江蘇省揚州市2024年中考數(shù)學模擬試題(解析版)

江蘇省揚州市2024年中考數(shù)學試題

一、選擇題：

1.目的倒數(shù)是（）

A.]B.gC.5D.3

【答案】A

【解析】分析：依據(jù)倒數(shù)的定義進行解答即可.

詳解：???（-5）x（-5）=1,

5

1

???-5的倒數(shù)是-

_5

故選A.

點睛：本題考查的是倒數(shù)的定義，即乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

2.使國有意義的幽勺取值范圍是（）

A.|x〉3|B.|x<31C.|x2孑D.k#（

【答案】C

【解析】分析：依據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，可得答案.

詳解：由題意，得

x-3K）：

解得x>3,

故選C.

3.如圖所示的幾何體的主視圖是（）

A?田B且D-CS

【答案】B

【解析】依據(jù)主視圖的定義，

幾何體的主視圖由三層小正方形組成，

下層有三個小正方形，二三層各有一個小正方形，

故選B.

4.下列說法正確的是()

A.一組數(shù)據(jù)2,2,3,4,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2

B.了解一批燈泡的運用壽命的狀況，適合抽樣調(diào)查

C.小明的三次數(shù)學成果是126分，130分，136分，則小明這三次成果的平均數(shù)是131分

D.某三最高氣溫是口，最低氣溫是國則該日氣溫的極差是反J

【答案】B

【解析】分析：干脆利用中位數(shù)的定義以及抽樣調(diào)查的意義和平均數(shù)的求法、極差的定義分別分析得出答

案.

詳解：A、一組數(shù)據(jù)2,2,3,4,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2.5,故此選項錯誤；

B、了解一批燈泡的運用壽命的狀況，適合抽樣調(diào)查，正確；

C、小明的三次數(shù)學成果是126分，130分，136分，則小明這三次成果的平均數(shù)是13(1分，故此選項錯誤;

D、某日最高氣溫是7℃,最低氣溫是-2℃,則改日氣溫的極差是7-(-2)=9,C,故此選項錯誤；

故選B.

點睛：此題主要考查了中位數(shù)、抽樣調(diào)查的意義和平均數(shù)的求法、極差，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

5.已知點甌引、叵函都在反比例函數(shù)y=-j的圖象上，則下列關(guān)系式肯定正確的是()

A.X]vX?v(B.X1<0C.QVX]v(D.”0<x]

【答案】A

【解析】分析：依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

詳解：由題意，得

k=-3,圖象位于其次象限，或第四象限，

在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

V3<6,

AXI<X2<0,

故選A.

點睛：本題考查了反比例函數(shù)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.在平面直角坐標系的其次象限內(nèi)有一點同，點回到蠹的距離為3,至阻軸的距離為4,則點回的坐標是

A.[53B.c.^43]D.EM]

【答案】c

【解析】分析：依據(jù)其次象限內(nèi)點的坐標特征，可得答案.

詳解：由題意，得

x=-4,y=3,

即M點的坐標是（4,3）,

故選C.

點睛：本題考查了點的坐標，熟記點的坐標特征是解題關(guān)鍵.橫坐標的肯定值就是到y(tǒng)軸的距離，縱坐標

的肯定值就是到x軸的距離.

7.在iRtAABd中,kACB=90°l，ICDlABl于名,15g平分2ACD|交陽于目,則下列結(jié)論肯定成立的是（）

A.|BC=EdB.|EC=B^C.|BC=BEI）.|AE=Ed

【答案】C

【解析】分析：依據(jù)同角的余角相等可得出/BCD=/A,依據(jù)角平分線的定義可得出NACE二NDCE,再結(jié)

合NBEC=NA+NACE、NBCE=/BCD+/DCE即可得出NBEC二NBCE,利用等角對等邊即可得出BC=BE,

此題得解.

詳解：VZACB=90°,CD_LAB,

/.ZACD+ZBCD=90°,ZACD+ZA=90°,

.?.ZBCD=ZA.

TCE平分NACD,

.\ZACE=ZDCE.

又：NBEC=NA+NACE,ZBCE=ZBCD+ZDCE,

AZBEC=ZBCE,

ABC=BE.

故選C.

點睛：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、余角、角平分線的定義以及等腰三角形的判定,

通過角的計算找出NBEC二NBCE是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，點圓在線段由上，在由的同側(cè)作等腰段出血和等腰RAADEI，回與叵1、國分別交于點回、0.

對于下列結(jié)論：

?IABAE-ACA5；②tMP?MD=MA?MEi；=CP?cM?其中正確的是()

A.①②③B.①C.①②D.②?

【答案】A

【解析】分析：(1)由等腰RSABC和等腰Rt/iADE三邊份數(shù)關(guān)系可證;

(2)通過等稅式倒推可知，證明△PAMs/M3MD即可；

(3)2CB?轉(zhuǎn)化為AC2,證明△ACPs/\MCA,問題可證.

詳解：由已知：AC=[§AB,AD=[§AE

,IZBAC=ZEAD

ZBAE=ZCAD

AABAE^ACAD

所以①正確

VABAE^ACAD

ZBEA=ZCDA

VZPME=ZAMD

AAPME^AAMD

AMP*MD=MA*ME

所以②正確

VZBEA=ZCDA

ZPME=ZAMD

???P、E、D、A四點共圓

???ZAPD=ZEAD=90°

*/ZCAE=180°-ZBAC-ZEAD=90°

AACAP^ACMA

/.AC2=CP<M

〈AC教AB

.\2CB2=CP*CM

所以③正確

故選A.

點睛：本題考查了相像三角形的性質(zhì)和推斷.在等積式和比例式的證明中應留意應用倒推的方法找尋相像

三角形進行證明，進而得到答案.

二、填空題

9.在人體血液中，紅細胞直徑約為b.00077cnj,數(shù)據(jù)0.00077用科學記數(shù)法表示為.

【答案】QxioT

【解析】分析：肯定值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為axl07與較大數(shù)的科學記數(shù)

法不同的是其所運用的是負指數(shù)哥，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所確定.

詳解：0.00077=7.7x10-4,

故答案為：7.7X10-4.

點睛：本題主要考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axlO-1其中上間<10,n為由原數(shù)左邊起第

一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所確定.

10.因式分解：］8-2乂2=?

［答案］卜(3-xX3+xM

【解析】分析：原式提取2,再利用平方差公式分解即可.

詳解：原式二2(9-x2)=2(x+3)(3-x),

故答案為：2(x+3)(3-x)

點睛：此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，嫻熟駕馭因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

11.有4根細木棒，長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm,從中任選3根，恰好能搭成一個三角形的概率是

【答案】3

【解析】分析：依據(jù)題意，運川列舉法可得從有4根細木棒中任取3根的總共狀況數(shù)目以及能搭成一個三角

形的狀況數(shù)目，依據(jù)概率的計算方法，計算可得答案.

詳解：依據(jù)題意，從有4根細木棒中任取3根，有2、3、4：3、4、5：2、3、5：2、4、5,共4種取法,

而能搭成一個三角形的有2、3、4；3、4、5,二種；

1-

故其概率為:一

點睛：本題考查概率的計算方法，運用列舉法解題時，留意按肯定依次，做到不重不漏.用到的學問點為:

概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

12.若國是方程顯2-3xT=d的一個根，則6m2-9m+20T的值為，

【答案】2024

【解析】分析：依據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案.

詳解：由題意可知:2m2-3m-l=0,

.,.2m7-3m=l

，原式=3(2m2-3m)+2024=2024

故答案為：2024

點睛：本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義，本題屬于基礎題型.

13.用半徑為國，圓心角為畫的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓半徑為

S-

【答案】用

【解析】分析：圓錐的底面圓半徑為r,依據(jù)圓錐的底面圓周長二扇形的弧長，列方程求解.

詳解：設圓錐的底面圓半徑為r,依題意，得

點睛：本題考查了圓錐的計算.圓錐的側(cè)面綻開圖為扇形，計算要體現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：1、圓錐的母線長為扇形

的半徑，2、圓錐的底面圓周長為扇形的瓠長.

【解析】分析：先求出每個不等式的解集，再依據(jù)口訣求出不等式組的解集即可.

詳解：解不等式3x+l>5x,得：x^,

解不等式片>?,得：x>-3,

則不等式組的解集為?3VXWL

2

故答案為：-3VxJ.

2

點睛：此題考查了一元一次不等式組的求法，其簡便求法就是用口訣求解.求不等式組解集的口訣：同大

取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

15.如圖，已知10d的半徑為2,區(qū)咽內(nèi)接于叵8,LACB=135°|,則|AB=

【答案】噩

【解析】分析：依據(jù)圓內(nèi)接四邊形對邊互補和同孤所對的圓心角是圓周角的二倍，可以求得NAOB的度數(shù),

然后依據(jù)勾股定理即可求得AB的長.

詳解：連接AD、AE、0A、0B,

:。0的半徑為2,AABC內(nèi)接于00,ZACB=135°,

，NADB=45°,

ZAOB=90°,

VOA=OB=2,

???AB:犧，

故答案為：3目.

點睛：本題考查三角形的外接圓和外心，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題須要的條件，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答.

16.關(guān)于R的方程|mx2-2x+3=d有兩個不相等的實數(shù)根，那么國的取值范圍是

卜T且由3

【答案】

【解析】分析：依據(jù)?元二次方程的定義以及根的判別式的意義可得△=4-12m>0且n#0,求出m的取值范

圍即可.

詳解：???一元二次方程mx2-2x+3=0有兩人不相等的實數(shù)根,

，△>()且m#),

/.4-12m>0且m#),

一

！

..m<3且n#(),

一

故答案為：|冗<日且m#).

點睛：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#),a,b,c為常數(shù))根的判別式A=b241c.當△>(),方程

有兩個不相等的實數(shù)根；當△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二

次方程的定義.

17.如圖，四邊形|5畫是矩形,點網(wǎng)的坐標為厄?,點?的坐標為畫，把矩形6道沿6g折疊,點目落在

點日處，則點田的坐標為.

【解析】分析：由折疊的性質(zhì)得到一對角相等，再由矩形對邊平行得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換及等角

對等邊得到BE=OE,利用AAS得到三角形OED與三角形BEA全等，由全等三角形對應邊相等得到DE=AE,

過D作DF垂直于0E,利用勾股定理及面積法求出DF與OF的長，即可確定出D坐標.

詳解：由折疊得：ZCBO=ZDBO,

???矩形ABCO,

ABC/7OA,

/.ZCBO=ZBOA,

.-.ZDBO=ZBOA,

/.BE=OE,

HSAODE和ABAE中，

ZD=Z.BAO=90°

Z.OED=ZBEA

OE=BE

/.△ODE^ABAE(AAS),

.*.AE=DE,

設DE=AE=x,貝ij有OE=BE=8-x,

在RtAODE中,依據(jù)勾股定理得：42+(8-x)2=x2,

解得：x=5,即OE=5,DE=3,

過D作DF_LOA,

則D忖

故答案為：

點睛：此題考查了翻折改變（折疊問題），坐標與圖形變換，以及矩形的性質(zhì)，嫻熟駕馭折疊的性質(zhì)是解本

題的關(guān)鍵.

18.如圖，在等腰ktAABd中，口=90°|，點目的坐標為位I，若直線N：|y=mx+m（mR就把國6|分成面積

相等的兩部分，則團的值為.

【解析】分析：依據(jù)題意作出合適的協(xié)助線，然后依據(jù)題意即可列出相應的方程.，從而可以求得m的值.

Vy=mx+m=m(x+1),

工函數(shù)y=mx+m肯定過點(-1,0),

當x=0時，y=m,

???點C的坐標為(0,m),

由題意可得，直線AB的解析式為y=?x+2,

???直線1：y=mx+m(n#0)把^ABO分成面積相等的兩部分,

解得,(舍去),

故答案為：^3^.

點睛：本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求

問題須要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

三、解答題

19.計算或化簡.

(1)+|由-2|+tan60°;(2)|(2x+3『-3+3)(2xT).

【答案】⑴4；⑵|12x+@

【解析】分析：(1)依據(jù)負整數(shù)累、肯定值的運算法則和特別三角函數(shù)值即可化簡求值.

(2)利用完全平方公式和平方差公式即可.

詳解：(1)(1)'+|^2|+tan60°

=2+(2舟?國

=2+2-國質(zhì)

=4

(2)(2x+3)-(2x+3)(2x-3)

=(2x)2+12X+9-[(2X2)-9]

=(2x)2+12X+9-(2X)2+9

=12x+18

點睛：本題考查實數(shù)的混合運算和乘法公式，負整數(shù)指數(shù)幕的運算和相反數(shù)簡單混淆，運用平方差公式計

算時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方.

20.對于隨意實魏、似，定義關(guān)于f西'的一種運算如下：|a⑥b=2a+Q例如|384=2*3+4=

(1)求國國的值；

(2)微g(-y)^l，且|2y?x=I],求k+、｛的值.

【答案】(1)□：(2)EE1

【解析】分析：(1)依據(jù)新定義型運算法則即可求出答案.

(2)列出方程組即可求出答案

詳解：(1)|2。(-5)=2*25=1|

點睛：本題考查新定義型運算，解題的關(guān)鍵是正確利用運算法則，本題屬于基礎題型.

21.江蘇省第十九屆運動會將于2024年9月在揚州實行開幕式，某校為了了解學生“最寵愛的省運會項目”

的狀況，隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，規(guī)定每人從“籃球”、"羽毛球”、“自行車”、“游泳”和“其他''五

個選項中必需選擇且只能選擇一個，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.

最寵愛的省運會項目的人數(shù)調(diào)查統(tǒng)計表

依據(jù)以上信息，請回答下列問題：

（1）這次調(diào)查的樣本容量是,:

（2）扇形統(tǒng)計圖中“自行車”對應的扇形的圓心角為________度；

（3）若該校有1200名學生，估計該校最寵愛的省運會項目是籃球的學生人數(shù).

【答案】（1）50人，|a+b=llh（2）網(wǎng)；（3）該校最寵愛的省運動會項目是籃球的學生人數(shù)為480人.

【解析】分析：（1）依據(jù)9918%,即可得到樣本容量，進而得到a+b的值；

（2）利用圓心角計算公式，即可得到“自行車”對應的扇形的圓心角；

（3）依據(jù)最寵愛的省運會項目是籃球的學生所占的比例，即可估計該校最寵愛的省運會項目是籃球的學生

人數(shù).

詳解：（1）樣本容量是9X8%=50,

a+b=50-20-9-10=11,

故答案為：50,11；

（2）“自行車”對應的扇形的圓心角唱乂360。=72。,

故答案為：72°；

（3）該校最寵愛的省運會項目是籃球的學生人數(shù)為：1200x^=480（人）.

點睛：本題考查的是統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖中得到必要

的信息是解決問題的關(guān)鍵.扇形統(tǒng)計圖干脆反映部分占總體的百分比大小.

22.4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字?1、-3、4、6,將卡片的背面朝上，并洗勻.

（1）從中隨意抽取1張，抽到的數(shù)字是奇數(shù)的概率是;

（2）從中隨意抽取1張，并將所取卡片上的數(shù)字記作一次函數(shù)卜=kx+H中的或再從余下的卡片中隨意抽

取1張，并將所取卡片上的數(shù)字記作一次函數(shù)|y=kx+d中的社利用畫樹狀圖或列表的方法,求這個一次函數(shù)

的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率.

1-1-

答案2

「

23一

-一

【解析】解：（1）總共有四個，奇數(shù)有兩個，所以概率就是卜t

（2）依據(jù)題意得：一次函數(shù)圖形過第一、二、四象限，則k〈o,b>d

分析：（1）干脆利用概率公式求解;

（2）畫樹狀圖展示全部12種等可能的結(jié)果數(shù)，利用一次獲勝的性質(zhì)，找出kVO,b>0的結(jié)果數(shù)，然后依

據(jù)概率公式求解.

詳解：（1）從中隨意抽取1張，抽到的數(shù)字是奇數(shù)的概率=1;

故答案為-；

2

（2）畫樹狀圖為:

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中kVO,b>0有4種結(jié)果,

所以這個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率羋

點睛：本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示全部等可能的結(jié)果n,再從中選出符合事

務A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計算事務A或事務B的概率.也考查了一次函數(shù)的性質(zhì).

23.京滬鐵路是我國東部沿海地區(qū)縱貫南北的交通大動脈,全長1462km,是我國最繁忙的鐵路干線之

一.如果從北京到上海的客車速度是貨車速度的2倍，客車比貨車少用6h,那么貨車的速度是多少？

（精確到O.lkm/h）

【答案】貨車的速度是叵國千米〃J、時.

【解析】分析：設貨車的速度是x千米/小時，則客車的速度是2x千米/小時，依據(jù)時間:路程一速度結(jié)合客

車比貨車少用6小時，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論.

詳解：設貨車的速度為畫園

,吁』4621462

由題怠得——=6=>x=121.J

Ix2x

經(jīng)檢驗121司是該方程的解

答：貨車的速度是叵習千米/小時.

點睛：本題考查了分式方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平行四邊形［ABCE|中,|DB=DA|,點W是國的中點，連接函并延長，交區(qū)的延長線于點忖，連

接回.

（1）求證：四邊形仄麗是菱形;

（2）君DC=Jld，ItaMDCB-3|，求菱形IAEBEI的面積.

【答案】（1）證明見解析：（2）1sAEBD—.

【解析】分析：（1）由△AFDgZXBFE,推出AD二BE,可知四邊形AEBD是平行四邊形，再依據(jù)BD=AD

可得結(jié)論；

（2）解直角三角形求出EF的長即可解決問題；

詳解：（1）???四邊形國我是平行四邊形

A|AD；/Bd>；?kADE=-D前

「同是醺的中點，A|AF-BF|

,在bAFDl與國可中,kADE二ZDEB.AF=BF/AFD=ZBF/

V|AD；/Bd>???四邊形lAEBd是平行四邊形

???|DB=DA|,J四邊形仄麗是菱形

（2）?,?四邊形注函是菱形，|DB=DA|

，|AD=BD=BE=Bd，

?*ADE=ZBDE/BDC=〃同

?*?|z.ADE+Z.BDE4-Z.BDC+Z.BCD=180(

，LBDE+/BDC=90(

V|PC=710|.ItaMDCB=3

???5碼口=陽口+2=阿3而+2=13

點睛：本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等學問，解題的

關(guān)鍵是正確找尋全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

25.如圖，在bABd中,|XB=AC|，甌工場于點目，|OEJLAEl于點回,以點目為圓心，遠為半徑作半圓，交國

于點回

(1)求證：困是國的切線；

(2)若點同是畫的中點，遠三］,求圖中陰影部分的面積；

(3)在(2)的條件下，點慟是叵弛上的動點，當反逼取最小值時，干脆寫出畫的長.

【答窠】⑴證明見解析：⑵際影=，百-};(3)|BP地.

【解析】分析：(1)過目作畫垂線四,垂足為同，證明OM=OE即可；

(2)依據(jù)“Sz^o-S相形kS陰影”進行計算即可；

(3)作回關(guān)于因的對稱點目，交畫于回，連接國交困于慟，此時|PE+PH最小.通過證明|AEHF|S|AFOFI即可

求解

詳解：(1)過后作迎垂線因,垂足為同

V|AB=Ad>lAOlBd

,園平分仁國

V|OElAB,OMlAd

A|OE=OM

丁巨目為◎目的半徑，

而為。B的半徑,

???瓦是o0的切線

（2）???|OM=OE=OF=孑且慟是國的中點

，|AO=d，|AE=3島

**?SAAEO=AO?AE2=前

V|OEIAB|

（3）作目關(guān)于因的對稱點回，交困于回，連接國交團于目

此時|PE+PF|最小

點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線的判定，不規(guī)則圖形的面積計算以及最短路徑問題.找出點

E的對稱點G是解決一題的關(guān)鍵.

26.“揚州漆器”名揚天下，某網(wǎng)店特地銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售量/（件）與銷

售單價區(qū)（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

nfli

（i）求口與R之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）假如規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大

利潤是多少？

（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，確定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩

余利澗不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍.

【答案】（1）|y=T0x+70d；（2）單價為46元時，利潤最大為3840元.（3）單價的范圍是45元到55元.

【解析】分析：（1）可用待定系數(shù)法來確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）依據(jù)利潤=銷售量x單件的利潤，然后將（1）中的函數(shù)式代入其中，求出利潤和銷售單件之間的關(guān)系

式，然后依據(jù)其性質(zhì)來推斷出最大利潤；

（3）首先得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，進而利用所獲利潤等于3600元時，對應x的值，依據(jù)增減性，求出x

的取值范圍.

詳解.（1）由題意得.k40k+b=300|L（k=-10

計航.<,山幽思伶-H55k+b=150||jb=700,

故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+700,

（2）由題意，得

-l0x+700>240,

解得爛46,

設利澗為w=(x-30)*y=(x-30)(-10x+700),

w=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)44000,

V-10<0,

.??xV50時，w隨x的增大而增大，

.??x=46時,w大=-10(46-50)2+4000=3840,

答：當銷售單價為46元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3840元；

(3)w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600,

-10(x-50)2=250,

x-50=±5,

xi=55.X2=45?

如圖所示，由圖象得：

當45<x<55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元.

點睛：此題主要考查了二次函數(shù)的應用、一次函數(shù)的應用和一元二次方程的應用，利用函數(shù)增減性得出最

值是解題關(guān)鍵，能從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型是解答本題的重點和難點.

27.問題呈現(xiàn)

如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點日、國和目、?，國與因相交于點慟，求國畫的值.

方法歸納

求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往須要找出(或構(gòu)造出)一個直角三角形.視察發(fā)覺問題中憶函不在直角

三角形中，我們經(jīng)常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題.比如連接格點同、回，可得|MN//Ed，則

LDNM=/CPN，連接應，那么立網(wǎng)就變換到中巨畫畫.

問題解決

（1）干脆寫出圖1中ItanZCPN的值為；

（2）如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，國與國相交于點目求IcosZCPNl的值;

思維拓展

（3）如圖3,|AB1BC|>|AB-4B（j>點同在國上，且|AM二BCj，延長演到阿，使3〉-2B（j,連接國交國

的延長線于點此用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求區(qū)亟的度數(shù).

31----------------3

【答案】（1）見解析；（2）cos^.CPN=—：（3）cCPN=-FAN=45'

【解析】分析：（1）依據(jù)方法歸納，運用勾股定理分別求出MN和DM的值，即可求出辰麗的值;

（2）仿（1）的思路作圖，即可求解；

（3）方法同（2）

詳解:

??,（區(qū)曲2+（煙）2二麗2

ADM:+MN2=DN2

???△DMN是直角三角形.

VMN#EC

AZCPN=ZDNM,

DM2J2

VtanZDNM=——=*=2,

MN板

A|tanZCPN|=2.

（2）kCPN=ZEATj

???|EA=EN，|AEJ?函

-UcPN=Z.EAN=45（

AcosZ.CPN=—

2|

（3）[cPN=ZFAN=451證明同（2）.

點睛:本題考查了非直角三角形中銳角三角函數(shù)值的求法.求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往須要找出（或

構(gòu)造出）一個直角三角形是解題的關(guān)鍵.

28.如圖1,四邊形叵畫是矩形，點國的坐標為面，點日的坐標為函?點取點后動身，沿畫以每秒1個

單位長度的速度向點國運動，同時點日從點國動身，沿?以每秒2個單位長度的速度向點慟運動，當點目與

點國重合時運動停止.設運動時間為曰秒.

（1）當[3時，線段國的中點坐標為；

（2）當區(qū)魚與國@相像時，求日的值；

（3）當E時，拋物線口乏最多過慟、口兩點，與日軸交于點同拋物線的頂點為回，如圖2所示.問

該拋物線上是否存在點目，使iMQD=；4MKQ,若存在，求出全部滿意條件的后點坐標：若不存在，說明理

由.

【答案】（1）記的中點坐標是「252”⑵卜或白；⑶卜圖,52（~1*

【解析】分析：（1）先依據(jù)時間1=2,和速度可得動點P和Q的路程0P和AQ的長，再依據(jù)中點坐標公式

可得結(jié)論;

(2)依據(jù)矩形的性質(zhì)得：ZB=ZPAQ=90°,所以當ACBQ與aPAQ相像時，存在兩種狀況:

①當ZsPAQsz^QBC時,②當△PAQs/XCBQ時,分別列方程可得I的值;

(3)依據(jù)1=1求拋物線的解析式，依據(jù)Q(3,2),M(0,2),可得MQ〃x軸，.\KM=KQ,KE1MQ,

畫出符合條件的點D,證明△KEQs^QMH,列比例式可得點D的坐標，同理依據(jù)對稱可得另一個點D.

詳解：(1)如圖1,丁點A的坐標為(3,0),

/.OA=3,

當t=2時，OP=t=2,AQ=2t=4,

，P(2,0),Q(3,4),

|2+3lb+4

工線段PQ的中點坐標為：(旨，—).即(2）；

故答案為：描2)；

(2)如圖1,???四邊形OABC是矩形,

/.ZB=ZPAQ=90°

工當ACBQ與△PAQ相像時，存在兩種狀況:

①當ZXPAQs^QBC時，肉=胃

4t2-15t+9=0,

t2.9t+9=0,

旬

V0<t<6,>7,

???x'+；耳不符合題意,舍去,

綜上所述，當ACBQ與APAQ相像時，t的值是

(3)當t=l時，P(1,0),Q(3,2),

把P(1.0),Q[3,2)代入拋物線y=x?+bx+c中得:

(

1+b+c=0,解得：b=-3

?+33+c=2c=2

工拋物線:y=x2-3x+2=(x--)2—

3i

，頂點k

VQ(3,2),M(0,2),

???MQ〃x軸，

作拋物線對稱軸，交MQ于E,

AKM=KQ,KE1MQ,

/.ZMKE=ZQKE=HZMKQ.

如圖2,ZMQD=HZMKQ=ZQKE,設DQ交y軸于H,

,:ZHMQ=ZQEK=90°,

.?.△KHQS/XQMH,

r.MH=2,

AH(0,4),

一2

易得HQ的解析式為:-H3X

一

-

2

X

_

-

+4

a

l

一

2

-

2

-

3

&

-

2

Z

D

(

_

*

K，

3

.

,

QKE

Q=N

/MK

M=U

NHQ

3,使

,如圖

點H

存在

軸上

方，y

的下

，在M

同理

x,

：y—

析式

的解

0Q

易得

2

/

y=

r

M

2

2-3x+

(y=x

(],\

序或

(§

為：D

坐標

D的

，點

所述

綜上

形

三角

應用，

的綜合

和性質(zhì)

的判定

:角形

相像一

要考查

，主

問題

綜合

像的

形相

三角

數(shù)與

次函

是二

：本題

點睛

段長

示出線

用t表