2022-2023學(xué)年遼寧省本溪市第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列選項中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件2．已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度3．函數(shù)在上的大致圖象是（）A． B．C． D．4．在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（）A．點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值5．設(shè)，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件6．若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．9．已知展開式的二項式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項相等，則項系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．8010．如圖，在中，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．11．年部分省市將實(shí)行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B．C． D．12．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為_________（用數(shù)字作答）.14．已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍為______．15．如圖是九位評委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______．16．在中，角，，的對邊分別為，，.若；且，則周長的范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱中，與均為等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）己知點(diǎn)，分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，若與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且.20．（12分）已知函數(shù)（）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個不同的極值點(diǎn)，，且，若不等式恒成立.求正實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)，函數(shù).（1）當(dāng)時，求在內(nèi)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個極值點(diǎn)時，總有，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，，，，恰為等比數(shù)列的前3項．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為；若對均滿足，求整數(shù)的最大值；（3）是否存在數(shù)列滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

對于A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對于C當(dāng)m=0時，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷．【詳解】選項A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項C當(dāng)m=0時,滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等，屬于簡單題.2、A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法：3、D【解析】

討論的取值范圍，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，，故切線的斜率變小，當(dāng)時，，故切線的斜率變大，可排除A、B；當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，當(dāng)時，，故切線的斜率變大，當(dāng)時，，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.4、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷．【詳解】對于，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面內(nèi)的相交直線平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，即點(diǎn)是線段上上的動點(diǎn)．正確．對于，平面平面，和平面相交，與是異面直線，正確．對于，由知，平面平面，與不可能平行，錯誤．對于，因為，則到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、B【解析】

解出兩個不等式的解集，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因為集合，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.6、A【解析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時，，則當(dāng)時，有，解得，充分性成立；當(dāng)時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.7、D【解析】

化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識別，復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實(shí)現(xiàn).9、D【解析】

根據(jù)二項式定理通項公式可得常數(shù)項，然后二項式系數(shù)和，可得，最后依據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：當(dāng)時，常數(shù)項為又展開式的二項式系數(shù)和為由所以當(dāng)時，所以項系數(shù)為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.11、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．12、B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點(diǎn)位于長方體的四個頂點(diǎn)，即為三棱錐，且長方體的長、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．【點(diǎn)睛】（1）解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用．（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5670【解析】

根據(jù)二項式展開的通項，可得二項式系數(shù)的最大項，可求得其系數(shù).【詳解】二項展開式一共有項，所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第5項，系數(shù)為.故答案為：5670【點(diǎn)睛】本題考查了二項式定理展開式的應(yīng)用，由通項公式求二項式系數(shù)，屬于中檔題.14、【解析】

設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因為,，令，則,因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,,即,令則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時函數(shù)有最大值為,即．當(dāng)且，即，或，時取等號；因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,令,則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時,函數(shù)有最小值為,即，當(dāng),且時取等號，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;基本不等式:和的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.15、1【解析】

寫出莖葉圖對應(yīng)的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個數(shù)，平均分為，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

先求角，再用余弦定理找到邊的關(guān)系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長故答案為：【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，通過證明，得，結(jié)合可證線面垂直，繼而可證面面垂直.（2）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，繼而可求二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）取中點(diǎn)，連接，，由已知可得，，，∵側(cè)面是菱形，∴，，，即，∵，∴平面，∴平面平面.（2）設(shè)，則，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得.同理可求得平面的法向量，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者線面角的問題時，常建立空間直角坐標(biāo)系，通過求面的法向量、線的方向向量，繼而求解.特別地，對于線面角問題，法向量與方向向量的余角才是所求的線面角，即兩個向量夾角的余弦值為線面角的正弦值.18、;.【解析】

連接，由三角形相似得，，進(jìn)而得出，，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點(diǎn)，，解得，，因為點(diǎn)在第二象限，所以，，所以，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.【詳解】解：連接，由可得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點(diǎn)，所以，即，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為點(diǎn)在第二象限，所以，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，利用基本不等式，屬于難題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)，可得（1），（1），結(jié)合已知切線方程即可求得，的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)可得，，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，則（1），（1），故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，又曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，，；（2）證明：由（1）知，，則，令，則，易知在單調(diào)遞減，又，（1），故存在，使得，且當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，由于，（1），（2），故存在，使得，且當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，，單調(diào)遞減，故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且，即，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，由于，故（2），即，．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查推理論證能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到有兩個不相等實(shí)根，令，計算函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到值域，得到答案.（2），是方程的兩根，故，化簡得到，設(shè)函數(shù)，討論范圍，計算最值得到答案.【詳解】（1）由題可知有兩個不相等的實(shí)根，即：有兩個不相等實(shí)根，令，，，，；，，故在上單增，在上單減，∴.又，時，；時，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的兩根，∴，則因為在單減，∴，又，∴即，兩邊取對數(shù)，并整理得：對恒成立，設(shè)，，，當(dāng)時，對恒成立，∴在上單增，故恒成立，符合題意；當(dāng)時，，時，∴在上單減，，不符合題意.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】

（1）當(dāng)時，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn)，從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實(shí)根，，從而可得△及，由，得．則可化為對任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【詳解】（1）當(dāng)時，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因為，故時，總有，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實(shí)根，則，解得，且，又，所以.由，，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當(dāng)時，不等式恒成