2023-2024學(xué)年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專題拔高作業(yè) 第1節(jié)勾股及實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)（含答案）

第1講勾股及實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)（學(xué)生版）目標(biāo)層級(jí)圖課前檢測(cè)1．若，則．2．已知：，，求代數(shù)式的值．3．如圖，將長(zhǎng)方形的邊沿折痕折疊，使點(diǎn)落在上的處，若，，則．4．如圖，將正方形沿折疊，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，若，，則折痕的長(zhǎng)度為．5．如圖，在中，，，點(diǎn)，均在邊上，且（1）若，，則．課中講解平方根與算術(shù)平方根例1.的平方根是A． B． C． D．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．的算術(shù)平方根為A．9 B． C．3 D．例2．已知與是的平方根，則的值是．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．若一個(gè)正數(shù)的平方根是和，則這個(gè)正數(shù)是．二、二次根式非負(fù)性及應(yīng)用例3．已知．則．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值是多少？

例4．已知，則的平方根為.過(guò)關(guān)檢測(cè)1．已知，則．例5．已知若，為實(shí)數(shù)，且，求的值．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．，為實(shí)數(shù)，且，化簡(jiǎn)：．

三、二次根式的運(yùn)算例6．計(jì)算：（1）（2）（3）過(guò)關(guān)檢測(cè)1．計(jì)算：（1）（2）（3）例7．已知，，求的值．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．已知，，求的值．四、方程與勾股例8．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將長(zhǎng)方形沿折疊，點(diǎn)落在處，若的延長(zhǎng)線恰好過(guò)點(diǎn)，則的長(zhǎng)為A．0.5 B．1 C．2 D．3過(guò)關(guān)檢測(cè)1．如圖，已知在矩形中，是邊中點(diǎn)，將矩形分別沿、折疊，、兩點(diǎn)剛好落在點(diǎn)處，已知，，設(shè)，則的值為A． B． C．D．例9．如圖，矩形的邊長(zhǎng)，，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則折痕長(zhǎng)為．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．如圖，矩形中，，，為上一點(diǎn)，將沿翻折至，與相交于，且，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．2．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且，則的長(zhǎng)是A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5

五、平方關(guān)系及證明例10．在中，，點(diǎn)，是邊所在直線上與點(diǎn)，不重合的兩點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)，時(shí)，直接寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系；（不必證明）（2）如圖2，當(dāng)，時(shí)，已知，，求線段的長(zhǎng)度；（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．

過(guò)關(guān)檢測(cè)1．在等腰中，，（1）如圖1，，是等腰斜邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到，連接①求證：；②當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)；

例11．在中，，.（1）如圖1，若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是.（2）如圖2，若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是.過(guò)關(guān)檢測(cè)1．如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的左側(cè)，連接．（1）求證：；（2）試探究線段、與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．2．（1）如圖1，在和中，，，且點(diǎn)在邊上滑動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，①則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為；②求證：；（2）如圖2，在四邊形中，．若，，求的長(zhǎng)．例12．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在的外部，且，求證：．學(xué)習(xí)任務(wù)1．的平方根是A． B． C． D．2．如圖，把正方形沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為，再過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為，若長(zhǎng)為2，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．3．和是一個(gè)數(shù)的平方根，則．4．已知，則的值為．5．若，則．6．已知，，求的值7．計(jì)算：（1）（2）8．已知．（1）求；（2）若的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．9．如圖，在正方形中，，，分別是，上的點(diǎn)，連接，將四邊形沿折疊得到四邊形，點(diǎn)恰好在上，若，則折痕的長(zhǎng)是．

10．分層探究（1）問(wèn)題提出：如圖1，點(diǎn)、別在正方形的邊、上，，連接．求證：，解題思路：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至，可使與重合．由，則知、、三點(diǎn)共線，從而可證，從而得，閱讀以上內(nèi)容并填空．（2）類比引申：如圖2，四邊形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，．探究：若、都不是直角，當(dāng)、滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有？（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊上，并且．猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并給出理由．

11．問(wèn)題：如圖①，在中，，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為；探索：如圖②，在與中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上，試探索線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖③，在四邊形中，．若，，求的長(zhǎng)．第1講勾股及實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)（解析版）目標(biāo)層級(jí)圖本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)涉及主要板塊分別是勾股定理和實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)。實(shí)數(shù)板塊主要復(fù)習(xí)易錯(cuò)概念，勾股定理針對(duì)折疊、旋轉(zhuǎn)類幾何綜合問(wèn)題復(fù)習(xí)，使學(xué)生熟悉輔助線作法，掌握高頻考點(diǎn)相關(guān)結(jié)論。實(shí)數(shù)板塊復(fù)習(xí)內(nèi)容如下：填選計(jì)算易錯(cuò)類。二次根式非負(fù)性及其應(yīng)用，向?qū)W生強(qiáng)調(diào)隱含重視審題發(fā)現(xiàn)限定條件勾股定理板塊復(fù)習(xí)內(nèi)容如下：折疊的應(yīng)用。復(fù)習(xí)折疊的性質(zhì)，利用矩形折疊的性質(zhì)建立方程。平方關(guān)系及其證明。半角模型的識(shí)別及證明、旋轉(zhuǎn)輔助線的作法、構(gòu)造直角三角形證平方關(guān)系。課前檢測(cè)1．若，則1．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，，．解得，，．所以．故答案為?．2．已知：，，求代數(shù)式的值．【解答】解：，，．3．如圖，將長(zhǎng)方形的邊沿折痕折疊，使點(diǎn)落在上的處，若，，則．【解答】解：四邊形是長(zhǎng)方形，，是由翻折，，，在中，，，，．，，，故答案為：．4．如圖，將正方形沿折疊，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，若，，則折痕的長(zhǎng)度為．【解答】解：過(guò)作于，連接，則，將正方形的一角折向邊，使點(diǎn)與上一點(diǎn)重合，，，，在與中，，，，，故答案為：．5．如圖，在中，，，點(diǎn)，均在邊上，且（1）若，，則．【解答】解：（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，至，則與重合，連接，如圖所示：則，，，，，，，，在△和中，，△，，，，，，在△中，由勾股定理得：，；故答案為：；課中講解平方根與算術(shù)平方根例1.的平方根是給學(xué)生強(qiáng)調(diào)先算出結(jié)果A． B． C． D．【解答】解：，2的平方根是，的平方根是．故選：．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．的算術(shù)平方根為A．9 B． C．3 D．【解答】解：，的算術(shù)平方根為3．故選：．例2．已知與是的平方根，則的值是9或1．根據(jù)學(xué)生掌握情況適當(dāng)補(bǔ)充這類平方根問(wèn)題題干的區(qū)別：A的平方根是a和b；②a和b是A的平方根。前者ab互為相反數(shù)，后者a.b可以相反也可以相等（多解）【解答】解：與是的平方根，或，解得：或，故或，則的值是9或1．故答案為：9或1．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．若一個(gè)正數(shù)的平方根是和，則這個(gè)正數(shù)是9．【解答】解：由題意得：，解得：，故，則這個(gè)正數(shù)為：，故答案為：9．二、二次根式非負(fù)性及應(yīng)用例3．已知．則．強(qiáng)調(diào)看到含根式、絕對(duì)值或平方的等式，考慮變形成非負(fù)數(shù)和為零的形式（配方）【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，所以，，，所以，，，所以．故答案為：．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值是多少？【解答】解：，，，則，，解得，，，則．例4．已知，則的平方根為隱含范圍【解答】解：，，則，，，則，，解得，，則，則的平方根為．故答案為：．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．已知，則．【解答】解：，，則，，，則，，解得：，，所以，故答案為：例5．已知若，為實(shí)數(shù)，且，求的值．強(qiáng)調(diào)隱含限定條件：分母≠0，根式非負(fù)等【解答】解：由題意，，，又，，，，過(guò)關(guān)檢測(cè)1．，為實(shí)數(shù)，且，化簡(jiǎn)：．【解答】解：，，，，，又，，．故答案為．

三、二次根式的運(yùn)算例6．計(jì)算：（1）；（2）．（3）【解答】解：（1）；（2）．（3）原式．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．計(jì)算：（1）（2）（3）計(jì)算：【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．例7．已知，，求的值．【解答】解：，，則原式．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．已知，，求的值．【解答】解：，，，，．四、方程與勾股例8．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將長(zhǎng)方形沿折疊，點(diǎn)落在處，若的延長(zhǎng)線恰好過(guò)點(diǎn)，則的長(zhǎng)為A．0.5 B．1 C．2 D．3【解答】解：四邊形是矩形，，，，由翻折可知：，，，，，又，在中，根據(jù)勾股定理，得，即，解得．則的長(zhǎng)為2．故選：．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．如圖，已知在矩形中，是邊中點(diǎn)，將矩形分別沿、折疊，、兩點(diǎn)剛好落在點(diǎn)處，已知，，設(shè)，則的值為用x表示出BN、NC的長(zhǎng)度，在中建立勾股方程A． B． C． D．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，是邊中點(diǎn)，，，將矩形分別沿、折疊，、兩點(diǎn)剛好落在點(diǎn)處，，，，，解得．故選：．例9．如圖，矩形的邊長(zhǎng)，，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則折痕長(zhǎng)為．連接AF，求出AF，在rt三角形AOF中利用勾股定理求OF?？磳W(xué)生掌握情況給學(xué)生復(fù)習(xí)翻折的性質(zhì)：①重合線段相等；②看到折痕聯(lián)想到中垂線；③折疊出等角；④折疊加平行出等腰【解答】解：連結(jié)，如圖，矩形折疊后點(diǎn)與點(diǎn)重合，垂直平分，即，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得，在中，，，在中，，，，在和中，，，，．故答案為．過(guò)關(guān)檢測(cè)※1．如圖，矩形中，，，為上一點(diǎn)，將沿翻折至，與相交于，且，則的長(zhǎng)為解題關(guān)鍵證明后，證明AF=AO+OF=OE+OP=BP,設(shè)AP=x后，用x表示三角形FDC三邊建立勾股方程求xA． B． C． D．【解答】解：四邊形是矩形，，，．由翻折的性質(zhì)可知：，，，在和中，，．，，．設(shè)，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，．故選：．2．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且，則的長(zhǎng)是連接BM、B’M,折疊性質(zhì)得到兩者相等，建立方程A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5【解答】解：設(shè)，連接，，在中，，在中，，，，即，解得，即，故選：．

五、平方關(guān)系及證明例10．在中，，點(diǎn)，是邊所在直線上與點(diǎn)，不重合的兩點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)，時(shí)，直接寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系；（不必證明）等腰rt▲內(nèi)含半角模型（2）如圖2，當(dāng)，時(shí)，已知，，求線段的長(zhǎng)度；等邊三角形內(nèi)含半角，處理方法同樣旋轉(zhuǎn)三角形使腰重合，證半角模型，利用上特殊角度（120°）作垂線構(gòu)造直角三角形。※（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）結(jié)論：．理由：，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，如圖1中，，，，，，；又，而，，，，，，，．（2）如圖2中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，作交的延長(zhǎng)線于．，，，，，，，，在中，，，，，，在中，，．（3）結(jié)論：理由：如圖3中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．在等腰中，，（1）如圖1，，是等腰斜邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到，連接①求證：；②當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)；【解答】解：（1）①如圖1中，，，，，，，，，，．②如圖1中，設(shè)，則．，，，，，，，在中，，，，，．例11．在中，，.結(jié)論：高頻考點(diǎn)（1）如圖1，若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是.（2）如圖2，若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是.【解答】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證是直角三角形，.過(guò)關(guān)檢測(cè)1．如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的左側(cè)，連接．（1）求證：；（2）試探究線段、與之間的數(shù)量關(guān)系；※（3）過(guò)點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．連接，CF是DE垂直平分線求線段長(zhǎng)度，再利用直角三角形求長(zhǎng)度【解答】（1）證明：和都是等腰直角三角形，，，，．（2）解：由（1）得，，又是等腰直角三角形，，，在中，，且，，，，（3）解：連接，設(shè)，，則，都是等腰直角三角形，，，由（1）、（2）可得，在中，，，解得，．2．（1）如圖1，在和中，，，且點(diǎn)在邊上滑動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，①則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為；②求證：；（2）如圖2，在四邊形中，．若，，求的長(zhǎng)．法一：將三角形ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AC重合，連接DE，構(gòu)造RT▲DEC法二（無(wú)過(guò)程）：過(guò)A做AM垂直AD交DC延長(zhǎng)線于M，連接BM，構(gòu)造等腰直角三角形手拉手全等，再利用直角三角形BMD勾股定理求MD，最后算AD?！窘獯稹浚?）①解：，理由如下：，，即，在和中，，，，，；故答案為：；②證明：中，，，由（1）得，，，，，，在中，，又，；（2）解：作，使，連接，，如圖2所示：，即，在與中，，，，，，，，，．例12．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在的外部，且，求證：．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到利用飛鏢模型證明∠EAD=90°（60°+30°）【解答】解：如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，是等邊三角形在中，，．學(xué)習(xí)任務(wù)1．的平方根是A． B． C． D．【解答】解：，的平方根是．故選：．2．如圖，把正方形沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為，再過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為，若長(zhǎng)為2，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，，，，由勾股定理得，，．設(shè)，則，，中，，，解得，，故選：．3．和是一個(gè)數(shù)的平方根，則1．【解答】解：顯然，和是一個(gè)數(shù)的平方根，，解得：，故答案為：1．4．已知，則的值為．【解答】解：，，解得，．故答案為：5．若，則．【解答】解：，，則，，，，則，，解得：，，所以，故答案為：6．已知，，求的值【解答】解：由題意可知：，，，，，當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式．7．計(jì)算：（1）（2）【解答】解：（1）原式；（2）原式．8．已知．（1）求；（2）若的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．【解答】解：（1），，，，，（2）的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，，，．9．如圖，在正方形中，，，分別是，上的點(diǎn)，連接，將四邊形沿折疊得到四邊形，點(diǎn)恰好在上，若，則折痕的長(zhǎng)是．【解答】解：如圖，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于，四邊形是正方形，，，將四邊形沿折疊得到四邊形，是