重慶市聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三年級下冊全真模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

重慶市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期全真模擬考試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)復(fù)數(shù)4，Z?在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z,=3-z,則z/2=（）

A.-10B.10C.-8D.8

2.在（1+X）3+（1+M+（1+X）5的展開式中，含/項的系數(shù)是（）

A.16B.19C.21D.24

3.若/,m是兩條不同的直線，a是一個平面，且m_La，則是“/〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.下列說法錯誤的是（）

A.若隨機變量噂〃滿足〃=24-1且。（4）=3,則儀〃）=12

B.樣本數(shù)據(jù)50,53,55,59：62,68,70,73,77,80的第45百分位數(shù)為62

C.當(dāng)P（8）>0時，若事件A、3相互獨立，則P（川3）=P（A）

D.若4、B兩組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為以=08=-0.9,則A組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更

強

5.若函數(shù)/（x）=f-x+alnx有極值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A-[°4]B.（0,1）C,局D.（公

6.雙曲線⑦>0）其中,2,3,%2,3,4},且。，b取

a2b2

到其中每個數(shù)都是等可能的，則直線/：y=”：與雙曲線。左右支各有一個交點的概率

為（）

7.已知定義在[0』上的函數(shù)/（M滿足：VXG[0J],都有/（l-x）+/（x）=l,且

=當(dāng)OWXV/Kl時，恒有/&)?/(/)，則《野卜()

A.—B.gC.—D.In3

324

2

8.已知橢圓M:「+y2=i,圓C:f+y2=6—a2在第一象限有公共點尸，設(shè)圓C在點p處

a

的切線斜率為公，橢圓M在點p處的切線斜率為&,則g的取值范圍為

A.。,6)B.(1,5)C.(3,6)D.(3,5)

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=cos(5+°)(3>O,|0|〈今的最小正周期為兀，且對VxwR,/*)2/(三)恒

成立，則下列說法中正確的是()

A.(0=2

「兀

B.夕=一

6

C.函數(shù)y=/(x)的極大值點的集合是{x\x=kn-^keZ}

6

D.函數(shù))，:fW與函數(shù)g(x)=cos(2)-芻的圖象關(guān)于直線x=g對稱

10.已知數(shù)列{4},{〃},記q，5”=4+%+4++"，若>5=1且

*nST

,1

4=行一則下列說法正確的是()

A.%=12B.數(shù)列{q}中的最大項為2

11.校長為血的正四面體ABC。中，AP=^AB,AQ=^ACfAR=：AD,點、K為ABCD

的重心，則下列說法正確的是()

A.AKA.BK

B.若直線4K與平面PQR的交點為M,則4M=；4K

C.四面體A8CD外接球的表面積是扃

D.四面體KPQR的體積是上

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知向量明」?jié)M足同=1，|司=3,則怩+6卜

13.已知各項均為整數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足4=-1，%=4,且前6項依次成等差數(shù)列，從第5

項起依次成等比數(shù)列，那么％=：若正整數(shù)m恰使得/4+4+2=4+。,向+4”+2那么

滿足條件的正整數(shù)用取值集合為

14.已知〃x)=2x—：+lnx,若實數(shù)孫〃滿足/(加)+/(5)=0,則4相+/■的最小值為

四、解答題

15.在“1BC中,A,B,C的對邊分別為已知b=0,c=4McosC+b=O.

⑴求。：

(2)已知點。在線段BC上，且N4DB=羋，求4)長.

16.隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，個人駕駛已經(jīng)逐漸成為一項成年人的基本技能.某免費“駕考App”

軟件是駕校學(xué)員的熱門學(xué)習(xí)工具，該軟件設(shè)置每天最多為一個學(xué)員提供5次模擬考試機會.

學(xué)員小張經(jīng)過理論學(xué)習(xí)后，準(zhǔn)備利用該App進行模擬考試，若他每次的通過率均為|,且

計劃當(dāng)出現(xiàn)第一次通過后，當(dāng)天就不再進行模擬考試，否則直到利用完該軟件當(dāng)天給的所有

模擬考試機會為止.

(1)求學(xué)員小張最多利用兩次機會就通過模擬考試的概率；

(2)若學(xué)員小張每次模擬考試用10分鐘，求他一天內(nèi)模擬考試花費的時間X的期望.

17.三棱柱A8C-A4G中，AB1AC,A8=4C=2,側(cè)面AACG為矩形，幺48=亨，

三棱錐G-A8C的體積為亞.

3

(1)求側(cè)棱AA的長;

(2)側(cè)棱CG上是否存在點E,使得直線AE與平面A8C所成角的正弦值為半？若存在，求

出線段GE的長；若不存在，請說明理由.

18.已知拋物線G：y2=2px(p>0)與雙曲線G：>=?■相交于點/?■，%).

⑴若％=-2,求拋物線G的準(zhǔn)線方程；

⑵記直線/：y=卮+b與C、。2分別切于點也、M當(dāng)p變化時，求證：JWN的面積為定

值，并求出該定值.

19.T性質(zhì)是一類重要的函數(shù)性質(zhì)，具有T性質(zhì)的函數(shù)被稱為T函數(shù)，它可以從不同角度

定義與研究.人們探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)丁=/(6的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線時，下列兩個關(guān)于T

函數(shù)的定義是等價關(guān)系.

定義一：若>=/(?為區(qū)間(。⑼上的可導(dǎo)函數(shù)，且)，=/'("為區(qū)間(。⑼上的增函數(shù)，則

稱丁=/(6為區(qū)間(。,8)上的T函數(shù).

定義二：若對％，受,V2e(O,l),都有/［有+(1-4)X2］?！岸?+(1-丸)/(七)恒

成立，則稱y=f(x)為區(qū)間(。/)上的T函數(shù).請根據(jù)上述材料，解決下列問題：

⑴已知函數(shù)/(x)=tanx,

①判斷y=/(x)是否為xe(0，S上的T函數(shù)，并說明理由；

②若a,夕且a+2#=5,求/(a)+2〃￡)的最小值

(2)設(shè)m>1,〃>1,」"+工=1,當(dāng)〃>0,b>0時，證明：-a,n+-bn>ab.

tnntnn

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)已知條件求得復(fù)數(shù)馬=-3-，，然后利用復(fù)數(shù)的乘法運算即可.

【詳解】/Z|=3T,Z1,Z2所對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，.?J2=-3-"

e=-9-1=-10,

故選：A.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的乘法運算，屬基礎(chǔ)題.關(guān)于虛軸對稱的兩點對應(yīng)

的里數(shù)虛部相同，實部互為相反數(shù).

2.B

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項計算可得.

【詳解】因為(1+X)"展開式的通項為eN),

所以(1+4+(1+葉+(1+H的展開式中含/項為GV+c%2+c52=I”?,

所以展開式中含/項的系數(shù)是19.

故選：B

3.B

【分析】根據(jù)線面垂直以及平行滿足的關(guān)系即可結(jié)合必要不充分條件求解.

【詳解】由于〃z_La,若Itm,!ua,則無法得至h〃a,故充分性不成立，

若/〃a,由于帆_La,所以/_Lm,故必要性成立，

故“/Im”是“/〃a”的必要不充分條件，

故選：B

4.D

【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解A,根據(jù)百分位數(shù)即可求解B,根據(jù)相互獨立事件的乘法

公式，結(jié)合條件概率的計算公式即可求解C,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小即可求解D.

【詳解】對于A,7=紇-1且。?=3,則0(7)=4。q)=12,A正確，

對于B,由于10x45%=4.5,故樣本數(shù)據(jù)50,53,55,59,62,68,70,73,77,80的第

45百分位數(shù)為第5個數(shù)62,B正確，

對于C,事件A、8相互獨立，則尸68)=2A"(5),所以

答案第1頁，共12頁

蛆⑻二需=中鏟=尸⑷，C正確，

對于D,由于以上同，所以B組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強，D錯誤,

故選：D

5.C

【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意可得尸（》）在（。,也）上有變號零點，結(jié)合二次

函數(shù)的性質(zhì)得到△＞（）,解得即可.

【詳解】函數(shù)/（%）=*r+mnx的定義域為（O,y）,Rf（x）=2x-\+-=2x2~X+a,

XX

因為函數(shù)/"）有極值，所以/'（X）在（0,+8）上有變號零點，

即2/-x+a=0在（0,田）上有解（若有兩個解，則兩個解不能相等），

因為二次函數(shù)y=2x2_x+〃的對稱軸為“二!，開口向上，

所以只需△=（-1）2—&?＞0,解得”（，即實數(shù)〃的取值范圍是181）.

故選：C

6.B

【分析】

求得雙曲線的漸近線方程可得斜率，由題意可得g”，求得基本事件的總數(shù)和滿足條件的

基本事件個數(shù)，即可得到所求概率.

【詳解】

解：雙曲線的漸近線方程為,=±2”，

a

直線/:y=x與雙曲線。左右支各有一個交點，則夕＞1,總基本事件數(shù)為4x4=16,

a

滿足條件的僅⑼的情況有：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,共6個,

概率堤彳,

故選：B.

7.B

【分析】利用賦值法可得/（，=/（；）=；,進而可得時，/（x）=g，利用對數(shù)的

性質(zhì)可得?。糶，即可求解.

答案第2頁，共12頁

【詳解】由于Vxe[O,l],都有/(l-x)+f(x)=l,所以/居+艱習(xí)？/?

/(1-0)+/(0)=1,

又〃o)=g"o)=/(o)=oj⑴可，故

由于04內(nèi)〈再41，/(%)"㈤，故=《時，"x)=g，

n…ln311,3^In31

由于ln3>l,—>-,e-=ee2>2.7x1.6>3=>->In3?故—<-,

33232

.1In31缶/In3)1

因m此§(亍/，故

故選：B

8.D

【分析】結(jié)合兩個曲線在第一象限有公共點，建立不等關(guān)系，設(shè)出公共點P坐標(biāo)，用坐標(biāo)計

算匕，的,相比，計算范圍，即可.

【詳解】因為橢圓+丁2=1加圓。：42+丁2=6_/在第一象限有公共點2,所以

a2>6—a2r2

6-^>1'解得3<，V5.設(shè)橢圓M:>y2=l和圓UJ+yJ6/2在第一象限的公共

點P(不，)b)，則橢圓用在點尸處的切線方程為灣+%y=i，圓c在點P處的切線方程為

"+%丫=6-。2,所以占=一2，h=--T5-,所以g=C(3,5),故選D.

>oa為K2

【點睹】本題以橢圓為背景，考查圓和橢圓的相關(guān)知識，考查化簡求解能力，考查數(shù)學(xué)運算

素養(yǎng)，本道題考查了圓與橢圓的性質(zhì)以及過曲線一點計算切線斜率問題，屬于中檔題.

9.ACD

【分析】利用給定周期及最小值求出公。判斷AB；求出極大值點判斷C；利用對稱求解判

斷D.

【詳解】對于A,由函數(shù)/(x)=cos(的+/)的最小正周期為兀，得仝=兀，解得口=2,A

0)

正確；

對于B,由圣旦/⑴力守恒成立，得嗎)是f(x)的最小值，

則2xS+*=7r+2〃7T,〃eZ,而lekg,于是〃=0,。=?,B錯誤；

對于C,/(;t)=cos(2x+—),由21一四=2E,keZ,^x=kR--,keZ.

336

答案第3頁，共12頁

所以/(X)的極大值點的集合是｛xIx=航-2/eZ｝,C正確：

6

對于D,由/(7T-X)=cos[2(n-x)+y]=COS(27T-(2x-y)]=cos(2x--1)=g(x),

得函數(shù)y=與函數(shù)g(x)=cos(2x-勺的圖象關(guān)于直線對稱，D正確.

故選：ACD

10.BD

【分析】由已知可得〃=1時，1=4=2,〃22時勺=；,可證數(shù)列｛4｝是以2為首項，1

為公差的等差數(shù)列，即可判斷A選項，??=-=1+-,可判斷B選項：再利用裂項相消法

nn

可得s“，即可判斷CD選項.

【詳解】對于A,由已知4=4a244,

112.

當(dāng)〃=1時，4=4，即〒+—=一=1,7；=q=2,

Aqa

當(dāng)〃之2時，7；_|=乎2%…%，即％=,，

4-1

111T.1+T.

所以〒+丁=亍+,t’即4_騫-1=1，

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以(=〃+1,即兀=13,A選項錯誤:

對于B,所以q=—=1+：,〃eN+，且數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減,

所以數(shù)列｛%｝中的最大項為q=2,B選項正確;

1_1]

(〃+1)(〃+2)〃+1w+2

11__[_1

S,,="+/?,+a++b=----+-----+-----

"123?233445〃+1〃+2—2〃+2

所以Sio=g-看二卷,C選項錯誤；

對于D,又〃”，所以擊＞。，即—，口選項正確;

故選：BD.

11.ABD

【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征可判斷A,將四面體放入正方體中，利用正方體的外接球

即可求解C,利用向量共面即可求解B,利用等體積法，結(jié)合比例關(guān)系即可求解D.

答案第4頁，共12頁

【詳解】由于點K為-BCO的重心，所以點K為8C。的中心，故AK_L平面BCO,BKu

平面88,所以AKJ.BK,A正確,

由于該正四面體的棱長為亞，將該正四面體放入棱長為1的正方體中，則正方體的外接球

即為四面體的外接球，故外接球的直徑為正方體的體對角線，故R=宇，故表面積是

4成2=3兀，C錯誤,

由于8,。,。三點共面，點K為.的重心，所以

AK=AC+CK=AC+^(CB+CD]=AC+^AB-AC+AD-AC)=g(A8+4C+

又M,P,Q,R四點共面，所以

AM-xAP+y4Q+(1-x-y)AR=gxAB+；yAC+-x-y)AD,

11

-x-y

1?

由于AM,AK共線，所以］一=1=解得W=g，

i

333

故4M=(AK,B正確，

由于尸是AB的中點，所以yp-AQR=~^HAQK

.._1_11_111.._111..

VAPQR-VPAQR--Vft-AQR-TX-vVBADQ-5又ZX,VBACD=TX-XA-BCD>

由選項B,4知二：4長可知,知卜；|“叫，所以匕所以

AK=slAC2-CK2=

v_ov_011lv_1v_11c1103/m22V3_1

VK-PQR=A-PQR=2X5、丁5匕_8C°=~VA-BCD二五"§58mAK=彳(,2)X—^―=—

,D正確，

故選：ABD

答案第5頁，共12頁

A

【分析】根據(jù)模長公式可得a，=0,即可由模長求解|3。+力|=3五

【詳解】同=1，W=3,%-日=(2,")可得,一可=a2+h-2a-b=22+1>/6j=\0=>ab=O,

|3a+Z?|=V9?2+b4-6^^=79+9=372?

故答案為：3亞

13.8(1,3)/(3,1)

【分析】根據(jù)等差等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解d=l,進而可得數(shù)列的各項，進而可求解4=8,

對小進行分類討論，即可結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解〃，的取值.

【詳解】前6項依次成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

由于｛q｝的各項均為整數(shù)，所以deZ,

%=-1?%=-l+2tZ,a6=-i+3d,a-=4,

由于%,%，%成等比數(shù)列，所以。必=。工即4(—l+2d)=(—l+3d)2,解得d=l或"=[(舍

去)，

故4=2,%=4,則4=8,

由于｛4｝的各項為-3,-Z-L0,1,2,4,8,16,

若m=l,Jl!l=-6taj+a2+a3=-6,滿足題意，

若m=2,則。244=°，42+/+4=-3,不滿足題意，

若相=3,則646=。，6+《+6=0，滿足題意，

若機=4,則為4。6=。，。4+%+々6=3,不滿足題意，

答案第6頁，共12頁

若心,由于第5項起依次成等比數(shù)列，且公比為2,則

3mi2m52W-5

q4+/.2=&3&2=2-,am+am+]+am+2=a5q(1+?/+</)=7x2,

若23g2=7x2吁5,則22"i=7,由于m之5,且加WZ,顯然無解，故帆N5無滿足題意的值,

故加取值集合為{1,3},

故答案為：8,{1,3}

14.4

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，由/(x)+/(J|=O得*=1,即可利用不等式求解最值.

22]2

【詳解】由〃x)=2x-、+lnx(x>0)可得7(4)=2+7+工>0,故〃x)=2x-：+lnx在

(0,+8)單調(diào)遞增,

故答案為：4

15.(1)710；

⑵竽.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用余弦定理角化邊即可得解.

(2)由(1)的結(jié)論，利用余弦定理、正弦定理求解即得.

【詳解】(1)在3ABe中，由優(yōu)osC+6=0及余弦定理，得寄"+"一廠+6=0,

2ah

即，+3/-C2=O,而/?=應(yīng),C=4,

所以a=Vfo.

(2)由(1)知〃=質(zhì)，由余弦定理得cosC="+￡-c2=2+"=一好,

2ab2xV2xV105

C為三角形內(nèi)角，PMsinC=Vl-cos2C=^-,而乙4。8二歲，于是乙4OC=f,

544

答案第7頁，共12頁

ADAC

在AADC中，由正弦定理得

sinCsinZ.ADC'

所以A0=給監(jiān)4石

o

16.(1)-

⑵*

【分析】（1）借助獨立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式計算即可得；

（2）求出一天內(nèi)模擬考試的次數(shù)4的所有可能取值，計算相應(yīng)概率，代入數(shù)學(xué)期望公式求

解4的期望，借助期望的性質(zhì)求得模擬考試花費時間X的期望即可.

【詳解】（1）設(shè)學(xué)員小張恰第i次通過模擬考試的概率為C，則6=3，=1,

j339

所以，學(xué)員小張最多利用兩次機會就通過模擬考試的概率為尸=（7+]0=]R.

（2）設(shè)&表示一天內(nèi)模擬考試的次數(shù)，則2=1,2,3,4,5,

由題意知：P^=i）=|，P（八2）=抬=?P（^=3）=QJX|=A,

P(J=4)=&耍2P(4=5)=出/

,2c2c2,2u1121

所以E(<J)=lx-+2x—+3x——+4x—+5x-=——

、J3927818181

因為X-10。，所以石(X)=10E⑸=粵，

o1

所以小張一天內(nèi)模擬考試花費的時間X的期望為察分鐘.

O1

17.(1)M=2

(2)CjE=2

【分析】（1）證明AD_L平面ABC,結(jié)合題目條件，先計算出AO的值，然后即可以求得側(cè)

棱AA,的長；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)未知數(shù)4,結(jié)合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答

答案第8頁，共12頁

案.

【詳解】(1)在平面AA43內(nèi)過A作A￡>_LA4,垂足為

因為側(cè)面AACG為矩形，所以CAJ.A4,,

又C4_LAB,48cA4,=A,48,叫u平面A4,用B,

所以C4_L平面相乃避,

又C4u平面ABC,所以平面相"8,平面ABC,

易得A0SAB,AOu面AA瓦8,平面A4143c平面A8C=A6,

所以AZ>JL平面ABC,

因為％ABC=-SAD=-x-x2x2AD=—所以4。=石，

<-i-/me3AbBLC323f

因為ZAAB=M，幺4。=2,所以AA=2；

36

(2)存在點E滿足題意，C\E=2,理由如下：

如圖，以A為坐標(biāo)原點，以4氏AC,A。所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,我,8(2,0,0),C(0,2,0),G(1,2,75),

設(shè)GE=/lGC/l€[O,l],則4冗一1,2,6—瘋)，

ttAE=(A-l,2,x/3->/32),48=(3,0,-揚，4。=。，2，-揚

設(shè)平面ABC的法向量為m=(x,y,z)

〃?,AH=03x-y/3z=O

則f則

m-AiC=0^[x+2y-^z=0令z=摳,x=y=i,

故平面\BC的一個法向量加=(1,1,6),

設(shè)直線AK與平面ABC所成角為夕,

答案第9頁，共12頁

I2-2I岳

則《必卜/=?1=*,解得4=1,

MWV22-22+2-V55

故存在點E滿足題意,所以GE=2.

18.(l)x=-2；

27

(2)證明見解析，

4

【分析】（1）求出％,代入求出。即可求出準(zhǔn)線方程.

（2）把直線/的方程分別與C1、g聯(lián)立，用〃表示出攵力，進而求出切點的坐標(biāo),

再求出三角形面積即得結(jié)果.

【詳解】（1）由%=二=一2,得/="將其代入y2=2px,得，=4,

玉）2

所以拋物線G的方程為＞2=8X,其準(zhǔn)線方程為x=-2.

（2）由”，得公/+（2妨—2p）x+〃=0,

y=kx+b

由直線/與G相切，得4=4（奶-〃）2-4公從=0,解得2初=〃，切點Mg,2b）,

k

由，）x,得奴2+bx+l=0,

y=kx+b

由直線/與G相切，得△?=〃—奴=0,解得4k=/，切點N（-（，3,

于是b=環(huán)k=^^~,令"瘍＞0,則直線/的方程為y=[x+f,

點嗎2叱沔,由仁苧得畔八

答案第10頁，共12頁

所以+孕+(2”少、陛衛(wèi)=近己,

V/t2V4/-2/

9r

點R到直線I的距離為h=I=j4,

JMNM43標(biāo)27

所以SRim

2