2024年廣東省深圳市羅湖區(qū)中考數(shù)學二模試卷（含解析）

2024年廣東省深圳市羅湖區(qū)中考數(shù)學二模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.一（一5）等于（）

1

A.-5B.1C.±5D.5

2.由6個完全相同的小正方體組成的幾何體如圖所示，則從上面看得到的平面

圖形是（）

A?3

正面

cfrr

D.^T

3.據(jù)科學研究表明，5G移動通信技術的網(wǎng)絡理論下載速度可達每秒1300000KB以上.其中1300000用科學

記數(shù)法表示為（）

A.13x105B.1.3X106C.1.3x105D.1.3x107

4.九年級一班甲、乙、丙、丁四名學生本學期數(shù)學測驗成績的平均分都是90分，方差分別是S1,=16,

S；=24,S3=28,S%=36,這四名學生中成績最穩(wěn)定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.如圖，菱形28CD中，AC=8,BD=6,則菱形的面積為（）

A.48

B.40

C.24

D.20

6.下列運算正確的是（）

A.2a2b—a2b=a2bB.2a—a=2C.3a2+2a2=5a4D.2a+b=2ab

7.如圖，將△ABC沿BC方向平移到若4O之間的距離為2,CE=3,貝加尸

等于（）

A.6B.7C.8D.9

8.某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降

價的百分率，設每次降價的百分率為％,下面所列的方程中正確的是（）

A.560（1+%）2=315B.560（1-%2）=315

C.560（1一2%）=315D.560（1-x）2=315

9.2022北京冬奧會延慶賽區(qū)正在籌建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角約為20。，在至工人

此雪道向下滑行100米，高度大約下降了米.（）

CB

100100

B.C.100sm20°D.100cos20°

A，sin20°cos20°

10.如圖，在四邊形4CDB中，AB"CD,AC=AD,P是線段4C上一點（不與點

A、C重合），NC=NPDB=60。，連接BP,交4。于點Q,則DQ：BP的最小值

是（）

A.273B.<3V

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.為了描述我市某一天氣溫變化情況，從“扇形統(tǒng)計圖”“條形統(tǒng)計圖”“折線統(tǒng)計圖”中選擇一種統(tǒng)

計圖，最適合的統(tǒng)計圖是

12.如圖，同一時刻在陽光照射下，樹4B的影子BC=3m,小明的影子B'C'=1.5m,已知小明的身高

A'B'=1.7m,則樹高力B=______.

13.如圖，。4、0B是。。的半徑，C是。。上一點，乙4。8=42。，AACB='

14.直線yi=kx（k豐0）與直線為=ax+4（a力0）在同一平面直角坐標系中的

圖象如圖所示，則不等式依<ax+4的解集為.

15.如圖，直線y=-%+a與反比例函數(shù)y=g（x>0）只有唯一的公共點4,與反

比例函數(shù)

丫=（（%>0）交于點。，與x軸交于點B,如果4B=2BC,則k的值為.

三、解答題：本題共7小題，共55分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題5分）

計算：2s譏45。一方+（兀-1）°+|YI-4

17.（本小題7分）

先化簡，再求值：（，芻—+皆%，其中a=1.

18.（本小題8分）

為了推動陽光體育運動的廣泛開展，引導學生走向操場，積極參加體育鍛煉，學校準備購買一批運動鞋供

學生借用.現(xiàn)從各年級隨機抽取了部分學生的鞋號，繪制了如下的統(tǒng)計圖1和圖2,請根據(jù)相關信息，解答下

列問題:

（1）本次接受隨機抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為人，圖1中小的值為—

（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，若學校計劃購買200雙運動鞋，則建議購買35號運動鞋多少雙?

19.（本小題8分）

如圖，AB是。。的直徑，弦CD14B于點E,點P在。。上，上PBC=AC.

（1）求證：CB“PD；

（2）若BC=12,BE=8,求。。的半徑.

20.（本小題8分）

2023年“爾濱”厚積薄發(fā)，旅游業(yè)火爆出圈，某紀念品經(jīng)銷店欲購進4、B兩種紀念品，用900元購進的4

種紀念品與用1200元購進的B種紀念品的數(shù)量相同，每件8種紀念品的進價比每件4種紀念品的進價多5

元.

(1)求4B兩種紀念品每件的進價分別為多少元？

(2)若該紀念品經(jīng)銷店4種紀念品每件售價18元，B種紀念品每件售價25元，這兩種紀念品共購進500件，

且這兩種紀念品全部售出后總獲利不低于1700元，求4種紀念品最多購進多少件.

21.(本小題9分)

綜合與應用

如果將運動員的身體看作一點，則他在跳水過程中運動的軌跡可以看作為拋物線的一部分,建立如圖2所示

的平面直角坐標系xOy,運動員從點4(0,10)起跳，從起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度y(?n)與水

平距離工(小)滿足二次函數(shù)的關系.

(1)在平時的訓練完成■次跳水動作時，運動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表：

水平距離》(機)011.5

豎直高度y(m)10106.25

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出y關于x的關系式；

(2)在(1)的這次訓練中，求運動員甲從起點4到入水點的水平距離。。的長；

(3)信息1：記運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度為心山)，從到達到最高點B開始計時，則他到水

面的距離/I(TM)與時間t(s)之間滿足h=-5t2+k.

信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要1.6s的時間才能完成極具難度的270c動作.

問題解決：

①請通過計算說明，在(1)的這次訓練中，運動員甲能否成功完成此動作？

②運動員甲進行第二次跳水訓練，此時他的豎直高度y(m)與水平距離x(m)的關系為y=ax2-ax+

10(a<0),若選手在達到最高點后要順利完成270c動作，貝必的取值范圍是.

圖1圖2

22.(本小題10分)

【問題提出】

(1)如圖1,在邊長為6的等邊AaBC中，點。在邊8c上，CD=2,連接AD,則AaCD的面積為；

【問題探究】

(2)如圖2,已知在邊長為6的正方形48C。中，點E在邊8C上，點尸在邊CD上，且/R4F=45。，若EF=

5,求AAEF的面積；

【問題解決】

(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來水搶修，需要在48=4米，4D=4門米的矩形ABC。區(qū)域內(nèi)開

挖一個AZEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上(不與點B、C、。重合)，且NE4F=60。，為了減少

對該路段的交通擁堵影響，要求AAEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的AaEF?若存在，請求出

△AEF面積的最小值；若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：—(—5)表示—5的相反數(shù)，即一(—5)等于5.

故選：D.

根據(jù)一個負數(shù)的相反數(shù)為正數(shù)即可作答.

本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：從上面看得到的平面圖形為：—―.

故選：B.

從上面看，可以看到三行，中間一行有3個小正方形，上面一行最右側有1個小正方形，下面一行最左側有

1個小正方形.

本題考查從不同方向觀察幾何體，掌握幾何體三種視圖的空間想象能力是關鍵.

3.【答案】B

【解析】解：1300000=1.3X106.

故選：B.

由題意可知本題中a=1.3,n=6,即可得到答案.

本題考查了正整數(shù)指數(shù)科學記數(shù)法，“對于一個絕對值大于10的數(shù)，科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的

形式，其中1<|a|<10,n為正整數(shù).”正確確定a和n的值是解答本題的關鍵，

4.【答案】A

【解析】解：尹<Sz<S丙<S八

這四名學生成績最穩(wěn)定的是甲，

故選：A.

根據(jù)方差的意義求解即可.

本題主要考查方差，解題的關鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越

大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

5.【答案】C

【解析】解：菱形的面積為6x8+2=24,

故選：C.

根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半可得答案.

本題主要考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關鍵.

6.【答案】A

【解析】【分析】

根據(jù)合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變進行計算即

可.

此題主要考查了合并同類項，關鍵是掌握合并同類項法則.

【解答】

解：2、2a2b-a2b=a2b,故原題計算正確；

B、2a-a=a,故原題計算錯誤；

C、3a2+2a2=5a2,故原題計算錯誤；

D、2a和b不能合并，故原題計算錯誤；

故選：A.

7.【答案】B

【解析】解：???將AABC沿BC方向平移至UADEF的位置，點力，D之間的距離為2,

BE=CF=2,

???CE=3,

BF=CF+BE+CE2+2+3=7,

故選：B.

根據(jù)平移的性質，對應點連接的線段相等，求得BE和CF的長，再結合圖形可直接求解.

本題考查平移的性質，解題的關鍵是根據(jù)平移的性質得到BE=CF=2.

8.【答案】D

【解析】解：設每次降價的百分率為久，由題意得：

560(1-%)2=315,

故選：D.

設每次降價的百分率為X,根據(jù)降價后的價格=降價前的價格(1-降價的百分率)，則第一次降價后的價格

是560(1-第二次后的價格是560(1-久產(chǎn)，據(jù)此即可列方程求解.

本題考查一元二次方程的應用，關鍵是根據(jù)題意列出方程.

9.【答案】C

【解析】解：由題意得：AB1BC,

在Rt△4BC中，^ACB=20°,AC=100米,

AB=AC-sin200=100s譏20。（米）,

二高度大約下降了100s譏20。米，

故選：C.

根據(jù)題意可得：AB1BC,然后在Rt△力BC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答.

本題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

10.【答案】C

【解析】解:作DE1PB于點、E,則APED=90°,

???AC=AD,"=60°,

?，?Aac。是等邊三角形，

AAD=CD,zc=AADC=60°,

AB//CD,

：.Z.BAD=/.ADC=60°,

???Z-BAD=Z.C,

???乙PDB=60°,

???乙ADB=乙CDP=60°一(ADP,

ADBs^CDP,

=把=L

PDCD

BD=PD,

??.△PDB是等邊三角形，

BP=BD,乙PBD=60°,

DEDE.<3

-=sm60=H，

DQ>DE,

.也空

BP-BP'

...也>￡,

BP-2

黑的最小值是苧，即DQ：BP的最小值是年，

故選：c.

作DE1PB于點E,由4C=/D,4c=60。，證明△ACD是等邊三角形，貝!J/D=CD,zC=^ADC=

60°,再證明△ADBs^CDP,得黑=得=1,則BD=PD,所以△PDB是等邊三角形，則BP=BD,

Z.PBD=60%所以熬=M=s譏60。=噂，由DQ2DE,得經(jīng)2噂，所以黑的最小值是竺，于是得到問

BPBD2BP2or2

題的答案.

此題重點考查相似三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、垂線

段最短等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

11.【答案】折線統(tǒng)計圖

【解析】解：描述我市某一天氣溫變化情況，最適合的統(tǒng)計圖是折線統(tǒng)計圖，

故答案為：折線統(tǒng)計圖.

根據(jù)題意，天氣變化情況復雜，用折線圖表示，即可求解.

本題主要考查統(tǒng)計圖的特點，扇形圖：描述百分比（構成比）的大?。徽劬€圖：用線條的升降表示事物的發(fā)

展變化趨勢，主要用于計量資料，描述兩個變量間關系；條形圖：表示獨立指標在不同階段的情況.

12.【答案】3.4m

【解析】解：根據(jù)題意得黑=黑，即”=總

DCDLD1.3

所以=3.4（ni）.

故答案為3.4m.

利用同一時刻物體的高度與其影長成正比得到等=,，然后利用比例性質求出48即可.

本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行

投影.平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的.

13.【答案】21

【解析】解：；44。8=42。，

1

.-?乙4cB=2（）B=21。，

故答案為：21.

利用圓周角定理，進行計算即可解答.

本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

14.【答案】%>-1

【解析】解：由函數(shù)圖象可知，

當X>—1時,

直線為=kx(k中0)在直線為=ax+4(a豐0)圖象的下方，

故答案為：%>-1.

數(shù)形結合解不等式的解集即可得出答案.

本題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式，數(shù)形結合是解題的關鍵.

15.【答案】一5

ry——X+a

【解析】解：聯(lián)立方程組得4,整理得/—5+4=0,

,?,只有一個交點，

4=a2-16=0,

a=±4,舍去負值，

a=4.

此時交點力(2,2),

一次函數(shù)解析式為y=—％+4,當y=0時，x-4,

二線段BD的中點D坐標為(3,1),

BD=BC,

4=比c=5，

o=yc=-1，

C(5,-l),

C(5,—1)在反比例函數(shù)y=(圖象上,

???k=-5.

故答案為：-5.

聯(lián)立方程組根據(jù)只有一個交點求出a值得到交點坐標4（2,2）,根據(jù)直線解析式求出B點坐標，依據(jù)中點坐標

公式分別求出點D和點C坐標，即可得到k值.

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出點C坐標是關鍵.

16.【答案】解：2s譏45。一煦+（兀-1）°+-1|

=2x——2^*2+1+-1

=/2-2/2+1+/2-1

=0.

【解析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答.

本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)募，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

17.【答案】解:段-盲+含

2a（a+2）（a—2）

a—22a

=a+2；

當a=1時，原式=1+2=3.

【解析】先計算括號內(nèi)的，再計算除法，然后把a=1代入，即可求解.

本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵.

18.【答案】4015

【解析】解：（1）本次接受隨機抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為：6+12+10+8+4=40（人），圖中小的值為：

100-25-30-20-10=15,

故答案為：40；15.

（2）依題意得：

200x30%=60（雙），

答:建議購買35號運動鞋60雙.

1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的人數(shù)相加即可求解；

（2）利用35號的百分比乘數(shù)量即可求解.

本題考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的關聯(lián)，解題的關鍵是分析題目中所給的直方圖及扇形圖，然后從中

得到數(shù)據(jù)進行求解.

19.【答案】（1）證明：???NP=NC,乙PBC=AC,

ZP=/-PBC,

CB//PD-,

(2)解：如圖所示，連接C。,

設0C=OB=X,貝l|OE=0B-BE=(x-8),

在RtACOE中：由勾股定理得C￡2=。。2一。62,

在RtACBE中：由勾股定理得UE?=BC2一8石2,

%2-(x—8/=122-82,

解得x=9

.??。。的半徑為9.

【解析】(1)根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角相等可得NP=",再由條件NP8C=NC可得NP=NPBC,

然后可得CB〃PD；

(2)設。C=OB=x,貝iJOE=OB-BE=(x-8),利用勾股定理建立方程--(久一8)2=122-82,解方

程即可得到答案.

本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理勾股定理，熟練掌握圓周角定理是解答本題的關鍵.

20.【答案】解：(1)設4種紀念品每件的進價為萬元，貝第種紀念品每件的進價(久+5)元，

由題意得亞=筆，

x%+5

解得：%=15,

經(jīng)檢驗：久=15是原分式方程的解,

%+5=20,

答：2種紀念品每件的進價為15元，則B種紀念品每件的進價20元;

(2)設4種紀念品購進a件，由題意得：

(18-15)a+(25-20)(500-a)>1700,

解得：a<400,

???a為整數(shù)，

??.a的最大值為400.

答：2種紀念品最多購進400件.

【解析】(I)設2種紀念品每件的進價為X元，貝刊種紀念品每件的進價0+2)元，根據(jù)用900元購進的a種

紀念品與用1200元購進的B種紀念品的數(shù)量相同列出分式方程，再解即可；

(2)設4種紀念品購進a件，由題意得不等關系：4種紀念品的總利潤+B種紀念品的總利潤N1700元，根據(jù)

不等關系列出不等式，再解即可.

此題主要考查了分式方程和一元一次不等式的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系或不等

關系，再列出不等式和分式方程即可.

21.【答案】aW

【解析】(1)解：由運動員的豎直高度y(rn)與水平距離雙山)滿足二次函數(shù)的關系，

設二次函數(shù)的關系為y=ax2+bx+c,

代入(0,10),(1,10),(1.5,6.25),

fc=10

得|a+b+c=10,,

I-d~l_o+c=6.25

Z

a=—5

解得b=5，

c=10

???y關于％的關系式為y=-5x2+5%+10；

(2)把y=0代入y=-5/+5%+10,

得—5/+5%+10=0,

解得%1=2,%2=-1(不合題意，舍去)，

???運動員甲從起點/到入水點的水平距離。。的長為2米；

(3)①運動員甲不能成功完成此動作，理由如下：

由運動員的豎直高度y(m)與水平距離》(租)滿足二次函數(shù)的關系為y=-5/+5%+10,

整理得y=一5(%-1)2+y,

得運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度k為竽小，即k=字

把h=0代入八=一5/+與，

得一5尸+3=0,

4

解得%=1.5,%2=一1.5(不合題意，舍去),

???1.5<1,6,

二運動員甲不能成功完成此動作；

②由運動員甲進行第二次跳水訓練，豎直高度y(m)與水平距離比(爪)的關系為y=ax2-ax+10(a<0),

得頂點為《，10—

得cf-1oa

1

a

4-

把/i=0代入h=—5t之+10——a,

4

得t2=2-祭，

由運動員甲在達到最高點后需要1.6s的時間才能完成極具難度的270c動作，得t>1,6,

則［2>1.62,即2a1.62,

解得a<-*

故答案為：a<—

(1)設二次函數(shù)的關系為y=a/+6x+c,代入(0,10),(1,10),(1.5,6.25),算出a、b、c的值，即可得到

函數(shù)表達式；

(2)把y=0代入y=—5%2+5%+10,即可求出結果；

(3)①把二次函數(shù)整理為y=—5(x—夕+當，得卜=孚，把拉=0代入h=—5產(chǎn)+學，計算t的值，再與

1.6比較即可得到結果；

G)求得頂點為10—得k=10—把％=0代入y=—5t2+10—Ja,得/=2—由嚴>

,444ZU

1.62,列不等式即可求出t的取值范圍.

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應用，本題的關鍵是理清題目條件，熟練運用二次函數(shù)

的性質解題.

22.【答案】3c

【解析】解：（1）如圖1所示，過點4作2E1BC于E,

4BC是邊長為6的等邊三角形，

一1

???AC=BC=6,CE=-BC=3,

AE=y/AC2-CE2=V62-32=30，

???CD=2,

S"CD=-CD=3V-3；

故答案為：3V"^;

(2)如圖2所示，延長EB到G使得BG=DF,連接4G,

圖2

???四邊形4BCD是正方形，

???AB=AD,Z-D=Z,ABG=Z.BAD=90。,

也△ADF(S/S),

AG=AF,Z-DAF=Z.BAG,

???^EAF=45°,

???/,BAE+ADAF=乙BAD-^EAF=45°,

???^BAG+^BAE=45°,

??.Z.EAG=Z.EAF=45°,

又???AE=AE,

??.△ZEF四△AEG(SAS),

??EG=EF=5，S-EF=S—EG，

又???AB=6,

^LAEF=^LAEG=2^8,EG=15；

(3)存在一個面積最小的△ZEF；理由如下：

把aADF繞點/順時針旋轉90。并把邊長縮小為原來的?，得到△ABG,

???AG=^-AF,2LFAG=90。，

???AEAF=60°,

???/,EAG=30°,

過點E作EMIAG于M,作EN_L4F于N,則四邊形AMEN是矩形,

??.ME=AN,

NEONE

ME=AN=-------,

tanz.EAN3

i

...S^AGE—24CME1

S^AEF^AF-NE39

^LAEF=3s△/EG'

???當△AEG的面積最小時，△AEF的面積最小;

如圖3所示，作△AEG的外接圓，圓心為。，連接。4OG,OE,過點。作，EG于”，設OGOA=

圖3

??.Z.GOE=2Z.GAE=60°,

???乙GOH=乙EOH=30°,

OH=^-OG=^r,GE=2GH=r，

1

SLAGE=-GE-AB=2GE=2