山西省陽泉市高三第一次調研測試新高考數(shù)學試卷及答案解析

山西省陽泉市高三第一次調研測試新高考數(shù)學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)滿足，則對應的點位于復平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．43．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．24．已知復數(shù)和復數(shù)，則為A． B． C． D．5．已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．6．從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．967．設為虛數(shù)單位，復數(shù)，則實數(shù)的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．28．函數(shù)，，則“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．10．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為A．0 B． C． D．112．若與互為共軛復數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈．”其白話意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個月（按30天計算）共織布390尺．”則每天增加的數(shù)量為____尺，設該女子一個月中第n天所織布的尺數(shù)為，則______．14．已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則=__________．15．在數(shù)列中，，，曲線在點處的切線經過點，下列四個結論：①；②；③；④數(shù)列是等比數(shù)列；其中所有正確結論的編號是______.16．已知，滿足，則的展開式中的系數(shù)為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若在上為單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍：（2）若，記的兩個極值點為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.（1）若點在直線上，求直線的極坐標方程；（2）已知，若點在直線上，點在曲線上，且的最小值為，求的值.19．（12分）設函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調遞減區(qū)間.20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點為1；（2）若函數(shù)在有兩個零點，證明：.22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用復數(shù)模的計算、復數(shù)的除法化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算、復數(shù)的除法、復數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.2、B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得?！?選B。3、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.4、C【解析】

利用復數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點睛】熟練掌握復數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關鍵，復數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數(shù)的對應關系，點的象限和復數(shù)的對應關系，復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的模長的計算.5、D【解析】

根據(jù)點差法得，再根據(jù)焦點坐標得，解方程組得，，即得結果.【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，則的中點為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.6、D【解析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當甲學生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識，屬于基礎題．7、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡，由復數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復數(shù)，由復數(shù)乘法運算化簡可得，所以由復數(shù)定義可知，解得，故選：A.【點睛】本題考查了復數(shù)的乘法運算，復數(shù)的意義，屬于基礎題.8、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】設，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關于軸對稱.所以，“是奇函數(shù)”“的圖象關于軸對稱”；若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關于軸對稱.所以，“的圖象關于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此，“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合函數(shù)奇偶性的性質判斷是解決本題的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.9、A【解析】

根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算，即可容易求得結果.【詳解】由于，故選：A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，模長的求解，屬綜合基礎題.10、A【解析】

解一元二次不等式化簡集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關系，結合數(shù)軸進行求解即可.【詳解】，.因為，所以有，因此有.故選：A【點睛】本題考查了已知集合運算的結果求參數(shù)取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學運算能力.11、B【解析】

根據(jù)題意可得平面，，則即異面直線與所成的角，連接CG，在中，，易得，所以，所以，故選B．12、C【解析】

計算，由共軛復數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數(shù)概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、52【解析】

設從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項公式能求出.【詳解】設從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數(shù)量為，

，故答案為，52.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)等差中項性質，結合等比數(shù)列通項公式即可求得公比；代入表達式，結合對數(shù)式的化簡即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則，由等比數(shù)列通項公式可知，所以，解得或（舍），所以由對數(shù)式運算性質可得，故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的簡單應用，等比數(shù)列通項公式的用法，對數(shù)式的化簡運算，屬于中檔題.15、①③④【解析】

先利用導數(shù)求得曲線在點處的切線方程，由此求得與的遞推關系式，進而證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此判斷出四個結論中正確的結論編號.【詳解】∵，∴曲線在點處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項為1，公比為的等比數(shù)列，從而，，.故所有正確結論的編號是①③④.故答案為：①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式，屬于基礎題.16、1【解析】

根據(jù)二項式定理求出，然后再由二項式定理或多項式的乘法法則結合組合的知識求得系數(shù)．【詳解】由題意，．∴的展開式中的系數(shù)為．故答案為：1．【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理的應用是解題關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）求導.根據(jù)單調，轉化為對恒成立求解（2）由（1）知，是的兩個根，不妨設，令.根據(jù)，確定，將轉化為.令，用導數(shù)法研究其單調性求最值.【詳解】（1）的定義域為，.因為單調，所以對恒成立，所以，恒成立，因為，當且僅當時取等號，所以；（2）由（1）知，是的兩個根.從而，，不妨設，則.因為，所以t為關于a的減函數(shù)，所以..令，則.因為當時，在上為減函數(shù).所以當時，.從而，所以在上為減函數(shù).所以當時，.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.18、（1）（2）【解析】

（1）利用消參法以及點求解出的普通方程，根據(jù)極坐標與直角坐標的轉化求解出直線的極坐標方程；（2）將的坐標設為，利用點到直線的距離公式結合三角函數(shù)的有界性，求解出取最小值時對應的值.【詳解】（1）消去參數(shù)得普通方程為，將代入，可得，即所以的極坐標方程為（2）的直角坐標方程為直線的直角坐標方程設的直角坐標為∵在直線上，∴的最小值為到直線的距離的最小值∵，∴當，時取得最小值即，∴【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化以及根據(jù)曲線上一點到直線距離的最值求參數(shù)，難度一般.（1）直角坐標和極坐標的互化公式：；（2）求解曲線上一點到直線的距離的最值，可優(yōu)先考慮將點的坐標設為參數(shù)方程的形式，然后再去求解.19、（1）（2）的遞減區(qū)間為和【解析】

（1）化簡函數(shù)，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數(shù)的圖象與性質求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間，再結合即可求出.【詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數(shù)的所有減區(qū)間為，考慮到，取，可得，，故的遞減區(qū)間為和.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)單調遞減可知導函數(shù)恒小于等于，采用參變分離的方法分離出，并將的部分構造成新函數(shù)，分析與最值之間的關系；（2）通過對的導函數(shù)分析，確定有唯一零點，則就是的極大值點也是最大值點，計算的值并利用進行化簡，從而確定.【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，則，所以在上單調遞增，所以，所以.（2）當時，.則，令，則，所以在上單調遞減.由于，，所以存在滿足，即.當時，，；當時，，.所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以，因為，所以，所以，所以.【點睛】（1）求函數(shù)中字母的范圍時，常用的方法有兩種：參變分離法、分類討論法；（2）當導函數(shù)不易求零點時，需要將導函數(shù)中某些部分拿出作單獨分析，以便先確定導函數(shù)的單調性從而確定導函數(shù)的零點所在區(qū)間，再分析整個函數(shù)的單調性，最后確定出函數(shù)的最值.21、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令通過二次求導確定函數(shù)單調性證明參數(shù)范圍.【詳解】解：（1）證明：因為，當時，，，所以在區(qū)間遞減；當時，，所以，所以在區(qū)間遞增；且，所以函數(shù)的極小值點為1（2）函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令，則令，則，所以在單調遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調遞減，在區(qū)間單