2023屆廣東高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)/(%)=451110%+。［0〉())的最小正周期是3萬，則其圖象向左平移6個單位長度后得到的函數(shù)的一條對

稱軸是()

n19"

A.x~1B.x——C.x——D.x—------

43612

2.設(shè)a=log23,b=log46,c=5°，貝!J()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

3.設(shè)直線/的方程為x-2y+〃z=0(meR),圓的方程為(x-l)?+(y-l)2=25,若直線/被圓所截得的弦長為2逐，則

實(shí)數(shù)a的取值為

A.-9或11B.-7或11C.-7D.-9

4.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時，就說這次試驗(yàn)成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)

中成功次數(shù)X的期望為()

1

A.3B.2C.1D.2

5.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識，是中華人文文

化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻

當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：

卦名符號表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)

—

坤0000

—

震0011

—

坎0102

—

兌0113

依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“三”表示的十進(jìn)制數(shù)是（）

A.18B.17C.16D.15

6.某地區(qū)高考改革，實(shí)行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中

必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,

則一名學(xué)生的不同選科組合有（）

A.8種B.12種C.16種D.20種

7.若函數(shù)y=2sin（2x+°）的圖象過點(diǎn)則它的一條對稱軸方程可能是（）

6

71717c57r

A.x——B.x——C.x=—D.x——

631212

3—Y

8.在區(qū)間［—3,3］上隨機(jī)取一個數(shù)x,使得—20成立的概率為等差數(shù)列｛%｝的公差，且出+&=-4,若?！?gt;0,

X—1

則〃的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

y>x

9.已知x,y滿足+且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則。的值是（）

x>a

321

A.4B.一C.—D.-

4114

2

10.復(fù)數(shù)「（i為虛數(shù)單位）的共軌復(fù)數(shù)是

1-z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

11.正AABC的邊長為2,將它沿8C邊上的高AD翻折，使點(diǎn)3與點(diǎn)C間的距離為看，此時四面體A-BCD的外

接球表面積為（）

12.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯誤的是（）

14132.73

13868.53

13604.33

13340.13

13075.93

A.2014年我國入境游客萬人次最少

B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢

C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次

D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，若S3=6,S6=-8,則Sg=.

14.在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，已知圓Cif+G—Ip=1及點(diǎn)A(括,0),設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動點(diǎn)，在△ACP中，

若ZACP的角平分線與AP相交于點(diǎn)Q(m,n),則^/m-+n2的取值范圍是.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,3為x軸正半軸上的兩個動點(diǎn)，P(異于原點(diǎn)。)為y軸上的一個定點(diǎn).若以A8

為直徑的圓與圓一+。-2)2=1相外切，且NAP8的大小恒為定值，則線段。尸的長為.

16.已知(1+2x)=%+qx+。,尤一++。］0天‘°+。］］彳”，則4—2w+—+II"”=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-%2+ax(qeR).

(1)若/(%)W0恒成立，求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為方,當(dāng)。變化時，點(diǎn)(/，/(/))構(gòu)成曲線M，證明：過原點(diǎn)的任意直線丫="與曲線"

有且僅有一個公共點(diǎn).

12一

18.(12分)已知矩陣加=°的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量.

_2a

19.(12分)已知函數(shù)/(%)=(尤+1)(靖—1).

(I)求/Xx)在點(diǎn)(一1"(一1))處的切線方程；

(II)已知/(x)?雙在R上恒成立，求。的值.

eh

(HD若方程/(x)=b有兩個實(shí)數(shù)根和%，且玉＜%，證明：々—%《b+l+——.

e-1

71

20.(12分)已知傾斜角為一的直線經(jīng)過拋物線。：/=20；(0〉0)的焦點(diǎn)產(chǎn)，與拋物線C相交于4、B兩點(diǎn),且

4

|AB|=8.

(1)求拋物線。的方程；

(2)設(shè)P為拋物線C上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，過P做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線乙、k，交拋物線。于另兩點(diǎn)C、D,

記拋物線C在點(diǎn)P的切線/的傾斜角為々，直線CD的傾斜角為￡,求證：々與￡互補(bǔ).

21.(12分)如圖，/8。。=90,3。=。。=1,43，平面3。,乙4。3=60,￡,尸分別是4。,40上的動點(diǎn)，且

AE_AF

~AC~~AD'

(1)若平面5防與平面5C。的交線為/,求證：EFUh

(2)當(dāng)平面5E產(chǎn)，平面AC。時，求平面6跖與5C。平面所成的二面角的余弦值.

22.(10分)某大學(xué)開學(xué)期間，該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手，該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案(。)

規(guī)定每日底薪100元，外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元；方案伍)規(guī)定每日底薪150元，外賣業(yè)務(wù)的前54單沒有提成，

從第55單開始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)

據(jù)分為[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；

12

(2)從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案(。)的概率為選擇方案他)的概率為j?.若甲、乙、丙、丁四名

騎手分別到該快餐店應(yīng)聘，四人選擇日工資方案相互獨(dú)立，求至少有兩名騎手選擇方案(a)的概率，

(3)若僅從人日均收入的角度考慮，請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由三角函數(shù)的周期可得。=g,由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為y=4sin(gx+F],再求其

對稱軸方程即可.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=4sin[0x+g](0〉O)的最小正周期是3萬，則函數(shù)/(x)=4sin[gx+gj,經(jīng)過平移后得到函數(shù)

2尤+工71+工n=4sin%+4?,24〃7兀/[

解析式為y=4sin-,由一%+——=k7i+—(keZ),

392

3Jr197r

得九=—左》+—(左￡Z),當(dāng)左=1時，%=——?

21212

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較。力,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.

【詳解】

01

a=log,3e（1,2）,b=log46=log276e（1,log23）,c=5-G（0,1）,因此a>6>c,故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

Im—1I

圓（尤-l）2+（y-l）2=25的圓心坐標(biāo)為（1,1）,該圓心到直線/的距離〃=:」，結(jié)合弦長公式得

2收_（^^"=26,解得機(jī)=—9或加=11,故選A.

4.C

【解析】

21

P=~=~

每一次成功的概率為63,X服從二項(xiàng)分布，計(jì)算得到答案.

【詳解】

21，、/

p=~=~E\X）=-x3=/

每一次成功的概率為63,X服從二項(xiàng)分布，故3

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

5.B

【解析】

由題意可知“屯”卦符號“三”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.

【詳解】

由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“三”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為卜2。+卜24=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

6.C

【解析】

分兩類進(jìn)行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有=12種組合；

若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有C；=4種組合；

因此共有12+4=16種組合.

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩個計(jì)數(shù)原理，熟記其計(jì)數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.

7.B

【解析】

把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出9,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).

【詳解】

V/']11]I')I

由題意2sin(——=sin(一■—(p=lk7i或(p=2k兀?■一,k^Z,

332f62

不妨取0=一看或

7TTT

若°=5,則函數(shù)為丁=5也(2%+,)=(：052%，四個選項(xiàng)都不合題意，

TTTTTTTTTCTC

若夕=—上，則函數(shù)為y=2sin(2x—上)，只有x=2時，sin(2x---)=1,即x=2是對稱軸.

663363

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對稱軸，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.D

【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的x的范圍區(qū)間長度，利用幾何概型公式可得概

率，即等差數(shù)列的公差，利用條件4+4=2(，求得為=-2,從而求得為=-弓+；,解不等式求得結(jié)果.

【詳解】

由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間［-3,3］長度為6,

a_r

使得一7>0成立的x的范圍為(1,3］,區(qū)間長度為2,

x—1

3—x21

故使得一7^0成立的概率為:=彳=4,

x-163

又出+_4=2a49??包=-2，??%——2+(〃―4)x—=——-~I--,

令?！?gt;0，則有〃>10,故九的最小值為11,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識點(diǎn)有長度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,

屬于基礎(chǔ)題目.

9.D

【解析】

y=xx=a

試題分析：先畫出可行域如圖：由｛得HU),由｛，得當(dāng)直線z=2x+y過點(diǎn)3(1,1)時,

x+y=2y=x

目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線z=2x+y過點(diǎn)C(a,a)時，目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最小值,

最小值為3a；由條件得3=4x3。，所以。=!，故選D.

考點(diǎn)：線性規(guī)劃.

10.B

【解析】

分析：化簡已知復(fù)數(shù)z,由共朝復(fù)數(shù)的定義可得.

22(1+/)

詳解：化簡可得2=「=.

1—I(1—z)(l+z)

Az的共軻復(fù)數(shù)為1-i.

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，涉及共甄復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

如圖所示，設(shè)AD的中點(diǎn)為。2，A6CD的外接圓的圓心為。-四面體A—BCD的外接球的球心為。，連接

利用正弦定理可得利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，

OOVOO2,OD,=1,

最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.

【詳解】

如圖所示，設(shè)4。的中點(diǎn)為。2，ABCD外接圓的圓心為。1，四面體A-BCD的外接球的球心為。，連接

則平面

OOVOO2,OD,BCD,oo2±AD.

2—3]

因?yàn)楣蔯osNBDC=------=一一，

2x1x12

24

因?yàn)镹B￡)Ce(O,?),故加式=子.

Gr

由正弦定理可得2D01=—^3=2,故。日=1,又因?yàn)锳D=6,故。a=".

sin——7

3

因?yàn)?)，￡>3,40，?！?,￡出門8=￡>,故平面5CD,所以O(shè)OJ/AD,

因?yàn)锳D,平面5C。，D。1U平面5C。，故故。C^HDO、,

所以四邊形OO2DO,為平行四邊形，所以=半，

所以O(shè)D=jm=也,故外接球的半徑為且，外接球的表面積為4〃><工=7乃.

V4224

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變

量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計(jì)算，本題有一

定的難度.

12.D

【解析】

ABD可通過統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.

【詳解】

A.由統(tǒng)計(jì)圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；

B.由統(tǒng)計(jì)圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；

C.入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為13340.13與13604.33的平均數(shù)，大于13340萬次，故正確；

D.由統(tǒng)計(jì)圖可知：前3年的入境游客萬人次相比于后3年的波動更大，所以對應(yīng)的方差更大，故錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計(jì)圖，分析出對

應(yīng)的信息，對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-42

【解析】

由S3,S6-S3,品-S6成等差數(shù)列，代入S3=6,S6=-8可得$9的值.

【詳解】

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S3,s6-s3,原-其成等差數(shù)列，

可得：2(S6-S3)=S3+S9-S6,代入S3=6,S6=—8,

可得：Sg=-42,

故答案為：-42.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，相對不難.

小-24+2-

14.

33

【解析】

由角平分線成比例定理推理可得AQ=2PQ,進(jìn)而設(shè)點(diǎn)表示向量構(gòu)建方程組表示點(diǎn)尸坐標(biāo)，代入圓C方程即可表示動

點(diǎn)。的軌跡方程，再由將所求視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，所以其最值為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑.

【詳解】

由題可構(gòu)建如圖所示的圖形，因?yàn)?。是N4CP的角平分線，由角平分線成比例定理可知

Ar1An2

標(biāo)=而=,040=2尸0,所以40=220?

設(shè)點(diǎn)。（〃八），點(diǎn)P（x,y）,即AQ=（m—百,"）,PQ=（x——"）,

貝!|卜〃-6,〃）=2（x_m,y_"），

3m一6

（x

所以m-y/3/=l\x-rri\二~7.

n=2[y-n）_3n

u=T

又因?yàn)辄c(diǎn)尸是圓。：必+（丁-=1上的動點(diǎn),

2

吁途丫+百-）』,2、24

則[31+（〃---）=一,

I2J39

2

故點(diǎn)。的運(yùn)功軌跡是以M為圓心；為半徑的圓,

3

又JmZ+i?即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離,

、

2*所以.而二不

因?yàn)楣?/p>

A/7-2S+2

故答案為:

33

【點(diǎn)睛】

本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題，常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題.

15.布

【解析】

分析：設(shè)Oz（a,0）,圓6的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x?+

（y-2）2=1相外切.且/APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長.

詳解：設(shè)Oz（a,0）,圓6的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），貝！J

H—r/7+r

tanNOPA=——,tanZOPB=——

a+ra-r

2rt

/.tan/APB=t_

222

22t+a-r

2rt2t

tanNAPB=

』+2r—3『—3c

-------+2

r

VZAPB的大小恒為定值,

:.t=也,：.\OP\=y/j.

故答案為若

點(diǎn)睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

16.22

【解析】

對原方程兩邊求導(dǎo)，然后令x=-1求得表達(dá)式的值.

【詳解】

對等式(1+2x)"=%+qx+a?/++。1°儲°+q/"兩邊求導(dǎo)，得

9—

22(1+2x)i°=<7]+2a2%++10<210x+1,令x=—1,貝!|—2a2+10<210+11%]=22.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查二項(xiàng)式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)a<l；(2)證明見解析

【解析】

Inx1nX

(1)由/(X)W0恒成立，可得—-^恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g(x)=x--求導(dǎo)可判斷出gO)的單調(diào)性,

XX

進(jìn)而可求出g(x)的最小值g(x)min，令a<g(x)mm即可;

(2)由尸(X)=-2『+奴+1,可知存在唯一的/e(0,+8)，使得尸(%)=0,貝!|—2%+6o+1=0，。=2%0—'，

Xxo

進(jìn)而可得/(Xo)=lnXo+/2—l，即曲線M的方程為>=lnx+x2—1,進(jìn)而只需證明對任意左wR,方程

Inx+f—1=區(qū)有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)尸(x)=lnx+d—依―1,分左<0、0<女<2后和左>20三種情況，

分別證明函數(shù)尸(%)在(0,+8)上有唯一的零點(diǎn)，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

InX

(1)由題意，可知x>0,由/(%)〈。恒成立，可得——恒成立.

x

人/、In%%2—1+Inx

令g(x)=x----則，(%)=

x

令A(yù)(x)=x2-1+Inx,貝!|h\x)=2x+—,

x

,/x>0,**-h\x)>0,

/.h(x)=/一i+m%在(0,+8)上單調(diào)遞增，又h(l)=0,

，xe(O,l)時，h(x)<0；xe(l,+oo)時，h(x)>0,

即xe(O,l)時，gr(x)<0；xe(l,+oo)時，g\x)>0,

.?.xe(O,l)時，g(x)單調(diào)遞減；xe(l,+O時，g(x)單調(diào)遞增，

”=1時，g(x)取最小值g⑴=1,

(2)證明：由/(x)=J—2x+a=—2廠+依+1,令7@)=_2/+辦+1,

XX

由T(0)=l>0,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在唯一的不￡(0,+8),使得((%)=0,故/。)存在唯一的極值點(diǎn)與,

1

貝(]一2%；9+”+1=0,〃=2%----,

xo

22

/(x0)=Inx0-x0+ax0=Inx0+x0-1,

曲線〃的方程為y=lnx+%2—i.

故只需證明對任意keR,方程Inx+x?—1=區(qū)有唯一解.

1or2-kxA-}

令F(x)=Inx+——近一1,貝！]F'(x)=—+2x-k=----------，

XX

①當(dāng)上〈0時，尸(x)>0恒成立，二/(刀)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

ek<l,e2k<1,F(ek)=k+e2k-kek-l=k(l-ek)+e2k-l<0,

歹(1)=一/0,.?.存在f滿足eZdl時,使得f⑺=0.

又尸(x)單調(diào)遞增，所以％=/為唯一解.

②當(dāng)0<左42后時，二次函數(shù)y=2d—乙+1,滿足八=42一8?0，

則9(x)>0恒成立，二F(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增.

F(l)=-k<0,F(e3)=3+e6-fe3-l=(e3-V2)2+e3(2V2—Q〉0,

???存在fe(l,e3)使得P?)=0,

又P(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，.“=/為唯一解.

③當(dāng)左〉20時，二次函數(shù)y=2%2—乙+1,滿足A=%2—8>0，

此時尸（x）=。有兩個不同的解不，z,不妨設(shè)不<々，

x1-x2=p.-.0<x1<^-<x2>

列表如下:

X(0,xJ（再,％2）%。2，+°°)

F'(x)+0—0+

F(x)/極大值極小值/

由表可知，當(dāng)X=%時，/（X）的極大值為F（xJ=ln%i+X；-村一1.

2xj2-^+1=0,/.F(xJ=InXj-Xj2-2,

0<%,<—<,.,.In%<+2,

2

2

F(Xj)=lnx1-Xj-2<0,F(X2)<F(x1)<0.

F(e*)—k2+e2*-ke^—l=(e'—k)ek+k2—

下面來證明e"-女〉0，

i,2]

構(gòu)造函數(shù)加(%)=x2-Inx(x>2A/2)，則mz(x)=2x——=-......

xx

.二當(dāng)x￡(2近,+oo)時，m(x)>0,此時加(%)單調(diào)遞增，

m(x)>W(2A/2)=8--ln2>0,

二xe(20,+00)時，x2>Inx?二/〉6“，=》，

故/-4〉0成立?

???F(e^)=(e-—k)Qk2+k2-l>0>

,存在優(yōu)(馬,產(chǎn))，使得E⑺=0.

又F(x)在(%,+8)單調(diào)遞增，...1=，為唯一解.

所以，對任意％eR,方程lnx+V—1=區(qū)有唯一解，即過原點(diǎn)任意的直線>=履與曲線"有且僅有一個公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點(diǎn)問題，考查學(xué)生的

計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于難題.

-1

18.另一個特征值為1,對應(yīng)的一個特征向量a=

-1

【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個零點(diǎn)為3,可得。=1,再回代到方程/“）=0即可解出另一個特征值為4=-1,最后利用求

特征向量的一般步驟，可求出其對應(yīng)的一個特征向量.

【詳解】

矩陣M的特征多項(xiàng)式為：

/（，）=_2-%

4=3是方程/“）=0的一個根，

/、/、「12一

（3—1）（3—a）—4=0,解得a=i,即A/=】

二方程/（丸）=0即（X—1）（丸一1）—4=0,22—22—3=0，

可得另一個特征值為：4=-1,

x

設(shè)4=T對應(yīng)的一個特征向量為：a=

f-2x-2y=0

則由九a="tz,得｛.得x=—y,

-2x-2y=0

令x=1,則y=-1,

所以矩陣M另一個特征值為-1,

-1

對應(yīng)的一個特征向量￡=

-1

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題.

19.（I）y=—（x+1）；（II）a=l；（ffl）證明見解析

【解析】

(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

(II)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，并構(gòu)造函數(shù)h(x)=/(￡)-依根據(jù)單調(diào)性分析可得h(x)只能在％=0處取得最小值求解

即可.

(III)根據(jù)(I)(II)的結(jié)論可知/'(X”=(X+1)"(尤)2尤在R上恒成立，再分別設(shè)b=X(x+l)〃=工的

ee

解為/、%.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.

【詳解】

(I)由題/'(%)=/_1+(%+1)/,故/.且y(-i)=0.

e

故f(x)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線方程為y=/(x+1).

(II)設(shè)T(x)=/(%)—◎=(x+l)(e—1)—61x20恒成立，故/z'(x)=(x+2)/-a-l.

設(shè)函數(shù)0(x)=(x+2”*則0〈x)=(x+3)e”,故0(x)=(x+2)*在(-00,-3)上單調(diào)遞減且又°(x)在

(-3,+8)上單調(diào)遞增.

又40)=2,即〃(0)=1—a且"⑼=0,故h[x)只能在％=0處取得最小值，

當(dāng)°=1時，此時"(x)=(x+2)e*—2,且在(口,0)上勿(力<0,網(wǎng)力單調(diào)遞減.

在(0,+。)±/i'(%)>0,//(x)單調(diào)遞增.故/i(x)>/i(0)=0,滿足題意；

當(dāng)a>1時，此時0(x)=(x+2)e*=a+1有解/〉0,且/z(九)在(0,5)上單調(diào)遞減，與h(x)>/i(0)矛盾；

當(dāng)a<1時，此時0(x)=(%+2)e*=a+1有解—3</<0,且%⑶在(％,0)上單調(diào)遞減，與h(x)>/z(0)矛盾；

故。=1

(III)/(1)="-1+(%+1)，=(%+2)，—1.由(I),/。)=(無+2)/—1在3)上單調(diào)遞減且廣⑴<0,

又/,(x)在(—3,+8)上單調(diào)遞增，故尸⑴=0最多一根.

又因?yàn)槭?―1)=(—1+2)——1=/—1<0,尸(0)=(0+2”°—1=1>0,

故設(shè)尸⑺=。的解為％=/,因?yàn)?(T)?尸⑼<0,故f?T,0).

所以在(f/)遞減，在&+8)遞增.

因?yàn)榉匠?(%)=人有兩個實(shí)數(shù)根為甚,故。.

1-e

結(jié)合（i）（II）有y（x"（%+1）,/（龍）2%在人上恒成立.

e

設(shè)沙=^^（%+1）的解為易,則與V%；設(shè)b=x的解為％,則%

e

故%3=-----1，/=b.

1-e

eb

故工2—X]VX4—X3V匕+1H----，得證.

e-1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的

結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.

20.（1）x2=4y（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線方程為>=彳+5，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，設(shè)丸的方程為丁-?=左（%-%）,聯(lián)立方程得/+%=必，同理可得/+/=-4左，進(jìn)而得到

%+和=-2/，再利用點(diǎn)差法得直線CD的斜率，利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線/的斜率，進(jìn)而可得戊與少互補(bǔ).

【詳解】

（1）由題意設(shè)直線A5的方程為y=x+f令A(yù)。,%）、B（4，%），

聯(lián)立I一一2，得9―3加+2=0

x2=2py4

%+%=3,，

根據(jù)拋物線的定義得IM=yl+y2+P=4p,

又|AB|=8,.?.4p=8，2=2

故所求拋物線方程為好=4人

（2）依題意，設(shè)p（x0,五），C（%,五）,以程,修）

設(shè)k的方程為y-^-=k(x-x0),與必=4》聯(lián)立消去丁得丁—4履+4為一%；=0,

/.%o+%=4左，同理xQ+xD=-4k

22

x-xii

?二%+程=-2%0，直線8的斜率左CQ一L-=-(X+X)=--x

4(%—%)4CD20

切線I的斜率&=yX』=；%,

由瓦+kCD—0,即a與夕互補(bǔ).

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線斜率的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.

21.(1)見解析；(2)叵

7

【解析】

(1)首先由線面平行的判定定理可得所〃平面5C。，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證；

(2)以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD,54所在的直線分別為二z軸，以過點(diǎn)3且垂直于6。的直線為工軸建立空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；

【詳解】

ATAF

解：(1)由七——，EF//CD

AD

又EW平面5CD,。。匚平面5。。，所以所〃平面5CD.

又EFu平面BEF,且平面BCD平面5EF=/,

故EF〃/.

(2)因?yàn)锳3,平面5C。，所以ABLC