河北省滄州市滄衡聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)4月模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

絕密★啟用前

治衡名校聯(lián)盟高三年級(jí)模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

班級(jí)姓名

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知Z\ABC是邊長為4的正三角形，則AB?BC=

A.8B.873C.—8D.-873

2.已知集合”={a\3,l},N={a+2,l}，若Mf|N=N,則實(shí)數(shù)a=

A.l1或2B.1C.±1D.2

3.在某市的一次質(zhì)量檢測(cè)考試中,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度曲線可

用函數(shù)八公的圖象擬合，且F(78<X&120)=0.42,若參加本次考試的學(xué)生

共有10000人，則數(shù)學(xué)成績超過120分的人數(shù)約為

A600B.800C.1200D.1400

4.已知8名同學(xué)參加體能綜合測(cè)試的成績分別為46,52,55,63,72,75,76,80,從這8名同學(xué)中選

出3名同學(xué)，則這3名同學(xué)中最高的體能綜合測(cè)試成績恰好是這8名同學(xué)體能綜合測(cè)試成績

的第70百分位數(shù)的概率為

^13B,26C-28

5.已知函數(shù)/（N），記（―匕助2）停）,c=/（一■2），則

A.c>b>aB.c>a>6C.a>c>6D.6>a>c

6.已知復(fù)數(shù)Zo=6（cos今^+isin，復(fù)數(shù)z滿足|z—z（）|=1,貝ij|z|的最大值為

A.7B.6C.4V3D.6乃

高三數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)

7.將函數(shù)/Gc)=cos2z-sin2z的圖象向右平移左個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(幻的圖象，若

/(z)和g(z)在區(qū)間如，6)上都是單調(diào)遞增的，則6—a的最大值為

8.已知正六棱錐P-ABCOEF的高為2后，側(cè)面與底面所成角的正切值為4,則該正六棱錐的內(nèi)

接正六棱柱(即正六棱柱的所有頂點(diǎn)均在正六棱錐的側(cè)棱和底面上)的外接球的表面積的最小

值為

A.4V3xB.4KC.3/兀D.3K

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知sina+cosa=m,m€(0,1),a￡(0,7t),則

A.sin2a=l-m2B.sina—cosa=>/2—m2

C.cos2a=—mV2—m2D,若m=1,貝tan傳-a)=—7

10.已知函數(shù)r(工)為定義在R上的函數(shù)f(幻的導(dǎo)函數(shù)，/(一l+z)+f(—1一］)=0,

/'(2工+1)+，(-2工+1)=0,且/''(())=6,則下列說法正確的有

A函數(shù)/G)的圖象關(guān)于直線工=-1對(duì)稱

B.函數(shù)f'Gr)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

C./(16)=73

D.Si/CZi)=0

11.已知點(diǎn)P(—1,0)為拋物線C：/=2ac(P>0)的準(zhǔn)線與工軸的交點(diǎn),M,N分別為C上不同

兩點(diǎn)(其中M在第一象限),F為拋物線的焦點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的有

A.若|MN|=10,則MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為4

B.若M,N,P三點(diǎn)共線，且MF_LNF,則直線MN的斜率為其

C.若M,F,N三點(diǎn)共線，且砒=4前,則直線MN的斜率為打

D.若M,F,N三點(diǎn)共線,且AOMN的外接圓與C的交點(diǎn)為D(異于則△OMN

的重心在工軸上

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

=

12.巳知S“為數(shù)列｛an)的前n項(xiàng)和，且a?=2,<2”+避"+l=a”+i,則Sio.

13.已知FltF2為橢圓C：J+m=1(°>6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓€上一點(diǎn)，且

ab

△PF】Fz的周長為6,面積的最大值為后,則橢圓C的離心率為.

14.已知a,6,c分別為“BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且育S-acosC)=csinA,則A=

__________;內(nèi)角A的平分線交BC于點(diǎn)M,若。=4,八/\4=平，則△ABC的面積為

O

.(第一空2分,第二空3分)

高三數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

如圖，在直三棱柱ABC中,A41=2,tanNABC=tanNACB=^■，點(diǎn)Al到平面

BCC}B}的距離為1,M,N分別為BC，A】B的中點(diǎn).

(1)證明:CM_LA】B；

(2)求直線A】BI與平面CMN所成角的正弦值.

16.(本小題滿分15分)

在數(shù)列Q”}中，V”GN,，都有a?+\—3n=\—a?JGR)成立.

(1)證明:數(shù)列歷/是等差數(shù)列；

(2)若數(shù)列仿.)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)義的值及數(shù)列仿力的前〃項(xiàng)和S“.

17.(本小題滿分15分)

現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn)(。1，。2，。3，。4，)與

S1也也也，…,6“)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)差的絕對(duì)值之和，即為I的一仇I+I。2一dI+I。3一dI+”?+

Ia?~b?\.

基本事實(shí):①在三維空間中，立方體的頂點(diǎn)坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示，其中a,€

{0,1}G=l,2,3);②在〃維空間中(〃)3,〃WN),以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可

表示為〃維坐標(biāo)(a1,a2,a3,a4,-,aj,并稱其為“〃維立方體”，其中a,E

{0,l}G=l,2,3,-,n).

請(qǐng)根據(jù)以上定義和基本事實(shí)回答下面問題：

(1)若“〃維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為，維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為〃，求義一〃的值；

(2)記隨機(jī)變量$為"”維立方體”中任意兩個(gè)不同頂點(diǎn)間的曼哈頓距離，求f的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)

18.（本小題滿分17分）

已知雙曲線「：［一4=1（a＞0,b＞0）的一條漸近線為》=-2工，實(shí)軸長為4應(yīng)，

ab

MCro，》o）為F上一點(diǎn).

（1）求雙曲線F的方程；

（2）（i）證明：直線Z：學(xué)一等=1與雙曲線r相切于點(diǎn)M；

ao

Gi）若直線MN與雙曲線r相切,C為雙曲線r的右焦點(diǎn)，且CNJLCM,試判斷點(diǎn)N是

否在定直線上，若在定直線上，求出該直線方程;若不在定直線上,請(qǐng)說明理由.

19.（本小題滿分17分）

xlnx,O<Cx<l?

已知函數(shù)九Cr）=

吹一He*一】口>1.

（1）若函數(shù)八工）=一工+1，證明：在（1,+8）上恒成立;

（2）若無（工1）=九（12）=無（工3）（0＜工1〈12＜彳3），且工2=根11，帆6（1，2）,證明：工2+13—

l＜（21n2+2）4.

高三數(shù)學(xué)第4頁（共4頁）

滄衡名校聯(lián)盟高三年級(jí)模擬考試

數(shù)學(xué)參考答案

題號(hào)1234567891011

答案CDBCCAI）DBCDBC'DACD

1.（,解析:依題意.就?薩=4><4><3（“一三）=一8,故選（,.

［命題意圖］本題考查平面向量的數(shù)量積；考查運(yùn)算求解能力；考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2.D解析:因?yàn)镸ClN=N,則N=M，若“+2=3,解得〃=1.此時(shí)>=1.根據(jù)集合中元素的互異性.不

合題意;若a+2=/.即/一。一2=0,解得a=2或”=-1,若。=-1,此時(shí)>=。+2=1,不合題意，當(dāng)

a=2時(shí)成立.故選D.

［命題意圖］本題考查集合運(yùn)算、集合關(guān)系以及集合性質(zhì)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力；考查邏輯推

理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

3.B解析:依題意可知中=78.又因?yàn)镻（78<X<120）=0.42,所以P（X>120）=0.5-0.42=0.08,所

以數(shù)學(xué)成績超過120分的人數(shù)約為0.08X10000=800,故選B.

［命題意圖］本題考查正杰分布；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力；考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的

核心素養(yǎng).

4.C解析:因?yàn)?X0.7=5.6,所以這8名同學(xué)體能綜合測(cè)試成績的第70百分位數(shù)是75.根據(jù)古典概型可

得.所求概率P=eC?=嬴5故選C

［命題意圖］本題考查樣本的數(shù)字特征和古典概型；考查數(shù)學(xué)建模能力、運(yùn)算求解能力；考查邏輯推理、數(shù)

據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

5.C解析：函數(shù)/?）的定義域?yàn)橐?，=/定又所以函數(shù)/"）為偶函數(shù).當(dāng)了6

e-re

［0,+8）時(shí),*（1）=1+6，單調(diào)遞增，所以函數(shù)/<r）在［0.+8）上單調(diào)遞減.在（-8.0）上單調(diào)遞

增.又一log；2=log：-1->Iog5《=-所以0>—log：2〉一l〉一白.所以a>c>〃,故選C.

27523732石

［命題意圖］本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、比較大小；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力；考查邏輯推

理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

6.A解析：c?=6（cos曰^+isin=3點(diǎn)一3i,乂|=—I=1,即在復(fù)平面內(nèi)?復(fù)數(shù)：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是

以（3痣,一3）為圓心.1為半徑的圓.又點(diǎn)（3V3.-3）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，（3痣）2+（—3尸=6,所以

I之I的最大值為6+1=7.故選A.

［命題意圖］本題考查復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力；

考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

7.D解析：依題意,/（『）=cos，r—sinlr=cos2.r.令247r4〈2才〈24汗./!6Z.解得An，4.rW&n./e

Z.即函數(shù)/Cr）的單調(diào)遞增區(qū)間為"一微/小&GZ,不妨令A(yù)=0.則函數(shù)/&）在-上是單調(diào)

高三數(shù)學(xué)答案第1頁（共8頁）

遞增的.g（jt）=f［^x—=cos［2（］—等）］=cos（2i一"）,令24六一元W2憶一為五.為GZ,解得為式一

狂Z.即函數(shù)gG）的單調(diào)遞增區(qū)間為,一聿,武+1夏GZ,不妨令2。，則函數(shù)

g⑴在卜。盤上是單調(diào)遞增的'若/⑴和gG）在區(qū)間Q而上都是單調(diào)遞增的,則/，一的最大值

為°一（一關(guān)）=￡,故選D

［命題意圖］本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)圖象的平移和三角函數(shù)的單調(diào)性；考查邏輯思維能力、運(yùn)算

求解能力；考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

8.D解析：如圖，設(shè)正六棱銖P-ABCDEF的底面中心為5,正六棱柱為A.B^.D.E,F）

A2B2C2D2E2F2,其中底面A2B2C2D2E2F2在棱錐底面上，設(shè)底面ABCQEiB的中心為O-外接

球球心為（）.由題意得.底面A2B2C2D2E2F2的中心為。2,底面4BC|D|E|F|的所有頂點(diǎn)均在正六

棱鋪的側(cè)棱上.則P5=2存,因?yàn)檎忏廝-ABCDEF的底面為正六邊形.設(shè)邊長為小側(cè)面與底面

P（）0J0

所成角為a,則1@11。=7二=箸=4，解得。=1,即正六棱錐的底面邊長為1?設(shè)42。2=7?則AAz=

73V3

~2a~2a

P（）2

1一M,由題意得tanZPAO,==2行.故A[A2=2^/3AA2=2^/3(1—J-).(X)2=yA,A2=

AO2

22

V3(l-x),故正六棱柱AibGDiEiB-A2B2C2D,E,F2外接球半徑的平方R-A2O=A?(乃+

（XX=4/—6z+3=4（支一曰當(dāng)且僅當(dāng)支=，時(shí)取得最小值此時(shí)外接球表面積S=47rP=

\47444

37r,故正六棱柱的外接球表面積的最小值為37r.故選D.

［命題意圖］本題考查正六棱錐的性質(zhì)、二面角、球的切接問題；考查邏輯思維能力、空間想象能力、運(yùn)算求

解能力；考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

9.BCD解析:因?yàn)閟ina+cosa=m,則(sincr+cosa)?=〃J,即1+2sinacosa="/?所以2sinacosa=

sin2a=m1-1.所以A選項(xiàng)不正確；因?yàn)椋?,1）?所以〃/-1V0,又aS（0,兀），所以aS7r卜

(sina—cosa)3=1-2sinacosa=l—(〃?2一1)=2-m1,又aG.7r)?所以sina—cosa=v2—〃/.所

以B選項(xiàng)正確;cos2a=cosa—sin2a=(cosa+sina)(cosa—sina)=-m，2—?所以C選項(xiàng)正確;

1-tanQ_cosa—sina—y/2-m~什1rl.

因?yàn)閠an(:-a)一,右"2=7■,貝Utan仔-a）=-7,所以D選項(xiàng)正

1+tanacosa+sinamb

高三數(shù)學(xué)答案第2頁（共8頁）

確，故選BCD.

［命題意圖］本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力；考查

邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

10.BCD解析：函數(shù)fCr)的定義域?yàn)镽.因?yàn)椤?—］)=0,所以函數(shù)/Cr)的圖象關(guān)于點(diǎn)

(—1,0)對(duì)稱.所以A選項(xiàng)不正確；因?yàn)?'(21+f'(—2z+l)=0.所以/'(.r+1)=

一/'(一］+1).所以函數(shù)/'Q)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以B選項(xiàng)正確；由B選項(xiàng)知j'(.r+2)=

一f'(—x)，因?yàn)閒(—1+7)+/(—1—JC)=0.則f(—1+才)=—f(—1—x),所以f'(—1+z)=

/'(一1一］),所以函數(shù)/'行)的圖象關(guān)于直線1=-1對(duì)稱,又f(-2+x)=/'(一］)，所以

1+2)=—/'(一2+才)，即f(才+4)=-f(］)，所以/'Gr+8)=f'Gr),所以8是函數(shù)f(r)的一

個(gè)周期，所以/'(16)=/'(0)=四,所以?選項(xiàng)正確；/'(2)=—/'(0)=-痣./'(4)=一/'(0)=-痣.

(6)=—/'(2)=畬，所以工if'⑵)=/'(2)+2/"(4)+3/'(6)+4/'(8)H---F14/'(28)+

I?1

15/(30)=(-1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12-13-14+15)X點(diǎn)=0,所以D選項(xiàng)正確.故

選BCD.

［命題意圖］本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力；考

查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

11.ACD解析:依題意得.0=2,所以拋物線C的方程為/=4九焦點(diǎn)F(1.0),準(zhǔn)線方程為z=-1,對(duì)于

A選項(xiàng).設(shè)線段MN的中點(diǎn)為H,分別過點(diǎn)M,N.H作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為Q.T.S,根據(jù)梯形中位

線性質(zhì)和拋物線定義可得|HS|=；(IMQ|+|N71)=J(|MF|+［NF)IMN|=5.當(dāng)【I僅當(dāng)

乙乙乙

M,N,F三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.即MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為4,所以A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng)，直線

(v?=4.r?

MN斜率不為零,可設(shè)立線MN的方程為.r一l.MCr,,y^.N(,r2.山)?由,徨/-

'.r=my-1

4〃?、+4=0.則△=16"/—16>().解得〃八>1,所以yt+山=4〃?，,yi?2=4,因?yàn)镕(1,0),所以FM=

(.r(—1.>|).FN=(a2—1,%)?所以FM?FN=(11一1)(.小一D+_y11y2=2)(rny2-2)+

2

yiy2=(,m+l,)yiy2—2m(“+%)+4=4(〃/+l)—8〃/+4=0,解得,〃=±夜(滿足->1),所以宜

/o

線/的方程為/一叁y+l=0或Z+應(yīng))+1=0.又M在第一象限?則直線MN的斜率為］,所以B選

項(xiàng)不正確;對(duì)于C選項(xiàng)?設(shè)直線MN的方程為.r=，〃y+1,聯(lián)立消去廣得/一"。一4二。,

9=4才，

3+?2=-2y2=4，〃.

△>03l+y2=4，〃.ylyz=-4,由題意得|MF|=3|NF|.則yl=-33/2，所以,'則

必山=_34=_4,

，〃2=!，又由題意，〃>0.所以〃產(chǎn)號(hào),直線MN的方程為y=八一行.所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，

設(shè)D(0，尢)，因?yàn)?)，M.D.N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為/+/++”=0,聯(lián)立

卜"+y2+<Zr+”=0,

消去x得城+(4d+16).+16ey=0,即yQy3+(4t/+16)y+16e1=0,所以

b2=41，

yx,32，33即為關(guān)于y的方程y,+(44+16)y+16c=。的3個(gè)根.則/+(4d上16)y+16s=

(y—yi)(丁一》2)(y-%)，因?yàn)?y—w)()—?2)()-g)=一(”+山+山)/+

(yw+y2y3+y】y3)y—2y3,由y~的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得,31+山+?3=。,所以△DMN的重心的縱

高三數(shù)學(xué)答案第3頁(共8頁)

坐標(biāo)為0.即重心在工軸上，所以D選項(xiàng)正確，故選ACD.

［命題意圖］本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)

新能力；考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

12,5解析:依題意?因?yàn)椤?=2%+必+l=a”+i,則人。1+1=^2,可得=:?同理可得a：；=—1=

133

萬.所以數(shù)列｛%,｝是周期為3的數(shù)列,又因?yàn)閙+a2+。3=萬?所以S=3X5+1,=5.

［命題意圖］本題考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的周期性及數(shù)列求和；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力；考

查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

13.y解析:依題意的周長為2a+2c=6,所以。+<=3,4］）已入面積的最大值為:X2cX

乙乙

〃=慶=。,又42=小+1,解得a=2,c=l.〃=焉，故橢圓C的離心率為"

［命題意圖］本題考查橢圓的幾何性質(zhì)和研究方法；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力；考查

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

14.解析:依題意?由正弦定理可得總sinB_73sinAcos（'=sin（'sinA.即#'（sinAcosC+

oo

cosAsinC）—四sinAcosC=sin（''sinA.故J3cosAsinC=sinAsinC?乂sinCWO,所以禽cosA=

sinA?則tanA=V3?因?yàn)锳G（0,兀）.所以A=f■.因?yàn)镾AA*=SAABM+S&MM.所以萬〃csin/I3AC=

4AM?c-sinZBAM+yAM?〃?sin/CAM,又AM平分/8AC.所以N6AM=/CAM=

乙乙

<N8AC=V.所以Xq=JXX-y+yXXy，則痣慶=（〃+c），即b+c=

Z6222322323

n忌

管也?，在A4BC中，由余弦定理得“2=62+02-2和cosA,即16=1+1一"，所以16=（6+c）2-

3兒=和〃3—3〃八解得灰■（負(fù)值舍去），所以3c的面積為A==

O3LLOLo

［命題意圖］本題考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力；考查邏

輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

15.解：（1）因?yàn)閠anNA8C=tan/ACB=T.所以AB=AC,.................................（1分）

設(shè)BC的中點(diǎn)為O.連接MO,AO,則AO1BC,

又點(diǎn)A1到平面BCCIi的距離為1.即AO=1.

所以BC=2OB=2OC=4..............................................................（3分）

又因?yàn)槿庵鵄BC-AiBG是直三棱柱,M為的中點(diǎn).所以（）M〃CC|.

又CC」平面43c.故（）M_L平面A6C.

而OA.OC均在平面A3C內(nèi).故OA.OC.OM兩兩垂直..................................（4分）

故以（）為原點(diǎn).OA.OC.OM所在直線分別為.77.z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

高三數(shù)學(xué)答案第4頁（共8頁）

則A)(1.0.2).B(0.-2.0),C(0.2.0),M(0.0.2),

故腦方=(-1.-2?-2).而=(0,—2,2).所以儲(chǔ)芯?CM=4-4=0,

所以CM_LAiB................................................................................................................................(7分)

(2)因?yàn)榘?1.0,0),故人/3；=技=(-1.-2,0),

又故出=(/,_3.1)，

設(shè)平面CMN的法向量為〃=(.r,y.N).

"?國=0,|一2"2'=0'

則一即T

)?('N=0.|pr-3y+z=o.

取y=l?則n=(4.1.1).（10分）

設(shè)直線人/3與平面CMN所成角為心

.\J；i,_|-4-21_6

:a_\/10

則sin6=Icos〈A|B|.n)I5（12分）

IAiB}||n|-V5X/1875X372'

故克線A131與平面CMN所成角的正弦值是逑.

（13分）

［命題意圖］本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系、考查直線與平面所成角；考查邏輯思維能力、空間

想象能力、運(yùn)算求解能力；考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

16.解：（1）依題意?a“+〃”+［=3〃+A?則a”+i+a”+2=3（〃+1）+入,

兩式作差得%：+2—a“=3....................................................................................................................（3分）

所以數(shù)列g(shù)2”＞是以。2為首項(xiàng)?公差為3的等差數(shù)列......................................（5分）

（2）由題意知。］+〃2=3+入?則&2=2+入,................................................（6分）

3

若億“）為等差數(shù)列?則"2一4】=5（a3—aI）=萬?

3

所以2+/一1=5?解得入=萬.........................................................(10分)

3

此時(shí)a>,1??—ci>?=aj+3〃一〃2-3(〃-1)=a?-a+3=-?

2乙

3

a2?—ci),1?=42+3(〃-1)—a1—3(〃-1)=u2-a1=方，

3

即V〃SN..a“+i~an=j'.故缶“)為等差數(shù)列，..........................................(12分)

uu?3,?、S1(、"(a?Ta”)3211

所以4“=1+5(〃—1)=]“一萬6“=-2------=彳"2+彳”.............................(15分)

［命題意圖］本題考查數(shù)列的遞推公式；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

心素養(yǎng).

17.解：（1）依題意維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)入=2".

“1）維立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)幺=2"」................................................（4分）

所以以一"=2"1...............................................................................................................................（5分）

（2）由題意得W可取1.2,3,…，4.當(dāng)S=k時(shí)?對(duì)于點(diǎn)（a1.a?）與點(diǎn)（〃i?久也，…也）?

其中使a,X〃，的i的個(gè)數(shù)為4.則滿足a,=〃,的，的個(gè)數(shù)為（”一Q.

高三數(shù)學(xué)答案第5頁（共8頁）

此時(shí)所對(duì)應(yīng)情況數(shù)為C*?2"'.

J?'JP（e=^）=^—=Lr，氏=1，2,3,…,〃，............................................（8分）

C2.2—1

故S的分布列為

12???k???n

C,1,C；,C,C：

P??????

2"-12"-12"-12"-1

.......................................................................................................................................................（11分）

、,1XC；2XCJ,（?-l）XC；；1nXC；；

數(shù)學(xué)期望E9=d+汨h+-“+2，，一1+匚

〃XC：（〃一1）XC；；72XC）IXC

又EG）=

2”一12”-12“一］寸2"-1

兩式相加可得2E（Q=嬴匕（C：+G+…+C；；T+2C；；）=?

z—1Z—1

X/QH—I

所以E（S）=；”_「...................................................................................................................（15分）

［命題意圖］本題考查新定義背景下的離散型隨機(jī)變量的期望；考查邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力、運(yùn)算

求解能力；考查邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

18.解：（1）依題意，2。=44.則a=2品、

又2=2,解得/>=4魚.......................................................................（2分）

a

所以雙曲線r的方程為（一匕=1.............................................................................................（4分）

OOL

22

（2）⑴由點(diǎn)Ma。,八）在F上,知g—①,

o3Z

22

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線/，得=一四=1.顯然成立?故點(diǎn)M在/上...........................（5分）

OoZ

當(dāng)y）H0時(shí),將直線I化為斜棧式,得N=一迎9

代入r并整理,得（/-4高）12+64.72—256—8/=0②.

由①知.4./一J=32.

故②為43一81“才+32+/=0.

其判別式△=（-&，）2—4X4X（32+J）=16（4.苴-32—3）=0,

故直線/與雙曲線F相切于點(diǎn)M.................................................................................................（8分）

當(dāng)y,=0時(shí).可得4=士2近.此時(shí)直線/：.r=±2夜與雙曲線F相切于點(diǎn)M.

綜上,直線/與雙曲線r相切于點(diǎn)M.............................................................................................（9分）

（ii）由（1）知C（2，i^.o）,設(shè)N（.r1.j-1）.

由題意.CN?（、A4=（H?—2\/10,3?1）?（才<1—2\/10.j/o）=0.

xyxa-2-/\Qx}-2，I5\ro+4O+》］義=0③...........................................................................（11分）

由⑴知,雙曲線「在點(diǎn)M處的切線方程為‘竽一嘴=1,

OOL,

高三數(shù)學(xué)答案第6頁（共8頁）

又點(diǎn)N在此切線上.故土:一^^=1④.

O04

③+32X④.得—2710^-]-2/10J-O+8=O,（13分）

即為=27^工。一8,

2/10^（1-82萬^^。-）2/10

因?yàn)?J-—六.所以「（分）

02/100516

5xo-2/lO5/2/10\?

2x/10,

故點(diǎn)N在定直線工=—二一上................................（.1.7.分...）....................

5

［命題意圖］本題考查雙曲線的方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系；考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力；考查

邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

19.解：（1）由題，/（1）=一工+1,

當(dāng)zG（1,+°°）時(shí).令夕（jr）=fCr）—h（J*）=jrer-1—2無+1,

則“Cr）=Cr-H）e,T一2,..................................................................................