北京市延慶區(qū)2022-2023學年高一下學期期末考試數(shù)學試題

延慶區(qū)2022—2023學年第二學期期末試卷高一數(shù)學2023.7本試卷共4頁，150分，考試時長120分鐘.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，，則（）A. B.2 C. D.－23.向量，，若，則（）A.4 B.2 C.1 D.－14.已知直線a與平面，，則“”是“且”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.在半徑為4m的扇形中，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為（）A. B. C. D.6.如果直線a和b是空間中兩條不相交的直線，則必定存在平面，使得（）A.， B.， C.， D.，7.在中，，，則（）A.－1 B.1 C. D.8.已知一個長方體的長、寬、高分別為4、4、2，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是（）A. B. C. D.以上都不對9.已知一個正六棱臺的兩底面邊長分別為2m，4m，高是2m，則該棱臺的斜高為（）A.2m B. C. D.4m10.如圖，在正方體中，Q是棱上的動點，下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①存在點Q，使得；②存在點Q，使得；③對于任意點Q，Q到的距離為定值；④對于任意點Q，都不是銳角三角形.A.1 B.2 C.3 D.4第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.計算______.12.已知，且，則______.13.已知一個圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則該圓錐的體積為______.14.已知函數(shù)，且的相鄰兩個對稱中心的距離為2，則______.15.在中，，，只需添加一個條件，即可使存在且唯一.在條件：①；②；③；④中，所有可以選擇的條件的序號為______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.（本小題12分）已知中，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求c；（Ⅲ）求的面積.17.（本小題15分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出相應的x的值.18.（本小題15分）已知中，.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若，，求c.19.（本小題15分）如圖，在三棱錐中，，，E，F(xiàn)，G分別是AC，AD，BC的中點，平面EFG與棱BD交于點H.（Ⅰ）求證：平面EFG；（Ⅱ）求證：平面平面EFHG.20.（本小題15分）如圖，在四棱錐中，已知底面ABCD是正方形，且底面ABCD，，點F為棱PC的中點，平面ADF與棱PB交于點E.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面AEFD.21.（本小題13分）已知實數(shù)集，定義.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求集合A；（Ⅲ）若A中的元素個數(shù)為9，求的元素個數(shù)的最小值.

延慶區(qū)2022-2023學年第二學期期末考試高一數(shù)學參考答案2023.7一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.D2.A3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.C10.A二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.12.13.14.－115.②③（注：對一個3分，對兩個5分，有錯誤0分）三、解答題（共6小題，共85分）16.（本小題12分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，……1分可得，解得；……3分（Ⅱ）由余弦定理，可得，……5分整理得，解得（舍負），……8分即；……9分（Ⅲ）由的面積，……10分可得.……12分17.（本小題15分）（Ⅰ），……4分函數(shù)的最小正周期為，……6分由，，……7分解得，……9分所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；……10分（Ⅱ）因為，所以，……11分當，即時，取最大值，最大值為，……13分當，即時，取最小值，最小值為0.……15分18.（本小題15分）（Ⅰ）由已知，由正弦定理，……1分，……2分，……3分在中，又因為，……4分所以，又因為，所以；……6分（Ⅱ）在中，由，，得，……8分又因為，……9分所以，……12分由正弦定理得.……15分19.（本小題15分）（Ⅰ）證明：因為E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，所以EF為的中位線，所以，……2分又因為平面EFG，平面EFG，……4分則平面EFG；……5分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，又因為，所以，……7分又因為E，G分別是AC，BC的中點，所以，……9分又因為，所以，……11分又因為，所以平面EFHG，……13分又因為平面ABC，平面平面EFHG.……15分20.（本小題15分）（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是正方形，所以，……1分平面PBC，平面PBC，……3分所以平面PBC，……4分又因為平面ADF與PB交于點E，所以平面平面，……5分平面ADFE，所以；……7分（Ⅱ）因為，，所以，……8分又因為點F為棱PC的中點，點E為PB的中點，……9分因為，點E為PB的中點，所以，……10分又因為平面ABCD，面ABCD，所以，……11分又ABCD為正方形，，……12分又因為，所以面PAB，……13分又因為面PAB，所以，……14分又因為，所以平面AEFD.……15分21.（本小題14分）解：（Ⅰ）；（多寫或少寫一個元素扣1分）……2分（Ⅱ）首先，，……3分其次A中有4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負.記，不妨設或者……4分①當時，，，相乘可知，，從而，從而，所以；……5分②當時，與上面類似的方法可以得到，進而，從而.……7分所以或者；……8分（Ⅲ）估值＋構(gòu)造需要分類討論A中非負元素個數(shù).將中元素的個數(shù)記為.先證明.考慮到將A中的所有元素均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時，集合不變，故不妨設A中正數(shù)個數(shù)不少于負數(shù)個數(shù).接下來分類討論：情況一：A中沒有負數(shù).不妨設，則上式從小到大共有個數(shù)，它們都是的元素，這表明.……11分情況二：A中至少有一個負數(shù).設