浙江省各地2024屆數學高一第二學期期末教學質量檢測試題含解析

浙江省各地2024屆數學高一第二學期期末教學質量檢測試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息

條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，

字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，

恰有一項是符合題目要求的

I.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，書中有一道這樣的題目：把100

個面包分給五個人，使每個人所得成等差數列，最大的三份之和的;是最小的兩份之

和，則最小的一份的量是（）

2.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何的體積為（）立方單位.

16K

B.8#+

r

C.受E+6兀

D.8五+6兀

3

3.已知圓q：+關于直線/對稱的圓為圓C之：%2+y2+2x—2ay+3=0,

則直線/的方程為

A.2x—4y+5=0B,2x+4y+5=0c.2x-4y-5=0D.2x+4y-5=0

4.若兩等差數列%},&}前〃項和分別為A,B,滿足：=m（〃eN）

nnnnD+1O*

n

a

則方的值為（）.

11

73478

'4B.—C.—D71

23

5.已知兩點人（一2,-4）,B（3,-16）,則,胃=（）

A.12B.7145C.13D.5"

6.已知函數/G）=吧上"Y+X2+1,若/(10)=100,則/?（—10）=（

COSX

A.-100B.98C,-102D.102

7.設a=(?)二

log7,則()

⑷1

5

A.a>b>cB.c>a>bc.b>a>cD.a>c>b

8.如圖，程序框圖所進行的求和運算是（）

1111,111

A.—+—+—+..B.1+—+—+....+--

246203519

1111

D—+—+—+???+--

,222232io

9,已知。="+b=y/3+y/6,則下列結論正確的是()

A.a=bB.a>bC.a<bD.不能確定

10.已知數列｛a｝為等差數列，若a+。+。=4兀，則tan(a+?)=()

n1713212

A.B.J3C.弋D.-y/3

、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

2x-y<2

11.已知實數xj滿足約束條件,x—yN-1,若目標函數Z=x+ay僅在點(0,1)處取

x+y>l

得最小值，則。的取值范圍是.

12.下列命題中:

①若成+拉=2,則辦的最大值為2；

②當a>0,/?〉0時，L+L+24ab>4；

ab

4ci/7

③y=x+一的最小值為5；④當且僅當ab均為正數時，一+—22恒成立.

x-1ba

其中是真命題的是.(填上所有真命題的序號)

13.在區(qū)間［-4兀,-2兀］上，與角?■終邊相同的角為.

O

14.已知函數/(x)=2sinx+3cosx,若/(x)=/(a),貝ijcosa=.

max

x-2y+6<0,

15,已知實數乂丁滿足<3x+y-9<0,則z=4x-5y的最小值為.

x>-2,

16.直線_/=°的傾斜角為-

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，且，

點為線段的中點.

(1)求證：平面；

(2)求三棱錐的體積.

18.某科研小組對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)作物種子發(fā)芽多少之間的關系進行分

析，分別記錄了每天晝夜溫差和每100顆種子的發(fā)芽數，其中5天的數據如下，該小組

的研究方案是：先從這5組數據中選取3組求線性回歸方程，再用方程對其余的2組數

據進行檢驗.

日期第1天第2天第3天第4天第5天

溫度X(℃)101113128

發(fā)芽數y（顆）2326322616

（1）求余下的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；

（2）若選取的是第2、3、4天的數據，求,關于％的線性回歸方程￡=良+&；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與2組檢驗數據的誤差均不超過1顆，則認為

得到的線性回歸方程是可靠的，請問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

（參考公式；線性回歸方程R+d中系數計算公式：

2L(x-x)(y-y)2L(xy)-M-x-y

人ii

b--------------------------a=y-b-x,其中X、y表示樣本的

一〃子2

ii

i=li=l

平均值）

19.如圖，已知點P在圓柱OOi的底面。O上，AB、OR分別為。O、。（\的直徑,

且。A平面243.

(1)求證：BP±AP.

（2）若圓柱OR的體積V=12TT,Q4=2,NAOP=120°,

①求三棱錐A1-APB的體積.

②在線段AP上是否存在一點M,使異面直線OM與所成角的余弦值為耳？若存

在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由.

20.如圖，四棱錐P—ABCD中，平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形，若

AP=AB=LAD=I,AC=B

(I)求證：平面？AC_1平面PCD；

(II)求棱PD與平面P6C所成角的正弦值.

21.已知函數/(x)=sin3x—：(3〉0)的圖象向左平移I個單位長度后與函數

gG)=cos(2x+(p)j^|(p|<1j圖象重合.

(1)求①和中的值；

稱軸方程.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，

恰有一項是符合題目要求的

1、D

【解題分析】

由題意可得中間部分的為20個面包，設最小的一份為彳，公差為2,可得到％和d的

方程，即可求解.

【題目詳解】

由題意可得中間的那份為20個面包，

設最小的一份為％,公差為4,

由題意可得[2。+(〃]+3d)+(Q]+4d)]X]=Q]+(4+d),解得q=,故選D.

【題目點撥】

本題主要考查了等差數列的通項公式及其應用，其中根據題意設最小的一份為％,公

差為4,列出關于4和d的方程是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基

礎題.

2、D

【解題分析】

由三視圖可知幾何體是由一個四棱錐和半個圓柱組合而成的，所以所求的體積為

ixl2x25/3+27rx3=873+6TT,故選Z）.

3、A

【解題分析】

根據對稱性，求得。=2,求得圓的圓心坐標，再根據直線/為線段GG的垂直平分線,

求得直線/的斜率，即可求解，得到答案.

【題目詳解】

由題意，圓的方程x2+y2+2x-2ay+3=0,可化為（x+l）2+（y-。）2=42-2,

根據對稱性，可得：a=a2-2,解得：。=2或。=一1（舍去，此時半徑的平方小于0,

不符合題意），

2-0

此時G（o,0）,c2（-i,2）,直線Ge2的斜率為：憶=二二=一2,

c￡-1—0

由圓G和圓弓關于直線/對稱可知：直線/為線段go2的垂直平分線，

所以幻,3=T,解得勺=3直線/又經過線段cc的中點（”，1），

所以直線/的方程為：y-l=i（x+1）,化簡得：2尤-4y+5=0,

故選A

【題目點撥】

本題主要考查了圓與圓的位置關系的應用，其中解答中熟記兩圓的位置關系，合理應用

圓對稱性是解答本題的關鍵，其中著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

4、B

【解題分析】

解：因為兩等差數列M上&｝前〃項和分別為A、B，滿足:=m（〃eN）,

nnnnn472+1O+

故

5、C

【解題分析】

直接利用兩點間距離公式求解即可.

【題目詳解】

因為兩點4(—2,—4),3(3,—16),則卜J(3+2)2+(_16+4)2=g=13,

故選C.

【題目點撥】

本題主要考查向量的模，兩點間距離公式的應用.

6、D

【解題分析】

令gG)=/(Q—X2—1,根據奇偶性定義可判斷出gG)為奇函數，從而可求得

g(-10)=-)?(10)=l,進而求得結果.

【題目詳解】

令gG)=/G)-x2-l="sinx+btanx

COSX

(\asin(-%)+btan(-x)-asinx-Z?tanx(\

■■gU=--------/-------=---------------=-g⑺

cosl-xjcosx

，g(x)為奇函數

又g(10)=f(10)-102-l=-1g(-10)=-g(10)=1

spy(-10)-(-10)2-1=1.-./(-10)=102

本題正確選項：D

【題目點撥】

本題考查利用函數的奇偶性求解函數值的問題，關鍵是能夠通過構造函數的方式得到奇

函數，利用奇函數的定義可求得對應位置的函數值.

7、C

【解題分析】

首先化簡。力，可得到。力大小關系，再根據1Ogi7<°,即可得到d。，。的大小

關系?

【題目詳解】

a=(―)-2=(2-1)-2=2?=-s/2,

，

b,=3J)2=(c2-2,3)2=2c,c-lo6g17<log1=0.

455

所以b〉a>c.

故選：C

【題目點撥】

本題主要考查指數，對數的比較大小，熟練掌握指數和對數函數的性質為解題的關鍵,

屬于簡單題.

8、A

【解題分析】

根據當型循環(huán)結構，依次代入計算s的值，即可得輸出的表達式.

【題目詳解】

根據循環(huán)結構程序框圖可知，

ell,

s=0+—=—，〃=4,

22

11,

s=2+不〃=6，

111c

s=—+—+—,〃=X,

246

1111cc

s=—+—+—H——,"=20,

24618

11111°C

s=—+—+—+…—+—,n=22

2461820

11111

跳出循環(huán)體，所以結果為$=不+丁TO+,

2461820

故選：A.

【題目點撥】

本題考查了當型循環(huán)結構的應用，執(zhí)行循環(huán)體計算輸出值，屬于基礎題.

9、C

【解題分析】

根據題意，求出與6的值，比較易得加>。2,變形可得答案.

【題目詳解】

解：根據題意，。2=("+")2=9+2g,

人=(。+向2=9+2而，

易得。2〉42,則有。＜。，

故選：C.

【題目點撥】

本題主要考查不等式的大小比較，屬于基礎題.

10、D

【解題分析】

4兀

由等差數列的性質可得%=—,而tan(a2+a12)=tan(2a7),代值由三角函數公式化

簡可得.

【題目詳解】

...數列｛a,為等差數列且aj+a^a^Mn,

4兀

a1+a7+a13=3a7=4n,解得%二—,

/.tan(a2+a12)=tan(2a7)

8兀7171

=tan3=tan(3n--tan^=-y/3

故選D.

【題目點撥】

本題考查等差數列的性質，涉及三角函數中特殊角的正切函數值的運算，屬基礎題.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、(-1,1)

【解題分析】

利用數形結合，討論a的范圍，比較斜率大小，可得結果.

【題目詳解】

如圖，

當。=0時，Z=X,則在點3處取最小值，符合

C11

當。>0時，令,=——x+—z,

aa

要在點B處取最小值，則—I<—1=>0<。<1

a

當a<0時，

要在點8處取最小值，則-1>1=>0>。>一1

a

綜上所述：ae(—1,1)

故答案為：ae(—1,1)

【題目點撥】

本題考查目標函數中含參數的線性規(guī)劃問題，難點在于尋找斜率之間的關系，屬中檔題.

12、①②

【解題分析】

根據均值不等式依次判斷每個選項的正誤，得到答案.

【題目詳解】

①若以+拉=2,則a+b的最大值為2

+6=222abn(。+b”=〃2+6+2ab+正確

②當a>0,?！怠r，L+L+2yfab>4

ab

—十五+2jabN2+2JQZ?>4,i=b=l時等號成立，正確

abyjab

4

③y=x+的最小值為5,

x-1

取X=0,y=-4錯誤

Z7b

④當且僅當。力均為正數時，一+—22恒成立

ba

。力均為負數時也成立.

故答案為①②

【題目點撥】

本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關鍵.

17兀

13、

~6~

【解題分析】

根據與a終邊相同的角可以表示為B=入360。+(1,左￡2,這一方法，即可得出結

論.

【題目詳解】

因為3-4兀=-丁?eLdn,-2兀］,所以與角g終邊相同的角為一廠.

OOOO

【題目點撥】

本題考查終邊相同的角的表示方法，考查對基本概念以及基本知識的熟練程度，考查了

數學運算能力，是簡單題.

"、騫

【解題分析】

由三角函數的輔助角公式化簡，關鍵需得出輔助角的正切值，再由函數的最大值求解.

【題目詳解】

由三角函數的輔助公式得

/(x)=2sinx+3cosx=5/TTsin(x+0)(其中tan0=1),

因為/(x)=/(a)所以sin(a+9)=1,

max

兀JI

所以Q——+2左兀,keZ,所以，〃=。+2左兀,keZ,

所以cos。=sin。=24三，故填:3713

1313

【題目點撥】

本題考查三角函數的輔助角公式，屬于基礎題.

15、-83

【解題分析】

本題首先可以根據題意繪出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結合目標函數z=4x-5y的

幾何性質，找出目標函數取最小值所過的點，即可得出結果。

【題目詳解】

繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，

結合目標函數的幾何意義可知，目標函數在點A(-2,15)處取得最小值，

即z=4x(-2)-5xl5=-83o

min

【題目點撥】

本題考查根據不等式組表示的平面區(qū)域來求目標函數的最值，能否繪出不等式組表示的

平面區(qū)域是解決本題的關鍵，考查數形結合思想，是簡單題。

16、

【解題分析】

將直線方程化為斜截式，利用直線斜率與傾斜角的關系求解即可.

【題目詳解】

因為，

所以，設直線的傾斜角為，

則力,,故答案為.

tana=y

【題目點撥】

本題主要考查直線的斜率與傾斜角的關系，意在考查對基礎知識的掌握情況，屬于基礎

題.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17,(1)見解析(2)

【解題分析】

(1)證明得到平面.

(2)先證明就是三棱錐的高，再利用體積公式得到三棱錐的體積.

【題目詳解】

(1)證明：連結交于，連結.

...四邊形是正方形，

在中，為中點，

又：為中點.

又；平面，平面.

平面.

(2)解：取中點，連結

則即，PD旦?

■/平面，二平面

/.就是三棱錐的高.

在正方形中，

【題目點撥】

本題考查了線面平行，三棱錐的體積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

3

18、(1)-；(2)y=3x-8；(3)線性回歸方程是可靠的.

【解題分析】

(1)用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值；

(2)由已知數據求得力與°,則線性回歸方程可求；

(3)利用回歸方程計算x=10與8時的y值，再由已知數據作差取絕對值，與1比較

大小得結論.

【題目詳解】

解：(1)設“余下的2組數據恰好是不相鄰2天數據為事件A”，

從5組數據中選取3組數據，余下的2組數據共10種情況：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).

其中事件A的有6種,

.)43

5

(2)由數據求得x=12,y=28,

且工y=1014,Sx2=434

i=li=\

y-3xy

*i1014-3x12x28

代入公式得:b=-4-4----------------二二3,

434-3x122

i=\

a=a一族=28-3x12=-8.

?'?線性回歸方程為：y=3x—8；

(3)當x=10時,y=3xl0-8=22,|22-23卜1,

當x=8時，y=3x8-8=16,|16-16卜」.

故得到的線性回歸方程是可靠的.

【題目點撥】

本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，考查古典概型的概率計算問題，屬于中檔

題.

19、(1)見解析；(2)①2JT,②見解析

【解題分析】

(1)根據BPLAP,^^上筆得出加,平面力人「，故而BP'A/；(2)①根

據圓柱的體積計算A4],根據乙40P=120。計算BP,AP,代入體積公式計算棱錐的

2

體積；②先證明/々BP就是異面直線。加與A/所成的角，然后根據cosNqBP=m

可得。M||BP,故M為AP的中點.

【題目詳解】

(1)證明：:P在。O上，AB是。O的直徑，，42，3尸，

?/AA_L平面PAB,「.AA±BP,又APcAA=A,

，3P_L平面PA4,又APu平面尸/討，故BP上AP.

1111

(2)①由題意丫=兀.AA]=4;i-AArlZTi,解得A4]=3,

由Q4=2,ZAOP=120。，得ZBAP=30。，BP=2,AP=2y/3,,

:.S=lx2x2J3=2J3

△PAB2

三棱錐A-APB的體積V=—S-AA=—x2?J3x3=2J3.

pAB

i3^i3

②在AP上存在一點M,當M為AP的中點時，使異面直線OM與所成角的余弦

2

值為y1

證明：；O、M分別為AB、AP的中點，則

???NABP就是異面直線OM與A產所成的角，

-?A4=3,48=4,..48=5又BPLAP

111'

BP2

在RtAAPB中cosZAPB=---=一

仁i十'1AB5,

...在AP上存在一點M,當M為AP的中點時，使異面直線OM與所成角的余弦

【題目點撥】

本題主要考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算以及異面直線所成的角，屬于

中檔題.

20、(I)見證明；(II)由叵

35

【解題分析】

(I)先證明平面PAC,再證明平面平面PCD.(II)以A為原點，AB

所在直線為x軸，AC所在直線為V軸，AP所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標

系，利用向量法求棱與平面尸所成角的正弦值.

【題目詳解】

解：(I)?.?尸4，平面488,二9，。。，

-：AD=2,AC=#,CD=AB=1,：.AD2=AC2+CD2,：.ACLCD,

.?.CD,平面PAC,

又；CDu平面PCD,

平面PAC_L平面PCD.

(II)以A為原點，AB所在直線為％軸，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸,

建立如圖空間直角坐標系，

則3(1,0,0),C()，7