2025優(yōu)化設(shè)計一輪課時規(guī)范練70　雙曲線的定義、方程與性質(zhì)

課時規(guī)范練70雙曲線的定義、方程與性質(zhì)一、基礎(chǔ)鞏固練1.已知雙曲線C:x216?y29=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線C的右支上,則|PF2|-|PFA.-8 B.8 C.10 D.-102.(2024·河南平頂山模擬)已知雙曲線C:x2m?y24=1(m>0)的左焦點與拋物線y2A.25 B.45 C.23 D.433.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線A.2 B.2 C.3 D.14.已知雙曲線C:x22a?y2A.C的實軸長為2B.C的漸近線方程為y=±12C.C的離心率為6D.C的一個焦點的坐標(biāo)為(5a5.(2024·浙江紹興模擬)已知雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,若左支上的兩點A,B與左焦點F1三點共線,且△ABF2的周長為8,則|AB|=()A.2 B.3 C.4 D.66.(2024·遼寧朝陽模擬)以雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>A.62 B.3 C.52 D7.(2020·全國Ⅲ,理11)設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為5.P是C上一點,且F1P⊥F2P.若△PFA.1 B.2 C.4 D.88.(多選題)(2024·山東棗莊模擬)已知曲線C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,則下列說法正確的有()A.C1的長軸長為5B.C2的漸近線方程為x±2y=0C.C1與C2的離心率互為倒數(shù)D.C1與C2的焦點相同9.(2024·江西南昌模擬)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>10.(2024·山西陽泉模擬)請寫出一個焦點在y軸上,且與直線y=2x沒有交點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

二、綜合提升練11.(2020·全國Ⅰ,文11)設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2-y23=1的兩個焦點,O為坐標(biāo)原點,點P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為(A.72 B.3 C.52 D12.(多選題)(2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬)已知點P在雙曲線C:x216?y29=1上,F1,F2分別是雙曲線C的左、右焦點,若△PFA.點P到x軸的距離為20B.|PF1|+|PF2|=50C.△PF1F2為鈍角三角形D.∠F1PF2=π13.P為雙曲線x2-y215=1右支上一點,M,N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|-|PN|的最大值為14.(2023·新高考Ⅰ,16)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點A在C上,點B在y軸上,F

課時規(guī)范練70雙曲線的定義、方程與性質(zhì)1.A解析因為雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線C的右支上,所以|PF2|-|PF1|=-2a=-8.2.D解析拋物線的焦點為(-4,0),所以m+4=42,得m=12,所以雙曲線的實軸長為433.A解析由于雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>故該漸近線的斜率ba=1,所以雙曲線的離心率為e=4.C解析對于A,C的實軸長為22a,故A錯誤對于B,C的漸近線方程為y=±a2ax=±22x,故對于C,C的離心率為2a+a2a對于D,C的焦點的坐標(biāo)為(±3a,0),故D錯誤5.A解析因為雙曲線C:x2-y2=1,所以a=1.由雙曲線的定義得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2a=2,兩式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=4.△ABF2的周長為8,即|AF2|+|BF2|+|AB|=8,兩式相減得|AB|=2.6.A解析由題意可得實軸的頂點為(±a,0),虛軸的頂點為(0,±b),故4個中點為±雙曲線y2a2?x24b2=1的漸近線方程為y=±a2所以b2雙曲線C的離心率e=1+7.A解析不妨設(shè)點P在第一象限,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m>n,依題意得,ca=5,8.BC解析曲線C1:5x2+y2=5整理得y25+x2=1,則曲線C1是焦點在y軸上的橢圓,其中a12=5,b12=1,所以c12=a12?b12=4,離心率為e1=c曲線C2:x2-4y2=4整理得x24-y2=1,則曲線C2是焦點在x其中a22=4,b22=1,所以c22=aC2的漸近線方程為y=±12x,即x±2y=0,故B正確e1·e2=255×52=1,所以C1與C2的離心率互為倒數(shù)C1的焦點在y軸上,C2的焦點在x軸上,焦點位置不同,故D錯誤.故選BC.9.4解析由題意可知,雙曲線C的一條漸近線為直線y=x,故a=b,故其實軸長為2a=2b=4.10.y24-x2=1(答案不唯一)解析與直線y=2x沒有交點,則y=2x可以作為雙曲線的漸近線,故滿足y24-x2=λ(λ>0),取λ=1,則滿足條件的一個雙曲線方程可以為y11.B解析由題意知a=1,b=3,c=2.不妨設(shè)F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,則F1(-2,0),F2(2,0).因為|OP|=2,所以點P在以O(shè)為圓心,F1F2為直徑的圓上,故PF1⊥PF2,則|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由雙曲線的定義可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面積為12|PF1|·|PF2|=312.BC解析設(shè)點P(xP,yP).因為雙曲線C:x216?y29=1,又S△PF1F2=12×2c|yP|=12×10×|y將|yP|=4代入x216?y29=1得xP由雙曲線的對稱性,不妨取點P的坐標(biāo)為203,4,得|PF由雙曲線的定義得|PF1|=|PF2|+2a=133+8=373,所以|PF1|+|PF2|=373+13在△PF1F2中,|PF1|=373>2c=10>|PF2|=133,且cos∠PF2F1=|PF則∠PF2F1為鈍角,所以△PF1F2為鈍角三角形,故C正確.由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|故選BC.13.5解析雙曲線的兩個焦點F1(-4,0),F2(4,0)分別為兩圓的圓心,圓F1與圓F2的半徑分別為r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值為|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5.14.355解析(方法1設(shè)A(x,y),B(0,m),不妨令點A在第一象限,則m<0.設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,則F1A=(x+c,y),F1B=(c,m),F2A=(x-c,y),F2由F1A⊥有F1A·F1B=(x+c)c+ym=由(*)式得x=53c,y=-23m,代入則點A坐標(biāo)為53c,43c,代入x2a2?y2b2即25e2-16e2e2-1=9,解得e2=95或e2=(方法2解三角形法)由F2A=-2