2023-2024學(xué)年天津市南開區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷+答案解析

2023-2024學(xué)年天津市南開區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題6分，共54分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知全集廠-I1」.：“，集合八={-1."何1|,則—()

A.{2}B.{3}C.{-I,1.2.3}D.{-1.0,1.2}

2.若a,6為實數(shù)，則%、2=0”是“ab-2”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某車間從生產(chǎn)的一批零件中隨機抽取了1000個進行一項質(zhì)量指標(biāo)的檢測，整理檢測結(jié)果得到此項質(zhì)量指

標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間I?71'的零件中抽取170個進行再

次檢測，則質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間山，內(nèi)的零件應(yīng)抽取()

5.已知,，2I'1門―，,2則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b>c>aB.a>if>rC.a>c>bD.h>(i>r

6.如圖，某種中藥膠囊外形是由兩個半球和一個圓柱組成的，半球的直徑是6mm

第1頁，共17頁

圓柱高8加根，則該中藥膠囊的體積為（）

A.90萬”“〃,B.萬〃'C.210工，〃〃/D.36。丫〃〃〃」

7.已知拋物線廠門的準(zhǔn)線過雙曲線二/|s一八’山的左焦點，點P為雙曲線的漸近線和拋物線

的一個公共點，若尸到拋物線焦點的距離為5,則雙曲線的方程為（）

A.L=1B."r=1C.J---y-=2D.>J--2yJ=I

2"2

8.在'I"中，zx/2?A「，尸為'所在平面內(nèi)的動點，且1,則

ri-/?/;的最大值為（）

A.4B.8C.12D.16

9.已知函數(shù)2人」L-*1,給出下列結(jié)論：

①T?不）=/（l）；

②將/-的圖象向左平移:個單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱；

o

③若11?'[,,則，；

④對[]/]，有〃JT]I:成立.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共6小題，每小題6分，共36分。

10.，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2"的虛部為

3-1/

11.二項式；''1I的展開式中，常數(shù)項為.

-V-1-

12.若直線ir"-3=0與圓廣?1JI相切，則卜.

13.計算10^32.k>m9I'?的值為.

14.一個盒子中裝有5個電子產(chǎn)品，其中有3個一等品，2個二等品，從中每次抽取1個產(chǎn)品.若抽取后不再

放回，則抽取三次，第三次才取得一等品的概率為；若抽取后再放回，共抽取10次，則平均取

得一等品次.

第2頁，共17頁

15.已知函數(shù)八」,，則函數(shù)，一的各個零點之和為__________；若方程

I工，-3。

>'-1，，，恰有四個實根，則實數(shù)〃?的取值范圍為.

三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

在中，角N,B,C所對的邊分別為a,b,c,且、,13.,-〃O>ah"，3I

III求，"1的值；

III?求c的值；

III求「.己I?/八的值.

17.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱中，X\H，U2Mi2\\2,M■為/C的中點，.l|,VII(',

垂足為V.

(1)求證:a<'平面4BM；

1求直線與平面I"U所成角的正弦值;

(3)求平面AtBV與平面.Inif的夾角.

18.本小題小分)

設(shè)｛“卜為等比數(shù)列，｛「'，.)為公差不為零的等差數(shù)列，且仍=d=：1,

⑴求佃“｝和他｝的通項公式;

記：■的前n項和為、，mI的前n項和為/.,證明：1；

OnJ

［為奇數(shù)2?

i3i記，“=("~"，求52。

--_患一一K，”為偶故M

(6n-1)(6.,+1)

第3頁，共17頁

19.?本小題12分）

已知橢圓二.’廣卜“.山的離心率為';左、右頂點分別為/，B,上頂點為D,坐標(biāo)原點。到直

夕2

線/。的距離為

Q

“求橢圓的方程；

，過/點作兩條互相垂直的直線NP,與橢圓交于尸，。兩點，求面積的最大值.

20.，本小題12分）

已知函數(shù)/iL」I”」，.！，，,」”』.，‘，"h'

八求J「的最小值；

，若I，I,且八，],求證：1，WI-I；

|3|若有兩個極值點一，一，證明：八「，，JI.

第4頁，共17頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)集合運算的定義計算即可.

【解答】

解:由已知得C，.I-?1.，“，CiH{-1.2.31,

所以C.I：C,//|={3}.

故選：B

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

由,「-八-I”可得〃in,'i”，由,，八0,可得“=n或h?'1,利用充分、必要條件的定義進行判斷

即可.

【解答】

解:由.步(I>可得"=0>6W0>

由…,，?',可得“II或八”，

故由,「.L「可推出/，”，所以+3'=?！笔堑某浞謼l件，

由，浩I)推不出「-I.,所以.b--是'"，的不必要條件，

綜上，”與+/.Q”是“，小=0”的充分不必要條件,

故選：.1.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查了函數(shù)圖象的變換，屬于基礎(chǔ)題.

求出",可排除/,B,C,即可得出答案.

【解答】

解：當(dāng)「，時，,1.In11?■(),排除A,B,1

故選：D.

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4.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

由分層抽樣按比例計算.

【解答】

解：設(shè)質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間山內(nèi)的零件應(yīng)抽取x個，

ri1

則，

解得.「二f.L

故選：C.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查了三個數(shù)的大小的比較，解題時注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值0,1,分析判斷即可.

【解答】

解：由題意可得：“二2"-',P=1,/?=1-21g2=1-1gI,且()、「門-I,貝■]()「I?1,

因為1，「1?」2,貝(IJ?",

所以，"

故選：H.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查幾何體的體積的求解，球的體積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；

【解答】

解：由題意得該幾何體由兩個半球和一個圓柱筒組成，

所以體積為一個球體體積和一個圓柱體積之和，

由球體的體積為：I；=*-/i'1-'->：3,'TII'IH.in.'H',

3：l3

圓柱體積為：\"-八.；.『.、=iiirn

所以中藥膠囊的體積為：\=I；>I；=:拓II72r=1(相”"“：

故選：〃

第6頁，共17頁

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查拋物線與雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出準(zhǔn)線方程即可求出雙曲線的左焦點，即可求得c；由尸為雙曲線的漸近線和拋物線

的一個公共點，尸到拋物線焦點的距離為5,可求出點尸的坐標(biāo)，把點P的坐標(biāo)代入雙曲線的漸近線方程即

可得出。與b相等，再根據(jù)「-…?卜即可求解.

【解答】

解：設(shè)雙曲線的漸近線和拋物線的一個公共點尸在第一象限，

由題意知，拋物線，廠；，的準(zhǔn)線方程為，I,

所以雙曲線的左焦點坐標(biāo)為(I山，所以雙曲線半焦距，1.

又因為點尸為雙曲線的漸近線和拋物線的一個公共點，

P到拋物線焦點的距離為5,所以一?13,所以，，一I,

代入拋物線方程即可得八I",

因為I.「I在雙曲線的漸近線方程「上，所以〃I,,

a

又因為雙曲線中，「「?卜，所以-61.

2

所以雙曲線的方程為：2.-2y'=1.

故選：什

8.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，余弦定理，屬于中檔題.

根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出.C-90,求出點尸的軌跡為圓，再由平面向量的平行四邊形法則得出

/'\/1/；:一,、/，為48中點1,，小的最大值即圓心到定點。的距離加上半徑，代入化簡求值即可.

【解答】

解：」，，HCAISii(',2>所以〃一i則

第7頁，共17頁

所以1/；b>..2ATI2,所以.('hr,

2V,2

由」可得，點P的軌跡為以C為圓心，1為半徑的圓，

取48的中點。，則乃.而—2聞，

所以!'\-I'ii.-21,1>“-2,CD-1-2?I-I

故選：

9【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

由函數(shù)周期性判斷①，由對稱性判斷②，由單調(diào)性判斷③，取，，」為已知區(qū)間內(nèi)兩個最小值點，，為最

大值點，驗證不等式成立，然后可判斷④.

【解答】

解：/lJ|=2sin(2.r-g)+1,

則函數(shù)八」的最小正周期是/-\>①正確；

將卜，)的圖象向左平移:個單位長度后，得到的圖象的函數(shù)解析式是

o

42■:】I2.「-二-7+I2.in2/+1,圖象關(guān)于點I】I對稱，不關(guān)于原點對稱，②錯；

o3

1'一時，hI1，因止匕?！福?上單調(diào)遞增，③正確；

1233212

時，2r-具因此J:或:時，/(*)取得最小值9+1*,=1時，/")取得最大

333*>Z12

值3,取?,.1，—'，則；/_?成立，

3212

因此'，','.'[I，有“1?，f」「-/I「」成立，④正確，

?>2

第8頁，共17頁

共有3個命題正確.

故選：（二

10.【答案】-3

【解析】【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算以及復(fù)數(shù)虛部的概念即可得到答案.

【解答】

刈2.>t25i（3k）

解：I：；，，

故其虛部為-：L

故答案為：3

11.【答案】'

2

【解析】【分析】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

先求得二項式展開式的通項公式，再令X的幕指數(shù)等于0,求得r的值，即可求得結(jié)論.

【解答】

解：二項式?：的展開式的通項公式為：

-=好哼）上）'/'最」

令人>'?~>r0.'3;

6

所以展開式中，常數(shù)項為：；I}'?《r'，

故答案為：5

2

12.【答案】“

1*!

【解析】【分析】

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

由圓心到切線的距離等于半徑求解.

【解答】

解：由題意圓心為V.11,半徑為2,

第9頁，共17頁

1一公+3]

所以L解得L

故答案為:

13.【答案】8

【解析】【分析】

本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

由對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.

【解答】

解：原式—||2.HL：「-bIL,,.-ILII"l.1I'J-1；IL:;—JIL,;-1>'J

Iog2-?log*>6

故答案為：、

14.【答案】'；6

KI

【解析】【分析】

本題考查條件概率以及二項分布相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

由條件概率即可求出抽取三次，第三次才取得一等品的概率；設(shè)X為抽取一等品的次數(shù)，抽取一等品的概

率為:'，則、8W:，求出人即可得出答案.

口□

【解答】

解：令?為第，,1m次取得一'等品，

所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率為：

若抽取后再放回，則設(shè)X為抽取一等品的次數(shù)，抽取一等品的概率為］

貝。一.3-6.

55

所以平均取得一等品6次.

故答案為：,;

10

15.【答案】$；；；I/In2.?x；

【解析】【分析】

第10頁，共17頁

本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，由基本不等式求取值范圍，屬于難題.

求出函數(shù)小門的零點，可求得函數(shù)力，一的各零點之和；令f■-1,可得出函數(shù)r一J-L的值域為

XX

IX22.>XI,設(shè)方程jfl—川在I-X..2，XI上有兩個不等的實根，設(shè)為，、1,可得出，、

\!--X或，、I，=、.木或"2,2,數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)冽的取值范圍.

【解答】

解：當(dāng)/H時，由f?/；Im-f二I),可得,「=-1,

當(dāng)JII時，由fl.，Jh.i-b”,解得j—1或4,

所以，函數(shù)人」的各個零點之和為1，2,I；；

令/，、當(dāng)，“時，，，'412，當(dāng)且僅當(dāng)“時，等號成立,

JTJT\X

當(dāng)，?U時，-11■1-2,,,lZ：1-2,當(dāng)且僅當(dāng).r1時，等號成立,

X1-/yI-r)

所以，函數(shù)，'-1的值域為IX22rI,

X

作出函數(shù)，.的圖象如下圖所示：

X

若方程，一?「，，，恰有四個實根，則方程/#-〃，在i-”.-2]-2+xj上有兩個不等的實根，設(shè)為八，

X

由圖可知，',—一或八，，「\小或，?-2、，[2,

作出函數(shù)，"在?\」上「上的圖象如下圖所示:

第H頁，共17頁

由圖可得I”.111/或-］小，I),

因此，實數(shù)冽的取值范圍是IUrIn?xi.

故答案為：5；I-1111-XI.

16.【答案】解：II］因為、］；?.<..-.1..1.inHIH

所以由正弦定理可得JJJgjubcoBa+sinXsinA=0，

又5為三角形內(nèi)角，

所以、I-I?、山.I二11,可得i.HI.I=-=\I?()，

ccm.4

可得/為鈍角，可得1……\\「……廠…一\

所以解得<心1:或:舍去?；

?II1因為《sIL“2\打，八1，

所以由余弦定理6--,--)*ml，可得口1*>?.2-I-.?I1I,

4

整理可得，?3、In

解得，［或I；舍去］;

IIII,?因為???**1］,門2\h，八1，

所以、ii?1\1-1(?-1\-，*-111JI入日\一41',2III，

488

由正弦定理可得6'"4'\1--,4!H、'’，

a44

二匚I、I?c7、」<iv'15v10v6

所以21*KI，J、2I「n〃>T|21S|||liii-I?，

848416

【解析】本題考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式以及兩角和的余弦公式

的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

III由正弦定理化簡已知等式可得、1：71.〃….-ih.I〃"，結(jié)合711〃/",利用同角三角函數(shù)基

本關(guān)系式即可求解一小.1的值；

第12頁，共17頁

I山由題意利用余弦定理可得J.%N”即可解得c的值;

inI利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式可求的值，由正弦定理可得

進而可求，“、〃，利用兩角和的余弦公式即可解得，，1?乩的值.

17.【答案】解：11，證明：如圖，以/為坐標(biāo)原點，直線42為x軸，IA為了軸，NC為z軸建立空間直角

則川1」川)，「川,1),2".t|iO.1.1)1,//,1.Illi,CIII1Ji,.WillII1I

A\ii-(i,-1.u)，n\l—i)9—?~i.—i.21

設(shè)平面AJ川的一個法向量為萬3.航.:”,

則1%"“的().，取市=(1」用.

IBM-nt■-X|+“.().

因為/?/'?H1'II?in所以!<('-.“；

又平面

所以平面

口設(shè)〃N-\H('iA<i,2A：,

則,碎=用瓦+方汨=(1一,0,24)，因為■〃iG，

所以干萬轉(zhuǎn)二(1-A,0.2A)(-l.(l.2)?a

即3入一I=。，解得人=--

所以〃\、""LI」

所以，，。葭

R\IriTI5

所以直線8N與平面I所成角的正弦值為'

5

"，設(shè)平面」"V的一個法向量為“，

第13頁，共17頁

因為"；ri1>120>所以卜；.

所以平面.1\與平面，/八/夾角為90.

【解析】本題考查向量法證明線面垂直，向量法求解線面角問題，向量法求解面面角問題，屬中檔題.

1「建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面八/的一個法向量，由直線的方向向量與平面的法向量垂直及

線面平行的條件得證；

”由空間向量法求線面角；

.1由空間向量法求平面與平面所成的角.

18.【答案】解：111設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為分等差數(shù)列｛鼠｝的公差為d(d八)1，

依題意，%?如=八二，即3(342-W)(3解得d-1.

所以L”<,

因為3,(所以”3,從而”,3".

I2i由"I知、―'所以工行一

”為奇數(shù),

n為倜數(shù),

(2”-2卜3。3113*

因為，

(2n—1)(2“+1)22rm而二I

所以

J3

1323\L333\L3*3、1,3"u3"

2、317253’2、75’2，n+l2n-1

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，裂項求和法求和，屬拔高題.

11I由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量法求得通項公式;

第14頁，共17頁

ru由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前〃項和公式求得后，用作差法證明;

E并項…「然后裂項求和.

19.【答案】解：1由題意可得八u.l>),Hui.01,J?Hi-.i,

解得<i-2,'i1,,\：，，

所以橢圓的方程為(4-^-1.

2由題意可知直線PQ的斜率不可能為0,

可設(shè)尸0的直線方程為，，I'.?,Q，：」?「，

J*=+〃，?

整理得I5

{x+4Jr-4?0.

r

故、1m'*-II***11|?N'-11li,

因為.I/L.IQ,.12Jh,

所以"i+2）（XJ+2）+M放=。nMft+2（jj+引+4+加億=”，

即1川?〃/i|f力?〃/1?一億?；，I+切處。，

即「‘，：Lr，?'Ji'什，

?….?fir—4—2〃〃?

所以!r?r.?imr?.，；”，?9-“，

f”+4f1+4

整理得.I」I',解得…［或川舍去，，

則直線PQ與x軸交點為［：，

令yHI.1,、?，

第15頁，共17頁

_32ti_32._32

則2-61-ir+3ti:精，

十4H十

25------------------------------------?

因為V="「"在、-、I上單調(diào)遞增，故〃,、，

UU

32frl

故,"31,21，當(dāng)〃,，即，H時取等號,

u+-

【解析】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于拔高

題.

I，由已知條件列方程組求得4,b,C得橢圓方程；

I設(shè)尸。的直線方程為Jti)-"J,直線方程代入橢圓方程得川-"二，"也，由

垂直求得加，再把.?山，”心代入、…，，J，]，”，，八，換元后利用函數(shù)單調(diào)性得最大值.

20.【答案】I，解：函數(shù)J「的定義域為?.,二?,和，」:「，

當(dāng)/三1「~時，'」”所以，在?1.->，上單調(diào)遞增，

當(dāng)』時，「一”所以a，，在MLu上單調(diào)遞減，

所以J，在，：時取得最小值八

；1證明：由I1知…I「”，所以11.，]?.'-11,r/1I,

JT

由兒1，得A?”且h"I?，

Q

所以ll".hr』I-1111.,???,即hl。III<7,從而II'1■.iI,

a

所以”二I.

」「證明：依題意，，一"'-1I)有兩個不等正根，，，，不妨設(shè)/'一,

X1

..rn1乙曰/

由“?。，得"J一，

j-r1rJ

第16頁，共17頁

設(shè)…「I[,由「1/1知▼I」I在l?L】I上單調(diào)遞增，在I1.-X）上單調(diào)遞減，

c1e*

且當(dāng)，u