2023-2024學(xué)年北師版八年級數(shù)學(xué)寒假專題拔高作業(yè) 第4節(jié)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)習(xí)（含答案）

第4節(jié)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（學(xué)生版）目標(biāo)層級圖課前檢測1.把點A（2，）向上平移2個單位得到點A′坐標(biāo)為（）A．（2，﹣） B．（2，） C．（2，﹣3） D．（2，3）2.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角到△A′B′C′的位置，A′B′恰好經(jīng)過點B，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為．3.下列生活現(xiàn)象中，屬于平移現(xiàn)象的是（）A．急剎車時汽車在地面滑行 B．足球在草地上跳動 C．投影片的文字經(jīng)投影轉(zhuǎn)換到屏幕上 D．鐘擺的擺動4.如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，PC＝3，PA＝4，PB＝5，求∠APC的度數(shù)．課中講解一.平移的概念與性質(zhì)平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動成為平移.平移不改變圖形的形狀和大小.平移的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等；對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等，對應(yīng)角相等.例1.下列現(xiàn)象中是平移的是（）A．翻開書中的每一頁紙張 B．飛碟的快速轉(zhuǎn)動 C．將一張紙沿它的中線折疊 D．電梯的上下移動過關(guān)檢測1.下列現(xiàn)象屬于數(shù)學(xué)中的平移的是（）A．樹葉從樹上隨風(fēng)飄落 B．升降電梯由一樓升到頂樓 C．汽車方向盤的轉(zhuǎn)動 D．“神舟”號衛(wèi)星繞地球運(yùn)動2.下列運(yùn)動屬于平移的是（）A．電風(fēng)扇扇葉的轉(zhuǎn)動 B．石頭從山頂滾到山腳的運(yùn)動 C．電梯從一樓運(yùn)動到三樓 D．蕩秋千二.坐標(biāo)系下點的平移例1.將點P（1，2）向左平移3個單位后的坐標(biāo)是（）（﹣2，2） B．（1，﹣1） C．（1，5） D．（﹣1，﹣1）例2.如圖，A，B的坐標(biāo)為（2，0），（0，1），若將線段AB平移至A1B1，則a+b的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5過關(guān)檢測1.已知點A的坐標(biāo)為（1，3），點A向左平移1個單位長度，向下平移4個單位長度．則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）A．（5，3） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）2.如圖，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）、（4，0），將△AOB沿x軸向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，則點C的坐標(biāo)為．三.旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.例1.如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．若點A，D，E在同一條直線上，∠ACB＝20°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．55° B．60° C．65° D．70°過關(guān)檢測1.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，則BM的長是．2.如圖，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，將三角形CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)75°，點E的對應(yīng)點N恰好落在OA上，則的值為．四.旋轉(zhuǎn)的作圖（格點下）例1.如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)；（2）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C點旋轉(zhuǎn)到C2點所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留根號和π）；（4）求出（2）△A2BC2的面積是多少．

過關(guān)檢測1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點都在正方形（每個小正方形邊長為單位1）網(wǎng)格的格點上．（1）△ABC的形狀是（直接寫答案）；（2）平移△ABC，若A對應(yīng)的點A1坐標(biāo)為（3，﹣1），畫出△A1B1C1；（3）畫出△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°的△BA2C2并求出旋轉(zhuǎn)過程中△ABC掃過的面積．（結(jié)果保留π）五.解密旋轉(zhuǎn)全等的構(gòu)造例1.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且BE+DF＝EF，則∠EAF＝度．過關(guān)檢測1.如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN．（1）求證：MN＝BM+NC；（2）求△AMN的周長為多少？2.已知：如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，,,，求∠BPC的度數(shù)．3.（1）閱讀理解利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法．如圖1，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C，連接PP′，則PP′的長為；在△PAP′中，易證∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度數(shù)為，綜上可得∠BPC的度數(shù)為；（2）類比遷移如圖2，點P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝，PC＝1．求∠APC的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用如圖3，在四邊形ABCD中，BC＝5，CD＝8，AB＝AC＝AD，∠BAC＝2∠ADC，請直接寫出BD的長．六.中心對稱圖形及性質(zhì)概念：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做它們對稱中心.如圖，△ABC與△A`B`C`成中心對稱，點O是它們的對稱中心.性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平方.例1.下列美麗的圖案中，是中心對稱圖形的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個過關(guān)檢測1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2.如圖，已知△ABC和△A'B'C'關(guān)于點O成中心對稱，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOB＝∠A'OB' C．AB＝A'B' D．OA＝OB'學(xué)習(xí)任務(wù)1.已知平面直角坐標(biāo)系中點P（﹣3，4）．將它沿y軸方向向上平移3個單位所得點的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，1） B．（﹣3，7） C．（0，4） D．（﹣6，4）2.下列圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3.如圖，將△ABC向右平移得到△DEF，已知A，D兩點的距離為1，CE＝2，則BF的長為（）A．5 B．4 C．3 D．24.兩個全等的三角尺重疊放在△ACB的位置，將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，則CF＝cm．5.如圖，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點D在AC上，將△ABD繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度數(shù)；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的長．第4節(jié)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（解析版）目標(biāo)層級圖本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)主要涉及的內(nèi)容是圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，根據(jù)層級圖分成了6個版塊第一部分：首先學(xué)習(xí)了圖形平移的概念，可以舉一些生活中常見的例子如，坐電梯等，讓學(xué)生能夠更加清楚的理解到平移現(xiàn)象，然后通過例子去帶學(xué)生研究出平移的性質(zhì)，圖形的形狀和大小都不改變。第二部分：引入平面直角坐標(biāo)系下點坐標(biāo)的平移，需要解釋清楚上下左右平移分別對應(yīng)的坐標(biāo)變化情況，同時如果是任意的移動，可以轉(zhuǎn)化成上下左右來進(jìn)行移動，從而達(dá)到簡便的目的第三部分：旋轉(zhuǎn)的概念，也需要舉一些實際生活案例進(jìn)行引入，比如：汽車的方向盤、鐘表指針的旋轉(zhuǎn)、湯秋千等，然后跟學(xué)生一起研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一般考試不經(jīng)?？夹D(zhuǎn)的概率判定，更多的是考察圖形的旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)的線段相等，角度相等，去求一些邊長或關(guān)系或者角度問題，也有一定的難度；第四部分：旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格作圖題：這部分首先還是必須梳理圖形，特別是三角形關(guān)于x軸、y軸、原點的對稱圖形的畫法，其次也要講清楚圖形繞著原點（主）或不是原點（次）旋轉(zhuǎn)90°或者180°的圖形的畫法，然后對應(yīng)成績好的學(xué)生還要講解某條邊在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積（扇形的面積公式或推導(dǎo)方法）；第五部分：旋轉(zhuǎn)在全等圖形中的運(yùn)用，這部分主要從“半角模型”和“奔馳模型”兩種模型進(jìn)行講解，首先需要給學(xué)生解釋清楚半角和奔馳的模型判定方法，然后會正確的畫出旋轉(zhuǎn)之后的圖形構(gòu)造出全等圖形，從而實現(xiàn)邊和角的轉(zhuǎn)化；特別是奔馳模型，建議新老師一定要提前梳理清楚；第六部分：中心對稱，這部分內(nèi)容比較簡單，也不是一個重難點考點，所以帶學(xué)生梳理清楚中心對稱的定義及能夠簡單進(jìn)行運(yùn)用即可。課前檢測1.把點A（2，）向上平移2個單位得到點A′坐標(biāo)為（）A．（2，﹣） B．（2，） C．（2，﹣3） D．（2，3）【答案】D【解答】解：將點A（2，）向上平移2個單位，得到點A′，則A′的坐標(biāo)為（﹣2，3），故選：D．2.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角到△A′B′C′的位置，A′B′恰好經(jīng)過點B，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為70°．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝55°，∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角到△A′B′C的位置，∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°，CB＝CB′，∴∠CBB′＝∠B′＝55°，∴∠α＝70°，故答案為：70°．【點評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．3.下列生活現(xiàn)象中，屬于平移現(xiàn)象的是（）A．急剎車時汽車在地面滑行 B．足球在草地上跳動 C．投影片的文字經(jīng)投影轉(zhuǎn)換到屏幕上 D．鐘擺的擺動【答案】A【解答】解：A．急剎車時汽車在地面滑行，是平移現(xiàn)象；B．足球在草地上跳動，方向變化，不符合平移的定義，不屬于平移；C．投影片的文字經(jīng)投影轉(zhuǎn)換到屏幕上，大小發(fā)生了變化，不符合平移的定義，不屬于平移；D．鐘擺的擺動，不沿直線運(yùn)動，是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，不屬于平移．故選：A．4.如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，PC＝3，PA＝4，PB＝5，求∠APC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACQ，連接PQ．再過A作CP的延長線的垂線AD，垂足為D，∴AQ＝PB＝5，CQ＝PC，∠PCQ＝60°，∴△PCQ是等邊三角形，∴PQ＝PC＝3，∠QPC＝60°，在△PAQ中，∵PA＝4，AQ＝5，PQ＝3，∴AQ2＝PA2+PQ2，∴∠APQ＝90°，∴∠APC＝∠APQ+∠QPC＝150°．課中講解平移的概念與性質(zhì)平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動成為平移.平移不改變圖形的形狀和大小.平移的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等；對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等，對應(yīng)角相等.例1.下列現(xiàn)象中是平移的是（）（平移的定義判定）A．翻開書中的每一頁紙張 B．飛碟的快速轉(zhuǎn)動 C．將一張紙沿它的中線折疊 D．電梯的上下移動【答案】D【解答】解：A不是沿某一直線方向移動，不屬于平移．B不是沿某一直線方向移動，不屬于平移．C新圖形與原圖形的形狀和大小不同，不屬于平移．因此C錯誤．故選：D．過關(guān)檢測1.下列現(xiàn)象屬于數(shù)學(xué)中的平移的是（）（平移的定義判定）A．樹葉從樹上隨風(fēng)飄落 B．升降電梯由一樓升到頂樓 C．汽車方向盤的轉(zhuǎn)動 D．“神舟”號衛(wèi)星繞地球運(yùn)動【答案】B【解答】解：A、樹葉從樹上隨風(fēng)飄落不屬于平移，故此選項不合題意；B、升降電梯由一樓升到頂樓屬于平移，故此選項符合題意；C、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項不合題意；D、“神舟”號衛(wèi)星繞地球運(yùn)動屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項不合題意；故選：B．2.下列運(yùn)動屬于平移的是（）（平移的定義判定）A．電風(fēng)扇扇葉的轉(zhuǎn)動 B．石頭從山頂滾到山腳的運(yùn)動 C．電梯從一樓運(yùn)動到三樓 D．蕩秋千【答案】C【解答】解：A．電風(fēng)扇扇葉的轉(zhuǎn)動不是平移，故A選項不符合題意；B．石頭從山頂滾到山腳的運(yùn)動不是平移，故B選項不符合題意；C．電梯從一樓運(yùn)動到三樓是平移，故C選項符合題意；D．蕩秋千不是平移，故D選項不符合題意；故選：C．坐標(biāo)系下點的平移例1.將點P（1，2）向左平移3個單位后的坐標(biāo)是（）（點的平移）A．（﹣2，2） B．（1，﹣1） C．（1，5） D．（﹣1，﹣1）【答案】A【解答】解：點P（1，2）向左平移3個長度單位后，坐標(biāo)為（1﹣3，2），即（﹣2，2）．故選：A．例2.如圖，A，B的坐標(biāo)為（2，0），（0，1），若將線段AB平移至A1B1，則a+b的值為（）（線段的平移，也可以轉(zhuǎn)化成點的平移）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用平移中點的變化規(guī)律求解即可．【解答】解：由B點平移前后的縱坐標(biāo)分別為1、2，可得B點向上平移了1個單位，由A點平移前后的橫坐標(biāo)分別是為2、3，可得A點向右平移了1個單位，由此得線段AB的平移的過程是：向上平移1個單位，再向右平移1個單位，所以點A、B均按此規(guī)律平移，由此可得a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，故a+b＝2．故選：A．【點評】本題考查了坐標(biāo)系中點、線段的平移規(guī)律，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．過關(guān)檢測1.已知點A的坐標(biāo)為（1，3），點A向左平移1個單位長度，向下平移4個單位長度．則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）（平移的定義判定）A．（5，3） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：點A（1，3）向左平移1個單位，再向下平移4個單位所得的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（1﹣1，3﹣4），即對應(yīng)點的坐標(biāo)是（0，﹣1）．故選：D．2.如圖，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）、（4，0），將△AOB沿x軸向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，則點C的坐標(biāo)為（4，2）．（圖形的平移，利用平移的性質(zhì)求解）【分析】利用DB＝1，B（4，0），得出△AOB沿x軸向右平移了3個單位長度，再利用平移中點的變化規(guī)律求解即可．【解答】解：∵點A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）、（4，0），將△AOB沿x軸向右平移，得到△CDE，DB＝1，∴OD＝3，∴△AOB沿x軸向右平移了3個單位長度，∴點C的坐標(biāo)為：（4，2）．故答案為：（4，2）．【點評】此題主要考查了坐標(biāo)系中點、線段的平移規(guī)律，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.例1.如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．若點A，D，E在同一條直線上，∠ACB＝20°，則∠ADC的度數(shù)是（）（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)邊不變，從而出現(xiàn)等腰三角形）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．【解答】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，故選：C．【點評】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答．過關(guān)檢測1.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，則BM的長是2．（解析給的方法是證明AC⊥BM，設(shè)交點為O，去分別求BO和OM的長度求和；對于成績比較好的學(xué)生可以補(bǔ)充15°的直角三角形的三邊關(guān)系，從而過點M作BC的垂線與點H，求出CH和HM的長度，然后利用勾股定理求解）【分析】如圖，連接AM，由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM為等邊三角形根據(jù)AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC，OM＝CM?sin60°，最終得到答案BM＝BO+OM＝2．【解答】解：如圖，連接AM，由題意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM為等邊三角形，∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC＝4，CM＝4∵AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝AC＝2，OM＝CM?sin60°＝2，∴BM＝BO+OM＝2，故答案是：2．【點評】本題考查了圖形的變換﹣旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，將三角形CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)75°，點E的對應(yīng)點N恰好落在OA上，則的值為．（本題考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)的邊相等，得到NC和CE相等，可以設(shè)出CD的長，求出CE的長，求出∠NCO=60°，再求出OC，進(jìn)而可以比，對于題目有角度的時候，一定要注意特殊的角，是解題的關(guān)鍵）【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠NCE＝75°，求出∠NCO，設(shè)OC＝a，則CN＝2a，根據(jù)△CMN也是等腰直角三角形設(shè)CM＝MN＝x，由勾股定理得出x2+x2＝（2a）2，求出x＝a，得出CD＝a，代入求出即可．【解答】解：∵將三角形CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)75°，點E的對應(yīng)點N恰好落在OA上，∴∠ECN＝75°，∵∠ECD＝45°，∴∠NCO＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ONC＝30°，設(shè)OC＝a，則CN＝2a，∵等腰直角三角形DCE旋轉(zhuǎn)到△CMN，∴△CMN也是等腰直角三角形，設(shè)CM＝MN＝x，則由勾股定理得：x2+x2＝（2a）2，x＝a，即CD＝CM＝a，∴＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較好，但有一定的難度．旋轉(zhuǎn)的作圖（格點下）例1.如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)；（圖形對稱）（2）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2BC2；（圖形的旋轉(zhuǎn)）（3）求出（2）中C點旋轉(zhuǎn)到C2點所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留根號和π）；（扇形面積，可以補(bǔ)充扇形面積公式和弧長公式）（4）求出（2）△A2BC2的面積是多少．（圖形的面積，常用割補(bǔ)法，利用四邊形來減三角形）【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征，寫出點A、B、C的對應(yīng)點A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點即可得到△A1B1C1；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出點A、C的對應(yīng)點A2、C2，則可得到△A2BC2；（3）C點旋轉(zhuǎn)到C2點所經(jīng)過的路徑是以B點為圓心，BC為半徑，圓心角為90°的弧，然后根據(jù)弧長公式計算即可；（4）利用一個矩形的面積分別減去三個三角形的面積可計算出△A2BC2的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作，點A1的坐標(biāo)為（2，﹣4）；（2）如圖，△A2BC2為所作；（3）BC＝＝，所以C點旋轉(zhuǎn)到C2點所經(jīng)過的路徑長＝＝π；（4）△A2BC2的面積＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了軸對稱變換．過關(guān)檢測1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點都在正方形（每個小正方形邊長為單位1）網(wǎng)格的格點上．（1）△ABC的形狀是等腰直角三角形（直接寫答案）；（2）平移△ABC，若A對應(yīng)的點A1坐標(biāo)為（3，﹣1），畫出△A1B1C1；（3）畫出△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°的△BA2C2并求出旋轉(zhuǎn)過程中△ABC掃過的面積．（結(jié)果保留π）【分析】（1）根據(jù)勾股定理及其逆定理即可判斷；（2）分別作出三頂點平移的對應(yīng)點，再順次連接可得答案；（3）作出點A，C繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點，再順次連接可得，旋轉(zhuǎn)過程中三角形掃過的面積是三角形面積與扇形的面積和，據(jù)此列式計算．【解答】解：（1）∵AB2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，∴AB2+AC2＝BC2，且AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）如圖，△A1B1C1即為所求．（3）如圖，△BA2C2即為所求，BC＝＝，BA＝＝，△ABC掃過的面積＝××+＝．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換與旋轉(zhuǎn)變換的定義及其性質(zhì)，扇形的面積公式等知識點．解密旋轉(zhuǎn)全等的構(gòu)造例1.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且BE+DF＝EF，則∠EAF＝45度．（半角旋轉(zhuǎn)：分為兩種，例題是半角完全包含在大角內(nèi)部，還有一種部分包含的，需要老師提前找一個例題，帶學(xué)生清楚的熟練兩種不同的情況）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖：延長FD到G，使DG＝BE，則FG＝EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG又∴AF＝AF，GF＝EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF＝∠GAF＝×90°＝45°．過關(guān)檢測1.如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN．（1）求證：MN＝BM+NC；（半角模型證線段相等）（2）求△AMN的周長為多少？（轉(zhuǎn)化邊）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延長AB至F，使BF＝CN，連接DF，在△BDF和△CND中，，∴△BDF≌△CND（SAS），∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°，在△DMN和△DMF中，∵，∴△DMN≌△DMF（SAS）∴MN＝MF＝MB+BF＝MB+CN；（2）由（1）證得MN＝MB+CN，∴△AMN的周長是：AM+AN+MN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝6．2.已知：如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，，求∠BPC的度數(shù)．（奔馳模型，可以帶學(xué)生把三個三角形分別進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，對比不同的情況的求解過程）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：以BP為邊作等邊三角形BPD，連接AD，則BD＝BP＝DP＝，∠DBP＝∠BDP＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵∠ABD+∠ABP＝∠CBP+∠ABP＝60°，∴∠ABD＝∠CBP，在△ABD與△CBP中，，∴△ABD≌△CBP（SAS），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴∠BPC＝∠BDA，AD＝PC＝1，在△ADP中，∵PA＝2，PD＝，AD＝1，∴AP2＝DP2+AD2，∴△APD是直角三角形，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴∠ADP＝90°，∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝150°，∴∠BPC＝150°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）3.（1）閱讀理解利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法．如圖1，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C，連接PP′，則PP′的長為2；在△PAP′中，易證∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度數(shù)為30°，綜上可得∠BPC的度數(shù)為90°；（奔馳旋轉(zhuǎn)）（2）類比遷移如圖2，點P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝，PC＝1．求∠APC的度數(shù)；（奔馳旋轉(zhuǎn)）（3）拓展應(yīng)用如圖3，在四邊形ABCD中，BC＝5，CD＝8，AB＝AC＝AD，∠BAC＝2∠ADC，請直接寫出BD的長．（需要平移△BAD，轉(zhuǎn)化BD，剛好出現(xiàn)直角三角形，利用勾股定理求解，方法很靈活，需要提前做一遍）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C，連接PP′（如圖1）．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等邊三角形；∴P′A＝PB＝、∠CP′P＝60°、P′P＝PC＝2，在△AP′P中，∵AP2+P′A2＝12+（）2＝4＝PP′2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP＝90°．∵PA＝PC，∴∠AP′P＝30°；∴∠BPC＝∠CP′A＝∠CP′P+∠AP′P＝60°+30°＝90°．故答案為：2；30°；90°；（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C＝PC＝1，∠CPP′＝45°、P′P＝，PB＝AP'＝，在△AP′P中，∵AP'2+P′P2＝（）2+（）2＝2＝AP2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P＝90°．∴∠APP'＝45°∴∠APC＝∠APP'+∠CPP'＝45°+45°＝90°（3）如圖3，∵AB＝AC，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝2AB，∴DG＝2BC＝10，過A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝＝2，∴BD＝CG＝2．中心對稱圖形及性質(zhì)概念：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做它們對稱中心.如圖，△ABC與△A`B`C`成中心對稱，點O是它們的對稱中心.性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平方.例1.下列美麗的圖案中，是中心對稱圖形的個數(shù)是（）（中心對稱圖形的判定）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：第1、3、4個圖形為中心對稱圖形，共3個．故選：C．【點評】本題考查了中心對稱圖形：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．過關(guān)檢測1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）（中心對稱圖形的判定）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確．故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2.如圖，已知△ABC和△A'B'C'關(guān)于點O成中心對稱，則下列結(jié)論錯誤的是（）（中心對稱圖形的性質(zhì)）A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOB＝∠A'OB' C．AB＝A'B' D．OA＝OB'【答案】D【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于點O成中心對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，OA＝OA′，∠ABC＝∠A′B′C′，可得∠AOC＝∠A′OC′，故A，B，C正確，只有D選項錯誤．故選：D．學(xué)習(xí)任務(wù)1.已知平面直角坐標(biāo)系中點P（﹣3，4）．將它沿y軸方向向上平移3個單位所得點的坐標(biāo)是（）（點的平移）A．（﹣3，1） B．（﹣3，7） C．（0，4） D．（﹣6，4）【答案】