浙江省五校聯(lián)盟高三第一次調(diào)研測(cè)試新高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

浙江省五校聯(lián)盟高三第一次調(diào)研測(cè)試新高考數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則()A． B．C． D．2．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A． B． C．或 D．4．已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）A．100 B．210 C．380 D．4007．已知復(fù)數(shù)，，則（）A． B． C． D．8．已知，，則（）A． B． C．3 D．49．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺莞生一日，長(zhǎng)一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)倍？”意思是：“今有蒲草第天長(zhǎng)高尺，蕪草第天長(zhǎng)高尺以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，蕪草每天長(zhǎng)高前一天的倍.問(wèn)第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是（）（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．11．如圖，某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點(diǎn)O的位置有關(guān)12．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9，若點(diǎn)，則的最大值為（）A．3 B．6 C．9 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知為實(shí)數(shù)，向量，，且，則____________．14．五聲音階是中國(guó)古樂(lè)基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”.中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，可排成______種不同的音序.15．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍有___________.16．一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的T的值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.18．（12分）已知是圓：的直徑，動(dòng)圓過(guò)，兩點(diǎn)，且與直線相切.（1）若直線的方程為，求的方程；（2）在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恰好與軸相切？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．連接．求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立．20．（12分）某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長(zhǎng)分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有兩種，且這兩種的個(gè)體數(shù)量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(zhǎng)（單位：）分別為隨機(jī)變量，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（Ⅰ）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長(zhǎng)在區(qū)間的概率；（Ⅱ）記該地區(qū)蜻蜓的翼長(zhǎng)為隨機(jī)變量，若用正態(tài)分布來(lái)近似描述的分布，請(qǐng)你根據(jù)（Ⅰ）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只，記這3只中翼長(zhǎng)在區(qū)間的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫(xiě)出計(jì)算表達(dá)式即可）.注:若，則，，.21．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）設(shè)函數(shù)，，其中，為正實(shí)數(shù).（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，證明：對(duì)任意，都有.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由題意求得c與的值，結(jié)合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件，即在上有解，即可得出結(jié)論.【詳解】，若在上不單調(diào)，令，則函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)（可以用二分法求得）.當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，只需或，解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件，要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法，屬于中檔題.4、D【解析】

分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．5、C【解析】

由不等式恒成立問(wèn)題分類(lèi)討論：①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)，考查方程的解的個(gè)數(shù)，綜合①②③得解．【詳解】①當(dāng)時(shí)，，滿足題意，②當(dāng)時(shí)，，，，，故不恒成立，③當(dāng)時(shí)，設(shè)，，令，得，，得，下面考查方程的解的個(gè)數(shù)，設(shè)（a），則（a）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得：（a）在為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，則（a），即有一解，又，均為增函數(shù)，所以存在1個(gè)使得成立，綜合①②③得：滿足條件的的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個(gè)數(shù)，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難度較大的題型.6、B【解析】

設(shè)公差為，由已知可得，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)公差為，，，,.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)整理得詳解：，故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的常考問(wèn)題，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類(lèi)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問(wèn)題.8、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征，求出和，再利用復(fù)數(shù)的模公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；B：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說(shuō)法正確；D：當(dāng)時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說(shuō)法不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度，進(jìn)而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長(zhǎng)度分別為據(jù)題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11、B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

分析：先畫(huà)出滿足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時(shí)，由圖可得當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值9，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫(huà)出一條直線，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】

由，，且，得，解得，則，則．14、1【解析】

按照“角”的位置分類(lèi),分“角”在兩端,在中間,以及在第二個(gè)或第四個(gè)位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè)，此時(shí)有種；②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)；③若“角”在第二個(gè)或第四個(gè)位置上,則有種；綜上，共有種.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用排列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,涉及分步計(jì)數(shù)乘法原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用,意在考查學(xué)生分類(lèi)討論思想的應(yīng)用和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、或【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)方程的根，求出方程的兩根為，，從而可得或，即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)方程在區(qū)間的根，所以，解得：，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以或，即或.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，在求含絕對(duì)值方程時(shí)，要注意對(duì)絕對(duì)值內(nèi)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論.16、【解析】

由程序中的變量、各語(yǔ)句的作用，結(jié)合流程圖所給的順序，模擬程序的運(yùn)行，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題中的程序框圖可得：,執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，此時(shí)，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序和算法，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的，的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、橫線處任填一個(gè)都可以，面積為．【解析】

無(wú)論選哪一個(gè)，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式，展開(kāi)后，可求得角，再由余弦定理求得，從而易求得三角形面積．【詳解】在橫線上填寫(xiě)“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫(xiě)“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因?yàn)?，所?從而有.又，所以由余弦定理及，得即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫(xiě)“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.將代入，解得.所以.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式，考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式等，正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，求三角形面積時(shí)，①若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積；②若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．18、（1）或.（2）存在，；【解析】

（1）根據(jù)動(dòng)圓過(guò)，兩點(diǎn)，可得圓心在的垂直平分線上，由直線的方程為，可知在直線上；設(shè)，由動(dòng)圓與直線相切可得動(dòng)圓的半徑為；又由，及垂徑定理即可確定的值，進(jìn)而確定圓的方程.（2）方法一：設(shè)，可得圓的半徑為，根據(jù)，可得方程為并化簡(jiǎn)可得的軌跡方程為.設(shè)，，可得的中點(diǎn)，進(jìn)而由兩點(diǎn)間距離公式表示出半徑，表示出到軸的距離，代入化簡(jiǎn)即可求得的值，進(jìn)而確定所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；方法二：同上可得的軌跡方程為，由拋物線定義可求得，表示出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系，進(jìn)而確定所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為，且，關(guān)于于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在直線上，故可設(shè).因?yàn)榕c直線相切，所以的半徑為.由已知得，，又，故可得，解得或.故的半徑或，所以的方程為或.（2）法一：設(shè)，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為.設(shè)，，則得，的中點(diǎn)，則以為直徑的圓的半徑為：，到軸的距離為，令，①化簡(jiǎn)得，即，故當(dāng)時(shí)，①式恒成立.所以存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓與軸相切.法二：設(shè)，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為.設(shè)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，所以，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則到軸的距離為，而，故以為徑的圓與軸切，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，符合題意，所以存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓與軸相切.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，拋物線定義及定點(diǎn)問(wèn)題的解法綜合應(yīng)用，屬于難題.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由點(diǎn)可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達(dá)定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為，聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因?yàn)?所以,又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以,即,則有,由點(diǎn)在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實(shí)數(shù),使成立【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ）由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的，所以，代入數(shù)值運(yùn)算即可；（Ⅱ）可判斷均值應(yīng)為，再結(jié)合（1）和題干備注信息可得，進(jìn)而求解；（Ⅲ）求得，該分布符合二項(xiàng)分布，故，列出分布列，計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率，結(jié)合即可求解；【詳解】（Ⅰ）記這只蜻蜓的翼長(zhǎng)為.因?yàn)榉N蜻蜓和種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量大致相等，所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.（Ⅱ）由于兩種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量相等，的方差也相等，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性，可知由（Ⅰ）可知，得.（Ⅲ）設(shè)