河南省南陽市2021年高二年級下冊期中考 數(shù)學（文） 含解析

2021年春期高中二年級期中質(zhì)量評估

數(shù)學試題（文）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，考生做題時將答案答在答題卡

的指定位置上，在本試卷上答題無效.

2.答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素

筆書寫，字體工整，筆跡清楚.

4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.

5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.

第I卷選擇題（共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.在復平面內(nèi)，與復數(shù)z=3-4i的共輾復數(shù)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.我們把平面幾何里相似概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就稱

它們是相似體，給出下面的幾何體：

①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐，則一定是相似體的

個數(shù)是（）

A4B.2C.3D.1

3.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達

圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不

正確的是

七月

--平均最低氣溫—平均最高氣溫

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B,七月平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

4.如圖所示，在復平面內(nèi)，0P對應的復數(shù)是1—i,將向左平移一個單位后得到QK,則尸0對應

C.-1-iD.-i

5.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關系，在20個不同的溫

度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（%,%）?=1,2,,20）得到下面的散點圖：

由此散點圖，在1CFC至4CTC之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程

類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx1

C.y=a+bexD.y=a+bln無

6.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1,2,3,4號位子上（如圖），第一次前后排動物互

換座位，第二次左右列動物互換座位，…，這樣交替進行下去，那么第2021次互換座位后，小兔的座位對

7.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測.

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為（）

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

8.用反證法證明命題：“若函數(shù)=f+px+q,那么|〃1）?！?）,/（3）中至少有一個不小于9

時，反設正確的是（）

A.假設〃⑴|“（2）,『（3）|,都不小于3

B.假設『⑴都小于3

C.假設至多有兩個小于，

D.假設至多有一個小于g

9.周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素的認識，是中華

人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法，我們用近代術語解釋為：把陽爻-----"當

作數(shù)字“1"，把陰爻""當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：

卦表示的二進制表示的十進制

符號

名數(shù)數(shù)

——

坤0000

艮——0011

——

坎0102

巽—0113

依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為，喜”，其表示的十進制數(shù)是（）

A.33B.34C.35D.36

10.某地一農(nóng)業(yè)科技實驗站，對一批新水稻種子進行試驗，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8,種子發(fā)芽

后的幼苗成活率為0.9,在這批水稻種子中，隨機地抽取一粒，則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為

A.0.02B.0.08C.0.18D.0.72

11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為

概率0.4,甲乙之間沒有平局且局與局之間相互不受影響，則恰好比賽4局結束比賽的概率是.

16.將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有1x12,2x6,3x4三種，又3x4是這三種分解中兩數(shù)的差最小

的，我們稱3x4為12的最佳分解，當〃xq（pKq）是正整數(shù)”的最佳分解時，我們規(guī)定函數(shù)/（〃）=/,

例如尸（12）=w，下列有關函數(shù)/（〃）=j的說法，正確的是：（把正確的答案題號都填上）.

311

①網(wǎng)4）=1；②尸（24）=§；③*27）=§；④若九是一個質(zhì)數(shù)，則外”）=/⑤若〃是一個完全平方

數(shù)，則歹⑺=1.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知復數(shù)z=（1+（+3（l—i）,（i為虛數(shù)單位）.

2+i

（1）求忖；

（2）若z2+az+b=l+i，求實數(shù)人的值.

18.在ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且工+工=2,求證：角B為銳角.

acb

19.某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)

得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這

天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認

為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

Pg次)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

20.某城市理論預測2015年到2019年人口總數(shù)與年份的關系如下表所示

年份20152016201720182019

時間代號X01234

人口總數(shù)(十萬)5781119

(1)請用相關系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與X之間關系可用線性回歸模型進行擬合；

(2)求出y關于X的線性回歸方程y=%+a；

(3)據(jù)此估計2021年該城市人口總數(shù).

參考公式：相關系數(shù)r=I"I”,對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)

(x,.,y.)(z=1,2,3,；n),其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計分別為

b=亙一^-------------,a=y-bx.

大西―可2

1=1

21.下面圖形都是由小正三角形構成的，設第〃個圖形中的黑點總數(shù)為f(n).

⑴求〃2)J(3)"(4)J⑸的值；

⑵找出了⑺與/("+1)的關系，并求出f(n)的表達式.

△a

①②③@

22.己知函數(shù)/(x)=lnx+at2—6x(a,beH),函數(shù)/(九)在點(1,7(功處的切線方程為丁=一2.

(1)求函數(shù)/(%)的極值；

(2)對于任意占,馬81,3],當當＜々時，不等式/(西)—/(/)＜見：[~)恒成立,求實數(shù)加的取

值范圍.

2021年春期高中二年級期中質(zhì)量評估

數(shù)學試題（文）

注意事項：

i.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，考生做題時將答案答在答題卡

的指定位置上，在本試卷上答題無效.

2.答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆

書寫，字體工整，筆跡清楚.

4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.

5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.

第I卷選擇題（共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.在復平面內(nèi)，與復數(shù)z=3-4i的共輾復數(shù)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】得到共軌復數(shù)及對應的點的坐標，求出所在象限.

【詳解】復數(shù)z=3—4i的共輒復數(shù)為』=3+4i，故對應的點的坐標為（3,4）,位于第一象限.

故選：A

2.我們把平面幾何里相似的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就稱它

們是相似體，給出下面的幾何體：

①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐，則一定是相似體的個

數(shù)是（）

A.4B.2C.3D.1

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)題意，結合題中所給的新定義，根據(jù)形狀相同，大小不一定相同的幾何體被視為相似體，

逐一判斷，可得結論.

詳解：兩個長方體的長寬高的比值不能確定，兩個正三棱柱的高與底面邊長的比不能確定，兩個正四棱錐

的高與底面邊長不能確定，所以②④⑤不能確定是正確的，

只有所有的球體和所有的正四面體都是相似體，所以有兩個是正確的，故選B.

點睛：該題屬于新定義的問題，屬于現(xiàn)學現(xiàn)用型，這就要求我們必須把握好題中的條件，然后對選項中的

幾何體逐一判斷，最后求得結果.

3.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達

圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正

確的是

七月

--平均最低氣溫—平均最高氣溫

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：由圖可知各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確；由圖可知在七月的平均溫差大于

7.5℃,而一月的平均溫差小于7.5℃,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；由圖可知三月

和十一月的平均最高氣溫都大約在10℃,基本相同，C正確；由圖可知平均最高氣溫高于20℃的月份有7,

8兩個月，所以不正確.故選D.

【考點】統(tǒng)計圖

【易錯警示】解答本題時易錯可能有兩種：（1）對圖形中的線條認識不明確，不知所措，只覺得是兩把雨傘

重疊在一起，找不到解決問題的方法；（2）估計平均溫差時易出現(xiàn)錯誤，錯選B.

4.如圖所示，在復平面內(nèi)，0P對應的復數(shù)是1—i,將OP向左平移一個單位后得到Q片，則Po對應的

復數(shù)為（）

o0

A.1-iB.l-2i

C.-1-iD.-i

【答案】D

【解析】

【分析】要求Po對應的復數(shù)，根據(jù)題意，只需知道。右，而。q=OQ+Q《，從而可求Po對應的復數(shù)

【詳解】因為Q《=OP,0Q對應的復數(shù)是一1,

所以R）對應的復數(shù)，

即。發(fā)對應的復數(shù)是T+（l—i）=T,故選D.

【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復平面內(nèi)復數(shù)、向量及點的對應關系，是基礎題.

5.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關系，在20個不同的溫

度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（冷％）G=1,2,,20）得到下面的散點圖：

100%|---------------------------------------------------------------------

80%|--------

工---------r1-----------------------------------

送40%I*-------------------------------------------------

20%---------------------------------------------------------------------

QI1AAJ

01020304041?,C

由此散點圖，在i（rc至4（rc之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度尤的回歸方程類

型的是（）

A.y^a+bxB.y^a+bx1

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.

【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，

因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y=a+blnx.

故選：D

【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎題.

6.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1,2,3,4號位子上（如圖），第一次前后排動物互換

座位，第二次左右列動物互換座位，…，這樣交替進行下去，那么第2021次互換座位后，小兔的座位對應

的是（

鼠猴貓

333

第一次第二次第三次

A.編號1B.編號2C.編號3D.編號4

【答案】A

【解析】

【分析】先通過換位的規(guī)則得到周期，再根據(jù)周期得答案.

【詳解】根據(jù)換位的規(guī)則，可得第四次，第五次，第六次，第七次換座后的結果如下圖:

1鼠21兔川21小兔21猴鼠2

猴貓貓

兔貓鼠猴猴鼠貓兔

34343434

第四次第五次第六次第七次

據(jù)此可以歸納得到：四個小動物在換座位的過程中，每換座位四次就會與原來一樣，即以4為周期，因此

在2021=4x505+1次換座位后，四個小動物的位置應該是和第1次換座位后的位置一樣，即小兔的座位

對應的編號是1.

故選：A.

7.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測.

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為（）

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

【答案】A

【解析】

【分析】利用逐一驗證的方法進行求解.

【詳解】若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為

甲，乙，丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成

績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙預測正確，不符合題意，故選A.

【點睛】本題將數(shù)學知識與時政結合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎知識、邏輯推

理能力的考查.

8.用反證法證明命題：“若函數(shù)那么|〃1）|,|〃2）,|〃3）|中至少有一個不小于9

時，反設正確的是（）

人假設|〃1）|,〃（2）|“（3）,都不小于3

B.假設都小于1

C.假設7（1）,『（2）|,〃（3）|,至多有兩個小于，

D.假設〃⑴M〃2）|”（3）|,至多有一個小于/

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)反證法的知識確定正確選項.

【詳解】由反證法可知，“若函數(shù)/⑴=三+夕%+小那么中至少有一個不小于g

”，反設正確的是“假設都小于?.

故選：B

9.周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素認識，是中華

人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法，我們用近代術語解釋為：把陽爻“——”當

作數(shù)字“1”，把陰爻“——”當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：

卦表示的二進制表示的十進制

符號

名數(shù)數(shù)

坤三三0000

艮——0011

——

坎0102

巽0113

依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為，言言”，其表示的十進制數(shù)是（）

A.33B.34C.35D.36

【答案】B

【解析】

【分析】先確定二進制數(shù)，再化為十進制數(shù)即可.

【詳解】根據(jù)條件可得符號為“妾”表示的二進制數(shù)為100010,

則其表示的十進制數(shù)是0義2°+1x21+0x22+0x23+0x24+1x25=34.

故選：B.

10.某地一農(nóng)業(yè)科技實驗站，對一批新水稻種子進行試驗，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8,種子發(fā)芽后

的幼苗成活率為0.9,在這批水稻種子中，隨機地抽取一粒，則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為

A.0.02B.0.08C.0.18D.0.72

【答案】D

【解析】

【詳解】設“這粒水稻種子發(fā)芽”為事件A,“這粒水稻種子成長為幼苗”為事件AB,“這粒水稻種子發(fā)芽后又

能成長為幼苗”為事件B|A,由P(A)=0.8,P(B|A)=0.9,得P(AB)=P(B|A)P(A)=0.9x0.8=0.72,即這粒種

子能成長為幼苗的概率為0.72.

考點：條件概率.

11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為

A.1B.3C.7D.15

【答案】C

【解析】

【詳解】當左=0時，S=l；當％=1時，S=l+2=3；當左=2時，S=3+4=7；當左=3時，

輸出S=7,故選C.

考點：本小題主要考查程序框圖的基礎知識，難度不大，程序框圖是高考新增內(nèi)容，是高考的重點知識,

熟練本部分的基礎知識是解答的關鍵.

12.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第〃行有〃個數(shù)且

兩端的數(shù)均為工（〃之2），每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如！=,+!，

n122236

，則第7行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）

3412

1

T

22

2

y~63

1i1j_

712127

111

203020~5

1111

B.——C.—D.

1401056042

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題設數(shù)陣的定義依次求出a（7,2）、，a（6,2）、a（7,3）、a（6,3）、a（7,4）,即得結果.

【詳解】記第w行的第機個數(shù)為由題意知。（6,l）=±a（7,l）=L,

67

1

所以a（7,2）=a（6,l）-a,a（6,2）=a（5,l）-a（6,l）=,

-42!

111,a（6,3）=a（5,2）_a（6,2）=g—

?（7,3）=?（6,2）-a（7,2）=

30~42~105,

111

a（7,4）=?（6,3）-a（7,3）

60-105--140

故選：A

第II卷非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)巴金的實部與虛部相等，則實數(shù)。=

21

【答案】-3

【解析】

【分析】化簡復數(shù)為——―,利用復數(shù)的實部與虛部相等，即可求出

22

【詳解】因為"出=（。+3）=3一色,

2i-222

由題意知三=—幺，解得a=—3.

22

故答案：—3.

【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎題.

14.某工程的工序流程圖如圖（工時單位：天），現(xiàn)已知工程總時數(shù)為10天，則工序c所需工時數(shù)為

天.

②

、上…/1

【答案】4

【解析】

【分析】設工序C所需工時數(shù)為X天，按照不同流程計算求解即可.

【詳解】設工序C所需工時數(shù)為X天，

按①一③一④一⑥一⑦一⑧所需工時為0+2+3+3+1=9（天），

按①一②f④f⑥f⑦一⑧所需工時為1+0+3+3+1=8（天），

故按①f②f⑤f⑦f⑧所需工時應為10天，

則l+x+4+l=10,解得x=4.

故答案為：4.

15.甲乙兩人比賽，比賽的規(guī)則為連勝兩局者獲勝，比賽結束.已知甲每局獲勝的概率0.6,乙每局獲勝的

概率0.4,甲乙之間沒有平局且局與局之間相互不受影響，則恰好比賽4局結束比賽的概率是.

78

【答案】0.1248#——

625

【解析】

【分析】分甲勝乙勝甲勝甲勝和乙勝甲勝乙勝乙勝兩種情況求解.

【詳解】恰好比賽4局結束比賽，則4局比賽為：

情形一：甲勝乙勝甲勝甲勝，情形二：乙勝甲勝乙勝乙勝，

所以恰好比賽4局結束比賽的概率

P=0.6x0.4x0.6x0.6+0.4x0.6x0.4x0.4=0.1248.

故答案為：0.1248

16.將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有1x12,2x6,3x4三種，又3x4是這三種分解中兩數(shù)的差最小

的，我們稱3x4為12的最佳分解，當。是正整數(shù)〃的最佳分解時，我們規(guī)定函數(shù)/（〃）=:,

例如尸（12）=；,下列有關函數(shù)/（〃）=:的說法，正確的是：（把正確的答案題號都填上）.

311

①/（4）=1；②尸（24）=:；③/（27）=彳；④若九是一個質(zhì)數(shù)，則*〃）=—；⑤若”是一個完全平方

83n

數(shù)，則F5）=1.

【答案】①③④⑤

【解析】

【分析】根據(jù)“最佳分解”的定義求解即可.

2

【詳解】對于①：由題意得，4的最佳分解為2x2,所以/（4）=萬=1,故①正確；

423

對于②，由題意得，24的最佳分解為4x6,所以尸（24）=彳=§7§,故②不正確；

31

對于③，由題意得，27的最佳分解為3x9,所以/（27）=g=§,故③正確；

對于④，若“是一個質(zhì)數(shù)，則〃的最佳分解為lx〃，所以尸（刈=!，故④正確；

n

對于⑤，若“是一個完全平方數(shù)，則〃的最佳分解可以設為〃=所以歹（〃）=：=1,故⑤正確.

故答案為：①③④⑤.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知復數(shù)z=（1+1）+3（l—i）,（i為虛數(shù)單位）.

2+i

（1）求目；

（2）若z2+az+b=l+i，求實數(shù)值.

【答案】（1）V2

a=-3

⑵1,

b=4

【解析】

【分析】（1）利用復數(shù)乘除計算求出復數(shù)Z代數(shù)形式，再求模即可；

（2）代入z,然后利用復數(shù)相等列方程求解.

【小問1詳解】

（l+i）2+3（l-i）3-i（3-i）（2-i）5-5i?

=2+i2+i（2+i）（2-i）5

則忖=A/2；

【小問2詳解】

z?+az+b=（1—i）~t~a（l—i）+Z?=a+Z?—（2+a）i,

因為i+QZ+bul+i，

所有[—a+b=la=-3

（2+a）=l解得《

b=4

18.在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且工+工=2,求證：角3為銳角.

acb

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】利用反證法，假設13為直角或鈍角，然后利用邊角關系找出矛盾，從而證明角3為銳角.

【詳解】假設為直角或鈍角，此時NANC為銳角，

必有,即b＞a"＞c,

.,,1111口，211—112?

所cr以?。家?：＜一,所以一＜--F—,與--1—=—矛盾，

babebacacb

故假設不成立，

所以角B為銳角.

19.某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)

得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200]（200,400]（400,600]

空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）;

(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這

天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為

一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關?

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)3+d)

P(爛決0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2,3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、0.09；(2)

350；(3)有，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2、3、4的概率；

(2)利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以100可得結果；

(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2x2列聯(lián)表，計算出AT?的觀測值，再結合臨界值表可得結論.

【詳解】(1)由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為----------=0.43,等級為2的

100

概率為5+10+12=0.27,等級為3的概率為6+7+8=0.21,等級為4的概率為工±2±9=0.09；

100100100

(2)由頻數(shù)分布表可知，一天中至U該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為IOOX2O+SOOXSS+SOOX,SMBSO

100

(3)2/2列聯(lián)表如下:

人次4400人次＞400

空氣質(zhì)量好3337

空氣質(zhì)量不好228

K?_100x(33x8-37x22『

-5.820>3.841-

55x45x70x30

因此，有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關.

【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數(shù)據(jù)處理能

力，屬于基礎題.

20.某城市理論預測2015年到2019年人口總數(shù)與年份的關系如下表所示

年份20152016201720182019

時間代號X01234

人口總數(shù)（十萬）5781119

（1）請用相關系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中）與x之間的關系可用線性回歸模型進行擬合;

（2）求出y關于X的線性回歸方程y=/x+a；

（3）據(jù)此估計2021年該城市人口總數(shù).