數(shù)列不等式題型訓(xùn)練-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題含答案

教列系等式(真型題型忸類制稼，

目錄

一、典型題型

題型一:數(shù)列不等式恒成立

題型二:數(shù)列不等式能成立(有解)問(wèn)題

二、專題數(shù)列不等式專項(xiàng)訓(xùn)練

一、典型題型

題型一:數(shù)列不等式恒成立

題目3D(23-24高二下?河南南陽(yáng)?期中)記數(shù)列｛Q/的前幾項(xiàng)和為Sn，已知Qi=-1,且％+1+(—1廠?

8—2n.

(1)令勾=電九,求數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式；

n+1

(2)若對(duì)于任意的nEN*,2-4—6n+1+S2n+1>0恒成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

???

題目@（2024?廣東韶關(guān)?二?）記R上的可導(dǎo)函數(shù)/（，）的導(dǎo)函數(shù)為廣㈤，滿足垢+產(chǎn)垢

—嬖*SeN*）的數(shù)列｛4｝稱為函數(shù)六⑼的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛4｝為函數(shù)/（,）=/—/的牛頓數(shù)

/（為）

列I,且數(shù)列｛時(shí)｝滿足01=2,廝=In*”[-,4>1.

xn-l

⑴求出；

（2）證明數(shù)列｛冊(cè)｝是等比數(shù)列并求an；

（3）設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為S*,若不等式（一1產(chǎn)tS“一144SV對(duì)任意的neN*恒成立，求t的取值范圍.

〔題目|3）（23-24南二下?貴州貴陽(yáng)?期中）已知數(shù)列｛狐｝滿足：a“+產(chǎn)!冊(cè)+（。戶,且5=—京設(shè)｛冊(cè)｝的

J\J/J

前n項(xiàng)和為Tn,bn—3"-an.

（1）證明：｛0｝是等差數(shù)列；

（2）求黑；

（3）若不等式北+,《小對(duì)"6N*恒成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

〔題目〔4〕（23-24方二下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛an］的前幾項(xiàng)之和與=電+&2+…+冊(cè),數(shù)列

｛&｝的前九項(xiàng)之積cn=岫2??,b九，且鼠+品=1.

（1）求證：｛1｝為等差數(shù)列,并分別求｛飆｝、｛圖｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛an-bn+J的前九項(xiàng)和為S”,不等式S“>：+4-孕對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求正實(shí)數(shù)A的取值

A6

范圍.

頷目回（2024?湖南?二O已知｛%｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)歹U,數(shù)列｛0｝滿足：b=21og2冊(cè)+1，且6產(chǎn)

1,b4=7.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝,｛鼠｝的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)任意的九6N*都有2%”>bn—2,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

題目J]（23-24高二上?山東燦臺(tái)?期末）設(shè)數(shù)列｛&｝,他｝的前幾項(xiàng)和分別為S〃，黑，。產(chǎn)―2,8=1,且

4szi+i=3Sn—8，K+i=^-bn-（nEN*）.

JQTI+1

（1）求｛aJ的通項(xiàng)公式，并證明：｛（,）”》“）是等差數(shù)列；

（2）若不等式（6加一54七）”一（九+3）（黑―9）<0對(duì)任意的nGN*恒成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

題型二:數(shù)列不等式能成立（有解）問(wèn)題

題目口（2024?云南?一模）已知｛冊(cè)｝為等比數(shù)列，記S”、方分別為數(shù)列｛aj、｛端的前幾項(xiàng)和，$5=62,

Sio=2046,2方=nbn+n,b2—3.

（1）求｛aj、｛吼｝的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在整數(shù)c,使與+匹+…+&<c對(duì)任意正整數(shù)n都成立？若存在,求c的最小值；若不存在,

電電an

請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目團(tuán)(23-24方二上?江蘇拉城?期末)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S”,且2嫉=廝+1；數(shù)列｛0｝

是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,公比為q，且與，兒的等差中項(xiàng)為10；4，瓜的等比中項(xiàng)為8.

(1)求｛%｝，｛鼠｝的通項(xiàng)公式;

,向”,幾為奇數(shù)

2

⑵設(shè)金力4,71為偶數(shù)Tn為數(shù)列｛品｝的前幾項(xiàng)和，若存在neN*使得^n-2n+n)站”成立,求實(shí)數(shù)A

的最大值.

題目包(2024?云南曲靖?一模)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為S”,且又=2冊(cè)—".

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛心｝滿足勾=三工，其前n項(xiàng)和為北,求使得室＞噂魯成立的n的最小值.

〔題目〔4〕（23-24方三上?山東?階盤練習(xí)）己知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為2畫=冊(cè)+1；數(shù)列｛0｝是

遞增的等比數(shù)列,公比為q,且修幾的等差中項(xiàng)為10，如仇的等比中項(xiàng)為8.

⑴求｛斯｝,｛b0｝的通項(xiàng)公式；

—Qh,n為奇數(shù)

2

(2)設(shè)cn=_3_n為偶數(shù)，或?yàn)椋罚那皫醉?xiàng)和，若7Jn+2n-n+3>助九能成立,求實(shí)數(shù)A的最大值.

.bn

[題目⑸（23-24南三上?萬(wàn)北張家口?階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為且a“=]s”

+l（neN*）.數(shù)列｛0｝的前幾項(xiàng)和為看,數(shù)列｛cj的前幾項(xiàng)和為，數(shù)列bn=2na“—a”（neN）,Cn

1

十="3*).

n(n+1)

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及工;

（2）若對(duì)任意neN*,存在XQE[—1,1]使得An<2x0—m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

二、專題數(shù)列不等式專項(xiàng)訓(xùn)練

〔題目〔1〕（23-24商二下?遼寧大連*BH度練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛aj的前幾項(xiàng)和為S”，已知％=5,a尸25,Sn+l

+5$“_1=6$式九>2）,黑是數(shù)列｛21og5a?-l｝的前九項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

⑵求滿足（1—標(biāo)）（1—去）（1一點(diǎn)）…（1—七）（1一土）〉器的最大正整數(shù)九的值?

題目習(xí)（2024?四川南充?二在數(shù)列｛斯｝中,S”是其前ri項(xiàng)和，且3Sn-an=64.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

⑵若VnCN+"—l<S“W44+4恒成立，求4的取值范圍.

?4

題目回(2024?全國(guó)?模板預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”,且a2=3,2S“="(a”+2).

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在九CN*,使得二一+,+…+—匚>入冊(cè)+1成立,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

。1電a2a3anan+l

題目匠(23?24南二下?云南玉溪?階段練習(xí))已知S”是等差數(shù)列｛a?｝的前幾項(xiàng)和，且。2=3,S5=25.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)任意neN*,a>粵+號(hào)+…+?,求小的最小整數(shù)值.

JJJ

???

題目回(2024商三?全國(guó)?專題練習(xí))已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為必，且關(guān)于力的方程儂!?+2瘋；r+n+

1=0,九GN*有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若b=(an+l)-2%,數(shù)歹IJm｝的前幾項(xiàng)和為7；,且4A對(duì)任意的nCN*恒成立,求實(shí)數(shù)A的最大值.

題目回(2024?天津虹橋?一模)已知S”為數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和,且滿足Sn=2an+r，其中rCR,且rWO.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

Q2n—1一

(2)設(shè)b=(T)"+i包，若對(duì)任意的nCN*,都有?V小<>>"求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

ri=li=l

〔題目⑺（23-24方二下?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)者就）已知｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，a｝為等比數(shù)列，a產(chǎn)仇=1,as=

5（Q「。3），"=4（64—63）.

（1）求｛④｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列（——1的前n項(xiàng)和方;

IQ￡。九十2J

nn

（3）記d“=3-2-（~l）Abn（AGR）,對(duì)任意的nGM，恒有dn+1>或，求4的取值范圍.

_n（n—1）

（題目I8］（23-24方三下?湖南湘潭?階段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)都不為0的數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)積為北，T=2~-

CLn,€L\—2.

（1）求數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式；

（2）保持?jǐn)?shù)列5｝中的各項(xiàng)順序不變,在每?jī)身?xiàng)隊(duì)與a』之間插入一項(xiàng)2（@+「恁）（其中％=1,2,3,…），組

成新的數(shù)列｛葭｝,記數(shù)列｛0｝的前幾項(xiàng)和為S”,若S>2023，求n的最小值.

題目⑥（2014南一?全國(guó)?克豹對(duì)于給定的機(jī),九eN*,若小>",定義4==（=二1）二（——九+1）.已

九（九一1）…2x1

知數(shù)列｛飆｝滿足5=1,當(dāng)九>2時(shí)，產(chǎn)S—1）："+2）s「（3_1用3,其中S”為數(shù)列｛冊(cè)｝的前九

項(xiàng)和.

（1）求｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）計(jì)算數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和S”,是否存在％eN*,使得任意九〉k,都有S?>2014?若存在，求出k的最小

值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目?（23-24商三下?重慶?階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和為&,且滿足的=1,2sl=冊(cè)

冊(cè)+i,數(shù)列｛bn｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，昆=電且甌3仇,反依次成等差數(shù)列.

（1）求｛廝｝，｛0｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)品=二，｛品｝的前n項(xiàng)和為黑，問(wèn)是否存在正整數(shù)k使得《<北<然工⑺>4）成立,若存在,求

出用的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

裁利茶普iU舞型超型松類制誄，

目錄

一、典型題型

題型一:數(shù)列不等式恒成立

題型二:數(shù)列不等式能成立（有解）問(wèn)題

二、專題則不等式專項(xiàng)訓(xùn)練

一、典型題型

題型一:數(shù)列不等式恒成立

蜃目［TJ（23-24方二下?河南南相?期中）記數(shù)歹U｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為S。，已知的=—1,且*1+（—1）%為=

8—2n.

（1）令勾=電九,求數(shù)列｛K｝的通項(xiàng)公式；

n+1

（2）若對(duì)于任意的九EN*,2-4—6n+1+S2n+1>0恒成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

【答案】⑴6九=9—4n

⑵［看，+8）.

【分析】（1）分類討論n是奇數(shù)和偶數(shù)，利用遞推公式計(jì)算即可；

（2）先利用等差數(shù)列求和公式分組求和，再分離參數(shù)，令金=冠，判定其單調(diào)性，計(jì)算即可.

2n

【詳解】（1）令?2=2k—1,則。2卜—。2卜一1=10—4k①，

令九=2k,則電卜+1+保卜=8-4k②，

=

②一①，得a2k+1-ha2k-i-2,

又因?yàn)镼i=-1，所以可得a2fc-i=-1,

代入①式，得a2k=9—4%,所以bn=9—4n.

（2）S20+1=S奇+S偶，其中S奇=（—l）?（7i+l）=—S+l）,

22

5偶二仇+8+—F6n—5n-\-1X（—4）=7n—2n,所以S2九+1=-2n+6?i—1.

*

由2"1?』一6九+1+S2九+i>0,可得旦恒成立.

2n

、匹_n2mJ_（九+1）~n2_—n2+2n+1

僅品=/，則品+1一品=/=產(chǎn)，???

當(dāng)1—V2<n<1+A/2，即九=1,2時(shí)，cn+i—Cn>0,cn<cn+1,

當(dāng)n>l+J2,即九>3時(shí)，cn+1—cn<0,cn>cn+1,

所以C1<C2<C3>C4>C5>…，故（01mx=c3=u，所以4>卷,

oo

即實(shí)數(shù)4的取值范圍為JU，+8）.

Lo）

題目②（2024?廣東韶關(guān)?二O記R上的可導(dǎo)函數(shù)/⑺的導(dǎo)函數(shù)為了'⑺，滿足4+尸垢

—華g5cN*）的數(shù)列｛吃｝稱為函數(shù)/（，）的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛4｝為函數(shù)/（乃=/—多的牛頓數(shù)

于g

歹!J,且數(shù)列｛時(shí)｝滿足的=2,斯=InXn,x?>1.

xn-l

⑴求a2;

（2）證明數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列并求飆；

（3）設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為S”,若不等式（-I）"-tS「14WSV對(duì)任意的九CN*恒成立，求t的取值范圍.

【答案】⑴4

（2）證明見(jiàn)解析，a=T

⑶-K停

O

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，化簡(jiǎn)數(shù)列遞推式,根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算及遞推式求解即可；

（2）對(duì)遞推式變形結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得國(guó)旦=2,利用等比數(shù)列定義即可證明，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解通

a九

項(xiàng)公式；

⑶先利用等比數(shù)列求和公式求和,再把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（-1產(chǎn)t<S”+圣對(duì)任意的neN*恒成立，令

g（x）=x+—,xE（0,+oo）,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性求解函數(shù)最值，根據(jù)九的奇偶性

X

分別求解范圍即可.

【詳解】⑴因?yàn)?（力）=力2—力，則/（力）=2］一1,從而有C九+1==6九一；n*；=p,

f（xn）2xn-l2xn-l

XnX1

由Qi=2,an=In，則2=In

xn-l力

所以隔尸皿―="-六2皿「=2,0>1）,

故?包=2（非零常數(shù)），且的=220,所以數(shù)列｛an｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

所以a“=2X2"T=2";

⑶由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：Sn=2(1—?).=2"+1—2,

1—2

因?yàn)椴坏仁?一1)75^—14&S/對(duì)任意的九6N*恒成立，又S>0且S九單調(diào)遞增,

所以(―l)n-對(duì)任意的燈GN*恒成立，令g(力)=x+—,xE(0,+oo),

31n力

則g'Q)=1—4―――暑，當(dāng)力G(0,U)時(shí)，g\x)<0,g(rr)是減函數(shù)，

xzxz

當(dāng)力E(V14,+oo)時(shí)，g'(力)>0,gQ)是增函數(shù)，

又2=Sj<V14<S2=6，且g(2)=9,g(6)=與,g(6)Vg⑵,則g(x)^n=g(6)=孕,

O0

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式化簡(jiǎn)為S九，所以當(dāng)71=2時(shí)，力&爭(zhēng);

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原式化簡(jiǎn)為一九所以當(dāng)n1時(shí)，一t49,所以t>—9;

3九

綜上可知，一9&.

o

[題目|3](23-24i?二下?貴州貴FB?期中)己知數(shù)列｛斯｝滿足：?=:冊(cè)+(!戶,且5=—得.設(shè)｛冊(cè)｝的

OOO

n

前幾項(xiàng)和為北，第=3-an.

(1)證明：｛0｝是等差數(shù)列；

⑵求或;

(3)若不等式看+伴&為對(duì)九eN*恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(3)一卷《力《一卷

2o

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義證明

(2)由已知得Q九二4=(1■『?(九一3),再通過(guò)錯(cuò)位相減法求解出北；

3J

(3)不等式化簡(jiǎn)為t(n—3)>3~2n，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t(n—3)>3~2n對(duì)九eN*恒成立，然后分別求出當(dāng)

1471<3、71=3和71>3時(shí)，力滿足的條件即可

【詳解】⑴因?yàn)閎n=3%Q九，所以bn+1=3計(jì)1?％+1,

=n+1,nn+1n

bn+i~bn3an+1—3-an=3|^-^-an+(-^-)]—3-an=1,

且bi=—2，所以勾是以一2為首項(xiàng)，且公差為1的等差數(shù)列，即勾="一3.

⑵由⑴知，bn=ri-3,所以an=/=?(九一3).

則或=(-2)-(y)'+(-l)?(j)2+0-(j)%???+(n-4)?傳)“'(n—3).(j)",

于是寺北=(一2)?(/+(T)?(!)3+。?(、■)"+…+("—4)?什)”+(n—3)

兩式相減得"17；=一弓+傳)2+借y+(/)，+??-+(y)ri-(n-3)?信)陽(yáng)

2,0[1—(5)1/°、/1\n+1_1(n1、/Ip

__3+—---------⑺―3)-(.)—一萬(wàn)一(.一萬(wàn)).(3)，

13

因此3—/管號(hào)）.（二

3

()由黑+告&tan，得一管--|-)?信)<t(n-3)?(y),

依題意，t(n—3)>3j71對(duì)?iEN*恒成立，

3—2九13?11

當(dāng)14九V3時(shí)，tW---------x，則T；

4(n-3)24n—3'2

當(dāng)九二3時(shí)，不等式恒成立;

3—2Tl

當(dāng)n>3時(shí)，力）13*11301/1

4(n—3)24n-324n-32

則t>-，，于是一/<t<―],

Z2o

綜上，實(shí)數(shù)力的取值范圍是一gwtw-《

2o

［題目［4］（23-24高二下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)之和勾=0什電+…+Q九，數(shù)列

｛b^的前幾項(xiàng)之積金=匕也…K，且氏+金=1-

（1）求證：1｝｝為等差數(shù)歹U,并分別求｛斯｝、｛&｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛an-b“+J的前幾項(xiàng)和為S”,不等式S0>4+久一號(hào)對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,求正實(shí)數(shù)4的取值

A0

范圍.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析，?=/1,bn=-4-

n（n+1）n+1

（2）!<^<2

【分析】（1）利用已知關(guān)系可得與=江，代入氏+品=1,化簡(jiǎn)可證（上］為等差數(shù)列，從而求得｛aj,｛⑥｝

Cyi—1IJ

的通項(xiàng)公式；

（2）由⑴得an-產(chǎn)/、，利用裂項(xiàng)相消可得S?=4-《（一T+47），利用數(shù)列的單調(diào)性求出

解不等式即可求出正實(shí)數(shù)1的取值范圍.

O

【詳解】（1）由題意知：當(dāng)九>2時(shí)，bn=一°n、代入口+品=1得品+品=1,

^n—1。九一1

所以—-------=1.

1

由｛"3,得…制

所以｛2｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

11n

所以工=n+l'C"=E'b”=l—以

九十1

71—1_1

當(dāng)九>2時(shí),a"=b「b”一尸R

nn(n+1)

當(dāng)？i=1時(shí)，Q尸瓦=《也符合上式，所以an=―—

2n（n+1）

⑵由⑴得一號(hào)If篝

所以8尸土+M+—+…+記七^(guò)L

Xfi_X.X_X?X_X.?11?11)

=-2132435n-1n+1nn+2)

=&」（，+，）

42Vn+1n+2卜

顯然｛Sj單調(diào)遞增，所以S含S[=].

O

由題意得即1+4〈言,

A63/12

又4>0,所以4的取值范圍為:

題目回（2024?湖南?二?）己知｛M｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)歹（J,數(shù)列｛bn｝滿足：b=21og2On+l,且瓦=

1,bi—7.

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝,｛吼｝的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)任意的nCN*都有24冊(cè)）勾一2，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

【答案】（l）a“=2"T；b“=2n-l

⑵心得

O

【分析】（1）利用題設(shè)條件求得的44,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得冊(cè)，進(jìn)而求得第；

（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1>業(yè)F恒成立，再利用作差法求得/（力=的最大值，從而得解.

【詳解】（1）因?yàn)閎n=21og2an+l,瓦=1,a=7,

Q

所以fei=1=21og2ai+l,則尸1,

b4=7=210g2a4+I，則。4=8,

因?yàn)椋鸻j是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以不=幺=8,即q=2,

al

n-1

所以an=2,則bn=210g2。九+1=2（n—1）+1=2n—1.

2n3

（2）因?yàn)?4ali>bn-2恒成立，所以4>與2=-恒成立，

2aziT

設(shè)/M）=^^SeN*）,則/（九+1）—=—=

當(dāng)nW2時(shí)，/(n+1)—/(n)>0,則/(3)>/(2)>/(1);?M

當(dāng)n>3時(shí)，/他+1）—/（n）<0,則/（3）>/（4）>f（5）>-;

所以/伍）a=/（3）=等,則心目.

OO

題目回（23-24高二上?山東燦臺(tái)?期末）設(shè)數(shù)列｛每｝,他｝的前幾項(xiàng)和分別為S",1,Q1=—2,仇=1,且

4s九+產(chǎn)3s九—8，bn+1=-^-bn-（nGN*）.

Jan+l

（1）求｛飆｝的通項(xiàng)公式，并證明：｛（1■廠是等差數(shù)列；

（2）若不等式（6相-54心）”―（n+3）⑵―9）W0對(duì)任意的neN*恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】⑴a“=—2x信尸證明見(jiàn)解析；

⑵（—8,3].

【分析】（1）根據(jù)給定條件,結(jié)合an=SH>2）求出｛冊(cè)｝的通項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的定義推理即得.

⑵利用錯(cuò)位相減法求和得，黑=（3n—9乂!）+9,由給定不等式得,A&'+9—+~~~，再求出+

三的最小值即可.

2n

【詳解】⑴數(shù)列｛飆｝中，4sli+i=3S“一8,當(dāng)n>2時(shí)，4Sn=3Sn-i—8,兩式相減得，an+1=^-an,

又4s2=3s1—8,即4（ai+a2）=3a「8,而囪=—2,解得a2=―,則a2=,

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，a“=—2X（弓）”:

由b=-----,瓦=1,得bi—~b-\—

+1n+n■（汐HFm，

"3an+13/3_

因此數(shù)列｛借廣％）是以（2°瓦=1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列.

⑵由⑴得，仔）"%=1+（九一1）、1=",即吼=九傳）"\

2

則Tn=1X（y）°+2X信丫+3X（y）+?■?+nX信廠

23

于是jTn=1X（y）'+2X（y）+3X（y）+…+（九—1）X+nX（y）",

兩式相減得，-和=信）°+宿丫+（/+（?丫+…+信廣-"信『=3[⑶"t]-

因此￡=（3九一9乂?。?9,

又（6加-54）（/一（九+3）（虱-9）W0,即（61-54）信）&（n+3）（3n-9）（1-）\

于是^吟=￡+.,而￡+得=3,當(dāng)且僅當(dāng)幾二3時(shí)等號(hào)成立,則

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍為（-co,3].

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題，可以變形不等式，分離參數(shù)，借助函數(shù)思想求解即可.

題型二:數(shù)列不等式能成立（有解）問(wèn)題

題目F（2024?云南?一模）已知｛冊(cè)｝為等比數(shù)列，記S”、北分別為數(shù)列｛廝｝、｛0｝的前n項(xiàng)和，55=62,

S10=2046,27^=nbn+n,b2=3.

⑴求｛“/、｛'｝的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在整數(shù)c,使與+匹+…+&<c對(duì)任意正整數(shù)n都成立？若存在，求c的最小值;若不存在,

Q1。2

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）斯=2",bn=2n-l;

⑵存在，c的最小值為3.

【分析】

⑴利用等比數(shù)列求和公式得首項(xiàng)和公比的方程組，得an=2",利用數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系得（n-l）bn+1=

九隊(duì)一1,結(jié)合九"2=（n+l）bn+1—1得｛bn｝是等差數(shù)列即可求解；

⑵錯(cuò)位相減法求和得&=旦+匹+…+b,再利用數(shù)列性質(zhì)求最值即可求解.

Qi電M

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛廝｝的公比為q,根據(jù)已知得q片1,且

S5二當(dāng)夫62

解方程組得卜尸?

SIO=d=20469=2.

???｛QJ的通項(xiàng)公式為。九=（1『=2x2九-1=2n.

,：2T/nbn+n,

27]=26二仇+1,解得b尸1,

且2北+i=(n+l)bn+1-bn+1.

2黑+1—2或=(n+l)6n+i+n+1—nbn—n,

即2bn+1=(n+l)5n+1+n+1—nbn—n.

(九-1)⑥+i=nbn-l且nbn+2=(n+l)5n+1-l,

則nbn+2-(n-l)bn+i=(n+l)bn+1-nbnf

整理得bn+2+bn=2bn+1,故｛bj是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

故bn=1+2（n—1）=2n—1.

{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n—l.

⑵設(shè)c,=2+匹+…+b=《+/+…+&W

2

Q1。2an22T

KI.|11I3iI272,1

則—C=—+—H---1----7—.

2n22232n+1

111229

c?=-c?=-+-+-+-+-2n-l

?2n+1

7

2Tl+3

V4=3一醫(yī)獸<3恒成立，且。4=3一共>2,

216

存在整數(shù)c,使與+匹+…+'Vc對(duì)任意正整數(shù)九都成立，且c的最小值為3.

Qia2an

題目囪(23-24商二上?江蘇拉城?期末)己知正項(xiàng)數(shù)列｛冊(cè)｝的前九項(xiàng)和為且2國(guó)=每+1；數(shù)列｛0｝

是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,公比為q,且心，兒的等差中項(xiàng)為10；多，氏的等比中項(xiàng)為8.

(1)求｛詼｝，｛口｝的通項(xiàng)公式；

冊(cè),?i為奇數(shù)

⑵設(shè)c”=X九為偶數(shù)，方為數(shù)列｛品｝的前幾項(xiàng)和，若存在打GN使得容—2/+n>泡成立，求實(shí)數(shù)義

.bn

的最大值.

【答案】(1)冊(cè)=2n—l,bn=T

o

【分析】⑴利用a“與必的關(guān)系可得an，利用等比數(shù)列性質(zhì)及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)性質(zhì)可得&;

(2)分組求和可得可將原不等式轉(zhuǎn)化為(親—")，計(jì)算即可得.

【詳解】⑴由2"=an+l可得4S0=(%+1)2,

2

當(dāng)n>2時(shí)，4S"-i=(a?-i+l),兩式相減得4a?=a^—a?-i+2(a?—an_x),

點(diǎn)―a：-i=2(a“+an—1)，

即(。八十冊(cè)-1)(冊(cè)一冊(cè)-1)=2(an+an_i).Van>0,

**?Ojnan-i=2(n>2),

即可得｛廝｝是等差數(shù)列.

由2=ai+1,得2=ai+1,/.0i=1,

即an=14-(n—1)x2=2n—1.

萬(wàn)2+64=20:建渣，解得與=4或b—16

由題意得2

帥5=64'64=16仇=4'

,/｛6n｝是遞增的等比數(shù)列,

???仁3所以。得&i=2

[d=16q=2'

n-1n

??.bn=2x2=2,

n

即冊(cè)=2n-l,bn=2;

1

⑵由⑴得：￡n=(Q1+Q3+—Fa-i)+(62+64+—Hbn)—2n2—n+

2n24n

2

若存在n6N*使得7^n—2n+n>Abn成立,

等價(jià)于存在九CN*使得44I/—'）能成立,

設(shè)4=則虞一*_尸,侏—親）一y（i-a）=?親-i）<0

/.｛*｝是遞減數(shù)列，故d九的最大值為&=,

O

因此4的最大值為

8

趣自區(qū)（2024?云南曲靖?一模）已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前九項(xiàng)和為&,且&=2an—n.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛0｝滿足圖=馬士二,其前九項(xiàng)和為黑，求使得Tn>卷）成立的n的最小值.

【答案】（1）斯=2n-l;

（2）10.

【分析】

⑴根據(jù)M,S九關(guān)系及遞推式可得M+1=2（Q*I+1）,結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式，即可得結(jié)果;

（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求黑，由不等式能成立及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得九>10,即可得結(jié)果.

【詳解】（1）當(dāng)？1>2時(shí)，an=S「Sn_i=（2an—n）—（2an_i—n+1）=2（Q九一Q九—1,

所以an=2。.1+1,則an-\-l=2（an-i+l）,而Q尸S尸2^—1=>。尸1,

所以電+1=2,故｛an+l｝是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，

nn

所以Q九+1=2=>an=2—1.

dnh—斯+1T11

(7LQg+1―(2n-l)(2n+1-l)―2n-l2n+1-l，

所以方=—/專+…+11

2n-l2n+1-l

111

要使￡=1一>盟即<=^>2n+1>2025,

2n+1-l2n+1-l2024

由210<2025<2"且九CN",則九+1>11=n>10.

所以使得黑>翁■成立的九的最小值為10.

［題目|4）（23-24%三上?山東?階&練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj的前幾項(xiàng)和為S”，2唇=即+1；數(shù)列缶“｝是

遞增的等比數(shù)列,公比為q,且與，b的等差中項(xiàng)為10,3生的等比中項(xiàng)為8.

（1）求｛廝｝,｛口｝的通項(xiàng)公式；

—an）n為奇數(shù)

2

_3_n為偶數(shù)，7為｛cn｝的前幾項(xiàng)和，若7^n+2n-n+3>Abn能成立，求實(shí)數(shù)A的最大值.

.bn

【答案】（1）冊(cè)=2n—1,bn=T

（哈

【分析】⑴利用Sn,an的關(guān)系式即可求得｛aj是等差數(shù)列，可得an=2n-l;再利用等比數(shù)列定義即可求得

瓦=2?=2,可得勿=2n;

（2）采用分組求和并利用等差、等比數(shù)列前九項(xiàng)和公式即可求得冕“=—2/+九+1—」-,不等式能成立等價(jià)

于（4x（［7一（J門，利用單調(diào)性可求得AW號(hào).

L'2，'3/」maxo

【詳解】⑴由2唇=每+1可得4s幾=5+1）2,

QQ

當(dāng)n>2時(shí)，4Sn_i=（冊(cè)_1+1）2,兩式相減得4an=（——+2（七一?！?

71-71-1—

,,。。(^dn~\~CLn—l),

即(QTZ+QTI-1)(。九一1)—2(Q九+(1九_(tái)1).?Q?1>0,

.\an-an_i=2(n>2),

即可得｛QJ是等差數(shù)列.

由2=0-1+1,得=Q1+1,/.Q尸1,

即an=1+(n—1)X2=2n—1.

b+b=20即耳，解得b=16

由題意得24:2或2

仇匕5=64'64—4°

???也｝是遞增的等比數(shù)列,

?dU，所以。得bi=2

[b4=16q=2.

n-1n

??.bn=2x2=2.

n

所以｛an｝和｛&n｝的通項(xiàng)公式為an=2n—1,bn=2.

⑵由⑴得：

(Q1+Q3+Q5+—Ha_i)+(62+64+^6+—H----F4n—

￡九=一2n^~b2n)=—(1+5+93)+3

+3天1

11(1+4n—3)n4n1

+±+±+…+=-2n29+n+1------

222426214n

1-4

為九+2療一n+3>Ab能成工，等價(jià)于4——>/IX2"能成工,

n4n

nnnn

化簡(jiǎn)得4x(y)-(f)能成立，即X&[4x(y)-(y)]max-

設(shè)虞=4x（,）-（。），則

…=4x（4F七fLx（/+（1）Jx信）%x（1）-（/艮x（1r-2］<0,

｛&J是遞減數(shù)列，故小的最大值為&=學(xué).

O

.?"《第，

因此久的最大值為學(xué).

O

［題目|5］（23-24ilj三上?河北張家口?除我練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S”,且@?=亭9“??

+l(nEN*).數(shù)列｛bn｝的前幾項(xiàng)和為黑，數(shù)列｛品｝的前幾項(xiàng)和為數(shù)列bn=2nan—an(nEN*),cn

1

+z,=—,(nGN,).

n(n+1)dn

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式及以；

(2)若對(duì)任意nCN*,存在gC[—1,1]使得力相42g—m成立，求實(shí)數(shù)?n的取值范圍.

【答案】(1)斯=2'neN*;￡=6+(2n-3)-2n+1;

【分析】(1)利用S”,即的關(guān)系式可求得數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式為a,=T,neN*,由錯(cuò)位相減法求和即可得Tn

=6+(2n-3)-2n+1;

⑵易知4=一」-,由數(shù)列的函數(shù)特性可知±=羔,根據(jù)題意只需滿足2—

n+12n51680

告即可求得隆姿

【詳解】(1)由a=yS?+l(neN*)，可得Sn=2a“一2(neN*),

當(dāng)ri=1時(shí)，5=Si—2a「2，得<Zi=2;

==

當(dāng)n>2時(shí)，anSn—Sn-i=2an—2—2冊(cè)_1+2,即an2ali,

可得｛aj是以的=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an=T,neN*;

當(dāng)n=1時(shí)，5=2符合a”=2",

所以數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為a0=T,nGN*;

bn—2nan-an—(2n-l)a”=(2n-1)-T,

則數(shù)列｛bj的前幾項(xiàng)和為7；=1?