幾何類比探究題型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧（解析版）

幾何類比探究題型

圖形旋轉(zhuǎn)模型

圖形平移模型探究

幾何類比探究題限動(dòng)點(diǎn)引起的題型探究

鋪墊、遷移、拓展類探究題型

幾何的類比探究題型是近年中招解答題的必考題型，該題型往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，有一定的難度。

探究型問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的一類問題.根據(jù)

其特征大致可分為:條件探究型、結(jié)論探究型、規(guī)律探究型和存在性探究型等四類。由于探究型試題的知識(shí)覆

蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高,再加上題意新穎,構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要

求同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí),首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類試題的練

習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.

模型01圖形旋轉(zhuǎn)模型

模型一、A字形（手拉手）及其旋轉(zhuǎn)

模型二、K字型及其旋轉(zhuǎn)

手拉手模型是有兩個(gè)等腰的三角形或者兩個(gè)等邊的三角形，他們有一個(gè)共同的頂點(diǎn),且兩個(gè)等腰三

角形的頂角是相等的，那么就可以用角的和差求得共頂點(diǎn)的另外兩個(gè)角相等等，然后利用等腰的邊對(duì)應(yīng)

相等,可證明兩個(gè)三角形全等（邊角邊）組成這樣的圖形模樣的我們就說他是手拉手模型。在類比探究題

型中,往往會(huì)對(duì)等腰三角形或者等邊三角形進(jìn)行演變，變成一般三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn),通常全等三角形變?yōu)橄?/p>

似三角形。

模型特征:雙等腰;共頂點(diǎn);頂點(diǎn)相等;繞著頂點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)

解題依據(jù):等腰共頂手拉手,旋轉(zhuǎn)全等馬上有;左手拉左手,右手拉右手,兩根拉線抖一抖,它們相等不用

愁;拉線夾角與頂角，相等互補(bǔ)答案有。

模型02圖形平移模型探究

1.四邊形平移變換

四邊形的平移變換題型中主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移幾何性質(zhì)、三

角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等或相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，

注意分類討論.

2.三角形平移變換

三角形平移變換主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，平移性質(zhì)、

平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法.

3.其它圖形平移類比探究問題

綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

模型03動(dòng)點(diǎn)引起的題型探究

動(dòng)點(diǎn)型問題是指題設(shè)中的圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線、直線、拋物線、雙曲線、弧線等

上運(yùn)動(dòng)的一類非常具有開放性的題目。而從其中延伸出的折疊、旋轉(zhuǎn)問題,更能體現(xiàn)其解題核心--動(dòng)中求

靜，靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，有時(shí)需要借助或構(gòu)造一些數(shù)學(xué)模型來解答。

實(shí)行新課標(biāo)以來，各省（市）的中考數(shù)學(xué)試卷都會(huì)有此類題目，這些題目往往出現(xiàn)在選擇、填空題的壓軸部

分，題型繁多，題意新穎,具有創(chuàng)新力.其主要考查的是學(xué)生的分析問題及解決問題的能力。要求學(xué)生具備:運(yùn)

動(dòng)觀點(diǎn)；方程思想;數(shù)形結(jié)合思想;分類討論思想;轉(zhuǎn)化思想等等。

模型04鋪墊、遷移、拓展類探究典型

鋪墊、遷移、拓展類探究題型由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模

式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：1.利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行

歸納、概括,從特殊到一般,從而得出規(guī)律；2.反演推理法（反證法）,即假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看

是推導(dǎo)出矛盾還是能與己知條件一致；3.分類討論法.當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不惟一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，

則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)

果；4.類比猜想法.即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法,并加以

嚴(yán)密的論證.以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時(shí),應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜

合運(yùn)用。

廷結(jié)?建型鈾建

模型01圖形旋轉(zhuǎn)模型

老I向I項(xiàng)I惻

???

圖形旋轉(zhuǎn)模型該題型近年主要以解答題形式出現(xiàn)，圖形的旋轉(zhuǎn)模型,在解答題目時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的一道

題目，也是必考題型,手拉手模型是旋轉(zhuǎn)模型中常見的一種題型，熟知手拉手模型的做法和思路,不論是

求證線段的關(guān)系，還是求證角度的關(guān)系都十分的簡(jiǎn)單了，本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析,

方便掌握。

答I題I技I巧

第一步：連接拉手線:左手拉左手，右手拉右手

第二步：證全等或相似:等腰三角形性質(zhì)；SAS；證相似應(yīng)用的方法為兩邊成比例，夾角相等;

第三步:利用全等或相似的性質(zhì)得到角度關(guān)系+拉手線相等;

［即型品vT

血］1（2023?山東）

⑴【問題呈現(xiàn)】如圖1,A4BC和△ADE都是等邊三角形，連接CE.求證：BD=CE.

（2）【類比探究】如圖2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，乙4BC=乙4OE=90°.連接BD,CE.

請(qǐng)直接寫出黑的值.

CE

⑶【拓展提升】如圖3,/\ABC和AADE都是直角三角形，AABC=4ADE=90°,且然=慧=告.

連接BD,CE.

①求黑的值；

②延長CE交BD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G.求sinZBFC的值.

【答案】（1）見解析

⑵w

⑶①去②菅

【詳解】(1)證明：；AABC和AADE都是等邊三角形,

AD=AE,AB=AC,/DAE=ABAC=60°,

：.NDAE-NBAE=ZBAC-NBAE,

ABAD=/CAE,

ABAD空△CAE(SAS),

：.BD=CE-,

⑵解：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

?M

???笫=笫=圭"的=/=45。,

???/DAE-ABAE=ABAC-/BAE,

???/BAD=/CAE,

：.^BAD^/\CAE,

.BD=AB=1=戊.

,?育一左一不一丁、

（3）解:①第=普=曰，AABC=AADE=90°,

ACDE/4

???dABC?AADE,

?.?/如。=。4及第=黑=小

：.4CAE=4BAD,

???ACAE?ABAD,

.BD_AD_3

9，~CE~^E~~5；

②由①得：ACAE?ABAD,

：./ACE=4ABD,

?/AAGC=ABGF,

??.ABFC=ABAC,

：.sinZBFC=4§-=4-

AC5

模型02圖形平移模型探究

考I向I翻I惻

圖形平移模型探究該題型主要以探究題型出現(xiàn),在考試中需要學(xué)生結(jié)合圖形平移的性質(zhì)綜合運(yùn)用所學(xué)幾

何知識(shí)進(jìn)行解題,該題型具有一定的難度和綜合性，在各類考試中得分率普遍較低。掌握平移的性質(zhì),根

據(jù)平移前后圖形位置的變化找出對(duì)應(yīng)的全等或相似三角形，求出對(duì)應(yīng)的邊長或角度。

答I題I技I巧

第一步：觀察圖形經(jīng)過平移,找對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等,對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行

且相等；

第二步：根據(jù)平移性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)結(jié)論，平移不改變圖形的形狀、大小和方向（平移前后的兩個(gè)圖形是全

等形），圖形平移前后的形狀和大小沒有變化,只是位置發(fā)生變化；

第三步：圖形平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段平行（或在同一直線上）且相等；

第四步：平移是由方向和距離決定的；

|霞型:￥：<5,1

畫2（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）問題背景:如圖1,在四邊形ABCD中，BC=2遍,CD，AD,/ABC=30°,

AACB=90°,將△ACD沿翻折,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上.?M

c

EA'

備用圖

⑴操作探究

連接DE,判斷△CDE的形狀，說明理由；

（2）探究遷移

將△ACD沿射線AB平移得到（點(diǎn)力、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為月、。、,當(dāng)點(diǎn)人的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A與

點(diǎn)E重合時(shí)，求四邊形AED。的周長；

（3）拓展創(chuàng)新

將4ACD繼續(xù)沿射線AB平移得到△A'C'D（點(diǎn)力、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為從C'、D'）,力'。'與8。交于點(diǎn)

M，且,將ixAC'n繞點(diǎn)M在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)。'。7/CE時(shí)，直接寫出44'的長.

【答案】（l）Z\CDE是等邊三角形，理由見詳解

（2）4

（3）3或V7

【詳解】（1）證明：△CDE是等邊三角形，

連接OE,如圖，

/\ACD沿AC翻折，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,

：.CD=CE,^CAB=ACAD,NCDA=NCEA,

■：/ABC=3Q°,^ACB=90°,CD±AD,

：./CAB=60°,ZCDA=ACEA=90°,

ZDAE=120°,

貝"ZDCE=60°,

那么，△CDE是等邊三角形；

⑵

AACZ?沿射線AB平移得到△nc'z?

:.AD//Aiy,DE>//AA,

/.四邊形AEZXD為平行四邊形，

/XACD沿AC翻折，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,

：.AD—AE,

則四邊形AEDD為菱形，

BC=2V3,AABC=30°,

AC=2,AB=4,

/CAB=60°,

AB=1,CE=B

則。田邊衫AEOD=4AE=4;

⑶過點(diǎn)”作MF〃人B交4。于點(diǎn)F,連接DF,如圖，

,：4ACD繼續(xù)沿射線AB平移得到△ACD,

四邊形AAAiP為平行四邊形，

ZCFM=/CAB=60°,AA=MF,4CFM?△CAB,

?：BM=CM,

.CF_CM

"~CA~~CB~^2,

.?.點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，

/.DF=FA,得ZDFA=60°,

那么，o、F、zy和M■在同一條直線上，

由（1）知/石CD=60°,CD=CE,

當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)得到CD7/CE,則77位于直線AB上,

CC

AED'A'B

；點(diǎn)尸為4。中點(diǎn)，BM=CM,

：.Aiy=FM=^-AB=2,

?.?￡M'=AD=1

44'=⑷7+以4'=3;

當(dāng)CU順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°時(shí)得到CO//CE,則。位于直線上,

由旋轉(zhuǎn)得AD7/AB,C'U=AK=CE=V3,AK=FM=2,

AA=^AK2+AK2=V7,

綜上所述，44'的長為3或V7.

模型03動(dòng)點(diǎn)引起的題型探究

動(dòng)點(diǎn)引起的題型探究是近年來中考的一個(gè)重難點(diǎn)問題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化

規(guī)律,從而確定某一圖形的存在性問題.隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出

現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題。解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律抓

住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)。解決運(yùn)動(dòng)型試題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究

圖形,把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系,并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或

特殊關(guān)系。

答I題I技I巧

第一步：分析題目；

第二步：依據(jù)落點(diǎn)定折痕；

第三步：建立對(duì)應(yīng)幾何模型；

第四步：設(shè)出未知數(shù)列方程求解；

第五步：得到結(jié)論。

］或型守＜5'1

（13（2024.遼寧丹東?模擬預(yù)測(cè)）【問題背景】

某數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行研究.如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，4點(diǎn)坐標(biāo)為（8,

0）,P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以O(shè)F、AP為邊在①軸同側(cè)做正方形OPCB與正方形P4ED,設(shè)P

點(diǎn)坐標(biāo)為（t,0）.

【問題思考】

⑴在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)中，設(shè)正方形OPCB的面積為8,正方形PAED的面積為52,當(dāng)S+S2=40時(shí)，求點(diǎn)P坐

標(biāo).

⑵分別連接OC、CE、OE,OE交CP于點(diǎn)K,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)△OCE的面積為S,求S與1的函數(shù)表

達(dá)式.

【問題拓展】

（3）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為⑴問結(jié)果時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)K的坐標(biāo).

⑷如圖2,若點(diǎn)M坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)F,G分別為邊BC,DE的中點(diǎn)，F(xiàn)G的中點(diǎn)為Q,連接,當(dāng)點(diǎn)

P從。到A的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)求出QM+QA的最小值.

【答案】⑴⑵0）或（6,0）;（2）S=（3）點(diǎn)K的坐標(biāo)為（2,弓）或（2,—日）或（6,得）或（6,（4）屈

???

【詳解】解：⑴'P點(diǎn)坐標(biāo)為（力洋），丁點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）,

OP=t,AP=8—t,

當(dāng)Si+Si=40時(shí),得t2+（8-1）2=40,

解得ti—2,t2=6,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0）或（6,0）;

⑵連接PE,

四邊形OPCB,PAED均為正方形,

OC//EP,

S=SAOPC=~OP^=

（3）①當(dāng)OP=t=2時(shí)，$=5廿=2,

/.2=~CK-（OP+AP）=4CK,

■■-CK=i'PK=^

：.當(dāng)正方形OPCB與正方形P4ED在立軸上方時(shí)為（2,卷），

當(dāng)正方形OPCB與正方形PAED在工軸下方時(shí)4（2,—日）；

②當(dāng)OP=±=6時(shí),-1-t2=yx62=18=4CK,

：.CK=Q^,PK=3^,

當(dāng)正方形OPCB與正方形PAED在o;軸上方時(shí)笛（6,告），

當(dāng)正方形OPCB與正方形PAED在立軸下方時(shí)區(qū)4（6,-~1）,

綜上所述,點(diǎn)K的坐標(biāo)為或（2,―或（6,等）或（6,—■卜

則QN//GK,NL=OB=OP=HK=t,GH=AE=AP=8—t,

GK=GH-HK=8-2t,

?.?Q為FG的中點(diǎn)，

QN—~^GK=4—t,QL—QN+NL=4—t+t=4,

即Q點(diǎn)在平行于a；軸且到立軸距離為4的線段RS上.

如答圖3,作M■關(guān)于RS的對(duì)稱點(diǎn)M,連接AM,交&S于Q,此時(shí)QM+QA有最小值，即為AM',

則MM'=4x2=8,

?：OM=3,

AM=5,

在RtAAMM'中,AM'=^MM'2+AM'2=A/82+52=V89.

模型04鋪墊、遷移、拓展類探究星型

考|向|顆|惻

鋪墊、遷移、拓展類探究題型解決該類問題的關(guān)鍵是要認(rèn)真仔細(xì)地閱讀給定的材料,弄清材料中隱含了什么

新的數(shù)學(xué)知識(shí)、結(jié)論，或揭示了什么數(shù)學(xué)規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法,然后依題意進(jìn)行分析、比較、綜合、

抽象和概括，或用歸納、演繹、類比等進(jìn)行計(jì)算或推理論證,并能準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言闡述自己的思想、方法、觀

點(diǎn).展開聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識(shí)、新方法進(jìn)行遷移，建模應(yīng)用，解決題目中提出的問題。該題型在考試

中主要以解答題的形式出現(xiàn)，題目一般較長，需要學(xué)生具有一定的閱讀和理解的能力，同時(shí)該題型具有一定的

難度,得分率較低,需要我們認(rèn)真對(duì)待。

答I題I技I巧

第一步：首先利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從

而得出規(guī)律；

第二步：反演推理:假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致；

第三步：分類討論：當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到

既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果；

第四步：類比猜想：即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，并

加以嚴(yán)密的論證。

或型不例

題4（2023?湖北武漢）【感知圖形】

點(diǎn)P是矩形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,DP,將AABP、/\DCP分別沿AP,DP翻折,得到

△APP、^DC'P.

【問題探究】

⑴如圖LPF交人。于點(diǎn)A/,PC交人。于N,N在M的右側(cè)，求證：PM+MN+PN=AD；

【問題拓展】

（2）將圖1特殊化，當(dāng)P、8、。共線時(shí)，稱點(diǎn)P為邊上的“疊合點(diǎn)”.如圖2,在矩形ABCD中，AB

4,3。=10,點(diǎn)？為6。邊上的“疊合點(diǎn)”,且電3〈。尸,求0?的長；

【答案】（1）見詳解；（2）475

圖1?.?四邊形ABCD是矩形，

：.AD//BC,

：.ZAPB=ZPAM,

由翻折的性質(zhì)可知ZAPS=AAPM,

/.AAPM=APAM,

：.MA=MP,

同法可證NP=DN,

PM+MN+KN=AM+MN+DN=AD;

(2)四邊形ABCD是矩形，

：.AB=CD^4,AD=BC=10,/B=/C=90°,

設(shè)CP=a;,則BP=10—H,

由BP<CP得10—a;Va;,則x>5,

在RtAABP中，AP2=AB2+BP2=42+(10-x)2,

在Rt^CDP中，DP?=CD2+CP2^42+rc2,

由折疊的性質(zhì)可知，AAPB=NAPS',ZDPC=ADPC,

/.Z.APD=NAPB+/DPC=J(/8PF+/CPC)=90°,

在Rt/XAPD中，AD?=AP2+DP2,

102=42+(10-a;)2+42+x2,

解得x=2(舍)或2=8,

當(dāng)CP=8時(shí)，DP=YdB=d8?+42=;

.?.OP的長為4V5.

京題?強(qiáng)牝疝I續(xù)

目上（2023?福建）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，連接AF,以AF為對(duì)角線作正方形

AEFG,邊FG與A。相交于點(diǎn)H,連接。G.以下四個(gè)結(jié)論：

①2EAB=ABFE=NDAG；

②△ACF?△ADG；

@DG±AC.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②④

【詳解】解:設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)O,如圖所示,

?/四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，

NB=/E=90°,/EAG=ABAD=90°.

又；NAOE=NBOF,

：.NEAB=NBFE.

?：NEAG-/BAG=ABAD-ABAG,

NEAB=/DAG,

：.NEAB=ABFE=ADAG,

故結(jié)論①正確；

?/AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的對(duì)角線,

AC=V2AD,AF=V2AG,

"ADAG

又?/AFAG=ACAD=45°,

ZFAG—NGAH=ACAD-AGAH,

即NFAC=ZGAD.

：.AACF-AADG.

故結(jié)論②正確；

由AACF?4ADG可知AADG=ZACF=45°,

ADG平分/ADC.

?.?△ACD是等腰直角三角形，

DG±AC.

故結(jié)論④正確；

AFAC=AHAF,/ACF=ZAFH=45°,

AACF?4AFH,

.AH_AF

"AF-AC）

：.AH-AC=AF2.

?.?在等腰直角&AEF中，AF2=2AE2,

：.AH-AC=2AE2,

故結(jié)論③錯(cuò)誤，

正確的結(jié)論是①②④，

故答案為：①②④.

惠目0（2023?湖北黃岡）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題:

（1）問題發(fā)現(xiàn):如圖1,△48。中，/A4C=90°,48=47.點(diǎn)P是底邊上一點(diǎn)，連接AP,以AP為腰

作等腰Rt/\APQ,S.ZPAQ=90°,連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是；

（2）變式探究:如圖2,/\ABC中，ABAC=90°,AB=AC.點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn),連接CP,以CP為底邊

作等腰Rt/\CPQ,^AQ,判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）問題解決:如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF,點(diǎn)Q是正方

形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形DPEF的邊長為243CQ=2/,請(qǐng)直接寫出正方形

48co的邊長.

【答案】（1）BP=CQ

②BP="AQ

（3）6

【詳解】（1）解：???△AFQ是等腰直角三角形，/PAQ=90°,

在△ABC中，/BAC=90°,AB=AC,

AP=AQ,/BAP+APAC=ACAQ+APAC,

ZBAP=ZCAQ.

（AB^AC

在△ABP和/\ACQ中，（ZBAP=ZCAQ,

[AP^AQ

：.△ABP第△ACQ（SAS）,

:.BP=CQ-,

⑵解：結(jié)論：BP=V2AQ,

12

理由如下：???△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，/B4C=90°,AB^AC,

.??器=備=岑,NACB=NQCP=45°.

???ZBCP+AACP=AACQ+AACP=45°,

???4BCP=/ACQ,

：.△CBP?△C4。，

.QCAC=AQ=^2

,*FC-BC-BP

/.BP=V2AQ;

（3）解:連接如圖所示，

???四邊形ABCD與四邊形DPEF是正方形,DE與PF交于點(diǎn)、Q,

：.叢BCD和/XPQD都是等腰直角三角形，

?,?哥=哥=*ZBDC=APDQ=45°.

NBDP+APDC=ZCDQ+ZPDC=45°,

ZBDP=ACDQ,

:.4BDP?/\CDQ,

,QD=CD_CQ=血

"PD~BD~BP~2,

---CQ=2V2,

：.BP=V2CQ=4：.

在Rt^PCD中，C￡>2+CP2=DP2，設(shè)CD=a;,則CP=a;-4,

又?/正方形DPEF的過長為260,

：.DP=2VW,

：./+3-4）2=（2V10）2,

解得①i=—2（舍去），x2=6.

正方形ABCD的邊長為6.

題目UJ（2023?河南）（1）如圖1,在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn),沿直線DE將矩形

折疊，使點(diǎn)。落在邊上的點(diǎn)。'處.求47的長；

（2）如圖2,展開后,將ADC'E沿線段AB向右平移，使點(diǎn)C'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合，得到"BE',DE，與

BC交于點(diǎn)F,求線段EF的長；

（3）在圖1中，將△。。㈤繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至4。'，后三點(diǎn)共線時(shí),請(qǐng)直接寫出CD的長.

備用圖

【答案】（1）3;（2）1;（3），麗或V5

【詳解】（1）解：???ABCD為矩形，4B=5,BC=4,

:.CD=CD=AB=5,AD=BC=4：,

：.AC'^y/CD^AD2=3;

⑵解：△ZXBE'為ADC'E平移后的圖形，AC'=3,AB=5,

AC'B=DU=AB—AC'=2,DE'//DE,

A△GDE?△CW,

設(shè)EB長為x,

?：C'B2+EB2^C'E2,C'E=CE=BC—EB,

“+22=(4—4

解得：工=；,

.-.CE=4-1-=-1,

???普=管CD，=8-00=5-2=3,

.3_CF

「5一a‘

2

:.EF=CE—CF=\;

⑶解:將ADC'E繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至4。，E三點(diǎn)共線，

分以下兩種情況：

①當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C左側(cè)時(shí)，如圖所示：

作DM±CB,交CB的延長線于點(diǎn)

由⑵可知BC=2,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，NDC'E=90°,

：.ADCB=90°,

?：ACBC'=90°,

ZC'BM=AM=ADC'B=90°,

：.四邊形BM。。'為矩形，

BM=DC'=5,DM=BC'=2,

ADC=y/DM2+(BM+BCy=V22+92=V85,

②當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C右側(cè)時(shí)，如圖所示：

作DN_LB。，交BC的延長線于點(diǎn)N,

由⑵可知BC'=2,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，ZDCE=90°,

?：2CBC'=90°,

AZC'BC=ZN=ZDC'E=90°,

：.四邊形BNDC為矩形，

BN=DC'=5,DN=BC'=2,

CN=BN-BC=5—4=1,

DC=^DN2+CN2=A/22+12=V5.

題目⑷（2023?遼寧沈陽）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AOCB的邊。。在/軸上，/4OC=60°,OC的

長是一元二次方程二—4①一12=0的根,過點(diǎn)。作加軸的垂線,交對(duì)角線OB于點(diǎn)。，直線4。分別交二軸

和沙軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F,動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長度的速度沿EF向終點(diǎn)F運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒.

（1）求直線入。的函數(shù)表達(dá)式:

（2）求點(diǎn)N到直線OB的距離h與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量的取值范圍;

（3）點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過程中,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)使得以A,C,N,M為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是矩形.

若存在，直接寫出點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】⑴V=-緡+4/

O

⑸=f6-V3t(0<t<2V3)

()-lV3t-6(273<t<4V3);

⑶存在，點(diǎn)”的坐標(biāo)是■，考3)或(6.4V3)

【詳解】⑴解：方程4/—12=0,

解得：力尸6,力2=—2,

:.OC=6,

???四邊形AOCB是是形，ZAOC=60°,

??.OA=OC=6,ZBOC=］乙40。=30°.

?：CD_LOCf

??.NOCD=90°,

CD—OC-tan30°=6x=2^/3,

o

n(6,2V3),

過點(diǎn)A作45，。。于8,如圖1,

?/乙4OH=60°,

：.OH=^-OA=3,

AH—OA-sin600=6X=3A/3,

.-.A(3,3V3),

設(shè)直線AD的解析式為g=k6+b(kW0),代入4(3,3V3),Z?(6,273)得:

f3fc+fe=3V3

(6fc+b=2V3'

解得:

b—4V3

直線AD的解析式為y=一乎c+4V3;

o

（2）當(dāng)工=0時(shí)，沙=4抬，當(dāng)夕=0時(shí)，劣=12,

￡；（12,0）,F（0,4V3）

15

OE=12,OF=4，S,D(6,273)為EF的中點(diǎn),

在Rt^EFO中，

EF=^OE2+OF2=V122+(4V3)2=873

OD=ED=FD=^EF=473=OF

：.△ODF是等邊三角形.

；.NODF=NBDE=60°,

當(dāng)04力42g時(shí)，即點(diǎn)N在線段ED上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)N作NK±OB于K,如圖2,

則EN=2t,

DN=ED-EN=4V3-2t,

h=NK=DN-sin60°=(473-2。x乎=-V3t+6

當(dāng)2代＜力4電后時(shí)，即點(diǎn)~在線段。干上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)"作由_103于人,如圖3,

則EN=2t,

DN=EN-ED=2t—473,

：.h=NK=DN-sin60°=(2t-4^/3)x乎=-6

綜上所述，點(diǎn)N到直線OB的距離無與運(yùn)動(dòng)時(shí)間力的函數(shù)關(guān)系式為

f-V3i+6(0<f<2V3)

無=《.

[V3t-6(273<t<4V3)(

(3)存在，分情況討論：

①如圖4,當(dāng)AN是矩形AMCN的邊時(shí),則CN±EF,過點(diǎn)N作NT工CF于T,

?：NNEC=30°,/M7T=AAOC=60°.

/.ACNE=90°,即點(diǎn)N為BC與EF的交點(diǎn),

■：CE=OE-OC=12-6=6,

:.CN=：CE=3,

iq

CT—CNxcos60°=3x—=—,

NT=C7Vxsin60°=3X卓=

/.將點(diǎn)N向左平移-1-個(gè)單位長度，再向下平移孝~個(gè)單位長度得到點(diǎn)C,

將點(diǎn)A向左平移向左平移—個(gè)單位長度，再向下平移三個(gè)單位長度得到點(diǎn)河,

,.?A(3,3V3),

."33V3

2???

②如圖5,當(dāng)AN是矩形AC7W的對(duì)角線時(shí)，則NACN=90°,過點(diǎn)、N作NL_LCF于L,

?.?OA=OC,/AOC=60°,

.?.△49。是等邊三角形，

ZACO=60°,）!

：.NNCE=180°-60°-90°=30°=NNEC;W

:.CL=EL=SCE=3,/

NL=CL-tan30°=3x=A/3,----1S

二將點(diǎn)。向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移、后個(gè)單位長度得到點(diǎn)N,了5

將點(diǎn)人向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移V3個(gè)單位長度得到點(diǎn)M,

-.?A（3,3A/3）,

M（6,4A/3）;

存在一點(diǎn)“，使得以AC,N,M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)河的坐標(biāo)是當(dāng)$）或（6,4V3）.

癲目?（2023?陜西）【問題出示】

（1）如圖①，等腰LABC中，/BAC=30°,BC=氏4=16,點(diǎn)”是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段的最小值是

【問題探究】

⑵如圖②，線段最短時(shí),在⑴的條件下，線段BN是A4BM■的角平分線，點(diǎn)P、Q分別在邊BN、BM

上運(yùn)動(dòng),連接MP、QP,MP+QP的最小值是

【問題拓展】

⑶如圖③，線段■最短時(shí),在⑴的條件下，點(diǎn)E在邊CM■上運(yùn)動(dòng),連接BE,將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。,得到線段連接求線段W的最小值.

【問題解決】

按照住建部制定的樓間距國家標(biāo)準(zhǔn)，南北朝向的小區(qū)，各棟樓之間的距離不小于前排樓高的0.7倍,例如：

前排房屋的樓高是20米，那么后排房屋與前排房屋的距鹵至少要14米才符合要求.

（4）如圖④,是某居民小區(qū)的部分平面示意圖，四邊形ABCD各邊長都為90米,且兩組對(duì)邊分別平行，ZB

=120°,DE長30米，AB邊上任意一點(diǎn)F,計(jì)劃在線段EF、FG、DG上修建三條小路，點(diǎn)G處修建業(yè)主活

動(dòng)樓，其中EF=FG,且NEFG=60°.小區(qū)最南邊一排（即線段AD處）樓高70米,當(dāng)線段DG取小時(shí),點(diǎn)

G處的業(yè)主活動(dòng)樓到線段AO處樓房的距離是否符合樓間距標(biāo)準(zhǔn)？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）8（2）473（3）4（4）符合樓間距標(biāo)準(zhǔn)，理由

【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)到時(shí)，線段■值最小，

ABAC=30°,BC=BA=16,

BM=x16=8,

故答案為：8;

（2）解:在AB邊上截取BD=BQ,連接PD,

17

?:BN平分4ABM,

；"ABN=ZMBN,j

義;BP=BP,

ABDP竺ABQP,^

:?PD=PQ，~，

即當(dāng)P、D、M三點(diǎn)共線，過點(diǎn)Al作MD_L4B于點(diǎn)。時(shí)，皿P+QP最小，最小

值為上ZD長，

?.?AW=y/AB2-BM2=V162-82=873,

又；ZBAC=30°,

MD=鼻W=yX8V3=4V3,

故最小值為4V3;

(3)在BC上截取=■，連接ED,j

-.-BM±AC,/

ACBM=90°-ZC=90°-30°=60°=AEBF,f

???NFBM=NEBD,s

由旋轉(zhuǎn)可得BF=BE,L

：.ABFM^^BED,

：.FM=ED,

即當(dāng)DE_LM。時(shí)，ED長最小，即FN長最小，

這時(shí)DC=BC—RD=16—8=8,

...即=和0=a8=4;

(4)解：符合樓間距標(biāo)準(zhǔn)，理由為：

在AB上截取AH=AE,^AD上截取AM=AF,連接連接HG并延長交DC于點(diǎn)、N,

則FH=EM,

又ZB=120°,AD//BC,

ZA=60°,

???△4PM是等邊三角形，

??.AFMA=60°,AFME=120°,

??.ZFEA+ZA=AEFG+/HFG,

：./.FEA=ZHFG,B

又???FE=FG,/乃石不

/\FME空AGHF,'

ZLHFG=AFME=120°,/

HGnAD,.L_____L_\_y

?1//?i

.?.。雙=4"=71￡；=90—30=60米，

當(dāng)。G_LHN時(shí)，。G長最小，

這時(shí)4CDG=AADC-/ADG=120°-90°=30°,

GN=~DN^}x60=30米，???

DG=^DN2-GN2=V602-302=V2700>70x0.7=49,

J.符合樓間距標(biāo)準(zhǔn).

WtJ］（2023?四川）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)對(duì)幾何動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行了探究：

問題背景:在R力△48。中，乙4cB=90°,/ABG=60°,BC=6.點(diǎn)。為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,點(diǎn)E為

CD邊上一動(dòng)點(diǎn),連接BE,以BE為邊,在BE右側(cè)作等邊4BEF,連接CF.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)。時(shí),求證：ABDE經(jīng)八80歹；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B）時(shí)，點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。,試判

斷點(diǎn)E從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過程中線段CF和的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

（3）如圖3,點(diǎn)。從的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B）出發(fā),向終點(diǎn)人運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)。出發(fā)，向終點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持NBEC=90°,直接寫出CF的最小值和點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長.

【答案】（1）見解析

（2）BF=CF,理由見解析

（3）CF的最小值為3V3一3,點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長2兀

【詳解】（1）證明：???△BEF是等邊三角形，

BE=BF,AEBF=60°,

/ABC=60°,

AABC-4CBE=AEBF-NCBE,即4DBE=ACBF,

?；BD=BC,BE=BF,

：.4BDE空BCF（SAS）;

（2）解：BF=CF,理由如下：

過點(diǎn)F作GF_L,垂足為點(diǎn)G,取點(diǎn)H為AB中點(diǎn)，連接CH,

AACB=90°,/ABC=60°,

/BA。=30°,

???BC=1-^AB

,?,點(diǎn)H是AB的中點(diǎn)，

???BC=AH=BH,

???ABC=60°,

??.△BCH是等邊三角形，

：.CH=BC,

,?,點(diǎn)H是AB中點(diǎn)，點(diǎn)。是4B四等分點(diǎn)，

：.DH=BD,

?：CH=BC,

：.CD.LBH,

由（1）得ZEBD=/FBG,

19

?/NEDB=AFGB=90°,BE=BF,

△BDE篤△BGF(AAS),

：.BD=BG,

?：CD±BH,ZABC=60°,

/BCD=30°,

:.BC=2BD,

?:BD=BG,

:.BD=BG=GC,

?：GF±BC

.GF是BC的垂直平分線,

：.BF=CF;

⑶解：以BC為邊作等邊三角形BCM,連接MF,

△BEFABCM是等邊三角形.

4EBF=4cBM=60°,BE=BF,BC^BM,

：.NCBE=4MBF,

：.ABCE篤/\BMF(SAS),

NBEC=NBFM=90°,

即當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)、E運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持Z.BFM=90°,

則點(diǎn)F在以為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)為BC的中點(diǎn)N,終點(diǎn)為點(diǎn)

由三角形三邊關(guān)系可知CF+OF>CO,則CF>CO-OF,

連接OC,交圓弧于點(diǎn)F,此時(shí)CF取得最小值，

△BC7W是等邊三角形，點(diǎn)。是中點(diǎn)，BC=6,

OC_LB",OB=3,

OC=y/BC2-OB2=3V3,

：.CF=OC-OF=3V3-3,

?.?點(diǎn)N是BC中點(diǎn)，

:?BN=OB=3,

??.△BON是等邊三角形，

???ZBO7V=60°,

???ZMO7V=120°,

則C方的最小值為3g一3,點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為12?：,3=2兀.

lot)

題目不（2023?廣東）綜合應(yīng)用

探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究:按照以下思路研究不等式組-1W

—㈤+3W1的解集:首先令沙=-罔+3,通過列表、描點(diǎn)、連線的方法作出該函數(shù)的圖象并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行探

究,列表：

x…―4一3—10134

y??????

描點(diǎn)與連線：

20

(1)在列表的空格處填對(duì)應(yīng)的"值，在如圖給出的平面直角坐標(biāo)系中描出以表中各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并根

據(jù)描出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象.

⑵若P(x,b),Q(y,b)為該函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則，與沙的數(shù)量關(guān)系是；

⑶觀察圖象，當(dāng)一14—㈤+3<1時(shí)，自變量c的取值范圍是；

(4)【拓展運(yùn)用】運(yùn)用以上的探究過程，求出函數(shù)y=|劍與y=—①+3的圖象所圍成的圖形面積.

【答案】(1)見解析

(2)y--X

(3)-4&3；&-2或2《2；44

(4)12

【詳解】⑴解:填表如下：

X-4-3-2-101234

y-10123210-1

描出各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下:

(2)由圖象得：函數(shù)關(guān)于9軸對(duì)稱,

???P(z,b),Q(%b)縱坐標(biāo)相同,

：.y=-x,

故答案為：y=—x\

(3)觀察圖象，當(dāng)一4WxW-2或2W;rW4時(shí)，-lW—圍+3W1,

即當(dāng)一14-團(tuán)+341時(shí)，自變量力的取值范圍是一4WcW—2或2Wa;W4;

故答案為：-44力4一2或2&力44;

(4)設(shè)兩圖象交于點(diǎn)A,直線g=—^-T+3交力軸于點(diǎn)C,

對(duì)■于。=一4力+3,

當(dāng)g=0時(shí)，0=―3r+3,解得：力=6,

???點(diǎn)C(6,0),即OC=6,

當(dāng)力=0時(shí)，g=3,

直線g=―3+3與g軸的交點(diǎn)為(0,3),

畫出函數(shù)g=-^-x+3的圖象草圖如下：

聯(lián)立得：[二1工+3,

[y=m

解得：『=:或

5=25=6

.?.點(diǎn)4(—6,6),B(2,2),

它與函數(shù)9=|引的圖象所圍成的圖形面積等于

SAAOLS^00=—X6X6—x2X6=12.

頷目⑥(2023?湖北)【問題提出】(1)如圖1,在四邊形AB。。中，/氏4。=60°,/BCD=120°,AB=AD,連

接AC.試探究B。、CD、AC之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的思路是：他發(fā)現(xiàn)ABAD和ABCD互補(bǔ)，推得ZB+AADC=180°,于是想到延長CD到點(diǎn)E,使DE

=BC,連接AE.從而得到ZB=/ADE,然后證明ZVLDEn△48。,不難得到B。、CD、之間的數(shù)量

關(guān)系是;

【問題變式】⑵如圖2,四邊形ABCD中，/BAD=ABCD=90°,AB^AD,連接AC,試探究BC、CD、

AC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

【問題拓展】(3)如圖3,四邊形ABCD中，/BAD=