河北2023-2024學年高一年級下冊第二次調(diào)研考試數(shù)學試卷(含答案)

河北棗強中學2023-2024學年高一下學期第二次調(diào)研考試數(shù)學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.已知復數(shù)z滿足(1-i)z=2i,則z的模為()

A.lB.V2C.A/3D.2

2.設x,yeR,向量a=(九,1),b=(l,y),c=(2,T),且a_Lc,bile,則尤+y=()

A.-2B.lC.2D.O

A.⑴⑶⑸B.⑴⑵⑶⑸C.⑴⑶⑸(6)D.⑶(4)(6)⑺

4.已知非零向量a,b滿足付=211且則a與b的夾角為()

A.-B.-C.—D.—

6336

5.已知復數(shù)2=荷',則三在復平面內(nèi)對應點的坐標為()

i+i1-i

A.［；,。［B."JC.加D.［O,￡|

6.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

〃$11123—3$111271=4$出人0)$。.則角B=()

A.45°B.60°C.90°D.120°

7.在△ABC中，ABVAC,且卜3卜,。卜逐M是BC的中點，。是線段AM的中

點，則。4-(Q3+OC)的值為()

RV5

A.O￡).----cD.--

4-i8

8.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且△ABC的面積S°=G,

S^ABc^—(a2+c2-b2),則曲8。=()

A.?B.-V3C.2D.-2

二、多項選擇題

9.下列說法不正確的是（）

A.底面是矩形的四棱柱是長方體

B.有兩個面平行，其余四個面都是平行四邊形的幾何體叫平行六面體

C.棱柱的各個側面都是平行四邊形

D.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

10.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）

A.（無+yi）+2=（3-4i）+2;yi,則x+y=5

B.3+i>1+i

C.若z=（l+2i）2,則復數(shù)z對應的點位于第四象限

D.已知復數(shù)z滿足|z-2i|=3,則z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為圓

11.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,下列說法中正確的是（）

A.若△他（7為銳角三角形，則sinA>cos5

B.若sin2A=sin25,則△ABC為等腰三角形

C.若則sinA>sin8

D.若a=8,c=10,3=60。，則符合條件的△ABC有兩個

12.下列說法中正確的是（）

A.在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,若。力>0,則△ABC為銳角三角形

B.已知點。是平面上的一個定點，并且A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿

4DACz、

足。P=OA+4?~p+L、（2G（0,+OO））,則點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心

C.已知a=（l,2）,Z?=（l,l）,a與a+勸的夾角為銳角，實數(shù)2的取值范圍是

D.在△回（7中，若204+308+500=0,則△AOC與△498的面積之比為空

三、填空題

⑶復數(shù)言（其中i為虛數(shù)單位）的虛部為一.

14-在EC中'BC=2瓜Sx與AB.AC,則△樹外接圓半徑為

15.圣?索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一

體，極具對稱之美.為了估算圣?索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建

筑物AB,高約為36m,在它們之間的地面上的點M,。三點共線)處測得建筑

物頂A、教堂頂C的仰角分別是45。和60。，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為

15。，則可估算圣?索菲亞教堂的高度。約為.

16.四邊形ABCD中，點E,R分別是A3,的中點，AB=2,CD=273,

EF=1,點P滿足=則PCPD的最大值為.

四,解答題

17.已知向量2=(1,2),1=(4,-3).

⑴求Q?Z?；

(2)若向量C〃a,且|c|=26,求向量c的坐標；

(3)若向量b+hz與b-履相互垂直，求實數(shù)上的值.

18.已知復數(shù)z=(裙-1)+(4—,meR.

⑴若z是純虛數(shù)，求機的值；

(2)若z在復平面內(nèi)對應的點在直線x-y+l=。上，求m的值；

⑶若z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求機的取值范圍.

19.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足acos6=(3c—〃)cosA.

⑴求cosA的值；

(2)若a=2夜，且△ABC的面積為血，求〃+c的值.

20.(1)在復數(shù)范圍內(nèi)解方程f_i0x+27=0；

⑵若復數(shù)z滿足|z|=|z—2|,N—z=2i,求

3+2i

___.1

21.如圖，在平行四邊形ABCD中，AM=-AD,AB=a,AC=b.

3

⑴用a,b表示AM,BM；

(2)^AB=AM=2,且ACBM=10,求cos(a,b).

22.記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c已知向量

m=(cosA,1+sinA),n=(l+cos23,-sin2B).

(1)設單位向量/=(O,l),若根-2/與〃共線，且3=工，求A；

6

(2)當機_L及時：

⑴若c=年，求&

旭)求=￡的最小值.

參考答案

1.答案：B

解析：復數(shù)z滿足(1—i)z=2i,z=3=/i(*i+i,

l-i(1-1)(l+i)

所以|z|=V2.

故選：B.

2.答案：D

解析：因為向量a=(x,l),b=(1,j),c=(2,-4),且。_1°,bile,

2x-4=0

所以解得x=2,y=-2,

—4—2y=0

所以x+y=O.

故選：D.

3.答案：A

解析：根據(jù)棱柱的結構特征：一對平行的平面且側棱相互平行的幾何體,

所以棱柱有(1)(3)⑸.

故選：A.

4.答案：B

解析:由所以(a-〃"=0,BPa-b-b=0,

因為,|=設向量匕的夾角為兀),

..-2

所以cos0=j—|j—?=I1II所以。='.

那2MM2\b\-\b\23

故選：B.

5.答案：A

解析：由復數(shù)的運算法則，可得z=-=W'所以忘=.

2

所以三在復平面內(nèi)對應的點的坐標為1-Lo

l-iI2

故選：A.

6.答案：B

解析：因為asin2B-￡sin2A=asinAcosC,

2

由正弦定理及二倍角公式得：sinA?2sin5cosB-sinCsinAcosA=sinAsinAcosC,

因為在△ABC中，sinAwO,則2sinBcosB-sinCcosA=sinAcosC,

即2sin5cos5=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sin5,即2sin5cos5=sin5,

因為在△ABC中，sinBwO,所以cos3=L〉0,所以8=60。.

2

故選：B.

7.答案：C

解析：如圖，以A為原點，AB,AC所在直線分別為％軸，y軸建立直角坐標系,

則4（0,0）,B（V5,0）,C（0,V5）,

因為〃是的中點，所以M

因為。是線段AM的中點，所以。

所以Q4（OB+OC）=_%*n*T

故選：C.

解析：MABC的面積Sm=G=%sin5,

/.acsinB=2否,

A/3?61———=6cosB=sinB,

lac

Be（0,7i）,

?口_兀_1._A/3

..B——,cosDB——,sinDB——，

322

..CLC=4,

AB-BC=accos（7i-B）=-2.

故選：D.

9.答案：ABD

解析：對于A,底面是矩形的直棱柱是長方體，故A錯誤；對于B,有兩個面平行，

其余四個面都是平行四邊形的幾何體不一定是平行六面體.例如如圖①所示正方體

ABCD-AgC。中，取N,M分別為側棱上的點，且G"=，N,則幾何體

5cM與-ADN4］滿足有兩個面平行，其余四個面都是平行四邊形，但其不是平行六面

體，故B錯誤；

對于C,棱柱的各個側面都是平行四邊形，故C正確；

對于D,底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體，有兩個面互相平行，其余各面均

為四邊形，且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.故有兩個面平行,

其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，如圖②.故D錯誤.故迭ABD.

10.答案：AD

解析：A：由題意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3—4i)+2M=3+(2y—4)i,

所以一，解得X=l，y=4,所以x+y=5,故A正確，

y=2y-4

B：因為兩個復數(shù)不能比較大小，所以B不正確；

C：因為z=(l+2iy=l+4i-4=-3+4i,所以復數(shù)z對應的點(—3,4)位于第二象限，因

此C不正確；

D：因為|z-2i|=3,所以z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為圓心為(0,2),半徑為3的

圓，因此D正確，

故選：AD.

11.答案：AC

解析：A選項，若△ABC為銳角三角形，則0。<4<90。，0°<B<90°,

90o<A+B<180°,90°>B>90°-A>0°,

y=cosx在(0。,90。)上單調(diào)遞減，所以cos5<cos(90。-A)=sinA,A選項正確.

B選項,若sin2A=sin25,

則可能24+25=180。，A+B=90°,此時三角形ABC是直角三角形，所以B選項錯

誤.

C選項，若A>5,則a>b,由正弦定理得sinA>sin5,所以C選項正確.

D選項，若a=8,c=10,B=60°,

由余弦定理得b=V64+100-2X8X10XCOS60°=2721,

所以符合條件的△ABC只有1個，D選項錯誤.

故選：AC.

12.答案：BD

解析：對于A,因為。力>0,即BC.C4>0,所以CBCAvO,則。為鈍角，故A錯

誤；

對于B,因為衛(wèi)-、H分別表示向量A3、AC方向上的單位向量，

\AB\|AC|

所以U+M的方向與N8AC的角平分線重合，

\AB\|AC|

AnAnAC

又。尸=04+2?~|+|~?,W<9P-OA=AP=2(~+|~

ABAC1r

UIlU網(wǎng)"

又4G(O,+8),所以向量AP的方向與48AC的角平分線重合，

所以點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故B正確；

對于C,因為a=(l,2),Z?=(l,l),所以a+/l6=(l+42+/l),

當4=0時，a+Ab=(l,2)=a,此時a與a+彳匕同向，夾角不是銳角，故C錯誤;

對于D,因為204+308+500=0,所以49=巳03+20。，

22

延長A0交于。，如圖所示.

因為A。，。。共線，所以存在實數(shù)左，OD=kAO=—OB+—OC,

22

因為D,B,C共線，所以次+至=1,所以左=L

224

__a5___ss_s一「力a

所以+所以3。=。。一03=—103+?0。=三3。，所以J=9,

88888DB5

所以為區(qū)1=江也=3,則鼠皿=屋四二=3,故D正確.

S^OBDSAABD5S&A0BS&OBD-^AABD5

故選：BD.

13.答案：1

2+4i(2+4i)(l—i)

解析:^^-=3+1,

1+i2

所以復數(shù)空巴的虛部為L

1+i

故答案為：L

14.答案：3

解析：因為S-BC=1A5-AC，AB||AC|sinA=^|Afi||Ac|cosA,

故tanA=0\故A為銳角，故sinA=當，

故外接圓的半徑為號x」=3,

底2

T

故答案為：3.

15.答案：54m

解析：由題可得在直角△物/中，ZAMB=45°,|AB|=36,所以|4囪=36夜，

在△AMC中，ZAMC=180°-60°-45°=75°,ZM4C=15°+45°=60°,

所以ZACM=180°-75°-60°=45°,

所以由正弦定理可得包1=上皿，所以|CM|=36^2=36出,

sin45°sin60011也

則在直角△CDM中，|cq=|CAf|-sin6(F=54,即圣?索菲亞教堂的高度約為54nl.

故答案為：54m.

16.答案：1

解析：如圖所示：

因為PC=PF+EC,PD=PF+FD,又點尸是CO的中點,

所以ED=—FC,所以PD=PF—FC,

.....2——-?2

PC-PD=(PF+FC)?(PF-FC)=PF-FC

=|Pb/一=|PF|2-3,

又PAPB=O,所以R4，PB,又點E是AB的中點，

所以PE=^AB=1,

2

因為“=PE—PE,

,2...2..2

所以EF=(PF-PE?=PF-2PFPE+PE,

即尸尸=2PF-PE,

設=\PF\=x,貝=2xlxx*cos，，

所以x=2cos。，

所以PC-P￡)=x2—3=4cos2?！?=2cos2?！?,

所以當26=0即。=0時，cos26有最大值1,

即PCPO有最大值為1.

故答案為：1

17.答案：⑴-2

(2)c=(—2,—4)或(2,4)

(3)左=±石

解析：(1)。=(1,2),8=(4,—3),a力=lx4+2x(—3)=—2.

x2+v2=20

(2)設2=(%,y),由c//a,且|c|=2石得(,

y=2x

Y——Qv-，

解得，或，故C=(-2,-4),或(2,4).

y=T[)=4

(3)若向量匕+左a與Z?-ka相互垂直，則(6+左辦(6-左a)=0,

22

即Z?—k2a=0,所以d+(—3)2)—42(F+22)=O,

即左2=5,故左=±行.

18.答案：(1)1

⑵一2

⑶(1,2)

力?2—1—Q

解析：⑴若Z是純虛數(shù)，則〃:U,

m-m-2^Q

m=l,則根的值為1；

(2)若z在復平面內(nèi)對應的點在直線x-y+l=O上，

則m—l—(rn-根-2)+1=0,解得加=-2

m2—1>Q

⑶若Z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則,

m-m-2<0

/.l<m<2,則根的取值范圍為(1,2).

19.答案：⑴,

3

(2)4

解析：⑴因為〃cos5=(3c-Z?)cosA,

所以由正弦定理得sinAcos5=3sinCcosA-sinBcosA,

EP3sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+5)=sinC,

因為OVCVTI,貝UsinCwO,所以cosA=L

3

(2)由⑴知cosA二;，

又0<A<TI,所以sinA=A/1-COS2A=,

3

因為△ABC的面積為正，

所以S^ABC=gbcsinA=be=be=A/2,得be=3,

r\

又。=2\[2,所以由〃=+才_2Z?ccosA,得/+/——be=8,

3

所以(/?+c)2-g/7c=8,即(Z?+c)2=16,

又b>。,c>0,所以Z?+c=4.

20.答案：(l)x=5-V2i/5+V2i

j__a

13-13

解析：(1)由尤2—10%+27=(工一5丫+2=0,

可得(x—5)2=-2=/『，則x-5=±氏

所以方程了2一10%+27=0的解為％=5—6或5+".

(2^z=a+〃i(a,Z?eR),則由忖=匕一21得，片+，=J(a-2)2+尸,

解得a=l.

又z-z=-2bi=2i,所以/?二一1,

maz1-i(l-i)(3-2i)3-2-2i-3il-5i15.

3+2i3+2i(3+2i)(3-2i)9+4131313,

21.答案:⑴—a),BM=^b-^a

⑵典

68

解析：(1)因為AB=a,AC=b,且ABCD是平行四邊形，

所以5C=Ad-AB=5-a,

所以

333、1

所以BM=AM-AB=—(b-a\~a=-b-—a,

3、133

⑵由⑴知AM=；僅—a),BM=^b-^a,

又ACSACBM=10,AB=AM=2,

所以=10,gR_q)=2,|a|=2,

.2--.2.2..

即Z?-4a-b=30,b+a-2a-b=36,

解得a?Z?=1,W=,

所以cos(a/)=告.

'/\a\\b\68

22.答案：（1）A=工/工

62

(2)(i)3=m

o

(ii)4V2-5

解析：⑴因為m=(cosA,l+sinA),j=(0,1),

所以加-2J=(cosA,l+sinA)-(0,2)=(cosA,-l+sinA),

又加一2)與〃共線，n=(l+cos2B.-sin2B),

則cosA(-sin2B)=(