室內(nèi)設(shè)計制圖與識圖（第二版）03 形體正投影和軸測投影

PART03形體正投影和軸測投影第三章形體正投影和軸測投影幾何體的正投影12形體的軸測投影第一節(jié)幾何體的正投影第一節(jié)幾何體的正投影通常把簡單又有規(guī)則的幾何體稱為基本幾何體，也稱為基本體?；倔w的形狀由其表面所決定，按其表面性質(zhì)不同可分為直面基本體和曲面基本體。直面基本體的表面全部都是平面；曲面基本體的表面則部分或全部是曲面，如圖3-1所示。一、基本體的正投影第一節(jié)幾何體的正投影（一）柱體1.棱柱棱柱各表面均為多邊形，稱為棱面，棱面的數(shù)量與底面邊數(shù)相等，各棱面的交線稱為棱線，棱線與棱線的交點稱為頂點。棱線垂直于底面的，稱為正棱柱；棱線與底面傾斜的，稱為斜棱柱，如圖3-2所示。棱柱通常以底面的邊數(shù)命名，如底面是三邊形，即稱為正三棱柱或斜三棱柱。第一節(jié)幾何體的正投影（1）棱柱的投影特征以圖3-3a所示正五棱柱的投影為例。（2）棱柱的投影畫法先畫出反映棱柱特征的正五邊形底面的水平投影，然后再按投影關(guān)系和棱柱的高度畫出其他兩面投影，如圖3-3b所示。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-1］畫出如圖3-4a所示五棱柱（小屋）的三面投影。［作圖］如圖3-4b和圖3-4c所示。第一節(jié)幾何體的正投影2.圓柱圓柱、圓錐、球是曲面基本體，由于這種形體的曲表面可以看成是由直線或曲線圍繞某中心軸運動所形成的，所以又稱為回轉(zhuǎn)體。產(chǎn)生曲面的動線稱為母線，母線在曲面的任一位置稱為素線，母線上任意點的運動軌跡稱為緯圓，母線繞著作回轉(zhuǎn)運動的固定直線稱為回轉(zhuǎn)軸線，如圖3-5a所示。圓柱面上的任意一條與軸平行的直線，稱為圓柱面的素線。圓柱面與上下兩底面共同圍合，形成了圓柱體（簡稱圓柱），如圖3-5b所示。第一節(jié)幾何體的正投影（1）圓柱的投影特征當(dāng)圓柱體在投影體系中的位置一經(jīng)確定，它對各投影面的投影輪廓也隨之確定。如圖3-6所示，圓柱的軸線垂直于水平面，則兩底面互相平行且平行于水平面，投影重合并反映實形；圓柱面垂直于水平面，積聚為圓形。第一節(jié)幾何體的正投影（2）圓柱表面求點和線1）圓柱表面求點圓柱表面的點必定在圓柱的一條素線或一個緯圓上。當(dāng)圓柱表面具有積聚投影時，圓柱表面上點的投影必在圓柱表面的積聚投影上。2）圓柱表面求線第一節(jié)幾何體的正投影［例3-2］如圖3-7a所示，已知圓柱表面上點M的正面投影m′和點N的水平投影n，求M、N點另兩面的投影。［作圖］如圖3-7b所示。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-3］如圖3-8a所示，已知圓柱表面上線段AB的正面投影a′b′，求線段AB在水平面和側(cè)面的投影。［作圖］如圖3-8b所示。第一節(jié)幾何體的正投影（二）錐體1.棱錐棱錐由一多邊形底面和具有公共頂點的三角形棱面所圍成，棱面數(shù)量與底面邊數(shù)相等，棱線均通過頂點。當(dāng)棱錐底面為正多邊形，其錐頂又處于通過該正多邊形中心的垂線上時，這種棱錐稱為正棱錐，如圖3-9所示。棱錐通常以底面的邊數(shù)命名，如底面是三邊形，即稱為三棱錐。第一節(jié)幾何體的正投影（1）棱錐的投影特征如圖3-10所示，三棱錐的底面平行于水平面H，所以底面的水平投影面abc

反映實形；底面的正面、側(cè)面投影積聚為水平線段。（2）棱錐表面求點和線棱錐表面的點可以利用積聚性求得，無積聚性則可利用輔助線來求得。輔助線常采用過頂點的直線或平行于底邊的直線。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-4］如圖3-11a所示，已知三棱錐表面SAC內(nèi)K點的H面投影K，棱面SBC內(nèi)N點的V面投影n′，求K、N兩點的其他投影。［作圖］1）利用線面的積聚性求點，參見圖3-11b。2）利用輔助線求點有兩種方法：a.過頂點作輔助線。過點N和頂點S作一直線SD，正面投影s′d′，D為輔助線與底面的交點。求出水平投影sd，并根據(jù)長對正原則，由n′在sd

上求得n，點n可見，如圖3-11c所示。b.過點N作一水平線NE，正面投影n′e′//b′c′，E是NE與棱邊SC的交點，由此畫出E的水平投影e，過e作bc

的平行線，求得N點在平行線上的水平投影n，如圖3-11d所示。第一節(jié)幾何體的正投影第一節(jié)幾何體的正投影2.圓錐如圖3-12所示，圓錐面可看作是由一條母線SA繞著與它相交的軸線作回轉(zhuǎn)運動而成。由圓錐面及其底面圍成的立體稱為圓錐體（簡稱圓錐）。圓錐面上過頂點S的任意一條直線稱為圓錐面的素線；母線上任意一點回轉(zhuǎn)運動的軌跡為圓，稱為緯圓。第一節(jié)幾何體的正投影（1）圓錐的投影特征如圖3-13所示，圓錐的軸線垂直于水平面H，其水平投影是一個圓形，這個圓形既是圓錐底面的投影，又是沒有積聚性的圓錐面的投影，圓錐頂點S的投影重合在這個圓形中心線的交點上。圓錐的正面投影和側(cè)面投影都是等腰三角形。第一節(jié)幾何體的正投影（2）圓錐表面求點圓錐面的任意一投影都沒有積聚性，所以圓錐面上求點時，先要在面上求線，然后再在線上求點，才能確保所求的點必在面上。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-5］如圖3-14a所示，已知圓錐面上點M的正面投影m′，求點M的其余兩面投影。［作圖］1）素線法2）緯圓法第一節(jié)幾何體的正投影（三）球體由圓球面圍成的基本體稱為球體。圓球面可看成是由一個圓周繞它的任意一條直徑為軸作回轉(zhuǎn)運動而形成的，如圖3-15所示。第一節(jié)幾何體的正投影1.球體的投影特征在三面投影中，球體的三面投影均是直徑相等的圓形，如圖3-16所示。2.球體表面求點球體表面求點采用緯圓法。先在圓球面上作輔助緯圓，然后再在輔助緯圓上求點。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-6］如圖3-17a所示，已知球面上點M的水平面投影m，求點M其余兩面的投影。［作圖］（1）正平緯圓法（2）水平緯圓法第一節(jié)幾何體的正投影（一）組合體的形成組合體可以理解成是若干個基本體的組合，其組合的方式一般可以分為疊加、切割、相貫三種。組合體形成的方式不是單一的，而是多種組合方式多次作用而成。二、組合體的正投影第一節(jié)幾何體的正投影1.疊加疊加型組合體是由若干個基本體疊加而成的形體，如圖3-18所示。第一節(jié)幾何體的正投影2.切割切割型組合體是一個基本體經(jīng)過若干次切割而成的形體，如圖3-19所示。第一節(jié)幾何體的正投影3.相貫相貫型組合體是兩個或多個立體相交形成的新的整體，稱為相貫體。相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點是兩立體表面的共有點，不同的立體以及不同的相貫位置，相貫線的形狀也不同。作相貫體的投影時，不僅要畫出其輪廓的投影，也要畫出其相貫線的投影，如圖3-20所示。第一節(jié)幾何體的正投影（二）基本體的截斷用平面切割立體稱為立體截斷。切割立體的平面稱為截平面。平面與立體表面的交線稱為截交線。由截交線所圍成的平面圖形稱為截面或斷面。立體被一個或幾個平面切割后余下的部分稱為切割體，如圖3-21所示。第一節(jié)幾何體的正投影1.棱柱的截斷用平面切割棱柱時，其截交線是截平面與棱柱表面的共有線，它是一個封閉的平面多邊形，其每一邊都是截平面與棱柱一棱面的交線，其頂點是截平面與一棱線的交點，因此，畫截（斷）面的實質(zhì)是求面面交線與線面交點。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-7］如圖3-22a所示，已知一被正垂面P截斷的六棱柱切割體的正面和側(cè)面投影，畫出其水平面投影。［作圖］如圖3-22b所示。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-8］如圖3-23a所示，已知一帶切口的四棱柱的水平面和正面投影，畫出其側(cè)面投影。［作圖］如圖3-23b所示。第一節(jié)幾何體的正投影2.棱錐的截斷棱錐切割體具有平面切割平面立體的共同特征，畫截（斷）面的實質(zhì)就是求面面交線和線面交點。［例3-9］如圖3-24a所示，已知三棱錐SABC被正垂面f截斷，畫出截切后立體的投影。第一節(jié)幾何體的正投影3.圓柱的截斷平面與曲面立體相交時，其截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形。畫截（斷）面時需找出截交線上的若干點，再用光滑曲線相連。由于截平面與圓柱體軸線的相對位置不同，其截（斷）面有圓、橢圓和矩形三種情況，具體見表3-1。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-10］如圖3-25a所示，圓柱被傾斜于軸線的正垂面P截斷，畫出被截斷后的圓柱的三面投影。第一節(jié)幾何體的正投影4.圓錐的截斷平面與圓錐相交，根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，可產(chǎn)生5種不同形狀的截交線，分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線和相交兩直線，具體見表3-2。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-11］如圖3-26a、b所示，已知圓錐被一正平面P所截，畫出其截割后的三面投影。［作圖］如圖3-26c所示。第一節(jié)幾何體的正投影5.球體的截斷平面與圓球相交，其截交線始終是圓，但由于截平面與投影面相對位置的不同，其投影可以是圓、橢圓或積聚為一直線。［例3-12］如圖3-27所示，已知一帶切口的半圓球的正面投影，補畫出其水平投影及側(cè)面投影。［作圖］如圖3-27b所示。第一節(jié)幾何體的正投影（三）組合體表面的相貫線兩立體相貫歸納起來有三種類型，分別是兩平面立體相貫、平面立體與曲面立體相貫和兩曲面立體相貫，如圖3-28所示。第一節(jié)幾何體的正投影1.兩平面立體相貫兩平面立體的相貫線通常是一條或幾條閉合的空間折線或平面多邊形。求兩平面立體相貫線的方法通常有以下兩種：（1）求各側(cè)棱對另一立體表面的交點，然后把位于一立體同一側(cè)面與位于另一立體同一側(cè)面上的兩點依次連接起來。（2）求一立體各側(cè)面與另一立體各側(cè)面的交線。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-13］畫出兩三棱柱的相貫線，如圖3-29a、b所示。［作圖］如圖3-29c所示。第一節(jié)幾何體的正投影2.平面體與曲面體相貫平面立體與曲面立體相交時，相貫線是由若干段平面曲線或直線所組成的。［例3-14］畫出四棱柱與圓柱的相貫線，如圖3-30a、b所示。［作圖］如圖3-30c所示。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-15］畫出四棱柱與圓錐的相貫線，如圖3-31a、b所示。［作圖］如圖3-31c所示。第一節(jié)幾何體的正投影3.兩曲面立體相貫兩曲面立體相貫的交線一般情況下是封閉的空間曲線，畫其相貫線時必須確定相貫線上一系列的點，然后再依次相連。當(dāng)兩個立體中有一個立體表面的投影具有積聚性時，可以用在曲面立體表面求點的方法作出兩曲面立體表面的共有點。第一節(jié)幾何體的正投影［例3-16］畫出兩圓柱的相貫線，如圖3-32a、b所示。［作圖］如圖3-32c所示。第一節(jié)幾何體的正投影在實際工程中，常遇到兩圓柱相交并完全貫穿的情況，這時它們的相貫線是兩條對稱的空間閉合曲線，如圖3-33a所示。但有時參與相交的兩圓柱中一個是虛體，如圖3-33b所示；甚至兩個都是虛體，如圖3-33c所示。第一節(jié)幾何體的正投影一般情況下，兩曲面立體的相貫線是空間曲線，但在特殊條件下兩曲面立體的相貫線可以是平面曲線或直線，如圖3-34所示。第一節(jié)幾何體的正投影（四）組合體的畫法1.形體分析形體分析是把組合體分解成若干個簡單的基本體，分析這些基本體的形狀大小、相對位置，從而得到組合體完整形象的過程。如圖3-35a所示的組合體“拱門樓”可以看成是由橫放的半圓柱“屋蓋”、兩個四棱柱“墻體”、四棱柱“底板”四部分疊加而成的，如圖3-35b、c所示。然后運用截切的方式，將“屋蓋”切去一個半圓柱、“底板”切去一個小四棱柱，如圖3-35d所示。在疊加和截切過程中，保持組合體左右對稱、后表面平齊。第一節(jié)幾何體的正投影圖3-35拱門樓的形體分析a）完整軸測圖b）從宏觀角度觀察c）分解成四個組成部分d）截切第一節(jié)幾何體的正投影2.畫圖準(zhǔn)備（1）確定形體的放置位置作圖前，必須分析組合體的形態(tài)，確定如何放置才能清晰、完整地通過投影圖表達(dá)形體。形體在投影體系中的位置應(yīng)與形體的使用習(xí)慣和工作位置保持一致，重心平穩(wěn)，在各投影面上應(yīng)盡量反映實形，如圖3-36所示。（2）選擇形體的正面投影形體的位置確定后，應(yīng)使組合體的正面投影盡可能反映其組合部分的形狀特征和相對位置，盡可能選擇減少投影圖中出現(xiàn)虛線的方向，如圖3-36所示的臺階。第一節(jié)幾何體的正投影（3）確定投影圖的數(shù)量正面投影方向選定后，組合體的形狀和相對位置還不能完全表達(dá)清楚。正投影只反映形體長與高兩個方向的尺寸，往往需要補充其他方向的視圖。有些特殊的形體只需要兩個視圖，甚至一個視圖就可以表達(dá)完整，但如圖3-36所示的臺階則必須通過三面投影才能表達(dá)清晰。第一節(jié)幾何體的正投影第一節(jié)幾何體的正投影3.繪圖步驟（1）先畫出各視圖的對稱線、定位線和主要部分，后畫次要部分；先畫完整外形，后畫細(xì)節(jié)。如圖3-37a、b、c所示，先畫出主視圖和俯視圖的對稱線、底板底面、后表面定位線。（2）從基本體最具有形體特征的投影畫起，同時畫出必需的各個投影，注意投影關(guān)系。（3）正確保持各組成部分之間的相對位置，如拱門樓各組成部分從下至上，依次為底板、墻體和屋蓋，組合方式為疊加。（4）確認(rèn)無誤后，加深圖線，如圖3-37d所示。第一節(jié)幾何體的正投影圖3-37拱門樓繪圖步驟a）畫對稱線、定位線和底板的三面投影b）依次疊加，畫出其余兩個幾何體的投影c）逐步畫出被截切部分的投影d）整理全圖，擦去不必要的線，加深圖線第二節(jié)形體的軸測投影第二節(jié)形體的軸測投影將形體連同確定形體長、寬、高的直角坐標(biāo)軸（OX、OY、OZ）用平行投影的方法一起投射到某一投影面（如P、R面）上所得到的投影稱為軸測投影，該投影面稱為軸測投影面。用軸測投影方法繪制的圖形稱為軸測投影圖，簡稱軸測圖，如圖3-38所示。一、軸測投影基本知識第二節(jié)形體的軸測投影（一）軸測投影術(shù)語1.軸測投影面：軸測圖所處的平面稱為軸測投影面。2.軸測軸：表示空間形體長、寬、高三個方向的直角坐標(biāo)軸OX、OY、OZ在軸測投影面上的投影O1X1、O1H1、O1Z1稱為軸測軸。3.軸間角：相鄰兩軸測軸之間的夾角（如∠X1O1Z1等）稱為軸間角。三個軸間角之和為360°。4.軸向伸縮系數(shù)：軸測軸上某段長度與它的實長之比稱為該軸的軸向伸縮系數(shù)。X、Y、Z軸的軸向伸縮系數(shù)分別用p、q、r表示，即：第二節(jié)形體的軸測投影（二）軸測投影的分類根據(jù)投影方向、軸測投影面的相對位置以及軸向伸縮系數(shù)，軸測圖分類如下：1.正軸測投影形體的長、寬、高三個方向的坐標(biāo)軸與軸測投影面傾斜，投射線垂直于投影面所得到的投影稱為正軸測投影，如圖3-38b所示。2.斜軸測投影形體兩個方向的坐標(biāo)軸與軸測投影面平行（即形體的一個面與投影面平行），投射線與軸測投影面傾斜所得到的投影稱為斜軸測投影，如圖3-38c所示。第二節(jié)形體的軸測投影第二節(jié)形體的軸測投影（一）正等軸測圖的形成正等軸測圖是最常用的一種軸測圖。正等軸測圖置于形體上的三個坐標(biāo)軸與軸測投影面的傾角都相同，∠X1O1Z1=∠Z1O1Y1=∠Y1O1X1=120°，如圖3-39所示。畫圖時，通常將∠O1Z1

軸畫成豎直位置，O1X1

軸和O1Y1

軸與水平線的夾角都是30°，如圖3-40所示。正等軸測圖中三個軸的軸向伸縮系數(shù)都等于0.82，即p=q=r=0.82。為了作圖方便，常采用簡化的軸向伸縮系數(shù)，令p=q=r=l，這樣畫出的圖形與按原來軸向伸縮系數(shù)0.82畫出的圖形相比，沿各軸向的長度分別增大了1/0.82=1.22倍，但整個圖形的立體感沒有改變，如圖3-41所示。二、正軸測投影第二節(jié)形體的軸測投影第二節(jié)形體的軸測投影（二）正等軸測圖的基本畫法1.坐標(biāo)法坐標(biāo)法是指根據(jù)形體表面上各頂點的空間坐標(biāo)畫出它們的軸測投影，然后依次連接成形體表面的輪廓線，即得該形體的軸測圖。第二節(jié)形體的軸測投影［例3-17］根據(jù)圖3-42a所示的投影圖，畫出四坡頂房屋的正等軸測圖。第二節(jié)形體的軸測投影2.疊加法疊加法是把形體分解成若干個基本體，依次將各個基本體按相對位置疊加畫出，形成整個形體的正等軸測圖。當(dāng)形體明顯由幾個部分組成時，一般采用疊加法。第二節(jié)形體的軸測投影［例3-18］根據(jù)圖3-43a所示的柱基礎(chǔ)正投影圖，用疊加法畫出其正等軸測圖。第二節(jié)形體的軸測投影3.截切法截切法適用于由基本體經(jīng)截切而得到的形體。以坐標(biāo)法為基礎(chǔ)，先畫出基本體的軸測投影，然后將不存在的部分切去，從而得到所需的軸測圖。第二節(jié)形體的軸測投影［例3-19］根據(jù)圖3-44a所示形體的正投影圖，畫出其正等軸測圖。第二節(jié)形體的軸測投影（三）曲面立體的正等軸測圖在正等軸測圖中，正方體的各個面都發(fā)生了變形，正方體表面的圓變成平行于坐標(biāo)面相等的橢圓，如圖3-45所示。第二節(jié)形體的軸測投影1.圓正等軸測圖近似畫法圓正等軸測圖的近似畫法是四心圓弧法。下面以水平圓的正等軸測圖為例介紹其作圖方法，如圖3-46所示。圖3-46用四心圓弧法繪制圓的正等軸測圖a）在正投影圖上定出原點和坐標(biāo)軸位置，并作圓的外切正方形EFGHb）畫軸測軸及圓的外切正方形的正等軸測圖c）連接F1A1、F1D1、H1B1、H1C1，分別交于M1、N1，以F1和H1為圓心、F1A1或H1C1為半徑作大圓弧B1C1和A1D1d）以M1和N1為圓心、M1A1或N1C1為半徑作小圓弧A1B1和C1D1，即得平行于水平面的圓的正等軸測圖第二節(jié)形體的軸測投影2.切槽圓柱正等軸測圖畫法［例3-20］根據(jù)圖3-47a所示圓木榫的投影圖，繪制其正等軸測圖。第二節(jié)形體的軸測投影投影方向S傾斜于軸測投影面時所得的投影稱為斜軸測投影，如圖3-48所示。與畫正軸測圖一樣，畫斜軸測圖也要先確定軸間角、軸向伸縮系數(shù)以及選擇軸測類型和投影方向。三、斜軸測投影第二節(jié)形體的軸測投影第二節(jié)形體的軸測投影第二節(jié)形體的軸測投影（一）正面斜軸測圖的畫法繪制斜軸測圖時，只有一面形狀比較復(fù)雜的形體通常采用以該面作為正面的斜二測圖來表現(xiàn)。［例3-21］根據(jù)圖3-50a所示拱門的投影圖，繪制其正面斜二測圖。第二節(jié)形體的軸測投影當(dāng)形體的水平面或側(cè)面為圓時，可以采用八點橢圓法進行繪制。下面以水平面圓的斜二測圖為例介紹八點橢圓法的畫法，如圖3-51所示。第二節(jié)形體的軸測投影（二）水平斜軸測圖的畫法以水平投影面作為軸測投影面所得到的斜軸測圖稱為水平斜軸測圖，簡稱水平斜測圖（鳥瞰圖）。這種圖適用于繪制水平面上較復(fù)雜形狀的形體，如建筑群體、室內(nèi)布置圖以及區(qū)域的總平面布置圖等，如圖3-52所示為帶截面房屋的水平斜軸測圖。第二節(jié)形體的軸測投影1.軸間角和軸向伸縮系數(shù)畫圖時，通常Z軸豎直，X軸和Y軸的夾角保持直角，Y1O1

與水平線成30°、45°或60°，一般取60°，如圖3-53a所示。也可以