湖北省漢陽一中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

湖北省漢陽一中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的簡(jiǎn)圖是（）A． B． C． D．2．若，是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則3．已知三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．4 C． D．4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為（）A．13+5 B．11+5 C．5．為了從甲、乙兩組中選一組參加“喜迎國慶共建小康”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).班主任老師將兩組最近的次測(cè)試的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的莖葉圖.若甲、乙兩組的平均成績(jī)分別是.則下列說法正確的是（）A．，乙組比甲組成績(jī)穩(wěn)定,應(yīng)選乙組參加比賽B．，甲組比乙組成績(jī)穩(wěn)定.應(yīng)選甲組參加比賽C．，甲組比乙組成績(jī)穩(wěn)定.應(yīng)選甲組參加比賽D．，乙組比甲組成績(jī)穩(wěn)定,應(yīng)選乙組參加比賽6．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的值為（）A． B． C． D．7．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值為()．A．4 B．8 C．15 D．318．中，則A． B． C． D．9．某學(xué)生用隨機(jī)模擬的方法推算圓周率的近似值，在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，向正方形內(nèi)隨機(jī)投入粒芝麻，（假定這些芝麻全部落入該正方形中）發(fā)現(xiàn)有粒芝麻落入圓內(nèi)，則該學(xué)生得到圓周率的近似值為（）A． B． C． D．10．已知，，，則（）A． B． C．-7 D．7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若三邊長(zhǎng)分別為3，5，的三角形是銳角三角形，則的取值范圍為______.12．不等式的解集為_______________．13．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．14．若，則__________.15．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)（萬元）與倉庫到車站的距離（公里）成反比.而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)（萬元）與倉庫到車站的距離（公里）成正比.如果在距車站公里處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用和分別為萬元和萬元，由于地理位置原因.倉庫距離車站不超過公里.那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最少的費(fèi)用為_____萬元.16．兩平行直線與之間的距離為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程;（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．某校100名學(xué)生期中考試語文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績(jī)的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；（3）若這100名學(xué)生語文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50，90）之外的人數(shù)．分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：519．已知（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：（2）已知，求的值域20．某高校自主招生一次面試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖均收到了不同程度的損壞，其可見部分信息如下，據(jù)此解答下列問題：（1）求參加此次高校自主招生面試的總?cè)藬?shù)、面試成績(jī)的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)；（2）若從面試成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中任選三人進(jìn)行隨機(jī)復(fù)查，求恰好有二人分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率.21．在中，，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）判斷的形狀；（2）若，，求．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

變形為，求出周期排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由函數(shù)值正負(fù)排除一個(gè)，最后一個(gè)為正確選項(xiàng)．【詳解】函數(shù)的周期是，排除AB，又時(shí)，，排除C．只有D滿足．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選圖象，可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等排除某些選項(xiàng)，還可求出特殊值，特殊點(diǎn)，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除一些選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng)．2、C【解析】

A中平面，可能垂直也可能平行或斜交，B中平面，可能平行也可能相交，C中成立，D中平面，可能平行也可能相交.【詳解】A中若，，，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若，，，平面，可能平行也可能相交；同理C中若，，則，分別是平面，的法線，必有；D中若，，，平面，可能平行也可能相交.故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.3、B【解析】

依據(jù)題中數(shù)據(jù)，利用勾股定理可判斷出從而可得三棱錐各面都為直角三角形，進(jìn)而可知外接圓的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積【詳解】如圖，因?yàn)?又，,從而可得三棱錐各面都為直角三角形，CD是三棱錐的外接球的直徑，在中，,,即，，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生空間想象以及數(shù)學(xué)建模能力，能夠依據(jù)條件建立合適的模型是解題的關(guān)鍵．4、B【解析】

三視圖可看成由一個(gè)長(zhǎng)1寬2高1的長(zhǎng)方體和以2和1為直角邊的三角形為底面高為1的三棱柱組合而成．【詳解】幾何體可看成由一個(gè)長(zhǎng)1寬2高1的長(zhǎng)方體和以2和1為直角邊的三角形為底面高為1的三棱柱組合而成S=【點(diǎn)睛】已知三視圖，求原幾何體的表面積或體積是高考必考內(nèi)容，主要考查空間想象能力，需要熟練掌握常見的幾何體的三視圖，會(huì)識(shí)別出簡(jiǎn)單的組合體．5、D【解析】

由莖葉圖數(shù)據(jù)分別計(jì)算兩組的平均數(shù)；根據(jù)數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)可知乙組成績(jī)更穩(wěn)定；由平均數(shù)和穩(wěn)定性可知應(yīng)選乙組參賽.【詳解】；乙組的數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)附近乙組成績(jī)更穩(wěn)定應(yīng)選乙組參加比賽本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的相關(guān)知識(shí)，涉及到平均數(shù)的計(jì)算、數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的估計(jì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由正弦定理及余弦定理可得，，然后求解即可.【詳解】解：由可得，則，①又，所以，即，所以②由①②可得：，由余弦定理可得,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及余弦定理的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了兩角和的正弦公式，屬中檔題.7、C【解析】試題分析：，，，故選C.考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式8、B【解析】試題分析：由余弦定理，故選擇B考點(diǎn)：余弦定理9、B【解析】

由落入圓內(nèi)的芝麻數(shù)占落入正方形區(qū)域內(nèi)的芝麻數(shù)的比例等于圓的面積與正方形的面積比相等，列等式求出的近似值.【詳解】邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，正方形的面積為，由幾何概型的概率公式可得，得，因此，該學(xué)生得到圓周率的近似值為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬思想求圓周率的近似值，解題的關(guān)鍵就是利用概率相等結(jié)合幾何概型的概率公式列等式求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

把已知等式平方后可求得．【詳解】∵，∴，即，，∵，∴，∴，，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查兩角和的正切公式，解題關(guān)鍵是把已知等式平方，并把1用代替，以求得．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由三邊長(zhǎng)分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得范圍，若是最大邊，則，解得范圍，即可得出．【詳解】解：由三邊長(zhǎng)分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得．若是最大邊，則，解得．綜上可得：的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)與解法、余弦定理、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12、【解析】.13、【解析】

先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)與夾角是銳角，則它們的數(shù)量積為正值，且它們不共線，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，．【詳解】向量，，，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們乘積為正值，即，且，求得，且．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量的數(shù)量積解決向量夾角有關(guān)的問題，以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量平行的條件等．條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．14、；【解析】

易知的周期為，從而化簡(jiǎn)求得.【詳解】的周期為，且，又，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的周期以及利用周期求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.15、8.2【解析】

設(shè)倉庫與車站距離為公里，可得出、關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值.【詳解】設(shè)倉庫與車站距離為公里，由已知，.費(fèi)用之和，求中，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值萬元，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙勾函數(shù)求最值，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)取不到時(shí)，可利用相應(yīng)的雙勾函數(shù)的單調(diào)性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、【解析】

先根據(jù)兩直線平行求出，再根據(jù)平行直線間的距離公式即可求出．【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率存在，，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，即，故兩平行直線的距離為．當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不符合題意，應(yīng)舍去．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行直線間的距離公式的應(yīng)用，以及根據(jù)兩直線平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)通過三角恒等變形，化簡(jiǎn)為的形式，方便我們?nèi)パ芯颗c其相關(guān)的任何問題；（2）恒成立，可轉(zhuǎn)化，我們只需要求出最大值從而完成本題.【詳解】（1）令得，所以的對(duì)稱軸為（2）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋春愠闪⒐?，解得【點(diǎn)睛】在研究三角函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)（值域、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸、單調(diào)性……）我們都是將其化為（或者余弦、正切相對(duì)應(yīng)）的形式，利用整體思想，我們能比較方便的去研究他們相關(guān)性質(zhì).18、（1）0.005；（2）平均分為73，眾數(shù)為65，中位數(shù)為；（3）10【解析】

（1）根據(jù)頻率之和為1，直接列式計(jì)算即可；（2）平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率，再求和；眾數(shù)指頻率最大的一組的中間值；中位數(shù)兩端的小長(zhǎng)方形面積之和均為0.5；（3）根據(jù)題意分別求出，，，的人數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：,（2）平均分為眾數(shù)為65分.中位數(shù)為（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)為100-5-20-40-25=10.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體，由題中頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)等概念，即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.19、（1）();（2）【解析】

（1）將三角函數(shù)化簡(jiǎn)為，再求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.（2）根據(jù)得到，得到最后得到答案.【詳解】（1），令解得：可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：();（2）的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，將三角函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20、（1）；；（2）0.6【解析】

(1)從分?jǐn)?shù)落在,的頻率為,人數(shù)為2,求出總?cè)藬?shù)的值,從而求出面試成績(jī)的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在,內(nèi)的人數(shù);(2)用列舉法列出所有可能結(jié)果,確定其中符合要求的事件,即可求出概率.【詳解】(1)∵分?jǐn)?shù)落在的頻率為,人數(shù)為2,∴,故,∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為15人,∴分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,又∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,∴分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,面試成績(jī)的中位數(shù)為分;(2)由(1)知分?jǐn)?shù)在的有5人,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的有3人,記分?jǐn)?shù)在的5人為1,2,3,4,5號(hào),分?jǐn)?shù)在內(nèi)的3人為1,2,3號(hào),則從這5人中任選3人的基本事件為:123,124,125,134,135,145,234,235,245,345,共10種方式;其中恰有2人的分?jǐn)?shù)在內(nèi)的基本事件為:124,125,134,135,234,235,共6種方式,所以所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和莖葉圖的綜合應(yīng)用,考查古典概型的概率求法,屬于基礎(chǔ)題.21、（1）為直角三角形或等腰三角形（2）【解析】

（1）由正弦定理和題設(shè)條件，得，再利用三