函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解析版-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

彳睢JL備率哪質(zhì)的罐合怠用

m【考試提醒】

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，結(jié)合圖

象研究函數(shù)的性質(zhì)，往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查.

B【核心題型】

題型一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)

(1)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為了(g(c))>/仇(⑼),利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)了”脫掉，得到

具體的不等式(組).

(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進(jìn)而

利用其單調(diào)性比較大小.

011(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(乃=|3-3一,|,則不等式"2c—1)—/(,)>0的解集為

()

A.(-co,y)U(1,+co)B.(-CO,/)

c.(y,l)D.(l,+oo)

【答案】A

【分析】判斷了(①)的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解不等式即可.

【詳解】/(，)=?—3寸￡定義域?yàn)镽,又/(—①)=I獷。-31=f(t),故y=f(工)為偶函數(shù);

又當(dāng)力>。時(shí)，g=3*,g=-3一,均為單調(diào)增函數(shù)，故g(/)=3*—3一°為(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)；

又g(0)=0,故當(dāng)a;>0時(shí)，g(x)>0,則此時(shí)y=f(x)=g{x)為(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，故/V0時(shí)，y

=/(力)為單調(diào)減函數(shù)；

J(2x—1)—J(T)>0,即/(2T—1)>/(x),則|26—1|>\x\,即(2x—1)2>x2,3力之一知+1>0,

也即(32—1)(力一1)>0,解得(―U(l,+oo).

故選：A

【變式訓(xùn)練】

題目叵(2024?遼寧大連?一模)設(shè)函數(shù)/㈤=simr/+e3-3_e3-3x_T+3則滿足/⑶+/(3—2乃V4的力

的取值范圍是()

A.(3,+8)B.(—8,3)C.(l,+oo)D.(—oo,1)

【答案】。

【分析】觀察題設(shè)條件與所求不等式，構(gòu)造函數(shù)g(力)=/(力+1)—2,利用奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其奇偶性

和單調(diào)性，從而將所求轉(zhuǎn)化為g(力—1)<g(2x—2)，進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)?(T)=sin兀/+/T_e3-3，_力+3,

所以f(x+1)=sin(兀力+兀)+e3rc+3-3-e3-3a:-3-j:-1+3

——sin兀6+e，,—eix—x+2,

設(shè)g(rc)=f(x+1)—2=—simuN+e比一一一既一化，顯然定義域?yàn)镽,g(力一1)=/(T)—2,

又g^—x)=—sin(—7TT)+e~3x-e^x-\-x=—(―sirur/+e阮一e一阻一力)二—g(/),

所以g(劣)為R上的奇函數(shù)，

又g'3)——7ucos7ux+3e3/+3e-3cc—1TUCOS力+2A/3eix-3e~3x—1=5—TTCOS力>0,

所以gO)在A上單調(diào)遞增，

又/(c)+y(3-2a;)<4,則A3)—2]+[y(3-2x)-2]<0,

所以g(宓—1)+g(2—2x)V0,即g(x—1)V—g(2—2x)=g(2x—2),

所以力一lV2c—2,解得x>1,

則滿足/(T)+/(3—2力)V4的力的取值范圍是(1,+8).

故選：C.

題目團(tuán)(2024商三?全國(guó)?專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/Q),其導(dǎo)函數(shù)為/'(,).若/(,)=/(—2)—

2sinrc,且當(dāng)2>0時(shí)，有/(a?)+cos，>0成立，則不等式/(2+5)>/(/)+sino;—cosa;的解集為()

A.(-8晝)B.(與+8)C.(-8號(hào))D.(-年,+8)

【答案】。

【分析】設(shè)g(/)=/(劣)+sina?,由題意，得出g{x)為定義在7?上的偶函數(shù)，且在[0,+8)上單調(diào)遞增，再把不

等式/(力+>/(T)+sin6—cos/轉(zhuǎn)化為g[x+>g{x},利用單調(diào)性求解.

【詳解】設(shè)。(力)=/(力)+sin/,則g(—力)=/(—/)+sin(—X).

由于⑸=/(—/)—2sin/,得/(力)+sine=/(—/)+sin(—/)，所以g(/)為偶函數(shù).

因?yàn)楫?dāng)力>0時(shí)，有g(shù){x}=/'3)+cosa;>0成立，

所以g(r)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(c)為偶函數(shù)，所以gQ)在(—oo,0)上單調(diào)遞減，

因?yàn)橛?劣+-|-)+cos/=/(力+-|-)+sin(/+今)>/(/)+sin力，即g(力+

所以卜+同>\x\,解得X>—十.

故選：。,

題目⑶(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知定義在(—8,0)U(0,+8)上的函數(shù)/(6)，對(duì)于定義域內(nèi)任意的如y,

都有/(咫/)=/(為+/3),且/(2)在(0,+s)上單調(diào)遞減，則不等式/(力)<1。82與^的解集為.

【答案】{力出V—1或力>1}

171+]

【分析】由/(曲)=/(力)+/Q),利用賦值法，得到函數(shù)/⑺的奇偶性，構(gòu)造函數(shù)尸(a;)=y(x)—iog2----,

19^1-I-1

研究其單調(diào)性和奇偶性，再由F(l)=0,將不等式/(乃VlogzR—轉(zhuǎn)化為F(a;)<F(l)求解.

【詳解】由/(M=/0)+/(y),令①=?=1,得/⑴=/⑴+/⑴，所以/⑴=0.

令工=y=—1,得f(—l)=0.令y=—l,得f(—x)=/(x)+/(-1)=/(c),所以函數(shù)/(①)為偶函數(shù).

1+1

構(gòu)造函數(shù)F(力)=/(力)—log2-一--，因?yàn)槭?一])=干(])，所以尸(。)為偶函數(shù)，且在(0,+oo)上為減函數(shù).

因?yàn)镕(l)=/(1)—1082甘工=0,

所以不等式/(劣)Vlog2^一等價(jià)于F(力)=/(0?)-log2^^一<0=F(l),

所以F(|T|)<F(1)，即㈤>1,所以x<—1或力>1,???

故不等式/(2)<log2—^—―的解集為{x\x<—l或1}.

故答案為:{x\x<—l或.>1}.

題型二函數(shù)的奇偈性與周期性

周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求函數(shù)值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)

化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，或己知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.

血]1(2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)已知是定義在五上的偶函數(shù),且周期T=6.若當(dāng)ce[-3,0]時(shí)，/⑸

=4-7則/(2024)=()

A.4B.16C.±D.1

164

【答案】B

【分析】由函數(shù)的奇偶性和周期性求解即可.

【詳解】因?yàn)?2024)=/(6X337+2)=/(2)=/(-2)=42=16.

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

(題目|1](多選)(2024?重慶?模擬演瀏)己知定義在R上的奇函數(shù)外r)滿足：/(2+2)=/⑸+/(—1),則

()

A./(1)-0C./(c+4)=-/⑺D./(X)

【答案】48

【分析】對(duì)4:令c=T,結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得結(jié)果;對(duì)B:令/=-],結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，即可判斷；

對(duì)C:根據(jù)B中所求/(立+2)=/(2),即可判斷；對(duì)。:取滿足題意的特殊函數(shù)，即可判斷.

【詳解】對(duì)I:對(duì)/Q+2)=/(x)+/(-1),令c=-1,可得〃1)=2/(-1),

又/(力)在R上是奇函數(shù)，故/(I)=—2/(1),解得/(I)=0,故A正確；

對(duì)3對(duì)/(工+2)=/(2)+/(—1)，令工=—￡，可得/居)=/(-y)+/(-l)，

又/⑸在R上是奇函數(shù)，故/居)=一/(5)—/⑴，即//)+/(9)=-/(1)，

由人可知，/⑴=0,故/居■)+/居)=0,故B正確；

對(duì)C：因?yàn)?(-1)=-/(1)=0,則f{x+2)=/(,)+/(—1)即/('+2)=JQ),

則/(竄+4)=/(必+2)=/(工)，即/(0+4)=/(3),故。錯(cuò)誤;

對(duì)。：由?？芍?，/(乃為周期為2的奇函數(shù)，

不妨畫出滿足題意的一個(gè)/(①)的圖象如下所示：

顯然f⑸&_/?(]),故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

題目區(qū)(多選)(2024?湖南邵陽(yáng)?二W已知函數(shù)/(0在R上可導(dǎo)，且/(c)的導(dǎo)函數(shù)為g(c).若/(c)=4

—/Q+ZbgQc—1)為奇函數(shù),則下列說(shuō)法正確的有()

2024

A.ff(l)=0B.A2)=0C./(2)=/⑻D.￡/(i)=4048

i=l

【答案】ACD

【分析】根據(jù)已知條件可得"=/(，)的周期，由g(2x—1)為奇函數(shù)可得g(x)的對(duì)稱性，利用導(dǎo)數(shù)公式及函

數(shù)的周期性、對(duì)稱性可判斷各選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于，由f(x)+f(x+2)=4,所以/(2+2)+f(x+4)=4,即/(c)=f(x+4),

所以g=/(a;)的周期為4,

且〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=[/(I)+/(3)]+[/(2)+/(4)]=8,

20244

所以W7⑴=506W7⑴=4048,故D正確；

i=li=l

對(duì)于/，由g(2o；—1)為奇函數(shù)知g(c)關(guān)于(一1,0)對(duì)稱，所以g(-l)=0,

由/(2)+/O+2)=4得/(,)+/'0+2)=0,即g(x)+g(c+2)=0,

故gQ)的周期為4且g(—l)+g(l)=0,可得g(l)=0,故人正確；

對(duì)于B。，由上知g(c)的周期為4且g(c)關(guān)于(一1,0)對(duì)稱，所以g(rc)關(guān)于(3,0)對(duì)稱，

則有g(shù){x}+g(6一①)=0,即fQ)+/(6—X)=0,所以/(土)—/(6—x)—c,

令c=3,得c=0,故/(t)—/(6—x)=0,所以/(田)關(guān)于a:=3對(duì)稱，

又/⑵+/(4)=4,所以/(2)=/(4)=2,故B錯(cuò)誤;

又/(4)=。(8),所以/(2)=/(8),故。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷各選項(xiàng).

1題目叵)(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(,)對(duì)任意rc,geR均有：/(,+“)+

f(x—y)=2Kx)f(y)且/(①)不恒為零.則下列結(jié)論正確的是.①/(0)=0;②/(0)=1；③/(0)=0

或/(0)=1；④函數(shù)/(，)為偶函數(shù);⑤若存在實(shí)數(shù)aWO使/(a)=0,則/(,)為周期函數(shù)且2a為其一個(gè)周

期.

【答案】②④

【分析】根據(jù)賦值法及抽象函數(shù)的奇偶性、周期性——判定結(jié)論即可.

【詳解】令沙=0,則Va;CR,2f(x)=2f(a)f(0)恒成立,

因?yàn)?(c)不恒為零，所以/(0)=1,即②正確，①③錯(cuò)誤；

令2=0,則VyeR,f(y)+f(-y)-2f(y)f(0)=2f(y)=/(一沙)恒成立，

所以函數(shù)/(rc)為偶函數(shù)，即④正確；

令V=a■，則/(，+a)+f(x-a)=2f(x)f(a)=0,

所以/(￡+2a)+f(x)=O,f(x+4a)+f(x+2a)=0=>f(a;+4a)=f(x),

則/(c)為周期函數(shù)且4a為其一個(gè)周期，即⑤錯(cuò)誤.

故答案為：②④

題型三函數(shù)的奇偈性與對(duì)稱性

由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可求函數(shù)的周期，常用于化簡(jiǎn)求值、比較大小等.

腳11(23-24方三下?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)/(力及其導(dǎo)函數(shù)廣(土)的定義域均為兒記儀力=廣(。).

若/既—2,),g(2+,)均為偶函數(shù)，則()?M

A./（O）=OB.g（-方）=0C./（-2）=f（l）D.g（—l）=g⑵

【答案】B

【分析】根據(jù)/（弓一2t）,g（2+⑼為偶函數(shù)得到等式關(guān)系，可判斷C,。;根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸可求得函數(shù)的

極值點(diǎn)，結(jié)合極值點(diǎn)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)B;根據(jù)函數(shù)/（⑼的圖象的不確定性，可判斷選項(xiàng)A.

【詳解】—2工）為偶函數(shù)，可得/（卷_22）=/管+2工）,

關(guān)于2；=.對(duì)稱，

/（—2）=/（5）,故。不正確；

Vg（2+x）為偶函數(shù),

:.g（2+力）=g（2—x）,g（x）關(guān)于%=2對(duì)稱，故。不正確;

Vf｛x｝關(guān)于力■對(duì)稱，，6=~|~是函數(shù)/（e）的一個(gè)極值點(diǎn)，

???函數(shù)/Q）在得力）處的導(dǎo)數(shù)為0,即g（9）=嗚）=0,

又/.g（x）的圖象關(guān)于力=2對(duì)稱，,g信）=9倍）=0,

函數(shù)/（1）在的導(dǎo)數(shù)為0,

.,?力二年是函數(shù)/（劣）的極值點(diǎn)，又/㈤的圖象關(guān)于力二1■對(duì)稱，

:.（."）關(guān)于力=■的對(duì)稱點(diǎn)為（.1）,

由/=］是函數(shù)/（力）的極值點(diǎn)可得力=｝是函數(shù)/（力）的一個(gè)極值點(diǎn)，

進(jìn)而可得g傳）=9怎）=0,故土=日是函數(shù)/㈤的極值點(diǎn)，

又了㈤的圖象關(guān)于2=5對(duì)稱，

關(guān)于”=今的對(duì)稱點(diǎn)為（"/一）'

?冏得）=/'（，）=0,故B正確;

/（，）圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，

即每一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故人錯(cuò)誤.

故選：3.

【變式訓(xùn)練】

（題目|1］（多選）（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)/（0=c團(tuán)+pc+q,下列命題正確的是（）

A.當(dāng)q=0時(shí)，/（,）為奇函數(shù)

B.y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,q）對(duì)稱

C.當(dāng)p=0,q>0時(shí)，方程/（力）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.方程/（力）=0至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】AB。

【詳解】解析:若q=0,則/（力）=x\x\+px=x（\x\+p）為奇函數(shù)，所以A正確；由_A知，當(dāng)q=0時(shí)，/（/）為奇

???

函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(c)=x\x\+px+q的圖象由函數(shù)夕=7團(tuán)+px的圖象向上或向下平移|q|個(gè)單

位長(zhǎng)度得到的，所以圖象關(guān)于點(diǎn)(O,q)對(duì)稱，所以_8正確；當(dāng)p=0,q>0時(shí)，/(c)—x\x\+q—

(x+q,x^-0當(dāng)/(/)=0,得/=—莉,只有一解，所以。正確；取°=0,2=—],/Q)=①㈤—x=

{-x+q,rc<0

[X羽"1°由/(工)=0,可得①=0,①=土1,有三個(gè)實(shí)根，所以。不正確.故選ABC.

{—x—x,x<Q

[題目|2)(多出(23-24高三下?堂慶?階段練習(xí))函數(shù)/⑸的定義域?yàn)镽,且滿足/(工+9)+f(x—y)=

2/3)/(妨，/(4)=—1,則下列結(jié)論正確的有()

A./(0)=0B/2)=0

C./Q)為偶函數(shù)D./(,)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱

【答案】BC

【分析】利用特殊值法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求解.

【詳解】由題可知/(c+g)+/0—。)=2/(2)/(夕)

令2=4,。=0,則/(4+0)+/(4—0)=2/(4)/(0),

即/(4)+〃4)=2/(4)/(0)，可得/(0)=1,故A錯(cuò)；

令2=夕=2,則"2+2)+/(2—2)=2/(2)/(2),即/(4)+/(0)=2/(2)2,

又因?yàn)閒(4)=-1,/(0)=1,可得/(2)=0,故B正確；

令，=0,可得/Q)=/(一切，故。正確；

若/(c)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，則函數(shù)/(c)滿足/(0)+/(2)=0,

而f(2)=0J(0)=l,顯然/(0)+/(2)=1#0,故。錯(cuò),

令①=2,可得42+9)+f(2-y)=2/(2)/(y)=0,

.寸⑺的圖象關(guān)于(2,0)對(duì)稱.

故選：BC.

題目①(2024?河南?一模)已知函數(shù)/(,)及其導(dǎo)函數(shù)/(,)的定義域均為R,記g(2)=/'(c).且

2024

/(I—3x)+/(3rr—1)=0,g(l+力)+g(l—力)=0,當(dāng)力G(0,1],/(6)=sin季r,則匯|/⑴I=______.(用數(shù)

22=1

字作答)

【答案】1012

【分析】根據(jù)/(I—3x)+y(3ar—1)=0推出函數(shù)/(①)為奇函數(shù)，由g(l+/)+g(l—a;)=0還原成/'(l+x)

=-f(1—2)，推理得到f(l+x)=f(l—2)，得出函數(shù)/(2)圖象關(guān)于直線2=1對(duì)稱，兩者結(jié)合得出/(力)為

2024

以4為周期的函數(shù)，分別求出;(1)J(2)J(3)J(4)，計(jì)算即得Zl/(i)l.

i=l

【詳解】由/(I-3rc)+/(3x-1)=0可得/(I-3rc)=/[—(3a;-1)]=—f(3x—1),即/(—c)=-f(￡)①

又由g(l+，)+g(l-a?)=0可得g(l+rc)=-g(l-2)，即/(1+x)=-f'(l-x)，從而/(l+c)=[/(l-x)

]'，

故/(I+x)=f(l-x)+C(。是常數(shù))，因當(dāng)c=0時(shí)/(I)=/(l)+C,則C=0,即得/(I+x)=/(l—c)②，

由②可得/(2+x)=/(—a?),又由①得/(2+0=—/(c),即/(力+4)=—/(2+x)=/Q),故函數(shù)/(2)為周

期函數(shù)，周期為4.

由a;C(0,1],f(x)=sin-^-a;可知/⑴=1,因/(sc)是R上的奇函數(shù)，f(0)=0,則由f(2+x)=f(—x)可得

/(2)=?=0,?M

/(3)=/(-1)=-/(1)=-1,/(4)=/(0)=0,

2024nnn/i

則LZ1⑴|+1*2)1+|/(3)|+/(4)1=2,于是ZLf(i)l=2X竽=1012.

2=14

故答案為：1012.

題型四函數(shù)的周期性與對(duì)稱性

函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題,解題時(shí)，往

往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再利用單調(diào)性解

決相關(guān)問(wèn)題.

題](2024?河北滄州?一模)已知定義在R上的函數(shù)/(⑼滿足：/(c)+/(2—,)=2,/(0一/(4—0)=0,

2024

且/(0)=2.若ieN*,則2珀)=()

i=i

A.506B.1012C.2024D.4048

【答案】。

【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)/Q)是周期為4的函數(shù)，再根據(jù)條件得出/⑴，/⑵，/⑶，/⑷，即可求出結(jié)

果.

【詳解〉."(①)+/(2—2)=2,①

：.f(l+x)+f(2-(l+x))=2,

即/(1+x)+/(1—⑼=2,所以/(I+c)—1=_(/(1—0—1),

所以函數(shù)/(①)的圖象關(guān)于(1,1)對(duì)稱，

令*=1,則/⑴+/⑴=2,所以/⑴=1,

令劣=2,/(2)+/(0)=2,又/(0)=2,所以/(2)=0,

又,?"(￡)―/(4-c)=。，”(2-ic)=/(4-(2一4))=/(2+2),②

即函數(shù)/(①)的圖象關(guān)于直線8=2對(duì)稱，

/⑶=AD=1

且由①和②，得/(c)+/(2+工)=2=>/(2+x)+/(4+X)—2,

所以/(c)=*4+⑼，則函數(shù)/(⑼的一個(gè)周期為4,

則/⑷=/(0)=2,

2024

所以匯/⑴=506[/(1)+/(2)+/(3)+/⑷]=506x(1+0+1+2)=2024.

i=l

故選：C

【變式訓(xùn)練】

〔題目I1〕(23-24■三下?直慶?階段練習(xí))己知函數(shù)/⑸的定義域是R,/借+C)=/(,-X),“工)+

/(6—c)=0,當(dāng)0WrcW~1~時(shí),于(X)=4x—2a?,則/(2024)=.

【答案】2

【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可推導(dǎo)求得/(，+6)=/(rr),利用周期性和對(duì)稱性可得“2024)=/⑴，結(jié)合已知函

數(shù)解析式可求得結(jié)果.

【詳解】由/q+工)=/(年—土)得：/(2)=/怎—(/―告)]=/(3—力)，

又/(土)+/(6—t)=0,.,"(3—7)+/(6-x)=0,

f(x)=~f[6-(3-as)]=-/(x+3),.-.f(x+6)=~f(x+3)=f(x),?M

”(2024)=/(6X337+2)=/(2)=/(1)=4—2=2.

故答案為：2.

1題目0(2024?全國(guó)?模椒預(yù)測(cè))寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)/(，)的解析式.

①/(，)=一/(t+2);

②/(2+1)=/(1-2)；

③/(c)的導(dǎo)數(shù)為『(①)且『(①)=/(-，).

【答案】/⑸=sin(等c)(答案不唯一)

【分析】借助函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性計(jì)算即可得.

【詳解】由①得/(2+4)=/(2)，所以函數(shù)/(2)圖象的周期為4,

由②得/(>)的圖象關(guān)于直線①=1對(duì)稱，

由③得/(/)關(guān)于(0,c)對(duì)稱，c為常數(shù),

則同時(shí)滿足三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)可以為/(2)=sin(-^-x).

故答案為:f(x)=sin(百力)(答案不唯一).

(題目|3］(23-24高三下?陜西?開學(xué)考■武)已知定義在R上的函數(shù)1)為奇函數(shù)，/(2+2)為偶函數(shù),

當(dāng)①C［0,1］時(shí)，/(c)=323_3,,則方程/(c)=-1在［0,99］上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.

【答案】98

【分析】根據(jù)條件確定函數(shù)周期性，畫出函數(shù)/(c)在區(qū)間［0,4］上的圖象，根據(jù)圖象可得實(shí)根個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)/(2+1)為奇函數(shù)，即/(z+1)=—f(—X+1),對(duì)稱中心為(1,0),

函數(shù)/(2+2)為偶函數(shù)，即/(2+2)=f(_￡+2)，對(duì)稱軸為x=2,

又由/(c)=_/(_C+2)=_/(/+2)=/(a:+4)可得

函數(shù)/(0是周期函數(shù)，且周期為4,

r2

當(dāng)工C［0,1］時(shí),1f(①)=3a?—3c,則f(x)—9X—3,

令/Q)>0,得尊</<1,/(乃單調(diào)遞增，

令/'(,)<0,得0<t<：^^,/(±)單調(diào)遞減，

所切―(4)=3x(4)-3X(甯一等.

作出函數(shù)/(2)在區(qū)間［0,4］上的圖象如下：

即在區(qū)間［0,4］上，方程/(2)=—1有4個(gè)實(shí)根，

又99=4x24+3,

則方程/(,)=-1在［0,99］上的實(shí)根個(gè)數(shù)為4X24+2=98.

故答案為：98.

H【課后強(qiáng)化】???

基礎(chǔ)保分練

一、單

題目(2023?河南信陽(yáng)?三模)已知函數(shù)/(7)=log2(rc+HI)+1—?jiǎng)t對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,a+b

/IJ-

>0是/(a)+/(6)>0()

A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.不充分且不必要條件

【答案】A

【分析】判斷函數(shù)/(⑼=log23+J/+1)+1-的單調(diào)性和奇偶性，繼而判斷“對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,a+b

>0"和/(a)+/(6)>0之間的邏輯關(guān)系，即得答案.

【詳解】由于沙=8+Vx2+l,y=1-------在R上單調(diào)遞增，

2+1

且/OOnlogzQ+G5不1)+1—彳*的定義域?yàn)镽,則/(①)在R上單調(diào)遞增，

又卜X)=—/)+1—=一―+2+1—含

2

=-log2(Vrc+l+rc)-1+=一/(2),即/㈤為奇函數(shù)，

對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,a+b>0,即a>—b,可得/(Q)>/(—6)=-f(b\：.f(a)+/(b)>0;

反之，/(Q)+f(b)>0時(shí)，可得/(Q)>—/(&)=/(—b),則a>—b,即a-hb>0,

故對(duì)任意實(shí)數(shù)Q,b,a+b>0是/(a)+f(b)>0的充分必要條件，

故選：A

題目囪(2024京三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(,)=晨叫則使得/(2a)</(a—1)成立的正實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.段,+co)B.[g,+co)C.(0,1)D.(。，；)

【答案】A

【分析】分析函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，利用函數(shù)/(c)=屋同的單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】由題意可知/(c)的定義域?yàn)镽,且/(—2)=e+'”=e,所以/(2)為偶函數(shù).

當(dāng)0時(shí)，/(￡)=」-,則函數(shù)/(a;)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，且/(c)>0.

ex

所以不等式/(2Q)</(a-1)成立，需|2a|>|a-l|,

解得a<—1或a>~|■，又a>0,

O

所以a>即正實(shí)數(shù)a的取值范圍是懵+oo).

故選：A.

【題目①(23-24高三上?遼寧遼M?期和己知/(c+1)是偶函數(shù)，/⑺在[l,+oo)上單調(diào)遞增，/(0)=0,

則不等式(x+1)/(為>0的解集為()

A.(1,+s)B.(2,+8)C.(-2,0)U(0,2)D.(-1,0)U(2,+8)

【答案】。

【分析】由條件結(jié)合圖象平移得到f(x)的圖象，結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】函數(shù)/(，)的圖象可由/(①+1)的圖象向右平移1個(gè)單位得到，

因?yàn)?(劣+1)是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于g軸對(duì)稱，???

所以/(名)的圖象關(guān)于直線力=1對(duì)稱，

又/(少)在[1,+8)上單調(diào)遞增，則/(劣)在(—00,1]上單調(diào)遞減,

又/(0)=0,則有/(2)=0,

當(dāng)?+i>o,即力>一1時(shí)，需/3)>o,

解得一1V/V0或⑦>2;

當(dāng)力+1V0,即力<—1時(shí)，需/(力)<0,無(wú)解；

綜上，不等式3+1)/(力)>0的解集為(-1,0)U(2,+8).

故選：。

題目@(2024?山東濟(jì)寧?一模)設(shè)函數(shù)/㈤定義域?yàn)镽,/(2，—1)為奇函數(shù),/Q—2)為偶函數(shù)，當(dāng)。e

[0,1]時(shí),/3)=)—1,則/(2023)—/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案

【分析】由/(2a;—1)為奇函數(shù)得到函數(shù)的對(duì)稱中心，由f(x-2)為偶函數(shù)得到函數(shù)的對(duì)稱軸，進(jìn)一步求得函

數(shù)的周期，然后將/(2023)與/(2024)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(，)定義域?yàn)镽,/(2a;—l)為奇函數(shù)，所以九2,—1)=—/(-2c—1),所以函數(shù)/(,)關(guān)于

點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱，且/(-1)=0,

因?yàn)?Q-2)為偶函數(shù)，所以f(x-2)=/(-/一2),所以函數(shù)fQ)關(guān)于直線a;=-2軸對(duì)稱，

又因?yàn)閒(x)=—f(—2—x)=—/(-2+x)=—[—/(—4+a;)],所以函數(shù)/(力)的周期為4,

因?yàn)楫?dāng)①C[0,1]時(shí)，/Q)=x2—l,

所以/(2023)=”4x506-1)=/(-1)=0,/(2024)=/(4x506)=/(0)=-1,

所以/(2023)-/(2024)=1.

故選：C.

二、多選題

【題目|5)(23-24玄三下?海俞盾直林縣級(jí)單位?開學(xué)者卻已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/㈤對(duì)任意實(shí)數(shù)工，沙都

有/(2)+/(5=/(寧)/(土丁)，且/(0)片OJ(l)=1，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(0)=3B./(z)=/(一2)

C.函數(shù)加)的圖象關(guān)于點(diǎn)信,0)對(duì)稱D./⑴+/⑵+…+/(2024)=0

【答案】BD

【分析】根據(jù)給定條件，賦值計(jì)算判斷48。；推理確定函數(shù)/Q)的周期，再利用周期性求值判斷D

【詳解】定義域?yàn)镽的函數(shù)/(C)對(duì)任意實(shí)數(shù)ey都有/3)+/(3)=/(甘幺)/(三二)，

令2=9=1,則/(I)+/(1)=/(1)/(0)，而/(I)=1,因此f(0)=2,A錯(cuò)誤；

cCR,令夕=一工,則/(c)+f(-x)=/(O)/(c)=2/(c),則/(2)=/(-3；),_B正確；?M

顯然/(o)+/⑴=3W0,則函數(shù)加)的圖象關(guān)于點(diǎn)信,0)不對(duì)稱，。錯(cuò)誤；

令y=rr—2,則f(x)+f(x-2)=f(x-l)f(l)=/(*-1),同理/(①+1)+f(x-1)-f(x),

因此/(c+1)=_f@一2),即『3+3)=T(x),

從而/(c+6)=—f3+3)—f(x)，即函數(shù)f(￡)的周期是6,

由f@+3)=-/(,),得/(2)=—/(—1)fl),則/(1)+/(2)=0,

顯然/(4)=一/(1),/(5)=-/(2),/(6)=—/(3),

所以汽1)+/(2)+--+/(2024)=337［/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)］+/(1)+/(2)=0,D正確.

故選：BD

題目回(2024?廣東?一模)已知偶函數(shù)/(,)的定義域?yàn)镽,A^c+l)為奇函數(shù)，且人,)在［0,1］上單調(diào)

遞增,則下列結(jié)論正確的是()

A./(-f)<0C./(3)<0D./(^)>0

【容案】BD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，首先推出函數(shù)為周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的符號(hào)，可

得有關(guān)的結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?(力)為偶函數(shù)，所以/(―/)=/(劣)；

因?yàn)?居立+1)是9上的奇函數(shù)，所以/⑴=0，

且/(三。2)的圖象是由/(5)的圖象向左平移2個(gè)單位得到的，所以/(5)的圖象關(guān)于(2,0)點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)一

步得/(/)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，即/(1+力)=—y(i—x).

所以/(6+2)=/(1+(1+/))=一/(1一(1+為)=一/(一為=一/3),所以/(力+4)=—/(力+2)=/(/).所

以函數(shù)/(力)是周期函數(shù)，且周期為4;

又/?在［0,1］上單調(diào)遞增，所以在［0,1］上，有/O)vo.

所以函數(shù)的草圖如下：

/（嬰）=《674+-1）=/（4x168+2+=/（2+告）＞0,故。對(duì).

故選：BD

〔題目|7)(23-24方三下?堂慶?階&練習(xí))已知函數(shù)/⑸=|sin工—cos引+sin2c,則下列選項(xiàng)正確的是

()

A.兀是函數(shù)/(,)的一個(gè)周期B.①=—(是函數(shù)/(2)的一條對(duì)稱軸?M

C.函數(shù)/⑸的最大值為土,最小值為2—1D.函數(shù)/㈤在目兀，苧t］上單調(diào)遞減

【答案】ABC

【分析】利用函數(shù)周期性及對(duì)稱性的定義可得43,使用換元法，令力或電—1）［e［0,⑹，可得夕=

-t2+t+1,結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得C、D.

【詳解】對(duì)A:f（x+兀）=|sin（rc+兀）-cos（力+兀）|+sin2（a:+兀）=\sinx-cosx|+sin2x,

故兀是函數(shù)f（劣）的一個(gè)周期，故4正確；

又寸B:于（-—6）=［in（--1—力）一cos（--—力）|+sin2（--■—力）二|sin6—cos劍+sin（一?！?6）

=|sinx-cos劍+sin2/,故x=—：是函數(shù)/（名）的一條對(duì)稱軸，故B正確；

2

對(duì)C、令|sin/—COSN|=t，有sin2T=l—tf

因?yàn)閟in2/G［-1,1］,所以1。［0,2］,

貝Uy—|sina;—cos引+sin2a;=—廿+力+1=—（t—+-^-,

由3=|，5sin（N—C［0,A/2］，則函數(shù)/⑺的最大值為■，最小值為V2—1,故。正確；

函數(shù)/（6）由y=—t2+t+l^t=|sinx-cosx|復(fù)合而成,

函數(shù)y=—/+力+1在［0,A/2^］上先增后減，3=|V2sin^a?—|在［"^"，曰^］上遞減，且力e［0,A/2］,

故選：ABC.

【題目|8）（23?24高三下?遼寧?開學(xué)考試）已知函數(shù)"=/（8）是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意力GR,都有

f（x+4）=/（力）+/（2）成立，當(dāng)力6［0,2）時(shí)/（力）=2*—1,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.f（0）=0B.函數(shù)g=/（⑼在［-6,-2］上單調(diào)遞增

C.函數(shù)沙=/（⑼在［—6,6］上有3個(gè)零點(diǎn)D.點(diǎn)（4,0）是函數(shù)g=/Q）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

【答案】AD

【分析】由/（力+4）=/（力）+/⑵，令2=—2,得到/（—2）=0,進(jìn)而得到/（%+4）=/（力）逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：由/（力+4）=/（%）+/⑵，令①=—2,得/（—2）=0,

又函數(shù)y=f（6）是R上的奇函數(shù)，則/（0）=0,故4正確；

由/⑵=—/（-2）=0,得/（比+4）=/（力），則周期為7=4,

作出函數(shù)/（力）的部分圖象，如圖所示：

由圖象知：函數(shù)0=/（/）在（-6,-2）上單調(diào)遞增，又/（—6）=/（—2）=/（2）=0,在2處不連續(xù),

則函數(shù)沙=/（力）在［-6,-2］上不單調(diào)，

由/（6）=/（2）=0J（-6）=y（-2）=0,y（0）=0,/（-4）=y（4）=0,

則函數(shù)y=f（x）在［-6,6］上有7個(gè)零點(diǎn)，故B。錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?,0）是函數(shù)的一個(gè)個(gè)對(duì)稱中心，則（4,0）也是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故。正確；???

故選：AD

三、填空題

題目回(2024?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測(cè))定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(2)滿足/(乃<3,若“2小)—/(m—1)>

3機(jī)+3,則機(jī)的取值范圍為.

【答案】(—8,—1]

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(c)=/(a;)—32,利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再將所求不等式變形為函數(shù)g(c)的形

式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令g(力)=/(/)—3.則g\x)=f\x)—3<0,

所以函數(shù)g(/)在72上是減函數(shù)，

由/(2m)—/(m—1)>3m+3,得/(2?n)—3X2m>f(m—1)—3(m—1),

即g(2m)>g(m—1),

所以2m&E-1,解得m4—1,

所以？n的取值范圍為(—GO,—1].

故答案為：(一00,—1].

[題目區(qū)(2024?寧夏銀川?-W已知/(,+1)是偶函數(shù),/⑺在口,+8)上單調(diào)遞增，/(0)=0,則不等

式(,+1)/(,)>0的解集為.

【答案】(一1,0)U(2,+s)

【分析】首先得出/(c)的對(duì)稱性結(jié)合/(2)的單調(diào)性可得/(多)的符號(hào)變化情況，由此可通過(guò)列表法求解.

【詳解】由題意/(2+1)是偶函數(shù)，所以/(，)的對(duì)稱軸是x=l,

因?yàn)?(2)在[1,+co)上單調(diào)遞增，所以/(,)在(一8,1]上單調(diào)遞減，

又/(0)=0,所以/⑵=/(0)=0,

所以當(dāng)1V2時(shí)，/(①)</(2)=0,當(dāng)re>2時(shí)，/(①)>/(2)=0,

由對(duì)稱性當(dāng),<0時(shí)，/(2)>/(0)=0,當(dāng)0<cWl時(shí)，/(乃</(0)=0

所以a;+l,/(a;),(x+l)/(c)的符號(hào)隨2的變化情況如下表：

X<—1—1<x<00<x<2rr>2

x+1—+++

/(2)++—+

3+1)/

—+—+

0)

所以由上表可知不等式0+1)/(0>0的解集為(-1,0)U(2,+oo).

故答案為：(一1,0)U(2,+?).

四、解答題

面里HQ024方三,全國(guó)?專題練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(工)=/^|是奇函數(shù)?

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)求證：函數(shù)/(2)在(一co,+co)上是單調(diào)遞減函數(shù)；

(3)若對(duì)任意的力CR,不等式f彷—2t)+/(2/—k)<0恒成立，求實(shí)數(shù)看的取值范圍

【答案】⑴a=2,6=1

(2)證明見解析?M

【詳解】

(1)解：因?yàn)?(力)是奇函數(shù)，所以/(0)=0,

即b=i,所以/3)=1—2.

1—21—春

由/(1)=一/(一1),知-―^=----F'解得。=2,

Q+4Q+1

經(jīng)檢驗(yàn)a=2,b=l符合題意.

⑵證明：由(1)知f(x)=2：22+1--1

2---2X+1

設(shè)任意a?i,X2E(—co,+oo),且的<2；2,

2X1—2X

則/(電)一/(血)=2

(2X2+1)(2X1+1)

因?yàn)閥=2a;在(-8,+00)上為增函數(shù)，所以2x1—2x2＜0,

所以/(力2)-/Qi)<0,即/(處)>/(電)，

所以/(c)在(—co,+oo)上為減函數(shù).

(3)解：因?yàn)?(,)在(一8,+8)上為減函數(shù)，且是奇函數(shù),

/(t2—,2t)+/(2t2—fc)<0,

所以f(t1-2t)<f(—2%~+%),

所以3t2-2i-fc>0對(duì)任意

綜合提升練

一、單

,瓦1工(2024?陜西西安?一模)已知定義在R上的奇函數(shù)/⑺滿足/(，)=/(，+2),則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的

是()

A./(0)=0B./(c)是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期

C./(2025)=1D.f(3)=/(4)+/(5)

【答案】。

【分析】根據(jù)條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】選項(xiàng)因?yàn)?(0)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(—0)=/(0)=—/(0),即/(0)=0,所以選項(xiàng)人正

確，

選項(xiàng)B,由f(a?)—f(x+2)，知/(rr)是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期，所以選項(xiàng)B正確，

選項(xiàng)。，因?yàn)?(2025)=f(l+2x1012)=/(1),又f(-L)=f(T+2)=/⑴,得到f(l)=0,

所以選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

選項(xiàng)D,/(3)=/(1)=0,/(4)+/(5)-/(0)+/(1)=0,所以選項(xiàng)。正確，

故選：C.

頷目區(qū)(2024?廣西南寧?一模)已知函數(shù)/⑸的定義域?yàn)樾?儂+爐/此一沙)=/⑸—/⑹，且當(dāng)土＞

0時(shí),/(0)＞0,則()

A./(0)=lB./Q)是偶函數(shù)C./3)是增函數(shù)D./Q)是周期函數(shù)

【答案】。

【分析】對(duì)4,令/—"=0求解即可；對(duì)_8,令力=0化簡(jiǎn)可得f(—y)+f(g)=0即可；對(duì)。，設(shè)為＞0,結(jié)

合題意判斷「但)一/@)＞。判斷即可;對(duì)根據(jù)/⑸是增函數(shù)判斷即可.???

【詳解】對(duì)，，令立一夕=o,則/(o)=/2(o)-/2(o),得/(o)=o,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,令2=o,得/(“)/(一夕)=r(o)—產(chǎn)(夕)，

由/(0)=0整理可得/("