高考數(shù)學(xué)專題 平面向量講學(xué)案原卷

【2016考綱解讀】高考側(cè)重考查正、余弦定理與其他知識(shí)(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應(yīng)用，試題一般為中檔題，各種題型均有可能出現(xiàn)．預(yù)測(cè)2016年高考仍將以正、余弦定理的綜合應(yīng)用為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查計(jì)算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力．【重點(diǎn)知識(shí)梳理】1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量．(2)零向量的模為0，方向是任意的，記作0.(3)長(zhǎng)度等于1的向量叫單位向量．(4)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量．零向量和任一向量平行．2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.3．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.4．兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，在平面上任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a與b的夾角．5．向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)．6．平面向量共線的坐標(biāo)表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a與b共線．7．平面向量的數(shù)量積設(shè)θ為a與b的夾角．(1)定義：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：eq\f(a·b,|b|)＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．8．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)(1)a⊥b?a·b＝0；(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a|·|b|；特別地，a·a＝|a|2；(3)|a·b|≤|a|·|b|；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|).9．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【誤區(qū)警示】1．兩向量夾角的范圍是[0，π]，a·b>0與〈a，b〉為銳角不等價(jià)；a·b<0與〈a，b〉為鈍角不等價(jià)．2．點(diǎn)共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別．3．a(chǎn)在b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)，而不是eq\f(a·b,|a|).4．若a與b都是非零向量，則λa＋μb＝0?a與b共線，若a與b不共線，則λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用例1、(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．不確定(2)(2015·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．①求eq\f(sinB,sinC)；②若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長(zhǎng)．【規(guī)律方法】1．解三角形常見類型及解法在三角形的六個(gè)元素中要知三個(gè)(除三角外)才能求解，常見類型及其解法見下表：已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b與c；S△＝eq\f(1,2)acsinB，在有解時(shí)只有一解兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出一邊所對(duì)的角，再由A＋B＋C＝180°求出另一角．S△＝eq\f(1,2)absinc，在有解時(shí)只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C.S△＝eq\f(1,2)absinC，在有解時(shí)只有一解兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理求出c邊．S△＝eq\f(1,2)absinC，可有兩解、一解或無解2.確定三角形的形狀主要的途徑及方法途徑一：化邊為角途徑二：化角為邊主要方法(1)通過正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化(2)通過余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化(3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系(4)通過三角函數(shù)值的符號(hào)以及正、余弦函數(shù)有界性判斷三角形形狀【變式訓(xùn)練】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是()A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)考點(diǎn)二正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例2、(2015·湖北卷)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.【規(guī)律方法】應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問題的步驟及流程(1)解題步驟①讀題．分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等；②圖解．根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；③建模．將所求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解；④驗(yàn)證．檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案．(2)思維流程【變式訓(xùn)練】如圖，A，C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時(shí)從A島出發(fā)，以10海里/小時(shí)的速度，沿北偏東75°方向直線航行，下午1時(shí)到達(dá)B處．然后以同樣的速度，沿北偏東15°方向直線航行，下午4時(shí)到達(dá)C島．(1)求A，C兩島之間的直線距離；(2)求∠BAC的正弦值．考點(diǎn)三正、余弦定理與三角函數(shù)、平面向量的交匯問題例3、(1)設(shè)λ∈R，f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝f(0)．①求函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸和單調(diào)遞減區(qū)間；②設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c且eq\f(cosA,cosB)＝－eq\f(a,b＋2c)，求f(x)在(0，A]上的值域．【規(guī)律方法】求解正、余弦定理與三角函數(shù)、平面向量交匯問題的思路(1)向量性質(zhì)與運(yùn)算的應(yīng)用：以向量為載體，通過向量的概念、性質(zhì)與運(yùn)算，建立向量與三角形三角函數(shù)的聯(lián)系．(2)邊角轉(zhuǎn)化：在三角形中考查三角函數(shù)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查，求解時(shí)：①作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；②常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”；③求解三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的規(guī)律方法都適用，但要注意角的范圍限制．【變式訓(xùn)練】設(shè)△ABC是銳角三角形，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(sinA－sinB)·(sinA＋sinB)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋B))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－B)).(1)求角A的值；(2)若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝12，a＝2eq\r(7)，求b，c.(其中b<c)【經(jīng)典考題精析】1.【2015高考廣東，文9】在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，，，則（）A．B．C．D．2.【2015高考重慶，文7】已知非零向量滿足則的夾角為（）(A)(B)(C)(D)3.【2015高考福建，文7】設(shè)，，．若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．B．C．D．4.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在線段BC和CD上,且則的值為．5.【2015高考浙江，文13】已知，是平面單位向量，且．若平面向量滿足，則．6.【2015高考新課標(biāo)1，文2】已知點(diǎn)，向量，則向量()（A）（B）（C）（D）1.【2014高考安徽卷文第10題】設(shè)為非零向量，，兩組向量和均由2個(gè)和2個(gè)排列而成，若所有可能取值中的最小值為，則與的夾角為（）A.B.C.D.02.【2014高考北京卷文第3題】已知向量，，則（）A.B.C.D.3.【2014高考大綱卷文第6題】已知a、b為單位向量，其夾角為60，則（2a－b）·b=（）A.－1B.0C.1D.24.【2014高考福建卷文第10題】設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于（）5.【2014高考廣東卷文第3題】已知向量，，則（）A.B.C.D.6.【2014高考湖北卷文第12題】12．若向量，，，則________.7.【2014高考湖南卷文第10題】在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，,，動(dòng)點(diǎn)滿足,則的取值范圍是（） A.B. C.D.【2014高考江蘇卷第12題】如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是.ADADCBP9.【2014高考江西卷文第12題】已知單位向量_______.10.【2014高考遼寧卷文第5題】設(shè)是非零向量，已知命題P：若，，則；命題q：若，則，則下列命題中真命題是（）A．B．C．D．11.【2014高考全國(guó)1卷文第6題】6．設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則A.B.C.D.12.【2014高考全國(guó)2卷文第4題】設(shè)向量滿足，，則（）1B.2C.3D.513.【2014高考山東卷文第7題】已知向量，.若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)=（）（A）（B）（C）0（D）14.【2014高考四川卷文第14題】平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則.15.【2014高考天津卷卷文第13題】已知菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)，分別在邊、上，，.若，則的值為________.16.【2014高考浙江卷文第9題】設(shè)為兩個(gè)非零向量、的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值為1（）A.若確定，則唯一確定B.若確定，則唯一確定C.若確定，則唯一確定D.若確定，則唯一確定17.【2014高考重慶卷文第12題】已知向量_