河北省承德市部分示范性高中2024屆高三年級(jí)下冊(cè)二模數(shù)學(xué)

高三數(shù)學(xué)試卷

本試卷滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答

題區(qū)域均無(wú)效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合人=卜1y=lg(Y—3x+2)},B={y|y=必+i,xeR),則Ac5=()

A.(2,+OO)B.(-8,1)U(2，+8)C.(0,1)L>(2,+OO)D.(1,+(?)

2.已知z=2t,則復(fù)數(shù)三對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在()

1-i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.設(shè)。為實(shí)數(shù)，若函數(shù)/(x)=gx3—以2+3在％=1處取得極小值，則。=()

1

A.lB.-C.OD.-1

2

4.在,ABC中，。為6C中點(diǎn)，連接AD,設(shè)E為AD中點(diǎn)，且歷l=x,BE=y,則=()

A.4x+2yB.-4x+yc.-4x-2yD.4y-2x

5.函數(shù)/(x)=6sin[2x-1J+cos[2x-Ej的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為()

nkn,nkn,

A.x=—I-----，4eNB.%=—I-----，4eZ

3222

5nkn,7兀E,”

C.x=-----1-----，左cND.x=---1-----，4eN

122122

6.對(duì)于一個(gè)自然數(shù)，如果從左往右，每一位上的數(shù)字依次增大，則稱(chēng)自然數(shù)是“漸升數(shù)”，那么三位數(shù)的

“浙升數(shù)”共有()

A.97個(gè)B.91個(gè)C.84個(gè)D.75個(gè)

2x

7.已知函數(shù)/(x)=x(e*+e-),若a滿(mǎn)足/(log/)+f(log025a)<2^e+|L則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（)

A.B.（4,+X）C.（O,4）

8.已知圓。：必+⑶―2）2=1,圓。與V軸交于A（0,3）,3（0,l）,斜率存在且過(guò)原點(diǎn)。的直線/與圓。相

交于兩點(diǎn)，直線AM與直線相交于點(diǎn)尸，直線AM、直線BN、直線。尸的斜率分別為

勺，42，6,貝U（）

A.k[+6k2—左3B.左+2k2=左3

C.2k1+k?~左3D.《+k?—左3

二.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.對(duì)于給定的數(shù)列｛4｝,如果存在實(shí)數(shù)P，4,使得a,+i=p%+q對(duì)任意成立，我們稱(chēng)數(shù)列｛q｝

是“線性數(shù)列”，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.等差數(shù)列是“線性數(shù)列”

B.等比數(shù)列是“線性數(shù)列”

C.若pwl且q=q,則。/（1—P）

1-夕

D.若pwl且q=q,則｛4｝是等比數(shù)列｛如的前〃項(xiàng)和

10.已知直線I與拋物線E:V=2%相交于A&,%）,5（%,%）兩點(diǎn)，分別過(guò)AB作拋物線準(zhǔn)線的垂線，

垂足分別為C。，線段A6的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d,焦點(diǎn)為工。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.若d=￡,則|AC|+忸口=11

B.若Q4_LO3,則％%=-16

C.若直線/過(guò)拋物線的焦點(diǎn)尸，則C/LDE

D.若E4LEB,直線。4,的斜率之積為4,則直線/的斜率為±正

2

11.如圖，在正四棱柱ABC?！狝4CR中，A%=2AB=2,E是棱44]的中點(diǎn)，P為線段上的點(diǎn)

（異于端點(diǎn)），且ED=PD,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.EDX是平面EDC的一個(gè)法向量

3

B.BP=-BD,

41

C.點(diǎn)P到平面EC。的距離為&

18

D.二面角P—石C—。的正弦值為之@

14

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/■（無(wú)）=2'+無(wú)在％=0處的切線的斜率為.

22

13.已知雙曲線C：5-與=1（。〉0）〉0）,耳,凡分別為其左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上一點(diǎn)，

ab

且直線尸耳的斜率為2,則雙曲線的離心率為.

PFX1PF2,

「「1sinxsinx

14.已知tanx=一，則---------+----------=.

3cos3xcos2xcos2xcosx

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

15.（本小題滿(mǎn)分13分）

已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",滿(mǎn)足Sn+2=Sn+1+an+2,數(shù)列也｝滿(mǎn)足bn=log2??,

bi=0,b2=1.

（1）寫(xiě)出4,生，4，%,并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）記％為數(shù)列也｝在區(qū)間（m-l,m］（meN*）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛cm｝的前m項(xiàng)和Tm.

16.（本小題滿(mǎn)分15分）

中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京開(kāi)幕，各地報(bào)起了一股學(xué)習(xí)黨史風(fēng)潮，某

市為了促進(jìn)市民學(xué)習(xí)黨史，舉辦了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到了1000人的競(jìng)賽成績(jī)（滿(mǎn)分

100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

成績(jī)區(qū)間[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)201802002802208020

(1)求上表數(shù)據(jù)中的平均值(同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的方法，用頻率代替概率，從該學(xué)校中隨機(jī)抽取3位同學(xué)參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，記

他們之中不低于60分的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

17.(本小題滿(mǎn)分15分)

如圖1,在直角一APB中，=,C為P3中點(diǎn)，PA=PC=1,取AC中點(diǎn)。，連接

PD,BD,現(xiàn)把一APC沿著AC翻折，形成三棱錐P—A5C如圖2,此時(shí)=取6C中點(diǎn)E,連

接PE,DE,記平面PAB和平面PDE的交線為。為/上異于尸的一點(diǎn).

(1)求證：PD1,平面ABC；

(2)若直線4。與平面所成角的正弦值為巫，求P。的長(zhǎng)度.

15

18.(本小題滿(mǎn)分17分)

221

已知橢圓C:5+2=l(a〉人〉0)的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3,且。的離心率是一，過(guò)左焦點(diǎn)尸的直

a"b2

線I與橢圓交于AB兩點(diǎn),過(guò)左焦點(diǎn)且與直線/垂直的直線I'與橢圓交于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求|A到+WW|的取值范圍.

19.(本小題滿(mǎn)分17分)

給定一個(gè)“+l(〃eN*)元函數(shù)組：/(x)"(x),……，力(%),若對(duì)任意正整數(shù)九，均有

%

fn(X)=A-1(),貝時(shí)巴fo(x)稱(chēng)作該函數(shù)組的“初始函數(shù)”.已知go(x)是函數(shù)組go(X),

&(x),,g“(x)的“初始函數(shù)”，且8"(%)=行、111x+十卜”.

(1)求函數(shù)g2(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g“(x)=(a?sinx+2cosx)e*,7zeN*,記cn=an+bn,數(shù)列｛c.｝的前幾項(xiàng)和為.蒼％z是三個(gè)

互不相等的正整數(shù)，若|sj+|s』=2|sj,求x+y+z除以4的余數(shù).

參考答案

1.【答案】A

【解析】集合A中％2—3x+2>0,所以x<l或者x>2,集合6中y.l,所以Ac5=(2,+”)，故選

A.

2.【答案】D

2+i(2+i)(l+i)l+3il-3i

【解析】z=『=::所以彳=一二的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，故選D.

1-1(l-i)(l+i)22

3.【答案】B

【解析】令/"(x)=x2—2依=0,則％=0或1=2。，因x=l時(shí)取極小值，則2。=1,即。=3,故

選B.

4.【答案】D

【解析】由于_8￡=3(54+_8。)=3B4+；50,所以BC=4BE-2A4=4y-2x,故選D.

5.【答案】C

—cos2x+-sin2x=sinf2%-所以

［解析1/(%)=-V3cos2x+cos2x-+sin2x-=

22I3J

2x--=—+kn,解得X---，左eZ,故選C.

32122-

6.【答案】C

【解析】在1,2,,9中任取3個(gè)數(shù)，其大小關(guān)系確定，貝『'漸升數(shù)"共有C；=84個(gè)，故選C.

7.【答案】D

【解析】函數(shù)/(力=%2.+6-')為偶函數(shù)，所以/■(logo.25a)=〃Tog4a)=/(log4a)，故。滿(mǎn)足

2A-xr-x

/(log4?)<e+-,當(dāng)龍..0時(shí)，f'(x)=x(e-e)+2x(e+e)..0,因此在(0,+司上單調(diào)

e

遞增，在(一。,0)上單調(diào)遞減，注意到/(l)=e+g,因此一Idog/Vl,解出。的取值范圍是4,

故選D.

8.【答案】A

【解析】由題意得直線AM：y=%x+3,與圓C方程聯(lián)立，得(將+1卜2+2上/=0,可求出點(diǎn)

同理得點(diǎn)M吉由于"在直線,上，因此經(jīng)二翌1，化

簡(jiǎn)后得色+3左2)(匕&+1)=。，顯然左人工一1，否則點(diǎn)尸在圓。上，與題意矛盾，則勺+3左2=0,再

聯(lián)立直線AW：y=Kx+3與直線BN:y=k,x+l,則點(diǎn)P,2，，?],因此

(左2一匕左2一占)

左3=迎丁勺~=一左1，因此左1+6左2=43?故選A.

9.【答案】AB（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得3分，有選錯(cuò)的得。分）

【解析】數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，則4+i—a“=d,即%+]=a“+d,滿(mǎn)足“線性數(shù)列”的定義，故A正

確；數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則即a“+i=q。，，滿(mǎn)足“線性數(shù)列”的定義，故8正確;

/、

設(shè)4中_左=p（a“_左），左eR,則k—pk=q,解出左=二"，則=@一1"，因

l—P1—PI1—P）

小-叫

此4故C錯(cuò)誤;

若夕=0且qwO,則a“=q,顯然。錯(cuò)誤.故選AB.

10.【答案】ACD（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得。分）

【解析】因?yàn)?=口，所以圖主毆!=口,即|4。|+忸。|=11,故A正確；

222’

-y—（22、1

設(shè)直線OA:y=Ax，4W0,由‘可得點(diǎn)Ayr，：，由于。則直線03：y=——x,

y=2x,\Kk）k

同理求出點(diǎn)5（2左2,—24），因此M%=—4,故B錯(cuò)誤；

一1

1x=my+—,o

設(shè)直線/的方程為x=my+—,由2可得V—2叫—1=0,貝。

2k=2x,

y1y2=-1,kCF=-y；,kDF=-y2,因此左CFADF=T，故C正確;

x=my+〃,0

設(shè)直線/的方程為x=+由〈2:可得y--2加y—2〃=0,則A=4機(jī)2+8九>0，且

b=2x,

%+%=2加,%%=-2”,由于E4_LEB,因止匕

（1YH1/x11（yfy；11

王—刁/一不+%%=//―5（玉+%2）+1+%%=丫—5寸+寸+]+%%

\乙J\乙J乙tT〈乙乙/

11I-~|1

="-2"+----（%+%）一一2%為=n--Sn-m2+—=0,因?yàn)橹本€。4,06的斜率之積為4,則

44——4

=一工=4,因此〃=一,,7〃=土0,滿(mǎn)足A=4機(jī)2+8〃>0，故直線/的斜率為土正，

七%%為n22

故。正確，故選ACD.

11.【答案】ACD（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分）

【解析】由于是正四棱柱，易知。C，E〃，在—EDD]中，因?yàn)镋D】=ED=血,DD[=2,所以

ED；+ED?=DD；,故ER_LED,又EDu平面EOC,OCu平面團(tuán)C,E"cOC=。，所以

ER，平面EDC,故A正確；

在，中，因?yàn)锽D=RDD、=2,BD[=遙,貝此05/32。=/，在

PDR中,利用余弦定理可求得=逅或=遙（舍去），因此5P=230,故B錯(cuò)誤；

33

棱柱4網(wǎng)-DCD1=—xlxZxl=l,?^A￡）￡=—xlxlxlx-=—^lxlxlx-=-,

乙乙JvJDD

14_c^=lx2x|xlx1=1,因此匕_Eg=g，因?yàn)镋'，平面EDC，所以

、=

ED[LEC,SECDL又也義6=顯，設(shè)點(diǎn)B到平面ECDI的距離為h,VB_ECD=4義直，,因此

122'326

h^—,由于3P=23。，所以點(diǎn)尸

63

到平面ECD]的距離為逅，故c正確；

18

以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（LO』）,C（O,LO）,p[g,；,g：2（O,O,2）,

石。=（—1,0,1）為平面EDC的一個(gè)法向量，EP=1—g,g,；1,EC=（-1」,—1）,設(shè)平面PEC的一個(gè)

211

/、n,EP=——x+—y+—z=0,

法向量為〃=（x,y,z）,貝卜333令

n-EC=-x+y-z=0,

z=L〃=（2,3』）,cosE2，〃Ch〃=一今,因此二面角p—￡C—。的正弦值為封H,故。正

E￡>i卜網(wǎng)1414

確，故選ACD.

12.【答案】ln2+l

【解析】r(x)=2t-1112+1,貝Ij/'(o)=ln2+l.

13.【答案】75

【解析】由于直線尸耳的斜率為的因此|尸閶=2,且|尸閭-|尸耳|=2a,因此|尸耳|=2蜀尸鳥(niǎo)|=4。,

因?yàn)槭?，時(shí),所以(2a)2+(4a)2=4c2,則e=G

14.【答案】—

9

■左刀上廠▼sinxsin(3x-2x)sin3xcos2x-cos3xsin2x。八

【解析】-----------=—-------)-=---------------------------------=tan3x-tan2x,

cos3xcos2xcos3xcos2xcos3xcos2x

sinxsin(2x-x)sin2xcosx-cos2xsinx「

--------------------------------------------------------------=tan2x—tanx，

cos2xcosxcos2xcosxcos2xcosx

…,sinxsinx

所以一；———+---------=tan3x-tanx,而

cos3xcos2xcoszxcosx

2tanx

c/c、tan2x+tanx1-tan2x+@迎3tanx-tan3x_13

tan3x=tan(2%+x)=-----------------=--工駛九二----

1-tan2xtanr12tanxl-3tan2x9

l-tan2x

13110

因此原式二------

93~9

m

15.【答案】⑴l,2,3,4,??=n(neN*)(2)Tm=2-1

【解析】(1)由S,+2=S〃M+4+2可得%+2一?！?2.

由—log2?！保傻谩?,%=2,%=q+2=3,%=%+2=4,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，令n=2k,keN*,a2k=%+2(左一1)=2左；

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，令〃=2左一攵—1=4+2(左一1)=2左一1.

綜上所述，an=7i(7ieN*)；

(2)由(1)得a“="("eN*),則。“=log2〃，

m

由m-l<bn?m,可得log?2"—1<log2n,,log22,

m

因?yàn)閍=log2n是一個(gè)遞增數(shù)列,所以2"T<&2",故cm=2-2"i=2"一

故數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，4=匕二=2"'-1.

1—2

g

16.【答案】（1）63.2（2）略，

【解析】（1）

x=35x0.02+45x0.18+55x0.2+65x0.28+75x0.22+85x0.08+95x0.02=63.2；

（2）由題意可知，3,11,則X=0,1,2,3,

d?嚴(yán)（x=i）=qtH_36.

p（x=o）=—=—

'12f一而

P（X=2）=*x[1'卷中=3）=?'_27.

一運(yùn)

所以X的分布列為

X0123

8365427

P

125125125125

E”3x|[

有或還

17.【答案】（1）略（2）

11

【解析】（1）證明：由題意知PD=立，cos/BCA=3U+一=一受，解得班）J,

22BCBD2V2

當(dāng)PB=也時(shí)，有尸,即PDL8。，

由。是AC的中點(diǎn)，24=「。得。。，4。，

而5。八4。=。,5。,4。＜=平面ABC,故平面ABC；

（2）解：以DA,DP為x軸，z軸，過(guò)。作平面PAC的垂線為V軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

//、

系，則。（0,0,0）,A3,0,0,P0,0,*,利用/瓦）。的余弦值

）I27

z

(V2

0,0,-1

7

設(shè)平面PDB的法向量為72=(%,No,Zo),

PD-n=0,/、

則不妨取%=1,解得“=(1,2,0).

PBn=0,

設(shè)Q(Xi，X，zJ,則PQ=%,—4^],A3=--^―,-^-,0,PQ與Ag共線，設(shè)為PQ=kAB,

mil3區(qū).,.痂/3A/2V2

則Xj=--丁左,％=下-左,4=《-，故Q]--二上三七三)，

因此AQ=—左一設(shè)直線A。與平面PDB所成角為。,

因此|PQ|=&J=6或盧。|=,空+警545

1T

2

尤v48

18.【答案】(1)—2+^-=1(2)—,7

437

C_1

【解析】(1)由題意得5'解得〃=2,0=1,則/="—，=3,

〃+c=3,

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1;

43

（2）由（1）可知，左焦點(diǎn)R（-1,0）,當(dāng)直線/斜率不存在或者斜率為0時(shí)，|A@+|AW|=7,

當(dāng)直線/斜率存在且不為0時(shí)，

設(shè)直線/：y=k（x+l）,直線=—，（％+1）,4（%,%）,3（%2，%），/（%，%），可%4，%）>

K

y=%(x+l),

聯(lián)立方程組《%2,2整理得(4左2+3)尤2+8左2%+4左2—12=0,

----1----=1,

143

—8左24左2—12

貝Ix+x=

r24左2+31-4k2+3

同理可得|政7|=:仁：）

34

|AB|+|2W|=7+

所以左左=7-----------[2------

42+332+412左2+:+25

k2

1248

由于12r+9..24,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=1時(shí)等號(hào)成立，則亍”g@+|"N|<7,

48

綜上所述，|A邳+|