2024年黑龍江齊齊哈爾高三三模高考數(shù)學模擬試卷（答案詳解）

黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三下學期三模聯(lián)考數(shù)學試卷

全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置。

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答

題區(qū)域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚。

4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交。

5.本卷主要考查內容：高考范圍。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合/={x|"=2},若ZqN,則所有a的取值構成的集合為

A.{1,2}B.{1}C.{0,1,2}D.N

2.復平面內C三點所對應的復數(shù)分別為1-i,2-i,3+i,若為平行四邊形，則點。對應的復

數(shù)為

A.2B.2+iC.1D.1+i

3.設廠為拋物線=的焦點，若點P(l,2)在C上，貝修萬戶|=

5917

A.3B.—C.—D.

24

x

1_ae

4.若/(x)=---------sinx為偶函數(shù)，則。=

1+e

A.1B.0C.-1D.

5.某同學參加社團面試，已知其第一次通過面試的概率為0.7,第二次面試通過的概率為0.5.若第一次未

通過，仍可進行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，則該同學通過面試的概

率為

A.0.85B.0.7C.0.5D.0.4

設為等差數(shù)列的前〃項和，

6.S”{g}S2=29S6=12,則Sg=

A.8B.10C.16D.20

7.已知某圓錐的底面半徑長為2,側面展開圖的面積為——，則該圓錐內部最大球的半徑為

3

1

B.-C.I

2

8.設為,12(%<乙)為函數(shù)/(x)=3sinx-1在區(qū)間(0,乃)的兩個零點，則sin(%2-xj=

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知d6>0,則使得“a〉6”成立的一個充分條件可以是

A.—<—B.|a—2|>|b—2|C.ab—ab~>a—bD.

ab\J\J

10.已知正方體Z8CD的棱長為3,尸在棱44上，乖=2麗,4€[0/],￡為。。1的中點，

則

A.當;1=0時，/到平面尸3。的距離為GB.當4時，/￡_L平面尸

2

C.三棱錐的體積不為定值

D.N3與平面所。所成角的正弦值的取值范圍是—

11.在平面直角坐標系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標軸

上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉45°,即得“斜橢圓”。：/+/+初=i,設尸(飛,汽)在c上，貝IJ

A.“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為y=x

V

c.旋轉前的橢圓標準方程為L+

22

3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.+的展開式中，V的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

13.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里的一個非常重要的不動點定理，簡單的講就是對于滿足一

定條件的連續(xù)函數(shù)/(x),存在一個點％,使得/(%)=/，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù).函數(shù)

f(x)=2x-sinx+cosx有個不動點.

14.已知圓C:(x—3)2+0—3)2=4,點/(3,5),點5為圓C上的一個動點(異于點/),若點尸在以

Z8為直徑的圓上，則P到x軸距離的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

已知的內角B,C的對邊分別為a,aCQ43C的面積為:a(csinC+6sinB—asin/).

(1)求/；

(2)若。=2,且A45C的周長為5,設。為邊8C中點，求ND

16.(本小題滿分15分)

如圖，在三棱柱ABC—481G中，平面44]。1。，平面/5。,/5=/。=5。=441=2,砧=a.

C,

(1)證明：AC1AXB；

(2)求二面角Z-C3]-8的正弦值.

17.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(x)=asinxbcos、。%>0,x=工為/(x)的極值點.

e2

(1)求a—InZ)的最小值；

(2)若關于x的方程/(x)=l有且僅有兩個實數(shù)解，求。的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)

22

已知雙曲線C:二-4=1(。>0,6>0)的實軸長為2,設廠為C的右焦點，T為C的左頂點，過廠的直

a~b~

線交。于4,8兩點，當直線Z8斜率不存在時，的面積為9.

(1)求。的方程；

(2)當直線斜率存在且不為0時，連接。，7S分別交直線x=g于2。兩點，設M為線段P。的

中點，記直線N5,FN的斜率分別為左,左2，證明：上他為定值.

19.(本小題滿分17分)

12

甲、乙兩同學進行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為一，乙射擊一次命中的概率為一，比賽共進行〃

23

輪次，且每次射擊結果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊〃次，每次命中得2分，未命中得0

分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終

止射擊.

CD設甲同學在方案一中射擊〃輪次總得分為隨機變是X“，求￡（萬20）；

（2）甲、乙同學分別選取方案一、方案二進行比賽，試確定N的最小值，使得當〃N時，甲的總得分期

望大于乙.

數(shù)學考試

參考答案、提示及評分細則

1.CA={x\ax=2},故Z中至多一個元素，當4=0時，a=0,當時，

a=1,2,/.ae{0,1,2}.故選C.

2.B由題意知4,B,C三點的坐標為4(1,—1),5(2,—1),C(3,1),設復平面內點D(xj),貝ij

3—x—1

Z§=(l,0),DC=(3-x,l-j/),又是復平面內的平行四邊形，則袤=工，則＜一,解之

1一)二0

x=2

得1,則。(2,1).故選B.

U=1

,V1117

3.D依題意，2=axF9,解得。=2,所以C:f」的準線為歹=——,所以|尸9|=2+—='，故

2888

選D.

,,、1-CIQX.,、1—uc.1—etc'ci—e'1—CIQX

4.A由題扇，/(rx)=--------sinx=/(R-x)=-------sin(-x),所以-------=-----=-------,

l+ex1+尸1+尸l+eTl+eA

解得a=l,故選A.

5.A第一次通過概率為0.7,第一次未通過第二次通過的概率為(l-0.7)x0.5=0.15,所以該同學通過

面試的概率為0.7+0.15=0.85.故選A.

6.D依題意，邑=:+%=2,慳=—；＞X6=12,所以%+4=4,故4一。2=2，所以數(shù)列{%}

的公差為工，所以凡=%旦x8=空皿EX8=3HX8=20,故選D.

2222

7.C設母線長為/,依題意g/x2〃x2=—,解得/=g,所以圓錐的高為=—22=|,

42x14

所以圓錐母線與底面所成角的正切值為一，設圓錐內部最大球的半徑為人則一一2-=-,解得r=l,故

3r23

1-----

4

選C.

8.B因為xe(0,〃)，所以X]+》2=〃,sin(%2—X)=sin(〃-2X])=sin2%=2sinX]cos》],因為

12-\/212V24V2

sinxi=jf所以cos%=§,所以sin(x2一=2X—X----------=-------故----選B.

339

9.AD因為。力〉0,所以2＜色，故Q〉aA選項正確;

abab

取。=1,6=2,止匕時B選項錯誤；

111

c9^b-ab91＞。一6可化為。+—＞6+—,因為函數(shù)歹=x+—在(0,+8)不單調，所以C選項錯誤；

abx

由皿4+i)＞in僅之+1)可知，a1＞b2,因為。/〉0,所以。＞力，D選項正確，故選AD.

10.ABD當4=0時，4—尸為正三棱錐，AD=3后，設/在平面尸AD內的投影為。，則03=指，

所以40=J9—6=欄,A選項正確；

平面所以ADL4E，設廠為A&1的中點，則E尸，3尸，又AFLBP,所以30，平

面4E產，所以AP_L4￡,故4￡_L平面尸AD,B選項正確；

VA_PBD=VP_ABD,當尸運動時，尸到平面的距離保持不變，所以三棱錐力-0友)的體積為定值，C選

項錯誤；

由C可知，三棱錐的體積為定值，所以點/到平面PBD的距離的=3乙一。BD,

SpBD

顯然當a=0時，心。的面積最大，此時45與平面尸所成角正弦值為丫-，

3

當4=1時，尸3。的面積最小，此時N3與平面尸8。所成角正弦值為變，

2

所以N3與平面心。所成角正弦值的取值范圍是—,D選項正確，故選ABD.

32

11.BCD由題意可知，斜橢圓關于^=》和^=—x對稱，聯(lián)立直線y=x與。：￡+/+孫=i,可得

X2=1,聯(lián)立直線^=—x與。：/+/+町=i,可得/=1,所以C兩焦點所在直線方程為＞=—x,A

選項錯誤；由A可知，半短軸為嚴寧=坐，半長軸為尸丁=0,所以C的離心率為半，B

選項正確；

22

旋轉不改變橢圓的長短軸大小，所以旋轉前的橢圓焦點在x軸上，曲線方程為寧+q~=l,C選項正確；

3

因為Y+初+/_1=0,關于％的方程有解，所以4(/—J)(J,解得—_y三,所以D選

項正確，故選BCD.

12.160《/［殳］=160/,故填160.

13.1由題意可知即求函數(shù)g(x)=x—sinx+cosx的零點個數(shù)，

當x］時，g(x)=X-行〉0,此時不存在零點；

當x-萬時，g(x)=x-V2sin一萬+逝＜0,此時不存在零點；

當xw1-肛時，g(x)=1-V2sin^x+^,易知g(x)在(一匹0)上單調遞增，在［0,^］上單調遞減,

g(f)＜0,g(0)=l＞。，故g⑴在［f?上有且僅有一個零點，綜上所述，/(x)=2x-smx+cosx

僅有一個不動點.

14.y設/后,%),則/B=J(Xo—3)2+(%—5)2=2^^,則,中點當P

在M上方，且PMLx軸時，P到x軸距離取得最大值，此時，設P到x軸距離為d,且

d=j5—%設?=J5-%e(0,2］,則［=?—四］1^，所以當，=1,即為=4時，d取得

最大值口.

2

15.解：(1)依題意，gQ(csinC+bsin3—QsinZ)=；absinC,

..........................2分

所以csinC+Z7sin5-asin/=bsinC,.................................................3分

由正弦定理可得，c2+b2-a2=bc,...................................................4分

由余弦定理，c2+b2-a2=2bccosA,解得cos/=—.................................5分

2

71

因為/e(0"),所以Z=§；........................................................6分

(2)依題意，b+c=5—a=3,6分

因為。2+62—bc=@+c）2—3bc=a2,解得6c=*...........................................8分

3

—.1—.—.

因為XD=5（Z8+/C）,...................................................................10分

所以力2=J_（方+%>="+<2+兒=初+C）一』=3=11_；

44446

所以40=4回..........................................................................13分

6

16.解：（1）取NC的中點0,則80LZC,且30=百，................................1分

因為平面441cle,平面4BC,且平面441clen平面ABC=AC,BO<=平面ABC,

所以8。，平面幺4。。,..................................................................2分

因為4。u平面AA^C,BO±Ap,

所以A[B=4^,B0=6，:.A&=W,.....................................................3分

因為ZO=1,24=2,r.20,4。，.........................................................4分

又因為NO_LBO,4QcBO=O,A^O,BOu平面AXOB,AC±平面AfiB,..................5分

又N/u平面4。民.?./C_L45；..........................................................6分

(2)如圖所示，以。為原點，。4,。8,。4所在直線分別為％軸，y軸，2軸建立空間直角坐標系。-孫z,

可得z（i,0,0）,c（—1,0,0）,8（0,6,0）,g（—1,6,6）,.....................................8分

因為就=（—2,o,o）,西=（o,6,6）,赤=（i,6,o）,...................................9分

設平面NC4的法向量為〃I=(x,y,z),

〃1?AC=0,—lx—0,

則由＜

43y+V3z=0,

nx-CB}—0,

令y=l,=...................................................11分

設平面3/C的法向量為〃2=(加,冬夕)，

nxCB=0,m+=0,

則由＜2

百=0,

n2xCBj=0,

令m=6,則〃==1,/.%=，.........................................13分

記二面角A-CB.-B的平面角為a,

2_Vio

因為|cosa|二

72x75~5

2

顯然sina>0,所以sina=Vl^cos^二

所以二面角/-C4的正弦值為半

15分

acosx+bsinx—asinx+bcosx（a+b）cosx+（b-a）sinx

17.解：⑴.........2分

依題意，=所以a—b=0，...........................................3分

e2

所以a-InZ?二。一Ina,

，1x-1

設g（x）=x—lnx,則g（x）=l——=----,..............................................4分

xx

當(0,1)時，g'(x)＜o,g(x)單調遞減，當X￡(l,+oo)時，g'(x)〉o,g(x)單調遞增，.........5分

當X=1時，g(x)取得最小值g⑴=1,所以a—Inb的最小值為1；.........................6分

⑵由⑴可知，/a)l(sinx-cos)

e

人“、1sinx-cosxl八

令/(x)=l,則------------二—,..........................................................8分

ea

7/、sinx-cosx、2cosx八

設〃(x)=----------,貝U〃(x)=------，..............................................10分

exer

當xe]o,|^時，〃'(x)>0,〃(x)單調遞增，..................................................Il分

當時，〃'(x)<O,/z(x)單調遞減，..................................................12分

且以0)=—l,/z1|^=e-5,/z(?)=er,.................................................13分

71

所以e'<。e"......................................................................15分

18.解：(1)依題意，2a=2,解得。=1,.............................................1分

設C的焦距為2c,則。2=/+/,.....................................................2分

22r2

將x=c代入方程4=1,可得)1=2,...........................................3分

aba

所以的面積為1(c+a)x生=9,................................................4分

2a

解得6=百，...............................................................................5分

所以C的方程為f一二=1；..........................................................6分

3

(2)設直線4B:x=Hy+2,Z(Xi，yJ,5(X2，y2)，.......................................7分

x=my+2,

與。的方程聯(lián)立I2「可得(3加2—1)/+12陽+9=0,..............................8分

x----=1,

I3

—12加9

所以乃+W=G'%%=='.................................................

、

(x+1),令x=L解得，所以以工，

設直線Z4:y=y=\,11分

玉+12-2(X]+1)[22(x1+l)J

/

3y2、

同理可得，?！?,12分

/

細-0

。