D

【解析】

y=xx=a

試題分析：先畫出可行域如圖：由｛得HU),由｛，得當直線z=2x+y過點3(1,1)時,

x+y=2y=x

目標函數(shù)z=2x+y取得最大值，最大值為3；當直線z=2x+y過點C(a,a)時，目標函數(shù)z=2x+y取得最小值,

最小值為3a；由條件得3=4x3。，所以。=!，故選D.

考點：線性規(guī)劃.

10.B

【解析】

分析：化簡已知復數(shù)z,由共朝復數(shù)的定義可得.

22(1+/)

詳解：化簡可得2=「=.

1—I(1—z)(l+z)

Az的共軻復數(shù)為1-i.

故選B.

點睛：本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的運算，涉及共甄復數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

如圖所示，設AD的中點為。2，A6CD的外接圓的圓心為。-四面體A—BCD的外接球的球心為。，連接

利用正弦定理可得利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，

OOVOO2,OD,=1,

最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.

【詳解】

如圖所示，設4。的中點為。2，ABCD外接圓的圓心為。1，四面體A-BCD的外接球的球心為。，連接

則平面

OOVOO2,OD,BCD,oo2±AD.

2—3]

因為故cosNBDC=------=一一，

2x1x12

24

因為NB￡)Ce(O,?),故加式=子.

Gr

由正弦定理可得2D01=—^3=2,故。日=1,又因為AD=6,故。a=".

sin——7

3

因為4)，￡>3,40，?！?,￡出門8=￡>,故平面5CD,所以OOJ/AD,

因為AD,平面5C。，D。1U平面5C。，故故。C^HDO、,

所以四邊形OO2DO,為平行四邊形，所以=半，

所以OD=jm=也,故外接球的半徑為且，外接球的表面積為4〃><工=7乃.

V4224

故選：D.

【點睛】

本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變

量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一

定的難度.

12.D

【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.

【詳解】

A.由統(tǒng)計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；

B.由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；

C.入境游客萬人次的中位數(shù)應為13340.13與13604.33的平均數(shù)，大于13340萬次，故正確；

D.由統(tǒng)計圖可知：前3年的入境游客萬人次相比于后3年的波動更大，所以對應的方差更大，故錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對

應的信息，對學生分析問題的能力有一定要求.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-42

【解析】

由S3,S6-S3,品-S6成等差數(shù)列，代入S3=6,S6=-8可得$9的值.

【詳解】

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S3,s6-s3,原-其成等差數(shù)列，

可得：2(S6-S3)=S3+S9-S6,代入S3=6,S6=—8,

可得：Sg=-42,

故答案為：-42.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，相對不難.

小-24+2-

14.

33

【解析】

由角平分線成比例定理推理可得AQ=2PQ,進而設點表示向量構(gòu)建方程組表示點尸坐標，代入圓C方程即可表示動

點。的軌跡方程，再由將所求視為該圓上的點與原點間的距離，所以其最值為圓心到原點的距離加減半徑.

【詳解】

由題可構(gòu)建如圖所示的圖形，因為4。是N4CP的角平分線，由角平分線成比例定理可知

Ar1An2

標=而=,040=2尸0,所以40=220?

設點。（〃八），點P（x,y）,即AQ=（m—百,"）,PQ=（x——"）,

貝!|卜〃-6,〃）=2（x_m,y_"），

3m一6

（x

所以m-y/3/=l\x-rri\二~7.

n=2[y-n）_3n

u=T

又因為點尸是圓。：必+（丁-=1上的動點,

2

吁途丫+百-）』,2、24

則[31+（〃---）=一,

I2J39

2

故點。的運功軌跡是以M為圓心；為半徑的圓,

3

又JmZ+i?即為該圓上的點與原點間的距離,

、

2*所以.而二不

因為公。

A/7-2S+2

故答案為:

33

【點睛】

本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題，常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動點的軌跡方程，屬于中檔題.

15.布

【解析】

分析：設Oz（a,0）,圓6的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x?+

（y-2）2=1相外切.且/APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長.

詳解：設Oz（a,0）,圓6的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），貝！J

H—r/7+r

tanNOPA=——,tanZOPB=——

a+ra-r

2rt

/.tan/APB=t_

222

22t+a-r

2rt2t

tanNAPB=

』+2r—3『—3c

-------+2

r

VZAPB的大小恒為定值,

:.t=也,：.\OP\=y/j.

故答案為若

點睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

16.22

【解析】

對原方程兩邊求導，然后令x=-1求得表達式的值.

【詳解】

對等式(1+2x)"=%+qx+a?/++。1°儲°+q/"兩邊求導，得

9—

22(1+2x)i°=<7]+2a2%++10<210x+1,令x=—1,貝!|—2a2+10<210+11%]=22.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式，考查利用導數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)a<l；(2)證明見解析

【解析】

Inx1nX

(1)由/(X)W0恒成立，可得—-^恒成立，進而構(gòu)造函數(shù)g(x)=x--求導可判斷出gO)的單調(diào)性,

XX

進而可求出g(x)的最小值g(x)min，令a<g(x)mm即可;

(2)由尸(X)=-2『+奴+1,可知存在唯一的/e(0,+8)，使得尸(%)=0,貝!|—2%+6o+1=0，。=2%0—'，

Xxo

進而可得/(Xo)=lnXo+/2—l，即曲線M的方程為>=lnx+x2—1,進而只需證明對任意左wR,方程

Inx+f—1=區(qū)有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)尸(x)=lnx+d—依―1,分左<0、0<女<2后和左>20三種情況，

分別證明函數(shù)尸(%)在(0,+8)上有唯一的零點，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

InX

(1)由題意，可知x>0,由/(%)〈。恒成立，可得——恒成立.

x

人/、In%%2—1+Inx

令g(x)=x----則，(%)=

x

令A(x)=x2-1+Inx,貝!|h\x)=2x+—,

x

,/x>0,**-h\x)>0,

/.h(x)=/一i+m%在(0,+8)上單調(diào)遞增，又h(l)=0,

，xe(O,l)時，h(x)<0；xe(l,+oo)時，h(x)>0,

即xe(O,l)時，gr(x)<0；xe(l,+oo)時，g\x)>0,

.?.xe(O,l)時，g(x)單調(diào)遞減；xe(l,+O時，g(x)單調(diào)遞增，

”=1時，g(x)取最小值g⑴=1,

(2)證明：由/(x)=J—2x+a=—2廠+依+1,令7@)=_2/+辦+1,

XX

由T(0)=l>0,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在唯一的不￡(0,+8),使得((%)=0,故/。)存在唯一的極值點與,

1

貝(]一2%；9+”+1=0,〃=2%----,

xo

22

/(x0)=Inx0-x0+ax0=Inx0+x0-1,

曲線〃的方程為y=lnx+%2—i.

故只需證明對任意keR,方程Inx+x?—1=區(qū)有唯一解.

1or2-kxA-}

令F(x)=Inx+——近一1,貝！]F'(x)=—+2x-k=----------，

XX

①當上〈0時，尸(x)>0恒成立，二/(刀)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

ek<l,e2k<1,F(ek)=k+e2k-kek-l=k(l-ek)+e2k-l<0,

歹(1)=一/0,.?.存在f滿足eZdl時,使得f⑺=0.

又尸(x)單調(diào)遞增，所以％=/為唯一解.

②當0<左42后時，二次函數(shù)y=2d—乙+1,滿足八=42一8?0，

則9(x)>0恒成立，二F(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增.

F(l)=-k<0,F(e3)=3+e6-fe3-l=(e3-V2)2+e3(2V2—Q〉0,

???存在fe(l,e3)使得P?)=0,

又P(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，.“=/為唯一解.

③當左〉20時，二次函數(shù)y=2%2—乙+1,滿足A=%2—8>0，

此時尸（x）=。有兩個不同的解不，z,不妨設不<々，

x1-x2=p.-.0<x1<^-<x2>

列表如下:

X(0,xJ（再,％2）%。2，+°°)

F'(x)+0—0+

F(x)/極大值極小值/

由表可知，當X=%時，/（X）的極大值為F（xJ=ln%i+X；-村一1.

2xj2-^+1=0,/.F(xJ=InXj-Xj2-2,

0<%,<—<,.,.In%<+2,

2

2

F(Xj)=lnx1-Xj-2<0,F(X2)<F(x1)<0.

F(e*)—k2+e2*-ke^—l=(e'—k)ek+k2—

下面來證明e"-女〉0，

i,2]

構(gòu)造函數(shù)加(%)=x2-Inx(x>2A/2)，則mz(x)=2x——=-......

xx

.二當x￡(2近,+oo)時，m(x)>0,此時加(%)單調(diào)遞增，

m(x)>W(2A/2)=8--ln2>0,

二xe(20,+00)時，x2>Inx?二/〉6“，=》，

故/-4〉0成立?

???F(e^)=(e-—k)Qk2+k2-l>0>

,存在優(yōu)(馬,產(chǎn))，使得E⑺=0.

又F(x)在(%,+8)單調(diào)遞增，...1=，為唯一解.

所以，對任意％eR,方程lnx+V—1=區(qū)有唯一解，即過原點任意的直線>=履與曲線"有且僅有一個公共點.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點問題，考查學生的

計算求解能力與推理論證能力，屬于難題.

-1

18.另一個特征值為1,對應的一個特征向量a=

-1

【解析】

根據(jù)特征多項式的一個零點為3,可得。=1,再回代到方程/“）=0即可解出另一個特征值為4=-1,最后利用求

特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量.

【詳解】

矩陣M的特征多項式為：

/（，）=_2-%

4=3是方程/“）=0的一個根，

/、/、「12一

（3—1）（3—a）—4=0,解得a=i,即A/=】

二方程/（丸）=0即（X—1）（丸一1）—4=0,22—22—3=0，

可得另一個特征值為：4=-1,

x

設4=T對應的一個特征向量為：a=

f-2x-2y=0

則由九a="tz,得｛.得x=—y,

-2x-2y=0

令x=1,則y=-1,

所以矩陣M另一個特征值為-1,

-1

對應的一個特征向量￡=

-1

【點睛】

本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項式的計算形式，屬于基礎(chǔ)題.

19.（I）y=—（x+1）；（II）a=l；（ffl）證明見解析

【解析】

(I)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.

(II)求導分析函數(shù)的單調(diào)性，并構(gòu)造函數(shù)h(x)=/(￡)-依根據(jù)單調(diào)性分析可得h(x)只能在％=0處取得最小值求解

即可.

(III)根據(jù)(I)(II)的結(jié)論可知/'(X”=(X+1)"(尤)2尤在R上恒成立，再分別設b=X(x+l)〃=工的

ee

解為/、%.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.

【詳解】

(I)由題/'(%)=/_1+(%+1)/,故/.且y(-i)=0.

e

故f(x)在點(-1,/(-1))處的切線方程為y=/(x+1).

(II)設T(x)=/(%)—◎=(x+l)(e—1)—61x20恒成立，故/z'(x)=(x+2)/-a-l.

設函數(shù)0(x)=(x+2”*則0〈x)=(x+3)e”,故0(x)=(x+2)*在(-00,-3)上單調(diào)遞減且又°(x)在

(-3,+8)上單調(diào)遞增.

又40)=2,即〃(0)=1—a且"⑼=0,故h[x)只能在％=0處取得最小值，

當°=1時，此時"(x)=(x+2)e*—2,且在(口,0)上勿(力<0,網(wǎng)力單調(diào)遞減.

在(0,+。)±/i'(%)>0,//(x)單調(diào)遞增.故/i(x)>/i(0)=0,滿足題意；

當a>1時，此時0(x)=(x+2)e*=a+1有解/〉0,且/z(九)在(0,5)上單調(diào)遞減，與h(x)>/i(0)矛盾；

當a<1時，此時0(x)=(%+2)e*=a+1有解—3</<0,且%⑶在(％,0)上單調(diào)遞減，與h(x)>/z(0)矛盾；

故。=1

(III)/(1)="-1+(%+1)，=(%+2)，—1.由(I),/。)=(無+2)/—1在3)上單調(diào)遞減且廣⑴<0,

又/,(x)在(—3,+8)上單調(diào)遞增，故尸⑴=0最多一根.

又因為尸(―1)=(—1+2)——1=/—1<0,尸(0)=(0+2”°—1=1>0,

故設尸⑺=。的解為％=/,因為/(T)?尸⑼<0,故f?T,0).

所以在(f/)遞減，在&+8)遞增.

因為方程/(%)=人有兩個實數(shù)根為甚,故。.

1-e

結(jié)合（i）（II）有y（x"（%+1）,/（龍）2%在人上恒成立.

e

設沙=^^（%+1）的解為易,則與V%；設b=x的解為％,則%

e

故%3=-----1，/=b.

1-e

eb

故工2—X]VX4—X3V匕+1H----，得證.

e-1

【點睛】

本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的

結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.

20.（1）x2=4y（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，設直線方程為>=彳+5，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，設丸的方程為丁-?=左（%-%）,聯(lián)立方程得/+%=必，同理可得/+/=-4左，進而得到

%+和=-2/，再利用點差法得直線CD的斜率，利用切線與導數(shù)的關(guān)系得直線/的斜率，進而可得戊與少互補.

【詳解】

（1）由題意設直線A5的方程為y=x+f令A。,%）、B（4，%），

聯(lián)立I一一2，得9―3加+2=0

x2=2py4

%+%=3,，

根據(jù)拋物線的定義得IM=yl+y2+P=4p,

又|AB|=8,.?.4p=8，2=2

故所求拋物線方程為好=4人

（2）依題意，設p（x0,五），C（%,五）,以程,修）

設k的方程為y-^-=k(x-x0),與必=4》聯(lián)立消去丁得丁—4履+4為一%；=0,

/.%o+%=4左，同理xQ+xD=-4k

22

x-xii

?二%+程=-2%0，直線8的斜率左CQ一L-=-(X+X)=--x

4(%—%)4CD20

切線I的斜率&=yX』=；%,

由瓦+kCD—0,即a與夕互補.

【點睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應用，直線斜率的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.

21.(1)見解析；(2)叵

7

【解析】

(1)首先由線面平行的判定定理可得所〃平面5C。，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證；

(2)以點3為坐標原點，BD,54所在的直線分別為二z軸，以過點3且垂直于6。的直線為工軸建立空間直角坐

標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；

【詳解】

ATAF

解：(1)由七——，EF//CD

AD

又EW平面5CD,。。匚平面5。。，所以所〃平面5CD.

又EFu平面BEF,且平面BCD平面5EF=/,

故EF〃/.

(2)因為A3,平面5C。，所以ABLC